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空间两条直线位置关系

时间:2017-03-10


两条直线的位置关系
知识点梳理
1.四个公理 公理 1:如果一条直线上的________在一个平面内,那么这条直线在此平面内. 作用:可用来证明点、直线在平面内. 公理 2:过______________的三点,有且只有一个平面. 作用:①可用来确定一个平面;②证明点线共面. 公理 3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们____________,这些公共点的集合是经过该点的公共直线. 作用:①可用来确定两个平面的交线;②判断或证明多点共线;③判断或证明多线共点. 公理 4:平行于同一条直线的两条直线________. 作用:可用来判断空间两条直线平行. 2.空间直线的位置关系 (1)位置关系的分类:
? , ? ? ?共面直线? ? W. ? ? ? ? 异面直线:不同在

一个平面内.

(2)异面直线所成的角: ①定义:设 a,b 是两条异面直线,经过空间中任一点 O 作直线 a′∥a,b′∥b,把 a′与 b′所成的__________ 叫作异面直线 a 与 b 所成的角(或夹角). ②范围:________. (3)空间等角定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角__________. 3.空间直线与平面、平面与平面之间的位置关系

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基础巩固
1.下列关于异面直线说法正确的是________. (1)若 a?α ,b?β ,则 a 与 b 是异面直线; (3)若 a,b 不同在平面 α 内,则 a 与 b 异面;

(2)若 a 与 b 异面,b 与 c 异面,则 a 与 c 异面; (4)若 a,b 不同在任何一个平面内,则 a 与 b 异面.

2.给出下列四个命题,其中真命题的序号是________. ①平面外的一条直线与这个平面最多有一个公共点; ②若平面α 内的一条直线 a 与平面 β 内的一条直线 b 相交,则 α 与 β 相交; ③若一条直线和两条平行线都相交,则这三条直线共面; ④若三条直线两两相交,则这三条直线共面. 3.下列四个命题中,为真命题的是________(写出编号). ①若两个平面有三个不共线的公共点,则这两个平面重合; ②两条直线可以确定一个平面; ③若 M∈α,M∈β,α∩β=l,则 M∈l. 4.a,b 是异面直线,c 与 a,b 都相交,则由这三条直线中的两条可确定________个平面. 5.若直线 l1 和 l2 是异面直线,l1 在平面 α 内,l2 在平面 β 内,l 是平面 α 与平面 β 的交线,则下列命题正确的是( A.l 与 l1,l2 都不相交 B.l 与 l1,l2 都相交 C.l 至多与 l1,l2 中的一条相交 D.l 至少与 l1,l2 中的一条相交 6.如图所示,正方体 ABCD A1B1C1D1 中,M,N 分别为棱 C1D1,C1C 的中点,给出以下三个结论: ①直线 AM 与 CC1 是相交直线; ②直线 AM 与 BN 是平行直线; ③直线 BN 与 MB1 是异面直线. 其中正确的结论为________(把你认为正确的结论的序号都填上). 7. 如下图所示, 在空间四边形 SABC 中, G1, G2 分别是△SAB 和△SAC 的重心, 则直线 G1G2 与 BC 的位置关系是( A.相交 B.平行 C.异面 D.以上都有可能 ) )

8.如上图所示,在四棱锥 P ABCD 中,底面 ABCD 为平行四边形,E,F 分别为侧棱 PC,PB 的中点, 则 EF 与平面 PAD 的位置关系为________,平面 AEF 与平面 ABCD 的交线是________. 9.如图所示,G,N,M,H 分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点,则在下列三棱柱中, 直线 GH,MN 是异面直线的有________(填上所有正确答案的序号).

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典型例题
异面直线所成的角 例 1.三棱柱 ABC A1B1C1 的底面是正三角形,侧棱垂直于底面,底面边长为 2,高为 2,M 是 AB 的中点, 则直线 CM 与 BC1 所成的角等于________. 例 2.在三棱锥 ABCD 中,AB=AC=BD=CD=3,AD=BC=2,点 M,N 分别为 AD,BC 的中点, 则异面直线 AN,CM 所成的角的余弦值是________.

[总结反思] 求异面直线所成角的常用方法是平移法,平移方法一般有三种类型: (1)利用图中已有的平行线平移; (2)利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移; (3)补形平移等. 练习 1.直三棱柱 ABCA1B1C1 中,∠BCA=90°,M,N 分别是 A1B1,A1C1 的中点,BC=CA=CC1, 则 BM 与 AN 所成角的余弦值为________ 2.(1)如图所示,在四棱锥 P ABCD 中,底面 ABCD 是矩形,PA⊥平面 ABCD,E 是 PC 的中点. 已知 AB=2,AD=2 2,PA=2,则异面直线 BC 与 AE 所成角的大小为________. (2)如图所示,在底面为正方形,侧棱垂直于底面的四棱柱 ABCD A1B1C1D1 中,AA1=2AB, 则异面直线 A1B 与 AD1 所成角的余弦值为___________

例 3.在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,E、F 分别是 AB,BC 的中点,求异面直线 BD1、EF 所成角的大小.

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强化练习
1.如图,在棱长为 1 的正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,E,F 分别是 A1B1 和 CC1 的中点. (1)求异面直线 BD 与 B1C 所成的角; (2)求证:EF∥平面 ACB1.

2.在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,O 为底面 ABCD 的中心,E、F 分别为 CC1、AD 的中点,求异面直线 OE 与 FD1 所成角的余弦值.

3.如图,在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,E 是 B1C1 的中点,O 是正方形 A1B1C1D1 的中心,连接 AO,CE,求异面 直线 AO 与 CE 所成的角的余弦.

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