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题目 高中数学复习专题讲座导数的运算法则及基本公式应用


题目 高中数学复习专题讲座 导数的运算法则及基本公式应用 高考要求 导数是中学限选内容中较为重要的知识,本节内容主要是在导数的定 义,常用求等公式 四则运算求导法则和复合函数求导法则等问题上对考 生进行训练与指导 重难点归纳 1 深刻理解导数的概念,了解用定义求简单的导数
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?y 表示函数的平均改变量,它是Δ x 的函数,而 f′(x0)表示一个数值, ?x ?y 即 f′(x)= lim ,知道导数的等价形式 ?x?0 ?x
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?x ?0

lim
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f ( x0 ? ?x ) ? f ( x0 ) f ( x ) ? f ( x0 ) ? lim ? f ?( x0 ) ?x ? x0 ?x x ? x0

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2 求导其本质是求极限,在求极限的过程中,力求使所求极限的结构 形式转化为已知极限的形式,即导数的定义,这是顺利求导的关键 3 对于函数求导,一般要遵循先化简,再求导的基本原则,求导时, 不但要重视求导法则的应用,而且要特别注意求导法则对求导的制约作用, 在实施化简时,首先必须注意变换的等价性,避免不必要的运算失误 4 复合函数求导法则,像链条一样,必须一环一环套下去,而不能丢 掉其中的一环 必须正确分析复合函数是由哪些基本函数经过怎样的顺序 复合而成的,分清其间的复合关系 典型题例示范讲解 例 1 求函数的导数
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(1) y ?

1? x (1 ? x 2 ) cos x
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( 2) y ? ( ax ? b sin2 ?x ) 3 (3) y ? f ( x 2 ? 1)

命题意图 本题 3 个小题分别考查了导数的四则运算法则,复合函数 求导的方法,以及抽象函数求导的思想方法 这是导数中比较典型的求导 类型 知识依托 解答本题的闪光点是要分析函数的结构和特征,挖掘量的 隐含条件,将问题转化为基本函数的导数 错解分析 本题难点在求导过程中符号判断不清,复合函数的结构分 解为基本函数出差错 技巧与方法 先分析函数式结构,找准复合函数的式子特征,按照求 导法则进行求导
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(1)解 : y? ?

(1 ? x)?(1 ? x 2 ) cos x ? (1 ? x)[(1 ? x 2 ) cos x]? (1 ? x 2 )2 ? cos2 x

?(1 ? x 2 ) cos x ? (1 ? x)[(1 ? x 2 )? cos x ? (1 ? x 2 )(cos x)?] ? (1 ? x 2 ) 2 cos 2 x ?(1 ? x 2 ) cos x ? (1 ? x)[2 x cos x ? (1 ? x 2 ) sin x] ? (1 ? x 2 ) 2 cos 2 x ( x 2 ? 2 x ? 1) cos x ? (1 ? x)(1 ? x 2 ) sin x ? (1 ? x 2 ) 2 cos 2 x
(2)解 y=μ 3,μ =ax-bsin2ω x,μ =av-by v=x,y=sinγ γ =ω x y′=(μ 3)′=3μ 2·μ ′=3μ 2(av-by)′ =3μ 2(av′-by′)=3μ 2(av′-by′γ ′) =3(ax-bsin2ω x)2(a-bω sin2ω x)
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(3)解法一

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设 y=f(μ ),μ = v ,v=x2+1,则

y′x=y′μ μ ′v·v′x=f′(μ )· =f′( x 2 ? 1 )·

1 -1 v ·2x 2 2

1 2

1 x ?1
2

·2x

=

x x ?1
2
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f ?( x 2 ? 1 ),

解法二

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y′=[f( x 2 ? 1 )]′=f′( x 2 ? 1 )·( x 2 ? 1 )′

=f′( x 2 ? 1 )·

1 2 ?2 (x +1) ·(x2+1)′ 2
? 1 2

1

1 =f′( x ? 1 )· (x2+1) 2
2

·2x

=

x x ?1
2

f′( x 2 ? 1 )

例 2 利用导数求和 - (1)Sn=1+2x+3x2+…+nxn 1(x≠0,n∈N*)
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* 2 3 n (2)Sn=C 1 n +2C n +3C n +…+nC n ,(n∈N )

命题意图 培养考生的思维的灵活性以及在建立知识体系中知识点灵 活融合的能力 知识依托 通过对数列的通项进行联想,合理运用逆向思维 由求导 - 公式(xn)′=nxn 1,可联想到它们是另外一个和式的导数 关键要抓住数列通 项的形式结构 错解分析 本题难点是考生易犯思维定势的错误,受此影响而不善于 联想 技巧与方法 第(1)题要分 x=1 和 x≠1 讨论,等式两边都求导 解 (1)当 x=1 时
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Sn=1+2+3+…+n= 当 x≠1 时,

1 n(n+1); 2

x ? x n ?1 , 1? x 两边都是关于 x 的函数,求导得
∵x+x2+x3+…+xn= (x+x2+x3+…+xn)′=(

x ? x n ?1 )′ 1? x


即 Sn=1+2x+3x2+…+nxn 1=

1 ? (n ? 1) x n ? nx n ?1 (1 ? x ) 2

2 2 n n (2)∵(1+x)n=1+C 1 n x+C n x +…+C n x ,

两边都是关于 x 的可导函数,求导得
2 3 2 n n 1 n(1+x)n 1=C 1 , n +2C n x+3C n x +…+nC n x
- -

2 3 n 令 x=1 得,n·2n 1=C 1 n +2C n +3C n +…+nC n ,


2 n 即 Sn=C 1 n +2C n +…+nC n =n·2
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n-1
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例 3 已知曲线 C y=x3-3x2+2x,直线 l:y=kx,且 l 与 C 切于点(x0,y0)(x0≠ 0),求直线 l 的方程及切点坐标
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由 l 过原点, 知 k=

y0 (x0≠0),点(x0,y0)在曲线 C 上, y0=x03-3x02+2x0, x0

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y0 =x02-3x0+2 x0

y′=3x2-6x+2,k=3x02-6x0+2 又 k=

y0 ,∴3x02-6x0+2=x02-3x0+2 x0

2x02-3x0=0,∴x0=0 或 x0= 由 x≠0,知 x0=

3 2

3 2 3 3 3 3 ∴y0=( )3-3( )2+2· =- 2 2 2 8
∴k=

y0 1 =- x0 4

∴l 方程 y=-

1 3 3 x 切点( ,- ) 4 2 8

学生巩固练习 1 y=esinxcos(sinx),则 y′(0)等于( ) A 0 B 1 C -1
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D )

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2

2

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经过原点且与曲线 y=
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x?9 相切的方程是( x?5
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x x +y=0 B x-y=0 或 +y=0 25 25 x x C x+y=0 或 -y=0 D x-y=0 或 -y=0 25 25 f ( x0 ? k ) ? f ( x0 ) 3 若 f′(x0)=2, lim =_________ k ?0 2k
A
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x+y=0 或

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4 设 f(x)=x(x+1)(x+2)…(x+n),则 f′(0)=_________ 5 已知曲线 C1:y=x2 与 C2:y=-(x-2)2,直线 l 与 C1、 C2 都相切, 求直线 l 的方程 6 求函数的导数 (1)y=(x2-2x+3)e2x;
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(2)y= 3

x 1? x

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7 有一个长度为 5 m 的梯子贴靠在笔直的墙上,假设其下端沿地板以 3 m/s 1 4 m 时,梯子上端 下滑的速度 - 8 求和 Sn=12+22x+32x2+…+n2xn 1 ,(x≠0,n∈N*) 参考答案 1 解析 y′=esinx[cosxcos(sinx)-cosxsin(sinx)],y′(0)=e0(1-0)=1 答案 B
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解析

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设切点为(x0,y0),则切线的斜率为 k=

y0 , x0

另一方面,y′=(

?4 x?9 )′= , ( x ? 5) 2 x?5

故 y′(x0)=k,即

y x0 ? 9 ?4 ? 0 ? 或 x02+18x0+45=0 2 x0 x0 ( x0 ? 5) ( x0 ? 5)

得 x0(1)=-3, x0 (2)=-15,对应有 y0(1)=3,y0(2)= 因此得两个切点 A(-3,3)或 B(-15, 从而得 y′(A)=

? 15 ? 9 3 ? , ? 15 ? 5 5

3 ), 5

?4 ?4 1 ?? =-1 及 y′(B)= , 3 2 25 ( ?3 ? 5) (?15 ? 5)
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由于切线过原点,故得切线 答案 A 3 解析 根据导数的定义
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lA:y=-x 或 lB:y=-

x 25

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f′(x0)= lim

f [( x0 ? (?k )] ? f ( x0 ) (这时 ?x ? ? k ) k ?0 ?k f ( x0 ? k ) ? f ( x0 ) 1 f ( x0 ? k ) ? f ( x0 ) ? lim ? lim[? ? ] k ?0 k ?0 2k 2 ?k f ( x0 ? k ) ? f ( x0 ) 1 1 ? ? lim ? ? f ?( x0 ) ? ?1 2 k ?0 ?k 2
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答案 -1 4 解析 设 g(x)=(x+1)(x+2)……(x+n),则 f(x)=xg(x), 于是 f′(x)=g(x)+xg′(x),f′(0)=g(0)+0·g′(0)=g(0)=1·2·…n=n! 答案 n! 5 解 设 l 与 C1 相切于点 P(x1,x12),与 C2 相切于 Q(x2,-(x2-2)2)
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对于 C1 y′=2x,则与 C1 相切于点 P 的切线方程为 y-x12=2x1(x-x1),即 y=2x1x-x12 ① 对于 C2 y′=-2(x-2),与 C2 相切于点 Q 的切线方程为 y+(x2-2)2=-2(x2-2)(x-x2),即 y=-2(x2-2)x+x22-4 ∵两切线重合,∴2x1=-2(x2-2)且-x12=x22-4, 解得 x1=0,x2=2 或 x1=2,x2=0 ∴直线 l 方程为 y=0 或 y=4x-4 6 解 (1)注意到 y>0,两端取对数,得 lny=ln(x2-2x+3)+lne2x=ln(x2-2x+3)+2x
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1 ( x 2 ? 2 x ? 3)? 2x ? 2 2( x 2 ? x ? 2) ? ? y? ? 2 ?2? 2 ?2? 2 y x ? 2x ? 3 x ? 2x ? 3 x ? 2x ? 3 ? y? ? 2( x 2 ? x ? 2) 2( x 2 ? x ? 2 ) ? y ? ? ( x 2 ? 2 x ? 3) ? e 2 x x2 ? 2x ? 3 x2 ? 2x ? 3 ? 2( x 2 ? x ? 2) ? e 2 x
(2)两端取对数,得 ln|y|=

1 (ln|x|-ln|1-x|), 3

两边解 x 求导,得

1 1 1 ?1 1 1 ? y? ? ( ? )? y 3 x 1? x 3 x(1 ? x) 1 1 1 x 3 ? y? ? ? ?y? 3 x(1 ? x) 3x(1 ? x) 1 ? x
7
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设经时间 t 秒梯子上端下滑 s 米,则 s=5- 25 ? 9t 2 ,
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当下端移开 1

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4 m 时,t0=
1

1? 4 7 ? , 3 15

又 s′=-

? 1 1 (25-9t2) 2 ·(-9·2t)=9t , 2 25 ? 9t 2

所以 s′(t0)=9×

7 ? 15

1 7 25 ? 9 ? ( ) 2 15

=0

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875(m/s)

8

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(1)当 x=1 时,Sn=12+22+32+…+n2=

1 n(n+1)(2n+1), 6

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当 x≠1 时,1+2x+3x2+…+nxn-1 两边同乘以 x,得 x+2x2+3x2+…+nxn=

=

1 ? (n ? 1) x n ? nx n?1 , (1 ? x) 2

x ? (n ? 1) x n?1 ? nx n?2 (1 ? x) 2

两边对 x 求导,得 Sn=12+22x2+32x2+…+n2xn-1 =

1 ? x ? (n ? 1) 2 x n ? (2n 2 ? 2n ? 1) x n ?1 ? n 2 x n ?2 (1 ? x ) 3

课前后备注

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