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2013届杨浦区高三一模数学理


上海市杨浦区 2012 学年度第一学期高三年级学业质量调研 数学试卷(理)
2013.1.

考生注意: 1.答卷前,考生务必在答题纸写上姓名、考号, 并将核对后的条形码贴在指定位置上.
2.本试卷共有 23 道题,满分 150 分,考试时间 120 分钟.

一.填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,考生

应在答题纸相应编号的空格内直 接填写结果,每个空格填对得 4 分,否则一律得零分. 1. 若函数 f ?x? ? 3 x 的反函数为 f 2.若复数 z ?
?1

?x ? ,则 f ?1 ?1? ?
. .



1? i ( i 为虚数单位) ,则 z ? i

3.抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点到准线的距离为

4. 若线性方程组的增广矩阵为 ? ?1 1 2 ? ,则该线性方程组的解是 ? ? ? 5.若直线 l : y ? 2 x ? 1 ? 0 ,则该直线 l 的倾斜角是 6. 若 ( x ? a) 7 的二项展开式中, x 的系数为 7 ,则实数 a ?
5 0

?1 2 3 ?



. .

7. 若圆椎的母线 l ? 10 cm ,母线与旋转轴的夹角 ? ? 30 ,则该圆椎的侧面积为

cm2 .
8. 设数列 {an } ( n ? N* )是等差数列.若 a2 和 a2012 是方程 4 x ? 8 x ? 3 ? 0 的两根,则数列
2

{an } 的前 2013 项的和 S 2013 ? ______________.
9. 下列函数:① f ( x) ? 3 , ② f ( x) ? x , ③ f ( x) ? ln
x
3

1 ?x , ④ f ( x) ? cos 2 x

⑤ f ( x) ? ? x ? 1 中 , 既 是 偶 函 数 , 又 是 在 区 间 ?0, ? ?? 上 单 调 递 减 函 数 为
2

(写出符合要求的所有函数的序号). 10.将一颗质地均匀的骰子连续投掷两次,朝上的点数依次为 b 和 c , 则函数 f ( x) ? x ? 2bx ? c 图像与 x 轴无公共点的概率是____
2

___ .

x 11.若函数 f ( x) ? loga (3 ? 2) ? 1 ( a ? 0 , a ? 1 )的图像过定点 P ,点 Q 在曲

线

A M

E P

F D

B

N

C

x 2 ? y ? 2 ? 0 上运动,则线段 PQ 中点 M 轨迹方程是
12.如图,已知边长为 8 米的正方形钢板有一个角锈蚀, 其中 AE ? 4 米, CD ? 6 米. 为了合理利用这块钢板,将在五边 形 ABCDE 内截取一个矩形块 BNPM ,使点 P 在边 DE 上. 则矩形 BNPM 面积的最大值为____ 13 在 ?ABC 中,若 ?A ? 平方米 .



?
4

, tan(A ? B) ? 7 , AC ? 3 2 ,

则 ?ABC 的面积为___________. 14.在平面直角坐标系 xOy 中,直线 y ? 3x ? 2 m 与圆 x 2 ? y 2 ? n 2 相切,其中

m 、 n ? N* ,0 ? m ? n ? 1 . 若函数 f ?x ? ? m x?1 ? n 的零点 x0 ? ?k , k ? 1?,k ? Z ,
则 k ? ________. 二、选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案,考生应在 答题纸的相应编号上,填上正确的答案,选对得 5 分,否则一律得零分. 15. “ a ? 3 ”是“函数 f ( x) ? x 2 ? 2ax ? 2 在区间 ?3,??? 内单调递增”的???( )

( A) 充分非必要条件. (C ) 充要条件.

(B ) 必要非充分条件. (D) 既非充分又非必要条件.
3 ,且 lim S n ? a , n?? 2
???( )

16.若无穷等比数列 ? a n ?的前 n 项和为 S n ,首项为 1 ,公比为 a ? ( n ? N* ),则复数 z ?

1 在复平面上对应的点位于 a?i

( A) 第一象限.

(B ) 第二象限.

(C ) 第三象限.

(D) 第四象限.

x2 ? y 2 ? 1 的左、右焦点,点 P 在双曲线 C 上, 17.若 F1 、 F2 为双曲线 C : 4 ∠ F1 PF2 = 60 ? ,则 P 到 x 轴的距离为 ???(



( A)

5 . 5

(B )

15 . 5

(C )

2 15 . 5

(D)

15 . 20

18. 已知 数列 ?an ? 是各项均为正 数且公比不等 于 1 的等比 数列( n ? N* ) . 对于函数

y ? f ( x) ,若数列 ?ln f (an )? 为等差数列,则称函数 f ( x) 为“保比差数列函数”. 现
有定义在 (0, ?? )上的如下函数:①f ( x) ?

1 , x

②f ( x) ? x2 ,

③f ( x) ? e x ,

④f ( x) ?

x ,则为“保比差数列函数”的所有序号为
(B )
③. ④ ②. (C ) ①④ ③ (D) ②④.

???(



( A)

①. ②

三、解答题(本大题满分 74 分)本大题共 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规 定区域内写出必要的步骤 . 19. (本题满分 12 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 5 分,第 2 小题满分 7 分 .

? 如图, 在三棱锥 P ? ABC 中, ? 平面 ABC ,AC ? AB ,AP ? BC ? 4 , ABC ? 30? , PA P D 、E 分别是 BC 、 的中点, AP
(1)求三棱锥 P ? ABC 的体积; (2)若异面直线 AB 与 ED 所成角的大小为 ? ,求 tan ? 的值. E

A

B

C

D

20. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 7 分,第 2 小题满分 7 分 . 已知 f ( x) ? 3 sin 2x ? 2 sin 2 x , (1)求 f (x) 的最小正周期和单调递减区间; (2)若 x ? ??

? ? ?? , ? ,求 f (x) 的最大值及取得最大值时对应的 x 的取值. ? 6 3?

21. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分 . 椭圆 T 的中心为坐标原点 O ,右焦点为 F (2, 0) ,且椭圆 T 过点 E (2, 2) .

N P 若 ?ABC 的三个顶点都在椭圆 T 上,设三条边的中点分别为 M 、 、 .
(1)求椭圆 T 的方程; (2)设 ?ABC 的三条边所在直线的斜率分别为 k1 、 2 、k3 ,且 ki ? 0, i ? 1, 2,3 . k

ON 若直线 OM 、 、OP 的斜率之和为 0,求证:

1 1 1 ? ? 为定值. k1 k2 k3

22. (本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 6 分.

已知函数 f ( x) ?

x ?2

1 x 1

( x ? 0) 的值域为集合 A ,

(1)若全集 U ? R ,求 CU A ; (2)对任意 x ? ? 0 ,

? ?

1? ,不等式 f ?x ? ? a ? 0 恒成立,求实数 a 的范围; 2? ?

(3)设 P 是函数 f ?x ? 的图像上任意一点,过点 P 分别向直线 y ? x 和 y 轴作垂线,垂足 分别为 A 、 B ,求 PA ? PB 的值.

23. (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 8 分. 对于实数 x ,将满足“ 0 ? y ? 1且 x ? y 为整数”的实数 y 称为实数 x 的小数部分,用记号

x 表示,对于实数 a ,无穷数列 ?an ? 满足如下条件:
a1 ? a , a n ?1 ? 1 , an ? 0 , ? ? ? an ? 0 , a ? 0. n ?
其中 n ? 1 , 2 , 3,? ? ? .

(1)若 a ? (2)当 a ?

2 ,求数列 ?an ? ;
1 时,对任意的 n ? N* ,都有 an ? a ,求符合要求的实数 a 构成的集合 A . 4

(3)若 a 是有理数,设 a ?

p ( p 是整数, q 是正整数, p 、 q 互质) ,问对于大于 q 的 q

任意正整数 n ,是否都有 an ? 0 成立,并证明你的结论.

上海市杨浦区 2012 学年度第一学期高三年级学业质量调研数学试卷(理)

参考答案

一.填空题:
1. 0;2. 2 ;3.2;4. ? 8. 2013;9.③⑤;10. 12. 48;13.

?x ? 1 3 (向量表示也可) ;5. arctan 2 ;6. ? ;7. 50? 3 ?y ? 1

7 2 ;11. y ? 2 x ? 2 x 36

21 ;14. 0; 2

二、选择题:
15. ( A) ;16. (D) ;17. (B ) ;18. (C ) .

三、解答题
19. (本题满分 12 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 5 分,第 2 小题满分 7 分 . (1)由已知得, AC ? 2 , AB ? 2 3 , 所以 ,体积 VP ?? ABC ? ???2 分 ???5 分

1 8 3 S ?ABC PA ? 3 3

(2)取 AC 中点 F ,连接 DF , EF ,则 AB // DF , 所以 ?EDF 就是异面直线 AB 与 ED 所成的角 ? . ???7 分

由已知, AC ? EA ? AD ? 2 , AB ? 2 3 , PC ? 2 5 ,

? AB ? EF , ? DF ? EF .
在 Rt?EFD 中, DF ? 3 , EF ? 5 , 所以, tan? ?

???10 分

15 . 3

???12 分

(其他解法,可参照给分) 20. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 7 分,第 2 小题满分 7 分 . 解: (1)因为 f ( x) ? 3 sin 2x ? 2 sin 2 x

? 3 sin 2 x ? cos2 x ? 1
? 2 sin( 2 x ?
所以, T ?

???2 分

?
6

) ?1

???4 分

2? ? ? ,即函数 f ( x) 的最小正周期为 ? 2

???5 分

?
2

? 2k? ? 2 x ?

?
6

?

3? ? 2? ? 2k? , ? k? ? x ? ? k? , (k ? Z ) 2 6 3

所以 f (x) 的单调递减区间为 [ (2)因为 ? 所以有 ?

?
6

? k? ,

2? ? k? ], (k ? Z ) 3

???7 分

?
6

?x?

?
3

,得 ?

?
6

? 2x ?

?
6

?

5? , 6
???8 分

1 ? ? sin( 2 x ? ) ? 1 2 6

由 ? 1 ? 2 sin( 2 x ?

?
6

) ? 2 ,即 ? 2 ? 2 sin( 2 x ?

?
6

) ?1 ? 1

???10 分

所以,函数 f ? x ? 的最大值为 1. 此时,因为 ?

???12 分

?
6

? 2x ?

?
6

?

5? ? ? ? ,所以, 2 x ? ? ,即 x ? . 6 6 2 6

???14 分

21. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分 . 解: (1)设椭圆 T 的方程为 所以 2a ?| EF | ? | EF ' | ? 解得 a ? 2 2 , b ? 2 .

x2 y 2 ? ? 1 ,由题意知:左焦点为 F ' (?2, 0) a 2 b2
2 ?3 2 ,
???4 分

x2 y 2 故椭圆 T 的方程为 ? ? 1. 8 4
分 (方法 2、待定系数法) (2)设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), C ( x3 , y3 ) , M ( s1 , t1 ), N ( s2 , t2 ), P ( s3 , t3 ) , 由: x1 ? 2 y1 ? 8 , x2 ? 2 y2 ? 8 ,
2 2 2 2

???6

???8

分 两式相减,得到

( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) ? 2( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) ? 0
所以 k1 ? 分

y1 ? y2 1 x ?x 1s t 1 ? ? 1 2 ? ? 1 ,即 ? ?2 1 , x1 ? x2 2 y1 ? y2 2 t1 k1 s1

???11

t t 1 1 ? ?2 2 , ? ?2 3 k2 s2 k3 s3 t t t 1 1 1 ? ? ?2( 1 ? 2 ? 3 ) ,又因为直线 OM , ON , OP 的斜率之和为 0, 所以 ? k1 k2 k3 s1 s2 s3 1 1 1 ? ?0 所以 ? ???14 分 k1 k2 k3
同理 方法 2、(可参照方法 1 给分) 设直线 AB : y ? t1 ? k1 ( x ? s1 ) ,代入椭圆 x ? 2 y ? 8 ,得到
2 2

(1 ? 2k12 ) x 2 ? 4(t1 ? k1s1 )k1 x ? 2(t1 ? k1s1 ) 2 ? 8 ? 0 ?4(t1 ? k1s1 )k1 1s x1 ? x2 ? ? 2s1 ,化简得 k1 ? ? 1 2 1 ? 2k1 2 t1
(以下略) 22. (本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 6 分. (1)由已知得,? 当且仅当 x ?

x ? 0 ,则 f ( x) ? x ?

2 ?2 2 x

???1 分

? M ? 2 2, ??

?

2 时,即 x ? 2 等号成立, x

?

???3 分

所以, CU M ? ? ? , 2 2 (2)由题得 a ? ?? x ?

?

?

???4 分

? ?

2? ? x?

???5 分

函数 y ? ?? x ?

? ?

9 2? ? 1? ? 在 x ? ? 0 , ? 的最大值为 ? 2 x? ? 2?

???9 分

?a ? ?


9 2

???10

(3)设 P? x 0 , x 0 ? ?

? ?

2 x0

? ? 2? ? ,则直线 PA 的方程为 y ? ? x 0 ? ? ? ?? x ? x 0 ? , ? ? x0 ? ? ? ?
???11 分

即 y ? ? x ? 2 x0 ?

2 , x0
得 A( x0 ?

?y ? x ? 由? 2 y ? ? x ? 2 x0 ? ? x0 ?
分 又 B ? 0, x 0 ? ?

1 1 , x0 ? ) x0 x0

???13

? ?

2 x0

? ?, ? ?

???14 分

所以 PA ? ( 分

1 1 1 ,? ) , PB ? (? x0 ,0) ,故 PA ? PB ? (? x0 ) ? ?1 x0 x0 x0

???16

23. (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 8 分. 解: (1) a1 ?

2 ? 2 ? 1 , a2 ?

1 ? a1

1 ? 2 ?1

2 ? 1 ? 2 ?1 ,

???2 分

ak ? 2 ? 1 ,则 a k ?1 ?
所以 an ? 2 ?1 . 分 (2) a1 ? a ? a ,所以 ① 当

1 ? ak

2 ?1 ? 2 ?1
???4

1 1 ? a ? 1 ,所以 ? ? ? 4 , 4 a

1 1 1 1 1 2 ? a ? 1 ,即 ? ? ? 2 时, a2 ? ? ? ? 1 ? a ,所以 a ? a ? 1 ? 0 , 2 a a1 a a

解得 a ? 分

?1 ? 5 1 ?1 ? 5 (a ? ? ( , ,舍去). 1) 2 2 2

???6

1 1 1 ② ? a ≤ ,即 2 ≤ ? 3 时, a2 ? 1 ? 1 ? 1 ? 2 ? a ,所以 a 2 ? 2a ? 1 ? 0 , 当 3 2 a a1 a a
解得 a ? ③当

1 1 ?2 ? 8 ? 2 ? 1( a ? ? 2 ? 1? ( , ] ,舍去). 3 2 2

???7 分

1 1 1 1 1 1 2 ? a ≤ ,即 3 ≤ ? 4 时, a2 ? ? ? ? 3 ? a ,所以 a ? 3a ? 1 ? 0 , 4 3 a a1 a a
???9 分 ???10 分 ???11 分

?3 ? 13 1 1 ?3 ? 13 (a ? ? ( , ] ,舍去). 2 4 3 2 ?1 ? 5 ?3 ? 13 综上, ? , ?. a ? 2 ? 1, a? a? 2 2
解得 a ? (3)成立. (证明 1) 由 a 是有理数, 可知对一切正整数 n ,an 为 0 或正有理数, 可设 a n ?

pn ( p n 是非负整数, qn
???12 分

qn 是正整数,且
①由 a1 ?

pn 既约). qn

p p ? 1 ,可得 0 ? p1 ? q ; q q1

???13 分

②若 p n ? 0 ,设 qn ? ?pn ? ? ( 0 ? ? ? pn , ? , ? 是非负整数) 则

qn pn q ? 1 ?? ? ? n ,而由 a n ? 得 pn qn an pn pn
q 1 ? ? n ? ,故 pn ?1 ? ? , qn?1 ? pn ,可得 0 ? pn?1 ? pn an pn pn
???14 分

a n ?1 ?

若 p n ? 0 则 pn?1 ? 0 , 若 a1 ,a2 , a3 ,? ? ?, aq 均不为 0,则这 q 正整数互不相同且都小于 q , 但小于 q 的正整数共有 q ? 1 个,矛盾.

???15 分

???17 分

故 a1 ,a2 , a3 ,? ? ?, aq 中至少有一个为 0,即存在 m (1 ? m ? q) ,使得 a m ? 0 . 从而数列 ?an ?中 a m 以及它之后的项均为 0,所以对不大 q 于的自然数 n ,都有 an ? 0 . (证法 2,数学归纳法) (其它解法可参考给分) ???18 分


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