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2009年高考数学试题分类汇编平面向量

时间:2011-01-02


2009 年高考数学试题分类汇编——向量 年高考数学试题分类汇编—— ——向量
一、选择题 1.(2009 年广东卷文)已知平面向量 a= x,1 ,b= ( ) (-x, x ) 则向量 a + b ,
2

A 平行于 x 轴 C.平行于 y 轴 【答案】

B.平行于第一、三象限的角平分线 D.平行于第二、四象限的角平分线

【解析】 a + b = (0,1 + x ) ,由 1 + x ≠ 0 及向量的性质可知,C 正确.
2
2

2.( 2009 广 东 卷 理 )一质点受到平面上的三个力 F1 , F2 , F3 (单位:牛顿)的作用而处于平 衡状态.已知 F1 , F2 成 60 角,且 F1 , F2 的大小分别为 2 和 4,则 F3 的大小为 A. 6
2 2 2
0

B. 2
0 0

C. 2 5

D. 2 7

【解析】 F3 = F1 + F2 ? 2 F1 F2 cos(180 ? 60 ) = 28 ,所以 F3 = 2 7 ,选 D. 3.(2009 浙江卷理)设向量 a , b 满足: | a |= 3 , | b |= 4 , a ? b = 0 .以 a , b , a ? b 的模 为边长构成三角形,则它的边与半径为 1 的圆的公共点个数最多为 ( A. 3 答案:C 【解析】对于半径为 1 的圆有一个位置是正好是三角形的内切圆,此时只有三个交点,对于 圆的位置稍一右移或其他的变化,能实现 4 个交点的情况,但 5 个以上的交点不能实现. 4. 2009 浙江卷文) ( 已知向量 a = (1, 2) ,b = (2, ?3) . 若向量 c 满足 (c + a ) / / b ,c ⊥ (a + b) , 则c =( ) B. 4 C. 5 D. 6 )
.

A. ( , )

7 7 9 3

B. (?

7 7 ,? ) 3 9

C. ( , )

7 7 3 9

D. (?

7 7 ,? ) 9 3

【命题意图】此题主要考查了平面向量的坐标运算,通过平面向量的平行和垂直关系的考查, 很好地体现了平面向量的坐标运算在解决具体问题中的应用. 【解析】不妨设 C = ( m, n) ,则 a + c = (1 + m, 2 + n ) , a + b = (3, ?1) ,对于 c + a // b ,则有

(

)

7 7 ?3(1 + m) = 2(2 + n) ;又 c ⊥ a + b ,则有 3m ? n = 0 ,则有 m = ? , n = ? 9 3
5.(2009 北京卷文)已知向量 a = (1, 0), b = (0,1), c = ka + b( k ∈ R ), d = a ? b ,如果 c // d , 那么 A. k = 1 且 c 与 d 同向 B. k = 1 且 c 与 d 反向

(

)

.w

C. k = ?1 且 c 与 d 同向 D. k = ?1 且 c 与 d 反向 答案】 【答案】D 【解析】 本题主要考查向量的共线(平行)、向量的加减法. 属于基础知识、基本运算的考 解析】 查.
.k.s.5.u.c

∵a = (1, 0 ) ,b = ( 0,1) ,若 k = 1 ,则 c = a + b = (1,1) ,d = a ? b = (1, ?1) , 显然,a 与 b 不平行,排除 A、B. 若 k = ?1 ,则 c = ? a + b = ( ?1,1) ,d = ? a + b = ? ( ?1,1) , 即 c // d 且 c 与 d 反向,排除 C,故选 D. 6.(2009 北京卷文)设 D 是正 ?P P2 P3 及其内部的点构成的集合,点 P0 是 ?P P2 P3 的中心,若 1 1 集 合 S = {P | P ∈ D,| PP0 |≤| PPi |, i = 1, 2, 3} , 则 集 合 ( S 表 示 的 平 面 区 域 是

大光明

) A. 三角形区域 B.四边形区域 C. 五边形区域 D.六边形区域 答案】 【答案】D 解析】 【解析】本题主要考查集合与平面几何基础知识. 本题主要考查阅读与理解、信息迁移以及 学生的学习潜力,考查学生分析问题和解决问题的能力. 属于创新题型. 如图,A、B、C、D、E、F 为各边 三等分点,答案是集合 S 为六边形 ABCDEF,其中,
.5.u.c.o.

P0 A = P2 A ≤ Pi A ( i = 1,3)
即点 P 可以是点 A. 7. ( 2009 北 京 卷 理 ) 已 知 向 量 a 、 b 不 共 线 , c = k a + b (k ∈ R),d = a ? b,如果 c // d,那么 ( )

A. k = 1 且 c 与 d 同向 B. k = 1 且 c 与 d 反向 D. k = ?1 且 c 与 d 反向 C. k = ?1 且 c 与 d 同向 【答案】D 答案】 解析】 【解析】本题主要考查向量的共线(平行)、向量的加减法. 属于基础知识、基本运算的考 查. 取 a = (1, 0 ) ,b = ( 0,1) ,若 k = 1 ,则 c = a + b = (1,1) ,d = a ? b = (1, ?1) , 显然,a 与 b 不平行,排除 A、B. 若 k = ?1 ,则 c = ? a + b = ( ?1,1) ,d = ? a + b = ? ( ?1,1) , 即 c // d 且 c 与 d 反向,排除 C,故选 D. 8.(2009 山东卷理)设 P 是△ABC 所在平面内的一点, BC + BA = 2 BP ,则( A. PA + PB = 0 B. PC + PA = 0 C. PB + PC = 0 D. PA + PB + PC = 0 )

【解析】:因为 BC + BA = 2 BP ,所以点 P 为线段 AC 的中点,所以应该选 B。 答案:B。 【命题立意】:本题考查了向量的加法运算和平行四边形法则, 可以借助图形解答。 9.(2009 全国卷Ⅱ文)已知向量 a = (2,1), a·b = 10,︱a + b ︱= 5 2 ,则︱b ︱= (A) 5 答案:C 答案:
2 2 2 解析:本题考查平面向量数量积运算和性质, ) , 解析:本题考查平面向量数量积运算和性质,由 a + b = 5 2 知(a+b) =a +b +2ab=50,

(B) 10

(C)5

(D)25

得|b|=5 选 C。 。 10.(2009 全国卷Ⅰ理)设 a 、 b 、 c 是单位向量,且 a · b =0,则 ( a ? c ) ? ( b ? c ) 的最小值 为 ( D (A) ?2 解: ) (B) 2 ? 2 (C) ?1 (D) 1 ? 2
2

∵ a, b, c 是单位向量∴ a ? c ? b ? c = aib ? (a + b)ic + c = 1? | a + b |i| c |= 1 ? 2 cos < a + b, c >≥ 1 ? 2 故选 D.

(

) (

)

11.(2009









)





P = {a | a = (1, 0) + m(0,1), m ∈ R}, Q = {b | b = (1,1) + n(?1,1), n ∈ R} 是两个向量集合,则
PI Q =
A.{〔1,1〕} 【答案】A B. {〔-1,1〕} C. {〔1,0〕} D. {〔0,1〕}

【解析】因为 a = (1, m)

b = (1 ? n,1 + n) 代入选项可得 P ∩ Q = {(1,1)} 故选 A.

12.(2009 全国卷Ⅱ理)已知向量 a = ( 2,1) , a ? b = 10,| a + b |= 5 2 ,则 | b |= A.

5

B.

10

C. 5

D. 25

2 2 2 2 | 解:∵ 50 =| a + b | =| a | +2a ib + | b | = 5 + 20+ | b | ∴ b |= 5 。故选 C 故选

13.(2009 辽宁卷理)平面向量 a 与 b 的夹角为 60 , a = (2, 0) , b = 1 则 a + 2b =
0

(A) 3

(B) 2 3

(C) 4

(D)12

【解析】由已知|a|=2,|a+2b|2=a2+4a·b+4b2=4+4×2×1×cos60°+4=12

∴ a + 2b = 2 3 【答案】B 14. ( 2009 宁 夏 海 南 卷 理 ) 已 知 O , N , P 在 ?ABC 所 在 平 面 内 , 且

OA = OB = OC , NA + NB + NC = 0 ,且 PA ? PB = PB ? PC = PC ? PA ,则点 O,
N,P 依次是 ?ABC 的 (A)重心 外心 垂心 (B)重心 外心 内心 (C)外心 重心 垂心 (D)外心 重心 内心 (注:三角形的三条高线交于一点,此点为三角型的垂心) 解析:

由 OA = OB = OC 知, O为?ABC的外心; NA + NB + NC = 0知,O为?ABC的重心 ; 由
∵ PA ? PB = PB ? PC, PA ? PC ? PB = 0, CA ? PB = 0,∴ CA ⊥ PB, ∴ ∴

(

)

同理,AP ⊥ BC ,∴ P为?ABC的垂心,选C.
15.(2009 湖北卷文)若向量 a=(1,1),b=(-1,1),c=(4,2),则 c= A.3a+b 【答案】B 【解析】由计算可得 c = (4, 2) = 3c ? b 故选 B 16.(2009 湖南卷文)如图 1, D,E,F 分别是 ? ABC 的边 AB,BC,CA 的中点,则【 A 】 A. AD + BE + CF = 0 B. 3a-b C.-a+3b D. a+3b

A
B. BD ? CF + DF = 0 C. AD + CE ? CF = 0 D. BD ? BE ? FC = 0

D B E
图1

F

C

解: ∵ AD = DB,∴ AD + BE = DB + BE = DE = FC , 得 AD + BE + CF = 0 ,故选 A. 或 AD + BE + CF = AD + DF + CF = AF + CF = 0 . 17.(2009 辽宁卷文)平面向量 a 与 b 的夹角为 60 ,a=(2,0), | b |=1,则 | a+2b |= (A) 3 (B)2 3 (C)4 (D)12
0

【解析】由已知|a|=2,|a+2b|2=a2+4a·b+4b2=4+4×2×1×cos60°+4=12 ∴ a + 2b = 2 3

【答案】B 18.(2009 全国卷Ⅰ文)设非零向量 a 、 b 、 c 满足 | a |=| b |=| c |, a + b = c ,则 < a, b >= (A)150°B)120° (C)60° (D)30°

【解析】本小题考查向量的几何运算、考查数形结合的思想,基础题。 解:由向量加法的平行四边形法则,知 a 、 b 可构成菱形的两条相邻边,且 a 、 b 为起点处的 对角线长等于菱形的边长,故选择 B。 19.(2009 陕西卷文)在 ?ABC 中,M 是 BC 的中点,AM=1,点 P 在 AM 上且满足 PA = 2 PM ,


则 PA ? ( PB + PC ) 等于
科网

(A)

4 9

(B)

4 3

(C) ?

4 3

(D) ?

4 9

答案:A. 解 析 : 由 AP = 2 PM 知 , p 为 ?ABC 的 重 心 , 根 据 向 量 的 加 法 , PB + PC = 2 PM 则

2 1 4 AP ? ( PB + PC ) = 2AP? PM=2 AP PM cos0° = 2× × ×1= 3 3 9
故选 A 20.(2009 宁夏海南卷文)已知 a = ( ?3, 2 ) , b = ( ?1, 0 ) ,向量 λ a + b 与 a ? 2b 垂直,则实数 λ 的值为 (A) ?

1 7

(B)

1 7

(C) ?

1 6

(D)

1 6

【答案】A 【解析】向量 λ a + b =(-3 λ -1,2 λ ), a ? 2b =(-1,2),因为两个向量垂直,故有 (-3 λ -1,2 λ )×(-1,2)=0,即 3 λ +1+4 λ =0,解得: λ = ? 21.(2009 湖南卷理)对于非 0 向时 a,b,“a//b”的正确是 A.充分不必要条件 C.充分必要条件 【答案】:A 【解析】 a + b = 0 , 由 可得 a = ?b , 即得 a // b , a // b , 但 不一定有 a = ?b , “ a + b = 0 ” 所以 是“ a // b 的充分不必要条件。 22.(2009 福建卷文)设 a , b , c 为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量,且满足
→ → → →

1 ,故选.A。 7

(A)

B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

a 与 b 不共线, a⊥c






∣ a ∣=∣ c ∣,则∣ b ? c ∣的值一定等于









A.以 a , b 为邻边的平行四边形的面积 C. a , b 为两边的三角形面积
→ → → → → → →





B. 以 b , c 为两边的三角形面积 D. 以 b , c 为邻边的平行四边形的面积
→ → → → → →





解析 假设 a 与 b 的夹角为 θ ,∣ b ? c ∣=︱ b ︱·︱ c ︱·∣cos< b , c >∣=︱ b ︱·︱


a ︱?∣cos(90 0 ± θ )∣=︱ b ︱·︱ a ︱?sin θ ,即为以 a , b 为邻边的平行四边形的面积,










故选 A。 23.(2009 重庆卷理)已知 a = 1, b = 6, a i(b ? a ) = 2 ,则向量 a 与向量 b 的夹角是( A.

π
6

B.

π
4

C.

π
3

D.

π
2

【答案】C 【解析】因为由条件得 a ? b ? a 2 = 2, 所以a ? b = 2 + a 2 = 3 = a ? b cos α = 1× 6 × cos α ,

1 π 所以 cos α = ,所以α = 2 3
24.(2009 重庆卷文)已知向量 a = (1,1), b = (2, x ), 若 a + b 与 4b ? 2a 平行,则实数 x 的值是 ( ) A.-2 【答案】D

B.0

C.1

D.2

解法 1 因为 a = (1,1), b = (2, x ) ,所以 a + b = (3, x + 1), 4b ? 2a = (6, 4 x ? 2), 由于 a + b 与

4b ? 2a 平行,得 6( x + 1) ? 3(4 x ? 2) = 0 ,解得 x = 2 。
解 法 2 因 为 a + b 与 4b ? 2a 平 行 , 则 存 在 常 数 λ , 使 a + b = λ (4b ? 2a ) , 即

(2λ + 1)a = (4λ ? 1)b ,根据向量共线的条件知,向量 a 与 b 共线,故 x = 2 。
二、填空题 1.( 2009 广 东 卷 理 ) 若平面向量 a , b 满足 a + b = 1 , a + b 平行于 x 轴, b = ( 2,?1) , 则a = . B

【解析】 a + b = (1,0) 或 (?1,0) ,则 a = (1,0) ? ( 2,?1) = ( ?1,1) 或 a = ( ?1,0) ? ( 2,?1) = ( ?3,1) .

A
o

P 第 7 题图

C

2.(2009 江苏卷)已知向量 a 和向量 b 的夹角为 30 , | a |= 2,| b|= 3 ,则向量 a 和向量 b 的数 量积 a ? b = 。

【解析】 考查数量积的运算。

a ?b = 2? 3 ?

3 =3 2
o

3.(2009 安徽卷理)给定两个长度为 1 的平面向量 OA 和 OB ,它们的夹角为 120 . 如图所示,点 C 在以 O 为圆心的圆弧 AB 上变动. 若 OC = xOA + yOB, 其中 x, y ∈ R ,则 x + y 的最大值是________. [解析]设 ∠AOC = α

1 ? ?OC ? OA = xOA ? OA + yOB ? OA, ?cos α = x ? 2 y ? ? ,即 ? ? ?OC ? OB = xOA ? OB + yOB ? OB, ?cos(1200 ? α ) = ? 1 x + y ? ? ? 2
∴ x + y = 2[cos α + cos(120 ? α )] = cos α + 3 sin α = 2sin(α +
0

π
6

)≤2

4.(2009 安徽卷文)在平行四边形 ABCD 中,E 和 F 分别是边 CD 和 BC 的中点,或 = + ,其中 , R ,则 + = _________。
.

【解析】设 BC = b 、 BA = a 则 AF =

1 1 b ? a , AE = b ? a , AC = b ? a 2 2 2 4 代入条件得 λ = u = ∴ λ + u = 3 3

【答案】4/3 5. ( 2009 江 西 卷 文 ) 已 知 向 量 a = (3,1) , b = (1, 3) , c = (k , 2) , 若 ( a ? c ) ⊥ b 则

k=
答案: 0



【解析】因为 a ? c = (3 ? k , ?1), 所以 k = 0 . 6. (2009 江西卷理) 已知向量 a = (3,1) , = (1, 3) , = (k , 7) , (a ? c ) ∥ b , k = b c 若 则 答案: 5 【解析】 .

3 ? k ?6 = ?k =5 1 3

7.(2009 湖南卷文)如图 2,两块斜边长相等的直角三角板拼在一起,若 AD = x AB + y AC , 则 x=

1+

3 2

,y=

3 . 2

图2 解:作 DF ⊥ AB ,设 AB = AC = 1 ? BC = DE =

2 ,∵ ∠DEB = 60 ,∴ BD =

6 , 2

由 ∠DBF = 45 解得 DF = BF =

6 2 3 3 3 × = , 故 x = 1+ , y= . 2 2 2 2 2

8.(2009 辽宁卷文)在平面直角坐标系 xoy 中,四边形 ABCD 的边 AB∥DC,AD∥BC,已知点 A(- 2,0),B(6,8),C(8,6),则 D 点的坐标为___________. 【解析】平行四边形 ABCD 中, OB + OD = OA + OC ∴ OD = OA + OC ? OB =(-2,0)+(8,6)-(6,8)=(0,-2) 即 D 点坐标为(0,-2) 【答案】(0,-2)


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