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2014学年第二学期高二理科数学期末考试卷


2014 年第二学期期末考试试题

高二数学(理科)
参考公式: 样本数据 x1 , x2 ,L , xn 的方差 S ?
2 2 2 2 1? x1 ? x ? x2 ? x ? L ? xn ? x ? , 其中 x 表 ? ? ? n?

?

? ?

?

/>?

?

示样本数据的平均值. 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.复数

?1 ? 3i 在复平面内对应的点是 1? i
B . ? 2, ?1?

A . ? 2,1?

C . ?1, 2 ?

D . ?1, ? 2 ?

2.下列求导运算正确的是

1 1 A . (x ? )' ? 1 ? 2 x x

B . (log 2 x) ' ?

1 x ln 2

C .? ?cos ? 3x ? 2 ? ? ? ? 3sin ? 3x ? 2 ?
'

D . (e 2 x )? ? e 2 x

3.下列说法正确的是

A .命题“如果 x ? 10 ,那么 x ? 0 ”的逆命题是真命题
B .命题“有的三角形是等边三角形”的否定是“有的三角形不是等边三角形”

C .若命题 p, ?q 都是真命题,则命题“ p ? q ”为真命题
D .命题“ ?x ? R, 2x ? 0 ”的否定是“ ?x0 ? R, 2 0 ? 0 ”
4. 对于等式
x

1 1 1 1 1 ? ? ?L ? ? 1? , ? n ? N ? ? ,某学生用数学归纳法 1? 2 2 ? 3 3 ? 4 n ? n ? 1? n ?1
1 1 1 1 ? ,此时等式成立. ? ,右边 ? 1 ? 1?1 2 1? 2 2

证明的过程如下: (1)当 n ? 1 时,左边 ?

? (2)假设 n ? k k ? N 时,等式成立,

?

?



1 1 1 1 1 ? ? ?L ? ? 1? ,那么 n ? k ? 1 时, 1? 2 2 ? 3 3 ? 4 k ? k ? 1? k ?1

1 1 1 1 1 ? ? ?L ? ? 1? 2 2 ? 3 3 ? 4 k ? k ? 1? ? k ? 1?? k ? 2 ? 1 ? ? 1 1 ? ? 1? ?1 1? ?1 1? ?1 ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? L ? ? ? ? ??? ? ? 2? ? 2 3? ? 3 4? ? k k ?1 ? ? k ?1 k ? 2 ? 1 1 ? 1? ? 1? k ?2 ? k ? 1? ? 1
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? 当 n ? k ? 1 时,等式成立. 1 1 1 1 1 . ? ? ?L ? ? 1? ? 对 n ? N ? ,都有 1? 2 2 ? 3 3 ? 4 n ? n ? 1? n ?1
上述证法

A .证明过程全部正确

B . n ? 1 验证不正确

C .归纳假设不正确

D .从 n ? k 到 n ? k ? 1 的推理不正确

2 5.已知随机变量 ? 服从正态分布 N 3, ? ,且 P ?? ? 6? ? 0.8 ,则 P ? 0 ? ? ? 3? ?

?

?

D . 0.2 uur uu u r r uuu r r uuu r r 6.如图,四面体 ABCD 中,点 E 是 CD 的中点,记 AB ? a , AC ? b , AD ? c ,则 BE ? r 1r 1r 1r r 1r B .a ? b? c A . a?b? c 2 2 2 2 r 1r 1r r r 1 1r C . ?a ? b ? c D .? a?b? c 2 2 2 2
7. 设 p : f ( x) ? ? x 3 ? 2 x 2 ? mx ? 5 在 ? ??, ??? 内单调递减,

A . 0.6

B . 0.4

C . 0.3

4 q : m ? ? ,则 p 是 q 的 3 A .必要不充分条件

B .充分不必要条件

C .充分必要条件
8. 已知双曲线

D .既不充分也不必要条件

x2 y 2 若函数 y ? x 的 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) 与函数 y ? x 的图象交于点 P , a 2 b2 图象在点 P 处的切线过双曲线左焦点 F (?1, 0) ,则双曲线的离心率是
A.

5 ?1 2

B.

5?2 2

C.

3 ?1 2

D.

3 2

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分.

1? 7 .(用数字填写答案) ? 的展开式中, x 的系数等于 2? r r r r 10.已知 a ? ? 2, ?1,3 ? , b ? ? ?4,1, x ? ,且 a ? b ,则 x ? .
9. ? x ? 11.现有一大批种子,其中优良种占 30% ,从中任取 8 粒,记 X 为 8 粒种子中的优质良种 粒数,则 X 的数学期望是 的五位数的个数是 13.已知 x ? 0 ,由不等式 x ? . .(用数字填写答案) 12.用 0,1, 2,3, 4 排成无重复数字的五位数,要求偶数数字相邻,奇数数字也相邻,则这样

? ?

10

4 x x 4 x x 4 1 1 ? 2 x ? ? 2 , x ? 2 ? ? ? 2 ? 33 ? ? 2 ? 3 , x x x 2 2 x 2 2 x

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x?

27 x x x 27 x x x 27 ? ? ? ? 3 ? 4 4 ? ? ? 3 ? 4 ,?.在 x ? 0 条件下,请根据上述不等式 3 x 3 3 3 x 3 3 3 x
.

归纳出一个一般性的不等式

14.某厂生产某种产品 x 件的总成本 c ? x ? ? 1200 ?

2 3 x ( 万元),已知产品单价为 q ,且 75

q2 ?

产品的件数 x ?

k ( k 为反比例系数) ,生产 100 件这样的产品单价为 50 万元,当总利润最大时, x


三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 15. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? x ?12x .
3

(1)求这个函数在点 1, f ?1? 处的切线方程; (2)求这个函数的极值.

?

?

16. (本小题满分 12 分) 已知抛物线 y ? 2 px ? p ? 0? 的焦点 F 与双曲线
2

x2 ? y 2 ? 1 的右焦点重合. 3

(1)求 p 的值; (2)倾斜角为 450 的直线 l 经过抛物线的焦点 F ,且与抛物线交于 A, B 两点,求线段

AB 的长.

17. (本小题满分 14 分) 某校甲、乙两个班级各有 5 名编号为 1, 2,3, 4,5 的学生进行投篮训练,每人投 10 次,投 中的次数统计如下表: 学生 1号 2号 4号 3号 5号 甲班 乙班

6 4

5 8

7 9

9 7

8 7

(1)从统计数据看,甲、乙两个班哪个班成绩更稳定(用数字特征说明); (2)若从成绩较为稳定班级的 5 名学生中随机抽取 3 名学生继续加强训练,设抽到投
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中次数不小于 7 次的学生数为 X ,求随机变量 X 的分布列和期望

18. (本小题满分 14 分) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, PA 丄平面 ABCD , AB 丄 BC , ?BCA ? 45 ,
0

PA=AD =2 , AC =1 , DC ? 5
(1)证明 PC 丄 AD ; (2)求二面角 A - PC - D 的余弦值; (3)设 E 为棱 PA 上的点,满足异面直线 BE 与

CD 所成的角为 300 ,求 AE 的长.

19. (本小题满分 14 分) 已知椭圆

x2 y 2 6 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 经过点 0, 2 ,且离心率为 . 2 a b 3

?

?

(1)求椭圆的方程; (2)直线 l : y ? kx ? m ? k ? 0? 经过椭圆的右焦点 F ,且与椭圆交于 P , Q 两点,如 果点 P 关于 x 轴的对称点为 P? ,判断直线 P?Q 是否经过 x 轴上的定点,如果经 过,求出该定点坐标;如果不经过,说明理由.

20.(本小题共 14 分) 设函数 f ( x ) ? e x ? ax , x ? R . (1)当 a ? 2 时,求证: f ( x) ? 0 ; (2)当 a ? 0 时,求函数 f ( x) 在 ? 0, a ? 上的最大值.

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2014 学年第二学期期末考试

高二数学(理科) 参考答案及评分标准
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分. 题号 答案 1 C 2 B 3 D 4 D 5 C 6 C 7 A 8 A

1 8.解:设 P( x0 , x0 ) ,∴切线的斜率为 , 2 x0
又∵在点 P 处的切线过双曲线左焦点 F (?1,0) ,∴

x0 1 ,解得 x0 ? 1 , ? 2 x0 x0 ? 1
5 ?1 ,故选 A; 2

∴ P(1,1) ,因此 2c ? 2,2a ? 5 ? 1 ,故双曲线的离心率是

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. 9.15 ; 10.3 ; 11.2.4 ; 12.20 ; 13. x ? 12.解:排除法.偶数字相邻,奇数字也相邻有 A3 A2 A2 有 A2 A2
2 2 3 2 2 2 2 ? 4 ,故 A3 A2 A2 ? A2 A2 ? 20 .[
3 2 2

nn ? n ? 1? n ? N ? ? ; 14. 25 . n x

? 24 ,然后减去 0 在首位的情况,

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 15. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? x ?12x .
3

(1)求函数 f ? x ? 在点 1, f ?1? 处的切线方程; (2)求函数 f ? x ? 的极值. 解:(1) Q f ? x ? ? x ?12x ,? f ?1? ? ?11,
3

?

?

????1 分 ????2 分 ????3 分

f ' ? x ? ? 3x2 ?12 ,
f ' ?1? ? ?9
? 函数 f ? x ? 在点 ?1, ?11? 处的切线方程为 y ? 11 ? ?9 ? x ?1? ,
即 9x ? y ? 2 ? 0 . (2)令 f
'

????4 分 ????6 分

? x? ? 3x2 ?12 ? 0 ,得 x ? 2 ,或 x ? ?2 .
'

当 x 变化时, f

? x ? , f ? x ? 变化情况如下表:
?2

x
f
'

? ??, ?2?
? x?
?

? ?2, 2?
?

2

? 2, ???
?

0

0

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f ? x?

单调递增

16

单调递减

?16

单调递增

????9 分

? 当 x ? ?2 时, f ? x ? 有极大值,当 x ? 2 时, f ? x ? 有极小值????10 分

f ? x ?极大 ? f ? ?2? ? 16 f ? x ?极小 ? f ? 2? ? ?16 .
16.(本小题满分 12 分) 已知抛物线 y2 ? 2 px ? p ? 0? 的焦点 F 与双曲线 (1)求 p 的值;

????11 分 ????12 分

x2 ? y 2 ? 1 的右焦点重合. 3

(2)倾斜角为 450 的直线 l 经过抛物线的焦点 F ,且与抛物线交于 A, B 两点,求线段

AB 的长.
解: (1)抛物线 y 2 ? 2 px 的焦点为 F ?
2

?p ? ,0? ?2 ?

????1 分 ????2 分 ????3 分 ????4 分 ????5 分

Q 抛物线与双曲线 x ? y 2 ? 1 的右焦点为 ? 2, 0 ? , 3 p ? ? 2, 2
?p ? 4.
(2)方法1:设 A? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,

A, B 到准线的距离
分别为 d A , d B ,由抛物线的定义可知

AF ? d A ? x1 ? 2 , BF ? dB ? x2 ? 2 , ? AB ? x1 ? x2 ? 4
????7 分
0

倾斜角为 450 且经过抛物线的焦点 F ? 2,0? 的直线 l 的方程为 y ? tan 45

? x ? 2? ? x ? 2 ,

????8 分 联立 ?

? ?y ? x ? 2 2 ? ? y ? 8x

?1? ? 2?
2

????9 分 ????10 分

由(1)代如(2)整理得 x ? 12 x ? 4 ? 0 ,

得, x1,2 ? 6 ? 4 2 ,? x1 ? x2 ? 12 (也可以由伟达定理直接得到 x1 ? x2 ? 12 ) ????11 分

? 线段 AB 的长 AB ? x1 ? x2 ? 4 ? 12 ? 4 ? 16 .
解法2:设 A? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? .

????12 分 ????5 分

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倾斜角为 450 且经过抛物线的焦点 F ? 2,0? 的直线 l 的方程为 y ? tan 45

0

? x ? 2? ? x ? 2 ,

????6 分 联立 ?

? ?y ? x ? 2 2 ? ? y ? 8x ? ? x1 ? 6 ? 4 2 ? ? y1 ? 4 ? 4 2

?1? ? 2?
2

????7 分 ????8 分 ????10 分
2

由(1)代如(2)整理得 x ? 12 x ? 4 ? 0 , 可得 ? ,?

? ? x2 ? 6 ? 4 2 ? ? y2 ? 4 ? 4 2
2


2

? 线段 AB 的长 AB ?

? x2 ? x1 ? ? ? y2 ? y1 ?

?

? ?8 2 ? ? ? ?8 2 ?

2

? 16

????12 分 17. (本小题满分14分) 某校甲、乙两个班级各有 5 名编号为 1, 2,3, 4,5 的学生进行投篮训练,每人投 10 次,投 中的次数统计如下表: 学生 甲班 乙班

1号 6 4

2号 5 8

3号 7 9

4号 9 7

5号 8 7

(1)从统计数据看,甲、乙两个班哪个班成绩更稳定(用数字特征说明); (2)若从成绩较为稳定班级的 5 名学生中随机抽取 3 名学生继续加强训练,设抽到投 中次数不小于 7 次的学生数为 X ,求随机变量 X 的分布列和期望 解:(1)甲班的平均值为 x甲 ?

1 ? 6 ? 5 ? 7 ? 9 ? 8? ? 7 5 1 乙班的平均值为 x乙 ? ? 4 ? 8 ? 9 ? 7 ? 7 ? ? 7 5
2

????1 分 ????2 分 ????3 分 ????4 分

甲班的方差 s甲 ?
2

2 2 2 2 2 (6-7) +(5-7) +(7-7) +(9-7) +(8-7) =2 , 5 2 2 2 2 2 (4-7) +(8-7) +(9-7) +(7-7) +(7-7) 14 = , 5 5

乙班的方差 s乙 ?

2 2 ,甲、乙两班的平均值相等,而甲班的方差较小,所以甲班的成绩比 ? s乙 Q x甲 ? x乙 , s甲

较稳定. (2) X 可能取 1,2,3
1 3 2 2 2 3 1 2

????5 分 ????6 分

3 CC CC C3 3 6 1 P( X ? 1) ? 2 ? , P( X ? 2) ? 2 ? , P( X ? 3) ? 2 ? ,????9 分 C5 10 C5 10 C5 10

? X 分布列为:
X
P

1

2

3
1 10

3 10

6 10
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????10 分 数学期望 EX ? 1?

3 6 1 9 ? 2 ? ? 3? ? 10 10 10 5

????12 分

18.(本小题满分 14 分) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, PA 丄平面 ABCD , AB 丄 BC , ?BCA ? 450 ,

PA=AD =2 , AC =1 , DC ? 5
(1)证明 PC 丄 AD ; (2)求二面角 A - PC - D 的正弦值; (3)设 E 为棱 PA 上的点,满足异面直线 BE 与 CD 所成的角为 300 ,求 AE 的长. 解法一: (1)∵在 ?ADC 中, AD ? 2 , AC =1 , DC ? 5
2 2 2 ∴ AC ? AD ? CD

P

B A C

∴ AD ? AC

D

?????1 分

又 Q PA 丄平面 ABCD , AD ? 平面 ABCD ,

? AD ? PA , AC ? 平面 PAC , PA ? 平面 PAC , PA ? AC ? A ?????2分 ? AD ? 平面 PAC , PC ? 平面 PAC ?????3分 ?????4分 ? PC 丄 AD uuu r uuu r uuu r (2)如图,以点 A 为原点建立空间直角坐标系,以 AD, AC , AP 所在直线为 x, y , z 轴建
立空间直角坐标系 A ? xyz , 可得 A? 0, 0, 0 ? , D ? 2,0,0? , C ?0,1,0? , B ? ? , , 0 ? ,

? 1 1 ? 2 2

? ?

uuu r uuu r ? PC ? ? 0,1, ?2 ? , CD ? ? 2, ?1, 0 ? , r 设平面 PCD 的一个法向量 n ? ? x, y , z ? ,则 r uuu r ? ? y ? 2z ? 0 ?n ? PC ? 0 ,即 ? ,不妨令 z ? 1 , r ? r uuu 2x ? y ? 0 ? n ? CD ? 0 ? ? r 可得 n ? ?1, 2,1? . ?????7 分 u r 可取平面 PAC 的一个法向量 m ? ?1, 0, 0 ? ????8 分

P ? 0,0,2? ,

?????5分

? ? 二面角 A ? PC ? D 的余弦值为
6 .?????10 分 6

(3)设点 E 的坐标为 ? 0,0, h? ,其中 h ? [0,2] , ?????11 分

第 8 页 共 11 页

r 1 ? uuu 2 ? uur uuu r uur uuu r BE ? CD 3 r ? ? cos BE, CD ? uur uuu , BE ? CD 10 ? 20h 2
由此得 BE ? ? , ? , h ? , CD ? ? 2, ?1, 0 ? .

uur

?1 ?2

?????12 分

?

3 10 ? 20h
2

? cos 300 ?

3 , 2

?????13 分

解得 h ?

10 10 ,即 AE ? . 10 10

?????14分

解法二:(1) ∵在 ?ADC 中, AD ? 2 , AC =1 , DC ? 5
2 2 2 ∴ AC ? AD ? CD

r uuu r uuu r uuu 如图,以点 A 为原点建立空间直角坐标系,以 AD, AC , AP 所在直线为 x, y , z 轴建立空间
直角坐标系 A ? xyz 可得 A? 0,0,0? , D ? 2,0,0? , C ? 0,1,0? , B ? ? , , 0 ? ,

∴ AD ? AC

?????1 分

? 1 1 ? 2 2

? ?

P ? 0,0,2? ,

?????2 分

? PC ? (0,1,-2), AD ? (2,0,0), uuu r uuu r ?????3 分 ? PC ? AD ? 0 , ?????4 分 ? PC ? AD . uuu r uuu r (2)由(1)得 PC ? ? 0,1, ?2 ? , CD ? ? 2, ?1, 0 ? ,设平面 r PCD 的一个法向量 n ? ? x, y, z ? ,则 r uuu r ? n ? PC ?0 ? y ? 2z ? 0 ? ,即 ? 不妨令 z ? 1 , ?????6 分 r ? r uuu 2 x ? y ? 0 ? ?n ? CD ? 0 ? r 可得 n ? ?1, 2,1? . ?????7 分 u r 可取平面 PAC 的一个法向量 m ? ?1, 0, 0 ? , ?????8 分

?
? 二面角 A ? PC ? D 的余弦值为 6 . 6

?????10 分

( 3 ) 设 点 E 的 坐 标 为 ? 0 , 0h ,? , 其 中 h ? [0,2] , 由 此 得 BE ? ?

uur

uuu r CD ? ? 2, ?1, 0 ? .

?1 1 ? ,? ,h? , ?2 2 ?

第 9 页 共 11 页

uur uuu r uur uuu r BE ? CD 3 , ? cos BE, CD ? uur uuu r ? 10 ? 20h 2 BE ? CD
?

3 10 ? 20h 2

? cos 300 ?

10 10 3 ,解得 h ? ,即 AE ? .?????14分 10 10 2

19. (本小题满分14分) 已知椭圆

x2 y 2 6 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 经过点 0, 2 ,且离心率为 . 2 a b 3

?

?

(1)求椭圆的方程; (2)直线 l : y ? kx ? m ? k ? 0? 经过椭圆的右焦点 F ,且与椭圆交于 P , Q 两点,如 果点 P 关于 x 轴的对称点为 P? ,判断直线 P?Q 是否经过 x 轴上的定点,如果经 过,求出该定点坐标;如果不经过,说明理由.

解: (1) Q 椭圆

x2 y 2 ? ? 1 经过点 0, 2 , a 2 b2
?????1分
2

?

?

?

2 ? 1 ,得 b2 ? 2 2 b

? 6? a2 ? 2 2 6 又由椭圆的离心率为 得, ? ?????2分 ? ? 1? 2 , ? 2 ? ? 3 a a ? 3 ? 2 解得 a ? 6 ?????3分 2 2 x y ?1 ?????4分 ? 椭圆的方程为 ? 6 2 (2)直线 l: y ? kx ? m (k ? 0) 过椭圆的右焦点 F ? 2,0? , ? m ? ?2 k , ?????5分 ? 直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 2) .
由?

? x2 ? 3 y 2 ? 6 2 ) x2 ? 12 k 2x ? 12 k 2 ? 6 ? 0. (依题意 ? ? 0 )?????6 分 ,得 (3 k ?1 y ? k ( x ? 2) ?

12k 2 12k 2 ? 6 设 P( x1 , y1 ) , Q( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ? 2 , x1.x2 ? . ?????8 分 3k ? 1 3k 2 ? 1 ?????9 分 Q 点 P 关于 x 轴的对称点为 P? ,则 P?( x1 , ? y1 ) . y ?y ? 直线 P?Q 的方程可以设为 y ? y1 ? 2 1 ( x ? x1 ) ,令 y ? 0 , ?????10 分 x2 ? x1 x y ?x y x y ?x y kx ( x ? 2) ? kx1 ( x2 ? 2) ?????11 分 x ? 2 1 1 1 ? x1 ? 2 1 1 2 ? 2 1 y1 ? y2 y1 ? y2 k ( x1 ? x2 ? 4)

12k 2 ? 6 12k 2 ? 2 2 2 2 x x ? 2( x1 ? x2 ) ? 1 2 ? 3k ? 1 2 3k ? 1 ? 3 . ( x1 ? x2 ? 4) 12k ( 2 ? 4) 3k ? 1 ? 直线 P?Q 过 x 轴上定点 (3, 0) . 2
20.(本题满分 14 分)

?????13 分

?????14 分

第 10 页 共 11 页

设函数 f ( x) ? e x ? ax , x ? R . (1)当 a ? 2 时,求证: f ( x) ? 0 ; (2)当 a ? 0 时,求函数 f ( x ) 在 ? 0, a ? 上的最大值. 解: (1)当 a ? 2 时, f ( x) ? e x ? 2 x ,

? f ? ( x) ? ex ? 2 .
令 f ? ( x) ? 0 ,则 x0 ? ln 2 .

?????1分 ?????2分

当 x ? (??,ln 2) 时, f ' ( x) ? 0 , f ( x ) 在 (??,ln 2) 上单调递减, 当 x ? (ln 2, ??) 时, f ' ( x) ? 0 , f ( x ) 在 (ln 2, ??) 上单调递增,?????3 分

? 当 x ? ln 2 时,函数最小值是 f (ln 2) ? eln 2 ? 2ln 2 ? 2 ? 2ln 2 ? 0 .?????4 分 ?????5 分 ? 当 a ? 2 时, f ( x) ? 0 .
(2) Q f ( x) ? e x ? ax ,所以 f ? ( x) ? ex ? a . 令 f ? ( x) ? 0 ,则 x ? ln a . ?????6 分 当 0 ? a ? 1 时,即 ln a ? 0 时, f ? ( x) ? 0, ? f ( x ) 在 ? 0, a ? 上单调递增,

f ? x ?max ? f ? a ? ? ea ? a2 .
当 a ? 1 时,即 ln a ? 0 时,设 M (a) ? a ? ln a ,因为 M ?(a ) ? 1 ?

?????7 分

1 a ?1 ? ? 0, a a

? M (a) ? a ? ln a 在 (1, ??) 上单调递增,且 M (1) ? 1 ? ln1 ? 1 ,

? M (a) ? a ? ln a ? 0 在 (1, ??) 恒成立,即 a ? ln a . ? 当 x ? (0,ln a) , f ? ( x) ? 0 , f ( x) 在 (0,ln a) 上单调递减;
当 x ? (ln a, a) , f ? ( x) ? 0 , f ( x ) 在 (ln a, a) 上单调递增.

?????8 分

? f ( x) 在 [0, a ] 上的最大值等于 max{ f (0), f (a)} ,

?????9 分

Q f (0) ? e0 ? a ? 0 ? 1 , f (a) ? ea ? a 2 ,
不妨设 h(a) ? f (a) ? f (0) ? ea ? a 2 ? 1 ( a ? 1 ), ?????10 分

? h?(a) ? ea ? 2a .
由(1)知 h?(a) ? ea ? 2a ? 0 在 (1, ??) 恒成立,

? h(a) ? f (a) ? f (0) ? ea ? a2 ?1 在 (1, ??) 上单调递增. ?????11 分
又 Q h(1) ? e1 ?12 ?1 ? e ? 2 ? 0 ,

? h(a) ? f (a) ? f (0) ? ea ? a2 ?1 ? 0 在 (1, ??) 恒成立,即 f (a ) ? f (0) .????12 分
? 当 a ? 1 时, f ( x) 在 [0, a ] 上的最大值为 f (a ) ? ea ? a 2 .
综合以上,当 a ? 0 时, f ( x ) 在 [0, a ] 上的最大值为 f (a ) ? ea ? a 2 . ????13 分 ?????14 分

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