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2014届高考数学一轮复习全程测控:函数y=Asinωx+φ的图象及三角函数模型的简单应用


函数 y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用
【选题明细表】 知识点、方法 图象及变换 求解析式 三角函数模型的简单应用 综合问题 题号 1、4、10 2、7、11 3、8 5、6、9、12

一、选择题 1.(2013 北京东城区综合练习)将函数 y=sin x 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍 (纵坐标不变),再把所得各

点向右平行移动错误! 未找到引用源。 个单位长度,所得图象的函 数解析式是( B ) (A)y=sin 错误!未找到引用源。 (B)y=sin 错误!未找到引用源。 (C)y=sin 错误!未找到引用源。 (D)y=sin 错误!未找到引用源。 解析:将函数 y=sin x 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变)得到 y=sin 错误!未找到引用源。x,再把所得各点向右平行移动错误!未找到引用源。个单位长度,所 得图象的函数解析式是 y=sin 错误!未找到引用源。=sin 错误!未找到引用源。.故选 B. 2.(2013 三明模拟)如图是函数 y=Asin(ω x+φ )在一个周期内的图象,

此函数的解析式可为( B ) (A)y=2sin 错误!未找到引用源。 (B)y=2sin 错误!未找到引用源。 (C)y=2sin 错误!未找到引用源。 (D)y=2sin 错误!未找到引用源。 解析:由题图可知 A=2,错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。 =错误!未找到引用源。, ∴T=π ,ω =2 , ∴f(x)=2sin(2x+φ ), 又 f 错误!未找到引用源。=2, 即 2sin 错误!未找到引用源。=2, ∴φ =错误!未找到引用源。+2kπ (k∈Z), 结合选项知选 B. 3.(2013 潍坊模拟)如图所示,为了研究钟表与三角函数的关系 ,建立如图所示的坐标系,设 秒针针尖位置 P(x,y).若初始位置为 P0(错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。 ), 当秒针从 P0(注此时 t=0)正常开始走时,那么点 P 的纵坐标 y 与时间 t 的函数关系为( C )

(A)y=sin 错误!未找到引用源。 (B)y=sin 错误!未找到引用源。 (C)y=sin 错误!未找到引用源。 (D)y=sin 错误!未找到引用源。 解析:由题意知,∠P0Ox=错误!未找到引用源。,即初相为错误!未找到引用源。. 又函数周期为 60,∴T=错误!未找到引用源。,∴|ω |=错误!未找到引用源。. 因为秒针按顺时针旋转, ∴ω =-错误!未找到引用源。, ∴y=sin 错误!未找到引用源。.故选 C. 4.(2013 北大附中河南分校月考)定义行列式运算错误!未找到引用源。=a1a4- a2a3.将函数 f(x)=错误!未找到引用源。的图象向左平移错误!未找到引用源。个单位长度,以下是所 得函数图象的一个对称中心是( B ) (A)错误!未找到引用源。 (B)错误!未找到引用源。 (C)错误!未找到引用源。 (D) 错 误!未找到引用源。 解析: 根据行列式的定义可知 f(x)=sin 2x-错误!未找到引用源。cos 2x=2sin(2x-错误!未找到引用源。 ), 向左平移错误!未找到引用源。个单位长度得到 g(x)=2sin[2(x+错误!未找到引用源。)错误!未找到引用源。]=2sin 2x,所以 g 错误!未找到引用源。=2sin 错误!未找到引用源。 =2sin π =0, 所以错误!未找到引用源。是函数的一个对称中心.故选 B. 5.(2013 福建福州模拟)函数 f(x)=2cos(ω x+φ )(ω >0,0<φ <π )为奇函数,该函数的部分图 象如图所示,点 A、B 分别为该部分图象的最高点与最低点,且这两点间的距离为 4 错误!未 找到引用源。,则函数 f(x)图象的一条对称轴的方程为( D )
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(A)x=错误!未找到引用源。 (B)x=错误!未找到引用源。 (C)x=4 (D)x=2 解析:由题意知|AB|=4 错误!未找到引用源。, 即最值之差为 4, 故错误!未找到引用源。=4,T=8, 所以 f(x)=2cos 错误!未找到引用源。(0<φ <π ), 又 f(x)=2cos 错误!未找到引用源。(0<φ <π )为奇函数, 故φ =错误!未找到引用源。, 令错误!未找到引用源。x+错误!未找到引用源。=kπ ,k∈Z, 得 x=-2+4k,k∈Z, 故 x=2 是一条对称轴. 故选 D. 2 6.(2013 山西四校联考)将函数 f(x)=1+cos 2x-2sin 错误!未找到引用源。的图象向左平移 m(m>0)个单位后所得图象关于 y 轴对称,则 m 的最小值为( A )
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(A)错误!未找到引用源。 (B)错误!未找到引用源。 (C)错误!未找到引用源。 (D) 错误!未找到引用源。 解析:依题意得 f(x)= cos 2x+cos 2 错误!未找到引用源。= cos 2x+cos 错误!未找到引用源。= 错误!未找到引用源。cos 错误!未找到引用源。. 把函数 y=f(x)的图象向左平移 m 个单位后得到 y=错误!未找到引用源。cos 错误!未找到引用源。的图象, 要使其图象关于 y 轴对称, 则有错误!未找到引用源。cos 错误!未找到引用源。=±错误!未找到引用源。, 2m-错误!未找到引用源。=kπ , 即 m=错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。,其中 k∈Z. 因为 m>0, 所以 m 的最小值为错误!未找到引用源。.故选 A. 二、填空题 7.(2013 年高考江苏卷)函数 f(x)=Asin( ω x+φ )(A、 ω、 φ 为常数,A>0,ω >0)的部分图象 如 图所示,则 f(0)的值是 .

解析:由题图知 A=错误!未找到引用源。, 错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。=错误!未找到引用 源。,T=π ,

∴ω =2, ∴f(x)=错误!未找到引用源。sin(2x+φ ),将错误!未找到引用源。代入得 错误!未找到引用源。π ×2+φ =错误!未找到引用源。, ∴φ =错误!未找到引用源。.∴f(x)=错误!未找到引用源。sin 错误!未找到引用源。, ∴f(0)=错误!未找到引用源。sin 错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。. 答案:错误!未找到引用源。 8. 如图所示,点 P 是半径为 r cm 的砂轮边缘上的一个质点,它从初始位置 P0 开始,按逆时针 方向以角速度ω rad/s 做圆周运动,则点 P 的纵坐标 y 关于时间 t 的函数关系式为 , 该点的运动周期为 .

解析:当质点 P 从点 P0 转到点 P 位置时,点 P 转过的角度为ω t,则∠POx=ω t+φ .由任意角的 三角函数得点 P 的纵坐标为 y=rsin(ω t+φ ),故点 P 的运动周期为 T=错误! 未找到引用源。 . 答案:y=rsin(ω t+φ ) 错误!未找到引用源。 9.(2013 衡阳六校联考)给出下列命题: ①函数 f(x)=4c os 错误!未找到引用源。的一个对称中心为错误!未找到引用源。;②若α , β 为第一象限角,且α >β ,则 tan α >tan β ;③函数 y=sin 错误!未找到引用源。的最小正 周期为 5π ;④函数 y=cos 错误!未找到引用源。是奇函数;⑤函数 y=sin 2x 的图象向左平 移错误!未找到引用源。个单位长度,得到 y=sin 错误!未找到引用源。的图象. 其中正确命题的序号是 (把你认为正确的序号都填上). 解析:①f 错误!未找到引用源。=4cos 错误!未找到引用源。= 4cos 错误!未找到引用源。=0. ∴点错误!未找到引用源。是函数 f(x)=4cos 错误!未找到引用源。的一个对称中心.故① 正确. ②令α =错误!未找到引用源。,β =错误!未找到引用源。, 则α >β ,但 tan α =错误! 未找到引用源。,tan β =错误!未找到引用源。,tan α <tan β , 故②不正确. ③函数的周期为 T=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。=5π , 故最小正周期为 5π ,故③正确. ④y=cos 错误!未找到引用源。=cos 错误!未找到引用源。=sin 错误!未找到引用源。x. ∴函数为奇函数,故④正确. ⑤函数 y=sin 2x 的图象向左平移错误!未找到引用源。个单位长度得到 y=sin 错误!未找 到引用源。的图象,故⑤不正确. 答案:①③ ④ 三、解答题 10.已知函数 f(x)=错误!未找到引用源。sin 错误!未找到引用源。+1. (1)求它的振幅、最小正周期、初相; (2)画出函数 y=f(x)在错误!未找到引用源。上的图象.
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解:(1)振幅为错误!未找到引用源。,最小正周期 T=π ,初相为-错误!未找到引用源。. (2)图象如图所示.

11.已知函数 f(x)=Asin(ω x+φ )错误!未找到引用源。的部分图象如图所示.

(1)求函数 f(x)的解析式; (2)令 g(x)=f 错误!未找到引用源。,判断函数 g(x)的奇偶性,并说明理由. 解:(1)由题图知 A=2,f(x)的最小正周期 T=4×错误!未找到引用源。=π , 故ω =错误!未找到引用源。=2, 将点错误!未找到引用源。代入 f(x)的解析式并整理得 sin 错误!未找到引用源。=1, 又|φ |<错误!未找到引用源。,∴φ =错误!未找到引用源。, 故函数 f (x)的解析式为 f(x)=2sin 错误!未找到引用源。(x∈R). (2)g(x)为偶函数,理由如下: g(x)=f 错误!未找到引用源。 =2sin 错误!未找到引用源。 =2sin 错误!未找到引用源。 =2cos 2 x(x∈R). ∴g(-x)=g(x),故 g(x)为偶函数.
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12.函数 f(x)=Acos(ω x+φ )(其中 A>0,ω >0,-π <φ <π )在 x=错误!未找到引用源。处取 得最大值 2,其图象中相邻的两个最低点之间的距离为π . (1)求 f(x)的解析式; (2)求函数 f 错误!未找到引用源。的单调递减区间和对称中心. 解:(1)由题意知 f(x)的最小正周期 T=错误!未找到引用源。=π , 所以ω =2. 因为 f(x)在 x=错误!未找到引用源。处取得最大值 2, 所以 A=2,且 2cos 错误!未找到引用源。=2, 所以 cos 错误!未找到引用源。=1, 即 sin φ =-1, 因为-π <φ <π , 所以φ =-错误!未找到引用源。, 所以 f(x)=2cos 错误!未找到引用源。=2sin 2x. (2)由(1)得 f 错误!未找到引用源。=2sin 错误!未找到引用源。=2sin 错误!未找到引用源。, 由 2kπ +错误! 未找到引用源。 ≤2x+错误! 未找到引用源。 ≤2kπ +错误! 未找到引用源。 ,k ∈Z 得 kπ +错误!未找到引用源。≤x≤kπ +错误!未找到引用源。,k∈Z, 所以函数 f 错误!未找到引用源。的单调递减区间为 错误!未找到引用源。,k∈Z. 由 2x+错误!未找到引用源。=kπ 得 x=错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。,k∈ Z, 所以函数 f 错误!未找到引用源。的对称中心为错误!未找到引用源。,k∈Z.
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