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2013-2014学年高中数学人教A版必修三同步辅导与检测:1.1.1算法的概念

时间:2014-04-12


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算法初步

1 .1

算法与程序框图

1.1.1算法的概念

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1.了解算法的含义及算法的思想. 2.会根据具体问题设计合理的算法步骤.

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基础梳理 1.算法(algorithm)一词源于算术(algorism),即算术方 法,就是做某一件事的步骤或程序.

例如:设计计算:(1+2)×3的算法.
第一步:计算1+2=3;第二步:计算3×3=9. 2.有穷性:一个算法的步骤序列是有限的,必须在有 限步操作之后停止,不能是无限的. 例如:能否设计计算所有自然数的和的算法? 不能;因为计算将无限进行,永远没有结果.

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◆数学?必修3?(配人教A版)◆ 3.确定性:算法中的每一步应该是确定的并且能有效 地执行且得到确定的结果,而不应当是模棱两可.
例如:能否设计一个算法计算五个整数的倒数和? 不能;因为可能不能有效地执行 4.顺序性与正确性:算法从初始步骤开始,分为若干 明确的步骤,每一个步骤只能有一个确定的后继步骤,前 一步是后一步的前提,只有执行完前一步才能进行下一步, 并且每一步都准确无误,才能完成问题. 例如:写出解不等式x2-2x-3<0的一个算法. 解析:第一步:求出x2-2x-3=0的两根是 x1=3,x2=-1. 第二步:由x2-2x-3<0可知不等式的解集为 {x|-1<x<3}. 金品质?高追求 我们让你更放心!

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5.不唯一性:求解某一个问题的解法不一定是唯一的, 对于一个问题可以有不同的算法.
? x-3y=-3 例如:写出解二元一次方程组 ? ? ? ?3x+y=1

① ②

的算法.

解析: 第一步:①×3-②得-10y=-10,③

第二步:解③得y=1;
第三步:将y=1代入②得x=0. 第四步:输出0,1.

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6.普遍性:一个算法不一定只解决一个具体问 题,可以解决一类问题. 例如:下面设计一个求关于x的方程ax=b的根 的算法. 解析:第一步:输入a和b;

第二步:判断a是否为0;
第三步:若a=0,判断b是否为0, 若b=0,解为R,若b≠0,则无解; 第四步:若a≠0,则解为x= .

b a

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思考应用 1.如何理解算法的含义? 解析:算法可以理解为由基本运算及规定的运算顺 序所构成的完整的解题步骤,或看成按要求设计好的有限 的确切的计算序列,并且这样的步骤或序列能够解决一类 问题.算法概念是本章的一个基本概念,现代意义上的算 法通常是指可以用计算机来解决的某一类问题的程序或步 骤. 它具有有穷性(能在有限步之内完成)、可行性(每一步 操作都必须是可执行的)、确定性(每一步应是确定的)、顺 序性(有若干明确的步骤)等特征.要注意的是求解某个问 题的算法并不唯一. 金品质?高追求 我们让你更放心!

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2.如何理解算法的确定性、有穷性、可行性等特 征? 解析:算法的确定性是指:算法的每一步必须是确 切定义的,且无二意性,算法只有唯一的一条执行路径, 对于相同的输入只能得出相同的输出;有穷性的含义是: 一个算法必须在执行有穷次运算后结束,在所规定的时 间和空间内,若不能获得正确结果,其算法也是不能被 采用的.而可行性则是说,算法中的每一个步骤都必须 能用实现算法的工具——可执行指令精确表达,并在有 限步骤内完成,否则这种算法也是不会被采纳的.

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3.设计算法的要求有哪些? 解析:设计算法的要求有:写出的算法,必须解 决一类问题,并且能够重复使用;要使算法尽量简单、 步骤尽量少; 同时,要保证算法正确,且计算机能够 执行,算法一定要根据输入的初始数据或给定的初值 才能正确执行它的每一步骤,并且有输出,算法一定 能得到问题的解,有一个或多个结果输出,达到求解 问题的目的,没有输出结果的算法是没有意义的.

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自测自评 1.下列关于算法的说法正确的有( ①求解某一类问题的算法是唯一的; ②算法必须在有限步操作之后停止; ③算法的每一步必须是明确的,不能有歧义或模糊.

B )个.

A.1

B.2

C.3

D.4

2.下列四种叙述能称为算法的是( A.在家里一般是妈妈做饭

B )

B.做米饭要刷锅,淘米,添水,加热这些步骤
C.在野外做饭叫野炊 D.做饭必须要有米 金品质?高追求 我们让你更放心!

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3.对于算法的要求应不包括(

C

)

A.写出的算法,必须能解决一类问题 B.需使算法尽量简单、步骤尽量少 C.所写的算法不能重复使用 D.要保证算法正确,且计算机能够执行

4.以下对算法的描述正确的有(
①对一类问题都有效;

D

)

②算法可执行的步骤必须是有限的;

③计算可以一步步地进行,每一步都有确切的含义;
④是一种通法,只要按部就班地做,总能得到结果. A.1个 B. 2个 C.3个 D.4个

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算法的概念 早上从起床到出门需要洗脸刷牙(5 min)、刷 水壶(2 min)、烧水(8 min)、泡面(3 min)、吃饭(10 min)、听 广播(8 min)几个步骤,从下列选项中选最好的一种算法 ( ) A.S1洗脸刷牙、S2刷水壶 、S3烧水、S4泡面、S5吃 饭、S6听广播

B.S1刷水壶、S2烧水同时洗脸刷牙、S3泡面、S4吃饭、 S5听广播

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C.S1刷水壶、S2烧水同时洗脸刷牙、S3泡面、S4吃 饭同时听广播 D.S1吃饭同时听广播、S2泡面、S3烧水同时洗脸刷 牙、S4刷水壶

解析:烧水与洗脸刷牙可同时进行,吃饭时可听广 播. 答案:C

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跟踪训练 1.已知直角三角形两直角边长为a,b,求斜边长c的 一个算法分下列三步: ①计算c= a2+b2 ;②输入直角三角形两直角边长a, b的值;③输出斜边长c的值,其中正确的顺序是( ) D

A.①②③
C.①③②

B.②③①
D.②①③

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算法的描述 写出求1×3×5×7×9×11的值的算法. 解析:第一步,先求1×3,得到结果3; 第二步,将第一步所得结果3再乘以5,得到结果15; 第三步,再将15乘以7,得到结果105; 第四步,再将105乘以9,得到945;

第五步,再将945乘以11,得到10395,即是最后结
果.

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跟踪训练

1 1 1 1 1 2.写出求 + + + + 的算法. 2 6 12 20 30 1 1 2 解析:第一步:先求 + ,得到结果 ; 2 6 3 2 1 3 第二步:用 + ,得到结果 ; 3 12 4 3 1 4 第三步:用 + ,得到结果 ; 4 20 5 4 1 5 第四步:用 + ,得到结果 ; 5 30 6 5 第五步:输出结果 . 6
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算法的多样性

写出求1+2+3+4+5+6的值的一个算法.

解析:可以按逐一相加的程序进行, n?n+1? 也可以利用公式 1+2+…+n= 进行, 2 也可以根据加法运算律简化运算过程.

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算法1: S1:计算1+2得到3; S2:将第一步中的运算结果3与3相加得到6; S3:将第二步中的运算结果6与4相加得到10; S4:将第三步中的运算结果10与5相加得到15; S5:将第四步中的运算结果15与6相加得到21.

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算法 2: S1:取 n=6; n?n+1? S2:计算 ; 2 S3:输出运算结果. 算法 3: S1:将原式变形为(1+6)+(2+5)+(3+4)=3×7; S2:计算 3×7; S3:输出运算结果.

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跟踪训练 3.写出求1×2×3×4×5×6的算法. 分析:思路一:采取逐个相乘的方法;思路二:由于 重复作乘法,可以设计作重复乘法运算. 解析:法一:第一步,计算1×2得到2. 第二步,将第一步的运算结果2乘3,得到6. 第三步,将第二步的运算结果6乘4,得到24.

第四步,将第三步的运算结果24乘5,得到120.
第五步,将第四步的运算结果120乘6,得到720. 金品质?高追求 我们让你更放心!

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求解方程、不等式的算法 写出求关于x的不等式ax2+bx+c>0(a>0) 的解的算法步骤.

解析:第一步:计算 Δ=b2-4ac; 第二步:若 Δ>0,得出方程两根 -b- b2-4ac -b+ b2-4ac x1= ,x2= , 2a 2a 则不等式解集为{x|x>x2 或 x<x1}; 第三步:若 Δ=0,则不等式解集为 ? ? b? ?x x∈R且x≠- ? ; 2a? ? ? 第四步:若 Δ<0,则不等式的解集为 R.
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跟踪训练 4.写出解方程x2-2x-3=0的一个算法. 分析:本题是求一元二次方程的解的问题,方法很多, 下面分别用配方法、判别式法写出这个问题的两个算法. 解析:法一:第一步,移项,得x2-2x=3.① 第二步,①两边同加1并配方,得(x-1)2=4.② 第三步,②式两边开方,得x-1=±2.③

第四步,解③,得x=3或x=-1.

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1.写算法步骤要注明第几步. 2.步骤应该具体且可操作. 3.要求能解决问题. 4.注意检验有穷性、确定性、顺序性与正确性.

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