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北京市西城(北区)2012-2013学年高一上学期期末考试数学试题

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北京市西城区 2012 — 2013 学年度第一学期期末试卷(北区)

高一数学
试卷满分:150 分 考试时间:120 分钟 本卷满分:100 分 三 题号 分数 一 二 17 18 19 本卷总分

2013.1

A 卷 [必修 模块 4]

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题

4 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合要求的. 1. 在 0 到 2? 范围内,与角 ? A. 2.

?
3

终边相同的角是( C.

) D. )

? 3

B.

2? 3

4? 3

5? 3

? 是一个任意角,则 ? 的终边与 ? ? 3? 的终边(
A. 关于坐标原点对称 C. 关于 y 轴对称

B. 关于 x 轴对称 D. 关于直线 y ? x 对称 ) D. (4, ?2) ) D.

3. 已知向量 a ? (?1, 2) , b ? (1, 0) ,那么向量 3b ? a 的坐标是( A. (?4, 2) B. (?4, ?2) C. (4, 2)

, 4. 若向量 a ? (1 3) 与向量 b ? (?1, ? ) 共线,则 ? 的值为(
A. ?3 B. 3 C. ?

1 3

1 3

0) 5. 函数 f ( x ) 的图象是中心对称图形,如果它的一个对称中心是 ( , ,那么 f ( x ) 的解
析式可以是( A. sin x 6. 已知向量 a ? (1, A. ) B. cos x C. sin x ? 1 D. cos x ? 1 ) D.

π 2

3) , b ? (?2, 2 3) ,则 a 与 b 的夹角是(
B.

? 6

? 4

C.

? 3

? 2

7. 为了得到函数 y ? cos(2 x ? ) 的图象,只需将函数 y ? cos 2 x 的图象(

? 3



π 个单位长度 6 π C. 向左平移 个单位长度 3
A. 向左平移 8. 函数 y ? 1 ? 2cos2 x 的最小正周期是( A.

π 个单位长度 6 π D. 向右平移 个单位长度 3
B. 向右平移 ) C. ? D. ?? )

? 4

B.

? 2

9. 设角 ? 的终边经过点 (3, ?4) ,则 cos(? ?

π ) 的值等于( 4
C.

A.

? 10

B. ?

? 10

? ? 10
D E

D. ?

? ? 10
C

10. 在矩形 ABCD 中, AB ? 3 , BC ? 1 , E 是

??? ??? ? ? ??? ??? ? ? CD 上一点,且 AE ? AB ? 1 ,则 AE ? AC 的值
为( A. 3 ) B. 2 C.

A

B D.

3 2

3 3

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分.把答案填在题中横线上.

?? ? ______. 3 1 12. 若 cos ? ? ? , ? ? (0, ? ) ,则 ? ? ______. 2
11. sin 13. 已知向量 a ? (?1,3) , b ? (?3, x) ,且 a ? b ,则 x ? _____. 14. 已知 sin ? ? cos ? ? 2 ,则 sin 2? ? ______.

? ?? , ] 上的最大值为______,最小值为______. 3 3 π π 16. 已知函数 f ( x) ? x sin x ,对于 [ ? , ] 上的任意 x1,x2 ,有如下条件: 2 2 x ? x2 2 2 ? 0. ① x1 ? x2 ;② x1 ? x2 ;③ x1 ? x2 ,且 1 2
15. 函数 y ? 2cos x 在区间 [? 其中能使 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 恒成立的条件序号是_______. (写出所有满足条件的序号)

三、解答题:本大题共 3 小题,共 36 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 已知

? 4 ? ? ? ? , cos ? ? ? . 2 5

(Ⅰ)求 tan ? 的值; (Ⅱ)求 sin 2? ? cos 2? 的值.

18.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 2 3 sin (Ⅰ)求 f ( ) 的值;
2

?

x ? sin x ? 3 ? 1 . 2
y
4 3 2 1

3 (Ⅱ)求 f ( x ) 的单调递增区间;
(Ⅲ)作出 f ( x ) 在一个周期内的 图象.

O
-1 -2

?

??

x

19.(本小题满分 12 分) 如图,点 P 是以 AB 为直径的圆 O 上动点, P ? 是点 P 关于 AB 的对称点, AB ? 2a(a ? 0) . (Ⅰ)当点 P 是弧 ? 上靠近 B 的三等分点时,求 AP ? AB 的值; AB (Ⅱ)求 AP ? OP? 的最大值和最小值.

??? ??? ? ?

??? ???? ?

P

A

O

B

P?

B卷
题号 分数 一

[学期综合]
二 6 7

本卷满分:50 分

8

本卷总分

一、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分.把答案填在题中横线上. 1. 已知集合 P ? {x ?1 ? x ? 1}, M ? {a} . 若 M ? P ,则 a 的取值范围是________. 2. lg 2 ? lg5 ? lg 10 ? ________. 3. 满足不等式 2 ?
x

1 的 x 的取值范围是_______. 2

4. 设 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数,若 f ( x ) 在 (0, ??) 上是减函数,且 2 是函数 f ( x ) 的一 个零点,则满足 x f ( x) ? 0 的 x 的取值范围是________. 5. 已知集合 U ? {1, 2,?, n} , n ? N? .设集合 A 同时满足下列三个条件:

A ① ?U ;
② x ? A ,则 2x ? A ; 若 ③ x ? CU A ,则 2 x ? CU A . 若 (1)当 n ? 4 时,一个满足条件的集合 A 是________; (写出一个即可) (2)当 n ? 7 时,满足条件的集合 A 的个数为________. 二、解答题:本大题共 3 小题,共 30 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 6. (本小题满分 10 分) 已知函数 f ( x) ? 1 ?

1 . x2

(Ⅰ)证明函数 f ( x ) 为偶函数; (Ⅱ)用函数的单调性定义证明 f ( x ) 在 (0, ??) 上为增函数.

7. (本小题满分 10 分) 设函数 f ( x) ? ?

?(2 ? x)( x ? 4) ?(2 ? x)( x ? a)

x?2 . x?2

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 在区间 [?2, 2] 上的最大值和最小值; (Ⅱ)设函数 f ( x ) 在区间 [?4, 6] 上的最大值为 g (a ) ,试求 g (a ) 的表达式.

8. (本小题满分 10 分) 已知函数 g ( x) ? loga x ,其中 a ? 1 . (Ⅰ)当 x ? [0,1] 时, g (a x ? 2) ? 1 恒成立,求 a 的取值范围; ( Ⅱ ) 设 m( x) 是 定 义 在 [ s, t ] 上 的 函 数 , 在 ( s, t ) 内 任 取 n ? 1 个 数 x1 , x 2 ,? ,xn? 2 , n? 1, 设 x

) m xi(?1 ?)M 恒成立,则称函数 m( x) 在区间 [ s, t ] 上的具有性质 P . ? 1 2 试判断函数 f ( x) ? g ( x) 在区间 [ , a ] 上是否具有性质 P ?若具有性质 P , 请求出 M 的最 a 小值;若不具有性质 P ,请说明理由.
i ?1 i

? m( x

x1 ? x2 ?? ? xn?2 ? xn?1 , 令 s ? x, ? t 0
n

n

, x 如 果 存 在 一 个 常 数 M ?0 , 使 得

(注:

? m( x ) ? m( x
i ?1 i

n

i ?1

) ? m( x1 ) ? m( x0 ) ? m( x2 ) ? m( x1 ) ? ? ? m( xn ) ? m( xn?1 ) )

北京市西城区 2012 — 2013 学年度第一学期期末试卷(北区)

高一数学参考答案及评分标准
A 卷 [必修 模块 4] 满分 100 分
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分. 1.D; 2.A; 3.D; 4.A; 5.B; 6.C; 7.B; 8.C; 9.C; 10.B. 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分. 11. ?

2013.1

3 ; 2

12.

?? ; 3

13. ?1 ;

14. ?1 ;

15. 2, ?1 ;

16. ①③.

注:一题两空的试题每空 2 分; 16 题,选出一个正确的序号得 2 分,错选得 0 分. 三、解答题:本大题共 3 小题,共 36 分. 17.解: (Ⅰ)因为 cos ? ? ?

4 ? 3 , ? ? ? ? ,所以 sin ? ? , 5 2 5 sin ? 3 ?? . 所以 tan ? ? cos ? 4 24 (Ⅱ) sin 2? ? 2sin ? cos ? ? ? , 25

…………………3 分 …………………5 分 …………………8 分

7 , 25 24 7 17 ? ?? 所以 sin 2? ? cos 2? ? ? . 25 25 25 ? ? 2 ? ? sin ? 3 ? 1 18.解: (Ⅰ)由已知 f ( ) ? 2 3 sin 3 6 3 cos 2? ? 2 cos 2 ? ? 1 ?

…………………11 分 …………………12 分 …………………2 分

?

3 3 ? ? 3 ? 1 ? 1. 2 2

…………………4 分

(Ⅱ) f ( x) ? 3(1 ? cos x) ? sin x ? 3 ? 1

…………………6 分

? sin x ? 3 cos x ? 1
? ? 2sin( x ? ) ? 1 . 3
函数 y ? sin x 的单调递增区间为 [2k ? ? …………………7 分

? ? , 2k ? ? ](k ? Z) , …………………8 分 2 2 ? ? ? ? ?? 由 2k ? ? ? x ? ? 2k ? ? ,得 2k ? ? ? x ? 2k ? ? . 2 3 2 6 6 ? ?? ](k ? Z) . 所以 f ( x ) 的单调递增区间为 [2k ? ? , 2k ? ? …………………9 分 6 6
(Ⅲ) f ( x ) 在 [

? ?? , ] 上的图象如图所示. 3 3
y
4 3 2 1

…………………12 分

(其它周期上的图象同等给分) (个别关键点错误酌情给分)

O
-1 -2

? 3

?? ? 6

?? 3

??? 6

??

?? 3

x

19.解: (Ⅰ)以直径 AB 所在直线为 x 轴,以 O 为坐标原点建立平面直角坐标系. 因为 P 是弧 AB 靠近点 B 的三等分点, 连接 OP ,则 ?BOP ? 点 P 坐标为 ( a,

? , 3

…………………1 分 …………………2 分

1 3 a) . 2 2 又点 A 坐标是 (? a, 0) ,点 B 坐标是 ( a, 0) , ??? ? ??? ? 3 3 a) , AB ? (2a,0) , 所以 AP ? ( a, 2 2

…………………3 分

所以 AP ? AB ? 3a . …………………4 分 (Ⅱ)设 ?POB ? ? , ? ? [0, 2?) ,则 P(a cos ? , a sin ? ) , P?(a cos ? , ? a sin ? )
2

??? ??? ? ?

所以 AP ? (a cos? ? a, a sin ? ) ,

??? ?

???? ? y …………6 分 OP? ? (a cos? , ?a sin ? ) . ??? ???? ? ? 2 2 2 2 2 所以 AP ? OP? ? a cos ? ? a cos? ? a sin ? …………8 分 ? a2 (2cos2 ? ? cos? ? 1) 1 1 9 ? 2a 2 (cos 2 ? ? cos ? ? ) ? a 2 2 16 8 A O 1 2 9 2 2 ? 2a (cos ? ? ) ? a . …………10 分 4 8 ??? ???? ? ? 1 9 2 当 cos ? ? ? 时, AP ? OP? 有最小值 ? a ,…………………11 分 4 8 ??? ???? ? ? 2 当 cos ? ? 1 时, AP ? OP? 有最大值 2a . …………………12 分

P

x B

P?

B卷
1 ; 2

[学期综合] 满分 50 分

一、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分. 1. {a ?1 ? a ? 1} ; 2. 3. {x x ? ?1} ; 4. (?2,0) ? (0, 2) ;

5. {2} ,或 {1, 4} ,或 {2,3} ,或 {1,3, 4} ; 16 . 注:一题两空的试题每空 2 分. 二、解答题:本大题共 3 小题,共 30 分. 6. 证明: (Ⅰ)由已知,函数 f ( x ) 的定义域为 D ? {x ? R x ? 0}. 设 x ? D ,则 ? x ? D , …………………1 分

f (? x) ? 1 ?

1 1 ? 1 ? 2 ? f ( x) . 2 (? x) x

…………………3 分 …………………4 分

所以函数 f ( x ) 为偶函数.

(Ⅱ)设 x1,x2 是 ( 0, ??) 上的两个任意实数,且 x1 ? x2 ,则 ?x ? x2 ? x1 ? 0 ,

?y ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 1 ?

1 1 ? (1 ? 2 ) 2 x2 x1

…………………6 分

?

2 1 1 x2 ? x12 ( x2 ? x1 )( x2 ? x1 ) . ? 2= 2 2 ? 2 x12 x2 x1 x2 x12 x2

…………………8 分

因为 0 ? x1 ? x2 , 所以 x2 ? x1 ? 0 , x2 ? x1 ? 0 , 所以 ?y ? 0 , 所以 f ( x ) 在 (0, ??) 上是增函数. 7.解: (Ⅰ)在区间 [?2, 2] 上, f ( x) ? (2 ? x)( x ? 4) . …………………9 分 …………………10 分

所以 f ( x ) 在区间 [?2, ?1] 上单调递增,在区间 [?1, 2] 上单调递减, 所以 f ( x ) 在区间 [?2, 2] 上的最大值为 f (?1) ? 9 , 最小值为 f (2) ? 0 .

……………1 分

…………………3 分 …………………4 分

(Ⅱ)当 a ? 2 时, f ( x ) 在 [?4, ?1] 上单调递增,在 [?1, 6] 上单调递减, 所以 f ( x ) 的最大值为 9 . …………………5 分

当 2 ? a ? 8 时, f ( x ) 在 [?4, ?1] 上单调递增,在 [?1, 2] 上单调递减,在 [2, 在[

a?2 ] 单调递增, 2

a?2 , 6] 上单调递减, 2 a?2 a?2 2 )?( ) ? 9 ,所以 f ( x) 的最大值为 9 . ……………7 分 此时 f (?1) ? 9 , f ( 2 2 a?2 ] 单调递增, 当 8 ? a ? 10 时, f ( x ) 在 [?4, ?1] 上单调递增, [?1, 2] 上单调递减, [2, 在 在 2 a?2 , 6] 上单调递减. 在[ 2
此时 f (

a?2 a?2 2 (a ? 2) 2 )?( ) ? f (?1) ,所以 f ( x) 的最大值为 .………………8 分 2 2 4

当 a ? 10 时, f ( x ) 在 [?4, ?1] 上单调递增,在 [?1, 2] 上单调递减,在 [2, 6] 单调递增, 此时 f (6) ? 4(a ? 6) ? f (?1) ,所以 f ( x ) 的最大值为 4(a ? 6) . …………………9 分

?9 ? ? (a ? 2) 2 综上, g (a ) ? ? ? 4 ? 4(a ? 6) ?

a ? 8, 8 ? a ? 10, a ? 10.
x

…………………10 分

8.解: (Ⅰ)当 x ? [0,1] 时, g (a ? 2) ? 1 恒成立, 即 x ? [0,1] 时, loga (a x ? 2) ? 1恒成立, 因为 a ? 1 ,所以 a ? 2 ? a 恒成立,
x

…………………1 分 …………………2 分 …………………4 分 …………………5 分

即 a ? 2 ? a 在区间 [0,1] 上恒成立,所以 a ? 2 ? 1 ,即 a ? 3 ,
x

所以 1 ? a ? 3 . 即 a 的取值范围是 (1,3) . (Ⅱ)由已知 f ( x)= log a x

2 ,可知 f ( x ) 在 [1, a ] 上单调递增,在 [ ,1] 上单调递减,

1 a

1 ? x0 ? x1 ? x2 ? ? ? xn ?1 ? xn ? a 2 , a 当存在某一个整数 k ? {1, 2,3,?, n ? 1} ,使得 xk ? 1 时,
对于 ( , a ) 内的任意一个取数方法
2

1 a

?
i ?1

n

f ( xi ) ? f ( xi ?1 ) ? [ f ( x0 ) ? f ( x1 )] ? [ f ( x1 ) ? f ( x2 )] ? ? ? [ f ( xk ?1 ) ? f ( xk )]

?[ f ( xk ?1 ) ? f ( xk )] ? [ f ( xk ?2 ) ? f ( xk ?1 )] ? ?? [ f ( xn ) ? f ( xn?1)] 1 ? f ( ) ? f (1) ? f (a 2 ) ? f (1) ? 1 ? 2 ? 3 . …………………7 分 a

当对于任意的 k ? {0,1, 2,3,?, n ? 1} , xk ? 1 时,则存在一个实数 k 使得 xk ? 1 ? xk ?1 , 此时

?
i ?1

n

f ( xi ) ? f ( xi ?1 ) ? [ f ( x0 ) ? f ( x1 )] ? [ f ( x1 ) ? f ( x2 )] ? ? ? [ f ( xk ?1 ) ? f ( xk )]

? f ( xk ?1 ) ? f ( xk ) ? [ f ( xk ?2 ) ? f ( xk ?1)] ??? [ f ( xn ) ? f ( xn?1)] ? f ( x0 ) ? f ( xk ) ? f ( xk ) ? f ( xk ?1 ) ? f ( xn ) ? f ( xk ?1 ) ……(*)
当 f ( xk ) ? f ( xk ?1 ) 时, (*)式 ? f ( xn ) ? f ( x0 ) ? 2 f ( xk ?1 ) ? 3 , 当 f ( xk ) ? f ( xk ?1 ) 时, (*)式 ? f ( xn ) ? f ( x0 ) ? 2 f ( xk ) ? 3 , 当 f ( xk ) ? f ( xk ?1 ) 时, (*)式 ? f ( xn ) ? f ( x0 ) ? f ( xk ) ? f ( xk ?1 ) ? 3 .……………9 分 综上,对于 ( , a ) 内的任意一个取数方法 均有

1 a

2

1 ? x0 ? x1 ? x2 ? ? ? xn ?1 ? xn ? a 2 , a

?
i ?1

n

f ( xi ) ? f ( xi ?1 ) ? 3 .

所以存在常数 M ? 3 ,使

? f (x ) ? f (x
i ?1
2

n

i

i ?1

) ? M 恒成立,

所以函数 f ( x ) 在区间 [ , a ] 上具有性质 P . 此时 M 的最小值为 3 . …………………10 分

1 a


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