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2014高三数学一轮复习课件--数列


目 录
数 列

第一节 第二节 第三节

数列的概念与简单表示法 等差数列及其前n项和 等比数列及其前n项和

第四节
第五节

数列求和
数列的综合应用





[知识能否忆起]

>1.数列的定义、分类与通项公式
(1)数列的定义: ①数列:按照 一定顺序 排列的一列数. ②数列的项:数列中的 每一个数 .

(2)数列的分类: 分类标 准 项数

类型
有穷数列

满足条件
项数 有限

无穷数列
项与项 递增数列

项数 无限
an+1 > an 其中 n∈N*

间的大
小关系

递减数列
常数列

an+1 < an
an+1=an

(3)数列的通项公式: 如果数列{an}的第n项与 序号n 之间的关系可以用一个式 子来表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式.

2.数列的递推公式
任一项an 与它 如果已知数列{an}的首项(或前几项),且 的 前一项an-1(n≥2)(或前几项)间的关系可用一个公式来表示, 那么这个公式叫数列的递推公式.

[小题能否全取]
2 3 4 5 1.(教材习题改编)数列 1, , , , ?的一个通项公式 3 5 7 9 是 ( )

n A.an= 2n+1 n C.an= 2n-3

n B.an= 2n-1 n D.an= 2n+3

答案:B

2.设数列{an}的前n项和Sn=n2,则a8的值为 A.15 B.16

(

)

C.49

D.64

解析:a8=S8-S7=64-49=15. 答案:A

n 3.已知数列{an}的通项公式为an= ,则这个数列是 n+ 1 ( )

A.递增数列
C.常数列
解析:

B.递减数列
D.摆动数列

n+ 1 n an + 1 - an = - = n+ 2 n+ 1

?n+1?2-n?n+2? 1 = >0. ?n+1??n+2? ?n+1??n+2?

答案:A

4 . ( 教 材 习 题 改 编 ) 已 知 数 列 {an} 的 通 项 公 式 是 an =
- ? 3n 1?n为偶数?, ?2· ? ? ?2n-5?n为奇数?,

则 a4· a3=________.

解析:a4·a3=2×33·(2×3-5)=54. 答案:54

q 3 5.已知数列{an}的通项公式为 an=pn+n,且 a2= , 2 3 a4= ,则 a8=________. 2 q 3 ? ?2p+2=2, 解析:由已知得? ?4p+q=3, 4 2 ?

1 ? ?p= , 解得? 4 ? ?q=2.

1 2 9 则 an= n+n,故 a8= . 4 4 9 答案: 4

1.对数列概念的理解 (1)数列是按一定“顺序”排列的一列数,一个数列不仅 与构成它的“数”有关,而且还与这些“数”的排列顺序有关, 这有别于集合中元素的无序性.因此,若组成两个数列的 数相同而排列次序不同,那么它们就是不同的两个数列. (2)数列中的数可以重复出现,而集合中的元素不能重 复出现,这也是数列与数集的区别. 2.数列的函数特征 数列是一个定义域为正整数集N*(或它的有限子集 {1,2,3,…,n})的特殊函数,数列的通项公式也就是相应的 函数解析式,即f(n)=an(n∈N*).

[例 1]

(2013· 天津南开中学月考 )下列公式可作为 ( )

数列{an}: 1,2,1,2,1,2, …的通项公式的是

A.an=1
? n π? C.an=2-?sin 2 ? ? ?

?-1?n+1 B.an= 2 ?-1?n 1+3 D.an= 2


[自主解答] 由an=2- a2=2, a3=1,a4=2,….

? n π? ?sin ? 2? ?

可得a1=1,

[答案] C

若本例中数列变为:0,1,0,1,?,则{an}的一个 通项公式为________.
答案:
? ?0?n为奇数?, an=? ? ?1?n为偶数?.
n ? 1 + ? - 1 ? 1+cos ? 或an= ?或an= 2 2 ?

nπ ? ?
? ?

1.根据数列的前几项求它的一个通项公式,要注

意观察每一项的特点,观察出项与 n之间的关系、规律,
可使用添项、通分、分割等办法,转化为一些常见数列 的通项公式来求.对于正负符号变化,可用(-1)n或(- 1)n+1来调整. 2 .根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是 不完全归纳法,它蕴含着“从特殊到一般”的思想.

1.写出下面数列的一个通项公式.
(1)3,5,7,9,?;
1 3 7 15 31 (2) , , , , ,?; 2 4 8 16 32

(3)3,33,333,3 333,?; 3 1 3 1 3 (4)-1, ,- , ,- , ,?. 2 3 4 5 6

解:(1)各项减去 1 后为正偶数,所以 an=2n+1.

(2) 每 一 项 的 分 子 比 分 母 少 1 , 而 分 母 组 成 数 列
n 2 -1 1, 2, 3, 4 2 2 2 2 ,?,所以 an= n . 2 9 99 999 9999 (3)将数列各项改写为 , , , ,?,分母都是 3 3 3 3

3,而分子分别是 10-1,102-1,103-1,104-1,?. 1 n 所以 an= (10 -1). 3

(4)奇数项为负, 偶数项为正, 故通项公式的符号为(-1)n; 各项绝对值的分母组成数列 1,2,3,4,?;而各项绝对值 的分子组成的数列中,奇数项为 1,偶数项为 3,即奇数 项为 2-1,偶数项为 2+1,
n 2 + ? - 1 ? 所以 an=(-1)n· n ,也可写为

? 1 ?-n,n为正奇数, an=? ?3 ,n为正偶数. ?n

由an与Sn的关系求通项an

[例2]

已知数列{an}的前n项和Sn,根据下列条件分

别求它们的通项an.

(1)Sn=2n2+3n;

(2)Sn=3n+1.

[自主解答] (1)由题可知,当n=1时,a1=S1=2× 12 +3× 1=5, 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(2n2+3n)-[2(n-1)2+3(n -1)]=4n+1. 当n=1时,4× 1+1=5=a1,故an=4n+1. (2)当n=1时,a1=S1=3+1=4,

当n≥2时, an=Sn-Sn-1=(3n+1)-(3n-1+1)=2× 3n-1. 当n=1时,2× 31 1=2≠a1,


? ?4, 故an=? n-1 ? 2× 3 , ?

n=1, n≥2.

已知数列{an}的前n项和Sn,求数列的通项公式, 其求解过程分为三步: (1)先利用a1=S1求出a1;

(2)用n-1替换Sn中的n得到一个新的关系,利用an
=Sn-Sn-1(n≥2)便可求出当n≥2时an的表达式;

(3)对n=1时的结果进行检验,看是否符合n≥2时an
的表达式,如果符合,则可以把数列的通项公式合写; 如果不符合,则应该分n=1与n≥2两段来写.

2.(2012· 聊城模拟)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 Sn= n 1 ,则 = a5 n+ 1 ( )

5 A. 6 1 C. 30

6 B. 5 D.30

n- 1 n 1 解析: 当 n≥2 时, an=Sn-Sn-1= - n = , n+ 1 n?n+1? 1 1 则 a5= = . 5×6 30

答案:D

数列的性质

[ 例 3] 20.

已知数列 {an} 的通项公式为 an = n2 - 21n +

(1)n为何值时,an有最小值?并求出最小值;
(2)n为何值时,该数列的前n项和最小?

[ 自主解答 ]

(1) 因为 an = n

2

? 21 ? 2 - 21n + 20 = ?n- ? - 2? ?

361 21 ,可知对称轴方程为 n= = 10.5.又因 n∈ N*,故 n= 4 2 10 或 n= 11 时,an 有最小值, 其最小值为 112- 21× 11+ 20 =- 90.

(2)设数列的前 n 项和最小,则有 an≤0,由 n2-21n+ 20≤0,解得 1≤n≤20,故数列{an}从第 21 项开始为正数, 所以该数列的前 19 或 20 项和最小.

an 在本例条件下,设bn= n ,则n为何值时,bn取得最小 值?并求出最小值.
2 an n -21n+20 20 解:bn= = =n+ -21, n n n 20 20 令 f(x)=x+ x -21(x>0),则 f′(x)=1- 2 ,由 f′(x)=0 x 解得 x=2 5或 x=-2 5(舍).而 4<2 5<5,故当 n≤4 时,数 列{bn}单调递减;当 n≥5 时,数列{bn}单调递增. 20 20 而 b4=4+ -21=-12,b5=5+ -21=-12,所以当 n=4 4 5 或 n=5 时,bn 取得最小值,最小值为-12.

1.数列中项的最值的求法 根据数列与函数之间的对应关系,构造相应的函数an=

f(n),利用求解函数最值的方法求解,但要注意自变量的取
值. 2.前n项和最值的求法 (1)先求出数列的前n项和Sn,根据Sn的表达式求解最值; (2)根据数列的通项公式,若am≥0,且am+1<0,则Sm最大;

若am≤0,且am+1>0,则Sm最小,这样便可直接利用各项的符
号确定最值.

n 3.(2012· 江西七校联考)数列{an}的通项 an= 2 ,则数列 n +90 {an}中的最大值是 ( )

A.3 10 1 C. 19 解析: an=

B.19 10 D. 60 ,由基本不等式得,

1 ≤ , 90 90 2 90 n+ n n+ n 1 * 由于 n∈N ,易知当 n=9 或 10 时,an= 最大. 19 答案:C

1

1

递推公式和通项公式是数列的两种表示方法,它们 都可以确定数列中的任意一项,只是由递推公式确定数 列中的项时,不如通项公式直接,下面介绍由递推公式 求通项公式的几种方法.

1.累加法 [典例1] 12,则a8= A.0 B.3 (2011· 四川高考)数列{an}的首项为3,{bn} ( ) 为等差数列且 bn = an + 1 - an(n∈N*) .若 b3 =- 2 , b10 =

C.8
[ 解析 ]

D.11
由已知得 bn = 2n- 8, an + 1 - an = 2n- 8 ,

所以 a2-a1 =-6, a3 - a2=- 4, …, a8- a7=6,由累

加法得a8-a1=-6+(-4)+(-2)+0+2+4+6=0,所
以a8=a1=3. [答案] B

[ 题后悟道]

对形如 an+1= an+f(n)(f(n)是可以求和

的 )的递推公式求通项公式时,常用累加法,巧妙求出 an - a1 与 n 的关系式.

2.累乘法
[典例 2] (2012· 大纲全国卷)已知数列{an}中,a1=1,前 n+2 n 项和 Sn= a. 3 n (1)求a2,a3;

(2)求{an}的通项公式. 4 [解] (1)由 S2= a2 得 3(a1+a2)=4a2, 3
解得 a2=3a1=3. 5 由 S3= a3 得 3(a1+a2+a3)=5a3, 3 3 解得 a3= (a1+a2)=6. 2

(2)由题设知 a1=1. n+2 n+1 当 n>1 时,有 an=Sn-Sn-1= a- a , 3 n 3 n-1 n+1 整理得 an= a . n-1 n-1 n+1 3 4 n 于是 a2= a1,a3= a2,?,an-1= a ,an= a . 1 2 n-2 n-2 n-1 n-1 n?n+1? 将以上 n-1 个等式中等号两端分别相乘,整理得 an= . 2 n?n+1? 综上可知,{an}的通项公式 an= . 2

[题后悟道] 对形如an+1=anf(n)(f(n)是可以求积的) an 的递推公式求通项公式时,常用累乘法,巧妙求出 与 a1 n的关系式.

3.构造新数列 [ 典例 3]
[解析]

已知数列 {an} 满足 a1 = 1 , an + 1 = 3an + 2 ;

则an=________.
∵an+1=3an+2,∴an+1+1=3(an+1), an+1+1 ∴ =3,∴数列{an+1}为等比数列,公比 q=3, an+1 又 a1+1=2,∴an+1=2· 3n-1, ∴an=2· 3n 1-1.


[答案] 2×3n-1-1

[题后悟道]

对于形如“an+1=Aan+B(A≠0 且 A≠1)”的

递推公式求通项公式,可用迭代法或构造等比数列法. 上面是三种常见的由递推公式求通项公式的题型和对 应解法,从这些题型及解法中可以发现,很多题型及方法都 是相通的,如果能够真正理解其内在的联系及区别,也就真 正做到了举一反三、触类旁通,使自己的学习游刃有余,真 正成为学习的主人.

教师备选题(给有能力的学生加餐)
1.下列说法中,正确的是 ( )

A.数列1,3,5,7可表示为{1,3,5,7} B.数列1,0,-1,-2与数列-2,-1,0,1是相同的 数列
? ?n+1? ? 1 ?的第k项为1+ C.数列? k ? n ? ? ?

D.数列0,2,4,6,8,?可记为{2n}

? ?n+1? ? ? ?的通项公式为 解析:∵数列 ? ? n ? ?

n+ 1 1 an= n =1+n,

1 ∴ak=1+k.故 C 正确; 由数列的定义可知 A、 B 均错; D 应记作{2(n-1)}.

答案:C

1 2.数列{an}满足an+an+1= (n∈N*),a2=2,Sn是数列{an} 2 的前n项和,则S21为 7 A.5 B. 2
9 C. 2

(

)

13 D. 2 1 1 1 解析: a1= -a2= -2, a2=2, a3= -2, a4=2, ?, 2 2 2 1 1 1 知 a2n=2,a2n-1= -2,故 S21=10× +a1=5+ -2 2 2 2 7 = . 2 答案: B

3.如图关于星星的图案中,第n个图案中星星的个数为 an,则数列{an}的一个通项公式是 ( )

A.an=n -n+1 n ? n + 1? C.an= 2

2

n?n-1? B.an= 2 n ? n + 2? D.an= 2

解析:从图中可观察星星的构成规律,n=1 时,有 1 个;n=2 时,有 3 个;n=3 时,有 6 个;n=4 时,有 10 个,? n?n+1? 故 an=1+2+3+4+?+n= . 2

答案: C

an 4.已知数列{an}中,a1=3,an+1= ,则其通项公式 2an+1 为________.

2an+1 1 1 解析: 两边取倒数, 得 = a =2+a , 故有 - an+1 a n n n+1 1
? ?1? ? 1 1 1 ? ? 是首项为 = , 公差为 2 的等差数列, an=2.故数列? ?an? ? a1 3

6n - 5 1 1 3 所以a = +2(n-1)= ,故 an= . 3 3 6 n - 5 n
3 答案: 6n-5

5.已知数列{an}满足:a1=1,(n-1)an=n×2nan-1(n∈N, n≥2),则数列{an}的通项公式为________. an n n 解析:当 n≥2,有(n-1)an=n× 2 an-1,故 = × 2n,则有 an-1 n-1 an-1 n-1 n-1 an-2 n-2 n- 2 a2 2 2 = × 2 , = × 2 , …, = × 2 .上述 n- 1 a1 1 an-2 n-2 an-3 n-3 ? ?n-2 ? ? ?n-1 an ? n? ? ? ? n n-1? n-2? 2 ? ×? × 2 ? ×? × 2 ? 个 式 子 累 乘 , 得 = ?n-1× a1 n - 3 ? ? ?n-2 ? ? ? ( n?1)( n? 2) ?2 2? + - + - + + 2 ?=n× ×…×?1× 2n (n 1) (n 2) … 2=n× 2 2 .又因为 a1=1, 所 ? ?
以 an=n× 2
( n?1)( n? 2) 2

,而当 n=1 时,a1=1× 20=1,也满足上式,
( n?1)( n? 2) 2

故数列{an}的通项公式为 an=n× 2

.

答案:an=n×2

( n?1)( n? 2) 2

[知识能否忆起]

一、等差数列的有关概念
1.定义:如果一个数列从 第2项 起,每一项与它的前一 项的差 都等于同一个常数, 那么这个数列就叫做等差数列. 符 号表示为 an+1-an=d (n∈N*,d 为常数).

2.等差中项:数列 a,A,b 成等差数列的充要条件 a+b A= 2 ,其中 A 叫做 a,b 的 等差中项 . 是

二、等差数列的有关公式
1.通项公式:an= a1+(n-1)d .
n? n-1? ? a1+an? n na1+ d 2 2.前 n 项和公式:Sn= = . 2

三、等差数列的性质 1.若m,n,p,q∈N*,且m+n=p+q,{an}为

等差数列,则am+an=ap+aq.
2.在等差数列{an}中,ak,a2k,a3k,a4k,…仍为 等差数列,公差为kd. 3.若{an}为等差数列,则Sn,S2n-Sn,S3n- S2n,…仍为等差数列,公差为n2d.

4.等差数列的增减性:d>0时为递增数列,且当a1<0
时前n项和Sn有最小值.d<0时为递减数列,且当a1>0时前 n项和Sn有最大值.
5.等差数列{an}的首项是 a1,公差为 d.若其前 n 项之 d d 和可以写成 Sn=An2+ Bn,则 A= ,B=a1- ,当 d≠0 2 2 时它表示二次函数,数列{an}的前 n 项和 Sn=An2+ Bn 是 {an}成等差数列的充要条件.

[小题能否全取]

1.(2013· 福建高考)等差数列{an}中,a1+a5=10,a4=7,则
数列{an}的公差为
A.1 B.2

(

)

C.3 D.4 解 析 : 法 一 : 设 等 差 数 列 {an} 的 公 差 为 d , 由 题 意 得
? ?2a1+4d=10, ? ? ?a1+3d=7. ? ?a1=1, 解得? ? ?d=2.

故 d=2.

法二:∵在等差数列{an}中,a1+a5=2a3=10,∴a3=5. 又 a4=7,∴公差 d=7-5=2.
答案:B

3π 2 . ( 教材习题改编 ) 在等差数列 {an} 中, a2 + a6 = ,则 2
? π? sin?2a4-3?= ? ?

(
1 B. 2 1 D.- 2

)

3 A. 2 3 C.- 2

3π 3π 解析:∵a2+a6= ,∴2a4= . 2 2
? ?3π π? π? π 1 ? ? ? ? ∴sin 2a4-3 =sin 2 - 3 =-cos =- . 3 2 ? ? ? ?

答案:D

3.(2012· 辽宁高考)在等差数列{an}中,已知 a4+a8=16, 则该数列前 11 项和 S11= ( )

A.58 C.143

B.88 D.176

11?a1+a11? 11?a4+a8? 解析:S11= = =88. 2 2

答案:B

4.在数列{an}中,若a1=1,an+1=an+2(n≥1),则该数 列的通项an=________.
解析: 由 an+1=an+2 知{an}为等差数列其公差为 2. 故 an=1+(n-1)×2=2n-1.

答案:2n-1

5. (2012· 北京高考)已知{an}为等差数列, Sn 为其前 n 项和, 1 若 a1= ,S2=a3,则 a2=________,Sn=______. 2

解析:设{an}的公差为 d, 由 S2=a3 知,a1+a2=a3,即 2a1+d=a1+2d, 1 1 又 a1= ,所以 d= ,故 a2=a1+d=1, 2 2 1 1 1 2 1 Sn=na1+ n(n-1)d= n+ (n -n)× 2 2 2 2 1 2 1 = n + n. 4 4

1 2 1 答案:1 n + n 4 4

1.与前n项和有关的三类问题 (1)知三求二:已知a1、d、n、an、Sn中的任意三个,

即可求得其余两个,这体现了方程思想. d 2 ? d? (2)Sn= n +?a1- ?n=An2+Bn?d=2A. 2 2? ?
(3)利用二次函数的图象确定Sn的最值时,最高点 的纵坐标不一定是最大值,最低点的纵坐标不一定是最 小值.

2.设元与解题的技巧 已知三个或四个数组成等差数列的一类问题,要善

于设元,若奇数个数成等差数列且和为定值时,可设为
…,a-2d,a-d,a,a+d,a+2d,…; 若偶数个数成等差数列且和为定值时,可设为…, a-3d,a-d,a+d,a+3d,…,其余各项再依据等 差数列的定义进行对称设元.

等差数列的判断与证明

[例1]

在数列{an}中,a1=-3,an=2an-1+2n

+3(n≥2,且n∈N*).

(1)求a2,a3的值;
an+3 (2)设 bn= n (n∈N*),证明:{bn}是等差数列. 2

[自主解答]

(1)∵a1=-3,an=2an-1+2n+3(n≥2,

且n∈N*),∴a2=2a1+22+3=1,a3=2a2+23+3=13.
(2)证明:对于任意n∈N*, an+1+3 an+3 1 ∵bn+1-bn= n+1 - n = n+1 [(an+1-2an)-3]= 2 2 2 2
n+1[(2

1

n+1

+3)-3]=1,

a1+3 -3+3 ∴数列{bn}是首项为 = =0,公差为1的等差数 2 2 列.

1.证明{an}为等差数列的方法: (1)用定义证明:an-an-1=d(d为常数,n≥2)?{an}

为等差数列;
(2)用等差中项证明:2an+1=an+an+2?{an}为等差 数列; (3)通项法:an为n的一次函数?{an}为等差数列;
n?a1+an? (4)前 n 项和法:Sn=An +Bn 或 Sn= . 2
2

2.用定义证明等差数列时,常采用的两个式子an+1 -an=d和an-an-1=d,但它们的意义不同,后者必须 加上“n≥2”,否则n=1时,a0无定义.

1.已知数列{an}的前n项和Sn是n的二次函数,且a1=
-2,a2=2,S3=6. (1)求Sn; (2)证明:数列{an}是等差数列.

解:(1)设Sn=An2+Bn+C(A≠0),
?-2=A+B+C, ? 则?0=4A+2B+C, ?6=9A+3B+C, ?

解得 A=2,B=-4,C=0.故 Sn=2n2-4n. (2)证明:∵当 n=1 时,a1=S1=-2. 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=2n2-4n-[2(n-1)2-4(n-1)] =4n-6. ∴an=4n-6(n∈N*).an+1-an=4, ∴数列{an}是等差数列.

等差数列的基本运算

[例2] (2012·重庆高考)已知{an}为等差数列,且a1 +a3=8,a2+a4=12.

(1)求{an}的通项公式;
(2)记{an}的前n项和为Sn,若a1,ak,Sk+2成等比数

列,求正整数k的值.

[自主解答]

(1)设数列{an}的公差为 d,由题意知
? ?a1= 2, 解得? ? ?d= 2.

? ?2a1+ 2d= 8, ? ? ?2a1+ 4d= 12,

所以 an=a1+(n-1)d=2+2(n-1)=2n.

n? a1+ an? n? 2+2n? (2)由 (1)可得 Sn= = =n(n+ 1). 2 2
2 因为 a1, ak, Sk+2 成等比数列,所以 ak = a1Sk+2.

从而 (2k)2=2(k+ 2)(k+3),即 k2-5k-6= 0, 解得 k=6 或 k=- 1(舍去),因此 k=6.

1. 等差数列的通项公式 an= a1+(n- 1)d 及前 n 项和 n? a1+an? n? n- 1? 公式 Sn= =na1+ d,共涉及五个量 a1, 2 2 an,d,n,Sn,知其中三个就能求另外两个,体现了方程 的思想.

2.数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变 量代换作用,而a1和d是等差数列的两个基本量,用它们 表示已知和未知是常用方法.

2.(1)在等差数列中,已知 a6=10,S5=5,则 S8=______.

(2)(2012· 江西联考)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn, S4 S3 若 - =1,则公差为________. 12 9 解析:(1)∵a6=10,S5=5,
? ?a1+5d=10, ∴? ? ?5a1+10d=5. ? ?a1=-5, 解方程组得? ? ?d=3.

则 S8=8a1+28d=8×(-5)+28×3=44.

4× 3 3×2 (2)依题意得 S4=4a1+ d=4a1+6d,S3=3a1+ d= 2 2 4a1+6d 3a1+3d 3a1+3d,于是有 - =1,由此解得 d=6, 12 9 即公差为 6.

答案:

(1)44

(2)6

[例 3]

(1)等差数列{an}中,若 a1+a4+a7=39,a3 ( )

+a6+a9=27, 则前 9 项和 S9 等于

A.66 C.144

B.99 D.297
( )

(2)(2012· 天津模拟)设等差数列{an}的前 n 项和 Sn, 若 S4=8, S8=20, 则 a11+a12+a13+a14=

A.18 C.16

B.17 D.15

[自主解答]

(1)由等差数列的性质及a1+a4+a7=

39,可得3a4=39,所以a4=13.同理,由a3+a6+a9=27, 可得a6=9. 9?a1+a9? 9?a4+a6? 所以S9= = =99. 2 2

(2)设{an}的公差为 d, 则 a5+a6+a7+a8=S8-S4=12, 1 (a5+a6+a7+a8)-S4=16d,解得 d= ,a11+a12+a13+a14 4 =S4+40d=18.

[答案] (1)B

(2)A

1.等差数列的性质是等差数列的定义、通项公

式以及前n项和公式等基础知识的推广与变形,熟练
掌握和灵活应用这些性质可以有效、方便、快捷地解 决许多等差数列问题. 2.应用等差数列的性质解答问题的关键是寻找 项的序号之间的关系.

3.(1)(2012· 江西高考)设数列{an},{bn}都是等差数列,若 a1+b1=7,a3+b3=21,则 a5+b5=________.

(2)(2013·海淀期末)若数列{an}满足:a1=19,an+1=an -3(n∈N*),则数列{an}的前n项和数值最大时,n的值 为 A.6 C.8 B.7 D.9 ( )

解析:(1)设两等差数列组成的和数列为{cn},由题意知新数 列仍为等差数列且 c1=7, c3=21, 则 c5=2c3-c1=2×21-7 =35. (2)∵an+1-an=-3,∴数列{an}是以 19 为首项,-3 为公差
的等差数列, ∴an=19+(n-1)×(-3)=22-3n.设前 k 项和
? ?ak≥0, 最大,则有? ? ?ak+1≤0, ? ?22-3k≥0, 即? ? ?22-3?k+1?≤0,

19 22 解得 ≤k≤ .∵k∈N*,∴k=7.故满足条件的 n 的值为 7. 3 3 答案:(1)35 (2)B

“题型技法点拨——快得分”系列之(六) 特值法解等差数列问题

[典例] 在等差数列{an}中,a1=1,前n项和Sn满 S2n 4n+2 足条件 S = ,n=1,2,…则an=________. n + 1 n

n?n-1? n?n-1? [常规解法] 因Sn=na1+ d=n+ d, 2 2 2n?2n-1? 则S2n=2na1+ d=2n+n(2n-1)d, 2 S2n 2n+n?2n-1?d 2?2dn+2-d? 4n+2 故S = = = . n ? n - 1 ? dn + 2 - d n + 1 n n+ d 2 解得d=1,则an=n.

[答案] n

1.上述解法计算量较大,很容易出错,若采用特殊值 计算很简单,因 {an}为等差数列且 a1=1,只要求出公差 d, S2 便可得出 an,若令 n= 1,则有 = 3,即可求出公差 d. S1

2.特殊值法在解一些选择题和填空题中经常用到, 就是通过取一些特殊值、特殊点、特殊函数、特殊数列、

特殊图形等来求解或否定问题的目的;用特殊值法解题时
要注意,所选取的特例一定要简单,且符合题设条件.

S2 [巧思妙解] 令n=1,则 =3,∴S2=3,a2= S1 2,可得d=1,则an=n.

针对训练
1.已知正数数列{an}对任意p,q∈N*,都有ap+q=ap+ aq,若a2=4,则a9= ( )

A. 6 C.18

B.9 D.20

解析:法一:∵a2=a1+1=a1+a1=4,∴a1=2,a9=a8
+1=a8+a1=2a4+a1=4a2+a1=18.

法二:∵a2=a1+1=a1+a1=4,∴a1=2,令p=n,q= 1,所以an+1=an+a1,即an+1-an=2,∴{an}是等差数 列,且首项为2,公差为2,故a9=2+(9-1)×2=18. 答案:C

Sn 2.等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,若 T = n 2n an ,则b = 3n + 1 n ( )

2n+1 2n-1 C. D. 3n+1 3n+4 2?2n-1? an 2an a1+a2n-1 S2n-1 解析:法一:b = = = = = 2 b b + b T 3 ? 2 n - 1 ? + 1 n n 1 2n-1 2n-1 2 A.3
2n-1 . 3n-1

2n - 1 B. 3n - 1

法二:令n=1,只有B项符合.
答案:B

教师备选题(给有能力的学生加餐)
3 1 1.已知数列{an}中,a1= ,an=2- (n≥2, 5 an-1 1 n∈N ),数列{bn}满足bn= (n∈N*). an-1
*

(1)求证:数列{bn}是等差数列; (2)求数列{an}中的最大项和最小项,并说明理由.

1 解:(1)证明:∵an=2- (n≥2,n∈N ),bn= . an-1 an-1
*

1

1 1 ∴n≥2 时,bn-bn-1= - an-1 an-1-1 =? ? ?2-a - n 1? ? 1 1 1 - ? an-1-1 ? ?-1

an-1 1 = - =1. an-1-1 an-1-1 1 5 又 b1= =- . 2 a1-1 5 ∴数列{bn}是以- 为首项,1 为公差的等差数列. 2

7 (2)由(1)知,bn=n- , 2 1 2 则 an=1+b =1+ , 2n-7 n 2 设函数 f(x)=1+ , 2x-7 易知
? ? 7? ?7 f(x)在区间?-∞,2?和?2,+∞?内为减函数. ? ? ? ?

故当 n=3 时,an 取得最小值-1;当 n=4 时,an 取得最大 值 3.

2.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且满足:a2+a4 =14,S7=70. (1)求数列{an}的通项公式; 2Sn+48 (2)设 bn= ,数列{bn}的最小项是第几项,并求 n
出该项的值.
解: (1)设等差数列{an}的公差为
? ?a1+2d=7, 即? ? ?a1+3d=10, ? ?a1=1, 解得? ? ?d=3. ? ?2a1+4d=14, d, 则有? ? ?7a1+21d=70,

所以an=3n-2.
3n2-n n (2)因为 Sn= [1+(3n-2)]= , 2 2 3n2-n+48 48 所以 bn= =3n+ n -1≥2 n 48 当且仅当 3n= n ,即 n=4 时取等号, 故数列{bn}的最小项是第 4 项,该项的值为 23. 48 3n· n -1=23,

3.已知数列{an},对于任意 n≥2,在 an-1 与 an 之间插入 n 个数,构成的新数列{bn}成等差数列,并记在 an-1 与 an 之间插入的这 n 个数均值为 Cn-1.

n2+3n-8 (1)若 an= ,求 C1,C2,C3; 2
(2)在(1)的条件下是否存在常数λ,使{Cn+1-λCn}是等 差数列?如果存在,求出满足条件的λ,如果不存在, 请说明理由.

解:(1)由题意 a1=-2,a2=1,a3=5,a4=10, 1 ∴在 a1 与 a2 之间插入-1,0,C1=- . 2 在 a2 与 a3 之间插入 2,3,4,C2=3. 15 在 a3 与 a4 之间插入 6,7,8,9,C3= . 2

an-an-1 (2)在 an-1 与 an 之间插入 n 个数构成等差数列,d= n+ 1 =1,

n?an-1+an? an-1+an n2+2n-9 2 ∴Cn-1= = = . n 2 2 假设存在 λ 使得{Cn+1-λCn}是等差数列. ∴(Cn+1-λCn)-(Cn-λCn-1) =Cn+1-Cn-λ(Cn-Cn-1) 2n+5 2n+3 = -λ· 2 2 5 3 =(1-λ)n+ - λ=常数,∴λ=1. 2 2 即 λ=1 时,{Cn+1-λCn}是等差数列.

[知识能否忆起]

1.等比数列的有关概念
(1)定义:
如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的比等 于同一个常数 (不为零),那么这个数列就叫做等比数列.这 个常数叫做等比数列的 公比 ,通常用字母 q 表示,定义的表 an+1 * = q ( n ∈ N ,q为非零常数) a 达式为 n .

(2)等比中项:
如果 a、G、b 成等比数列,那么 G 叫做 a 与 b 的等比中
2 项. 即: G 是 a 与 b 的等比中项?a, G, b 成等比数列? G = ab .

2.等比数列的有关公式 (1)通项公式:an= a1q . ? na1 ,q=1, ? (2)前 n 项和公式:Sn=?a1? 1-qn? a1-anq ? 1-q = 1-q ,q≠1. ?
n- 1

3.等比数列{an}的常用性质 (1)在等比数列{an}中,若m+n=p+q=2r(m,n, p,q,r∈N*),则am· an=ap· aq=a.

特别地,a1an=a2an-1=a3an-2=….
(2)在公比为q的等比数列{an}中,数列am,am+k, qk am+2k,am+3k,…仍是等比数列,公比为 此时q≠-1); ; 数列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…仍是等比数列(

an=amqn-m.

[小题能否全取] 1.(教材习题改编)等比数列{an}中,a4=4,则a2·a6等于

A. 4 C.16
解析:a2· a6=a2 4=16.
答案:C

B.8 D.32

(

)

2.已知等比数列{an}的前三项依次为a-1,a+1,a+4, 则an=
?3? ? ?n A.4· ?2? ?3? - ? ?n 1 C.4· ?2? ?2? ? ?n B.4· ?3? ?2? - ? ?n 1 D.4· ?3?

(

)

解析:(a+1)2=(a-1)(a+4)?a=5,
?3? - 3 ? ?n 1 . a1=4,q= ,故 an=4· 2 ?2?

答案:C

3.已知等比数列{an}满足 a1+a2=3,a2+a3=6,则 a7= ( )

A.64

B.81

C.128
a2+a3 解析:q= =2, a1+a2

D.243

故 a1+a1q=3?a1=1,a7=1×27-1=64.

答案:A

1 4.(2011· 北京高考)在等比数列{an}中,若 a1= ,a4=4, 2 则公比 q=________;a1+a2+?+an=________.

1 3 解析:a4=a1q ,得 4= q ,解得 q=2,a1+a2+?+an 2
3

1 ?1-2n? 2 1 n-1 = =2 - . 2 1-2

答案:2

2

n-1

1 - 2

5.(2012· 新课标全国卷)等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S3+3S2=0,则公比 q=________.
解析:∵S3+3S2=0,∴a1+a2+a3+3(a1+a2)=0, ∴a1(4+4q+q2)=0. ∵a1≠0,∴q=-2.

答案:-2

1.等比数列的特征 (1)从等比数列的定义看,等比数列的任意项都是非零 的,公比q也是非零常数. (2)由an+1=qan,q≠0并不能立即断言{an}为等比数列, 还要验证a1≠0. 2.等比数列的前n项和Sn (1)等比数列的前n项和Sn是用错位相减法求得的,注 意这种思想方法在数列求和中的运用. (2)在运用等比数列的前n项和公式时,必须注意对q= 1与q≠1分类讨论,防止因忽略q=1这一特殊情形导致解题 失误.

等比数列的判定与证明

[例1]

已知数列{an}的前n项和为Sn,且an+Sn=n.

(1)设cn=an-1,求证:{cn}是等比数列;

(2)求数列{an}的通项公式.


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