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高中理科数学选修2-2测试题及答案


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选修 2-2 模块测试题数
班别_______学号_____

学(理科)

(A)f ( a )< f ( (C)f (
ab

a ?b 2
<

br />)<f (

ab

)

(B)f (

a ?b 2

)<f (b)< f (
a ?b 2

ab ab

) ) 9 10

姓名__________

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分. 第Ⅰ卷 1 至 2 页, 第Ⅱ卷 3 至 8 页,满分 1 5 0 分,考试时间 1 2 0 分钟. 第Ⅰ卷(选择题,共 50 分) 一、选择题:(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分,在每小题给出的四个选项中,只有
一项是符合题目要求的.)

)< f ( 1

a ?b 2

)<f ( a ) 2 3

(D)f (b)< f ( 4 5

)<f ( 7

题号 答案

6

8

1.函数 y=x cosx 的导数为( ) 2 (A) y′ =2xcosx-x sinx (C) y′ 2cosx-2xsinx =x 2.下列结论中正确的是( ) (A)导数为零的点一定是极值点 (B)如果在 x 0 附近的左侧 f ' ( x ) ?

2

(B) y′ =2xcosx+x sinx (D) y′ =xcosx-x2sinx

2

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分,把答案填在题中横线上 9.已知(2x-1)+i=y-(3-y)i,其中 x, y∈R,求 x= , y= 3 2 10.曲线 y=2x -3x 共有____个极值. 11.已知
f (x)



为一次函数,且

f (x) ? x ? 2?

1

f (t ) d t
0

,则

f ( x ) =_______.

0

,右侧

f ' ( x ) ? 0 ,那么 f ( x 0 ) 是极大值

(C)如果在 x 0 附近的左侧 f ' ( x ) ? 0 ,右侧 (D)如果在 x 0 附近的左侧 f ' ( x ) ? 0 ,右侧

f ' ( x ) ? 0 ,那么 f ( x 0 ) 是极小值 f '(x) ? 0

12.对于平面几何中的命题: “夹在两条平行线之间的平行线段相等”,在立体几何中, 类比上述命题,可以得到命题:“___________________________”这个类比命题的 真假性是________ 13.观察下列式子
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,那么

f ( x 0 ) 是极大值

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1?

1 2
2

?

3 2

,

1?

1 2
2

?

1 3
2

?

5 3

,
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1 ?

1 2
2

?

1
2

?

1 4
2

? ,

7

? ? ,

3.某个命题与正整数有关,若当 n ? k ( k ? N * ) 时该命题成立,那么可推得当 n ? k ? 1 时该命题也成立,现已知当 n ? 5 时该命题不成立,那么可推得( ) (A)当 n ? 6 时,该命题不成立 (B)当 n ? 6 时,该命题成立 (C)当 n ? 4 时,该命题成立 (D)当 n ? 4 时,该命题不成立
4 .函 数 f ( x ) ? 3 x ? 4 x ( x ? [ 0 ,1])的 最 大 值 是 (
3

3

4

) (D ) ? 1

( A )1

(B)

1 2

(C )0

则可归纳出________________________________ 14.关于 x 的不等式 m x 2 ? n x ? p ? 0 ( m、 n、 p ? R ) 的解集为 ( ? 1, ,则复数 m ? p i 2) 所对应的点位于复平面内的第________象限. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 12 分)一物体沿直线以速度 v ( t ) ? 2 t ? 3 ( t 的单位为:秒, v 的单位 为:米/秒)的速度作变速直线运动,求该物体从时刻 t=0 秒至时刻 t=5 秒间运动 的路程?
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5.如果 10N 的力能使弹簧压缩 10cm,为在弹性限度内将弹簧从平衡 位置拉到离平衡位置 6cm 处,则克服弹力所做的功为( ) (A)0.28J (B)0.12J (C)0.26J (D)0.18J
6.给出以下命题: ⑴若 ? ⑵?
2? 0
b a

f ( x )d x ? 0 ,则

f(x)>0;

sin x d x ? 4

;
a 0

⑶f(x)的原函数为 F(x), F(x)是以 T 为周期的函数, ? 且 则

f ( x)dx ?

?

a ?T

f ( x )d x
T



其中正确命题的个数为( ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)0 2 7.若复数 ( a ? a ? 2 ) ? ( a ? 1 ? 1) i ( a ? R ) 不是纯虚数,则 a 的取值范围是( ) (A) a
? ?1 或 a ? 2

(B) a
1?

? ?1 且 a ? 2

(C)

a ? ?1

(D)

a ? 2

8.设 0< a <b,且 f (x)=

1? x x

,则下列大小关系式成立的是(

).

16. (本小题满分 12 分) 已知曲线 y = x3 + x-2 在点 P0 处的切线 4x-y-1=0,且点 P0 在第三象限,

l1

平行直线

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⑴求 P0 的坐标; ⑵若直线

l ? l1

, 且 l 也过切点 P0 ,求直线 l 的方程.

17. (本小题满分 14 分)已知函数 点成中心对称, 试判断
f (x)

f ( x ) ? a x ? ( a ? 1) x ? 4 8( a ? 2 ) x ? b
3 2

的图象关于原

20. (本小题满分 14 分)已知函数 f ( x ) ? ln x ( x ? 0 ) ,函数 g ( x ) ? ⑴当 x ? 0 时,求函数 y ? g ( x ) 的表达式; ⑵若 a ? 0 ,函数 y ? g ( x ) 在 (0 , ? ? ) 上的最小值是 2 ,求 a 的值; ⑶在⑵的条件下,求直线 y ?
2 3 x? 7 6

1 f ?( x )

? a f ? ( x )( x ? 0 )

在区间 ? ? 4 , 4 ? 上的单调性,并证明你的结论.

与函数 y ? g ( x ) 的图象所围成图形的面积.

18. (本小题满分 14 分)如图,点 P 为斜三棱柱 ABC PM ? BB 1 交 AA 1 于点 M , PN ? BB 1 交 CC 1 于点 N . (1) 求证: CC 1 ? MN ; (2) 在任意 ? DEF 中有余弦定理: 2 2 2 DE ? DF ? EF ? 2 DF ? EF cos ? DFE . 拓展到空间,类比三角形的余弦定理, 写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中 两个侧面所成的二面角之间的关系式, 并予以证明.

? A1 B 1 C 1 的侧棱 BB 1 上一点,

19. (本小题满分 14 分)已知 a 、b ? R , a 证: b a ? a b .(提示:可考虑用分析法找思路)

?b ?e

(其中 e 是自然对数的底数),求
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选修 2-2 模块测试数学答案及评分标准
ABDAD
1 2
2

19.证明:∵ b a 只要证: a ln b 只要证
ln b b ?

? 0, a ? 0 ∴要证: b ? a
b
a

b

? b ln a

BCD
1 3
2

9.x=
1 ( n ? 1)
3 2
2

5 2

, y=4;

10.两

11.

f (x) ? x ? 1

ln a a ln x x

.(∵ a ,∵

?b ?e

)
2

12.夹在两个平行平面间的平行线段相等;真命题. 13. 1 ?
? ?? ? ? 2n ? 1 n ?1

(n∈N )

*

14.二

取函数 ∴当 x

f (x) ?

f ?( x ) ?

1 ? ln x x

?e

时,

f ? ( x ) ? 0 ,∴函数 f ( x )

在 ( e , ? ? ) 上是单调递减.
? ln a a

15.解:∵当 0 ≤
3

t≤

时, v ( t ) ?

2t ? 3 ≤ 0 ;



3 2

≤ t≤ 5

时, v ( t ) ?

2t ? 3 ≥ 0

.

∴当 a

?b ?e

时,有

f (b ) ? f ( a )



ln b b

.得证

∴物体从时刻 t=0 秒至时刻 t=5 秒间运动的路程
S ?

20.解:⑴∵

f ( x ) ? ln x ,

?

2 0

(3 ? 2 t ) d x ?

?

5 3 2

( 2 t ? 3) d x

=

9 4

? (1 0 ?

9 4

)?

29 2

(米)

∴当 x ? 0 时, f ( x ) ? ln x ; 当 x ? 0 时, f ( x ) ? ln ( ? x ) ∴当 x ? 0 时, f ? ( x ) ?
1 x

; 当 x ? 0 时, f ? ( x ) ?
a x a x

1 ?x

? ( ? 1) ?

1 x

.

16.解:⑴由 y=x +x-2,得 y′=3x +1, 由已知得 3x2+1=4,解之得 x=±1.当 x=1 时,y=0;当 x=-1 时,y=-4. 又∵点 P0 在第三象限, ∴切点 P0 的坐标为 (-1,-4). ⑵∵直线 l
? l1 , l1 的斜率为

3

2

∴当 x ? 0 时,函数 y ? g ( x ) ? x ? ⑵∵由⑴知当 x ? 0 时, g ( x ) ? x ?

. ,
a 时取等号.

4,∴直线 l 的斜率为 ?
1 4

1 4

,

∴当 a ? 0, x ? 0 时, g ( x ) ≥ 2 a 当且仅当 x ?

∵l 过切点 P0,点 P0 的坐标为 (-1,-4) ∴直线 l 的方程为 y ? 4
? ? ( x ? 1)

∴函数 y
? 0.

? g ( x ) 在 (0 , ? ? ) 上的最小值是 2

a ,∴依题意得 2

a ? 2 ∴a ? 1.

即 x ? 4 y ? 17

17.解: 答 f(x)在[-4,4]上是单调递减函数. 证明:∵函数 f(x)的图象关于原点成中心对称, 则 f(x)是奇函数,所以 a=1,b=0,于是 f(x)= x 3 ? 4 8 x . 2 ? f ? ( x ) ? 3 x ? 4 8, ∴当 x ? ( ? 4, 4 ) ? f ? ( x ) ? 0 又∵函数
f (x)

2 7 3 ? ? x ? 2 y ? x? x ? ? ? 1 2 ? 2 ? ? ? 3 6 ⑶由 ? 解得 ? ,? 5 ?y ? x? 1 ? y ? 13 ? y2 ? ? 2 ? 1 ? 6 x ? ?

∴直线 y
S ?

?

2 3

x?

7 6

与函数 y ? g ( x ) 的图象所围成图形的面积

在 ? ? 4 , 4 ? 上连续

?

2 3 2

7 7 1 ? ? 2 ? ln 3 ( x ? ) ? ( x ? ) dx = ? 3 ? 24 6 x ? ?

所以 f(x)在[-4,4]上是单调递减函数. 18.(1) 证: ? CC 1 // BB 1 ? CC 1 ? PM , CC 1 ? PN , ? CC 1 ? 平面 PMN ? CC 1 ? MN ; 2 2 2 (2) 解:在斜三棱柱 ABC ? A1 B 1 C 1 中,有 S ABB A ? S BCC B ? S ACC A ? 2 S BCC B ? S ACC
1 1 1 1 1 1 1 1

1 A1

cos ?



其中 ? 为 平面 CC 1 B1 B 与平面 CC 1 A1 A 所组成的二面角. ? CC 1 ? 平面 PMN , ? 上 述 的 二 面 角 为
PM
2

?M

N

P , 在

? PMN

中 ,

? PN

2

? MN
2

2

? 2 PN ? MN c
2
1

? M s N? P o

PM

2

CC

2
1

? PN CC
1 B1

? MN CC

2

2
1

? 2 ( PN ? CC
1 1 A1

) ? ( MN ? CC
1

) cos ? MNP ? PM ? BB 1

, ,

由于 S BCC
2 ∴有 S ABB

? PN ? CC
1

, S ACC
2

? MN ? CC
1

, S ABB
1 A1

1 A1

1 A1

? S BCC

2

1 B1

? S ACC

1 A1

? 2 S BCC

1 B1

? S ACC

cos ?

.
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