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【创新设计】2015高考数学(人教,理)一轮题组训练:7-7立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直]


第7讲

立体几何中的向量方法(一) ——证明平行与垂直

基础巩固题组

(建议用时:40 分钟)

一、选择题 1.已知平面 α,β 的法向量分别为 μ=(-2,3,-5),v=(3,-1,4),则 ( A.α∥β C.α、β 相交但不垂直 解析 B.α⊥β D.以上都不正确 ).

r />-2 -5 3 ∵ 3 ≠ ≠ 4 , ∴μ 与 v 不是共线向量, 又∵μ· v=-2×3+3×(- -1

1)+(-5)×4=-29≠0,∴μ 与 v 不垂直,∴平面 α 与平面 β 相交但不垂直. 答案 C ).

→ → → 2.若AB=λCD+μCE,则直线 AB 与平面 CDE 的位置关系是( A.相交 C.在平面内 解析 B.平行 D.平行或在平面内

→ → → → → → ∵AB=λCD+μCE,∴AB,CD,CE共面.则 AB 与平面 CDE 的位置

关系是平行或在平面内. 答案 D

3.(2014· 泰安质检)已知 A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1)三点,向量 n=(1,1,1),则以 n 为方向向量的直线 l 与平面 ABC 的关系是 A.垂直 C.平行 解析 B.不垂直 D.以上都有可能 ( ).

→ → → 易知AB=(-1,1,0),AC=(-1,0,1),∴AB· n=-1×1+1×1+0=0,

→ → → ∴AC· n=0,则AB⊥n,AC⊥n,即 AB⊥l,AC⊥l,又 AB 与 AC 是平面 ABC

内两相交直线,∴l⊥平面 ABC. 答案 A

4.如图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=2,AA1= 3,AD=2 2,P 为 C1D1 的中点,M 为 BC 的中点.则 AM 与 PM 的位置关系为 ( ).

A.平行 C.垂直 解析

B.异面 D.以上都不对

以 D 点为原点,分别以 DA,DC,DD1 所在直线为 x,y,z 轴,建立

如图所示的空间直角坐标系 D-xyz,

依题意,可得,D(0,0,0),P(0,1, 3),C(0,2,0),A(2 2,0,0),M( 2,2,0). → ∴PM=( 2,2,0)-(0,1, 3)=( 2,1,- 3), → AM=( 2,2,0)-(2 2,0,0)=(- 2,2,0), → → ∴PM· AM=( 2,1,- 3)· (- 2,2,0)=0, → → 即PM⊥AM,∴AM⊥PM. 答案 C

5.如图,正方形 ABCD 与矩形 ACEF 所在平面互相垂直,AB= 2,AF=1,M 在 EF 上,且 AM∥平面 BDE.则 M 点的坐标为 ( ).

A.(1,1,1) ? 2 ? 2 C.? , ,1? 2 ?2 ? 解析

? 2 2 ? B.? , ,1? 3 ?3 ? ? 2 ? 2 D.? , ,1? 4 ?4 ?

连接 OE,由 AM∥平面 BDE,且 AM?平面 ACEF,平面 ACEF∩平

面 BDE=OE,∴AM∥EO, 又 O 是正方形 ABCD 对角线交点, ∴M 为线段 EF 的中点. 在空间坐标系中,E(0,0,1),F( 2, 2,1). ? 2 ? 2 由中点坐标公式,知点 M 的坐标? , ,1?. 2 ?2 ? 答案 C

二、填空题 6.已知平面 α 和平面 β 的法向量分别为 a=(1,1,2),b=(x,-2,3),且 α⊥β, 则 x=________. 解析 答案 ∵α⊥β,∴a· b=x-2+6=0,则 x=-4. -4

7. 已知平面 α 内的三点 A(0,0,1), B(0,1,0), C(1,0,0), 平面 β 的一个法向量 n=(- 1,-1,-1).则不重合的两个平面 α 与 β 的位置关系是________. 解析 → → → → → AB=(0,1,-1),AC=(1,0,-1),∴n· AB=0,n· AC=0,∴n⊥AB,

→ n⊥AC,故 n 也是 α 的一个法向量.又∵α 与 β 不重合,∴α∥β. 答案 平行

→ 8.已知点 P 是平行四边形 ABCD 所在的平面外一点,如果AB=(2,-1,-4), → → → AD=(4,2,0),AP=(-1,2,-1).对于结论:①AP⊥AB;②AP⊥AD;③AP是 → → 平面 ABCD 的法向量;④AP∥BD.其中正确的是________.

解析

→ → → → ∵AB· AP=0,AD· AP=0,

∴AB⊥AP,AD⊥AP,则①②正确. → → 又AB与AD不平行, → ∴AP是平面 ABCD 的法向量,则③正确. → → → → 由于BD=AD-AB=(2,3,4),AP=(-1,2,-1), → → ∴BD与AP不平行,故④错误. 答案 ①②③

三、解答题 9.如图所示,平面 PAD⊥平面 ABCD,ABCD 为正方形,△PAD 是直角三角形, 且 PA=AD=2,E,F,G 分别是线段 PA,PD,CD 的中点.求证:PB∥平面 EFG.

证明

∵平面 PAD⊥平面 ABCD 且 ABCD 为正方形,

∴AB,AP,AD 两两垂直,以 A 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标 系 A-xyz,则 A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2),E(0,0,1), F(0,1,1),G(1,2,0). → → → ∴PB=(2,0,-2),FE=(0,-1,0),FG=(1,1,-1), → → → 设PB=sFE+tFG,

即(2,0,-2)=s(0,-1,0)+t(1,1,-1),

?t=2, ∴?t-s=0, ?-t=-2,

→ → → 解得 s=t=2.∴PB=2FE+2FG,

→ → → → → 又∵FE与FG不共线,∴PB,FE与FG共面. ∵PB?平面 EFG,∴PB∥平面 EFG. 10.如图所示, 在四棱锥 P-ABCD 中, PC⊥平面 ABCD, PC=2, 在四边形 ABCD 中,∠B=∠C=90° ,AB=4,CD=1,点 M 在 PB 上,PB=4PM,PB 与平面 ABCD 成 30° 的角.

(1)求证:CM∥平面 PAD; (2)求证:平面 PAB⊥平面 PAD. 证明 以 C 为坐标原点,CB 所在直线为 x 轴,CD 所在直线为 y 轴,CP 所

在直线为 z 轴建立如图所示的空间直角坐标系 C-xyz.

∵PC⊥平面 ABCD, ∴∠PBC 为 PB 与平面 ABCD 所成的角, ∴∠PBC=30° .∵PC=2,∴BC=2 3,PB=4. → ? 3 3? ∴D(0,1,0),B(2 3,0,0),A(2 3,4,0),P(0,0,2),M? ,0, ?,∴DP=(0, 2? ?2 → → ? 3 3? -1,2),DA=(2 3,3,0),CM=? ,0, ?, 2 2? ?

(1) 设 n = (x , y , z) 为 平 面 PAD

→ ?DP · n=0, 的一个法向量,则? → ?DA · n=0,



?-y+2z=0, ? ?2 3x+3y=0,

1 z=2y, ? ? ∴? 3 ? ?x=- 2 y,

令 y=2,得 n=(- 3,2,1). 3 3 → → ∵n· CM=- 3× 2 +2×0+1×2=0,∴n⊥CM, 又 CM?平面 PAD,∴CM∥平面 PAD. (2)取 AP 的中点 E,并连接 BE, → 则 E( 3,2,1),BE=(- 3,2,1), ∵PB=AB,∴BE⊥PA. → → 又BE· DA=(- 3,2,1)· (2 3,3,0)=0, → → ∴BE⊥DA,则 BE⊥DA. ∵PA∩DA=A.∴BE⊥平面 PAD, 又∵BE?平面 PAB,∴平面 PAB⊥平面 PAD. 能力提升题组 (建议用时:25 分钟)

一、选择题 → → → → → 1.已知AB=(1,5,-2),BC=(3,1,z),若AB⊥BC,BP=(x-1,y,-3),且 BP⊥平面 ABC,则 x+y 的值为 25 A. 7 18 C. 7 解析 6 B.7 40 D. 7 → → → → ∵AB⊥BC, ∴AB· BC=0, 即 3+5-2z=0, 得 z=4, 又 BP⊥平面 ABC, ( ).

→ → → → ∴BP⊥AB,BP⊥BC,

??x-1?+5y+6=0, 40 15 40 15 25 则? 解得 x= 7 ,y=- 7 .于是 x+y= 7 - 7 = 7 . ?3?x-1?+y-12=0, 答案 A

2.如图所示, 在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中, 点 M, P, Q 分别为棱 AB, CD, BC 的中点,若平行六面体的各棱长均相等,则 ( ).

①A1M∥D1P; ②A1M∥B1Q; ③A1M∥平面 DCC1D1; ④A1M∥平面 D1PQB1. 以上正确说法的个数为( A.1 B.2 C.3 解析 D.4 ).

→ → → → 1→ → → → → 1→ → A1M=A1A+AM=A1A+2AB,D1P=D1D+DP=A1A+2AB,∴A1M∥

→ D1P,所以 A1M∥D1P,由线面平行的判定定理可知,A1M∥面 DCC1D1,A1M ∥面 D1PQB1.①③④正确. 答案 C

二、填空题 3.如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1,E,F 分别是棱 BC,DD1 上的点, 如果 B1E⊥平面 ABF,则 CE 与 DF 的和的值为________.

解析

以 D1A1,D1C1,D1D 分别为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系,设 CE

=x,DF=y,则易知 E(x,1,1),B1(1,1,0),F(0,0,1- → → y),B(1,1,1),∴B1E=(x-1,0,1),∴FB=(1,1,y),由于 B1E⊥平面 ABF,所 → → 以FB· B1E=(1,1,y)· (x-1,0,1)=0?x+y=1. 答案 1

三、解答题 4.在四棱锥 P-ABCD 中,PD⊥底面 ABCD,底面 ABCD 为正方形,PD=DC, E,F 分别是 AB,PB 的中点. (1)求证:EF⊥CD; (2)在平面 PAD 内求一点 G,使 GF⊥平面 PCB,并证明你的结论. (1)证明 如图,以 DA,DC,DP 所在直线分别为 x 轴,y 轴,z 轴建立空间

直角坐标系,设 AD=a,

a ? ? 则 D(0,0,0),A(a,0,0),B(a,a,0),C(0,a,0),E?a,2,0?,P(0,0,a), ? ? ?a a a? F?2,2,2?. ? ? a? → → ? a EF=?-2,0,2?,DC=(0,a,0). ? ? → → → → ∵EF· DC=0,∴EF⊥DC,即 EF⊥CD. (2)解 a a? → ? a 设 G(x,0,z),则FG=?x-2,-2,z-2?, ? ?

若使 GF⊥平面 PCB,则由 a a? a → → ? a ? a? FG· CB=?x-2,-2,z-2?· (a,0,0)=a?x-2?=0,得 x=2; ? ? ? ? a a? → → ? a 由FG· CP=?x-2,-2,z-2?· (0,-a,a) ? ?

a2 ? a? = 2 +a?z-2?=0,得 z=0. ? ? ?a ? ∴G 点坐标为?2,0,0?,即 G 点为 AD 的中点. ? ?


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