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2016年全国高中数学联合竞赛加试(A卷)


2016 年全国高中数学联合竞赛加试(A 卷)
1, 2,? , 2015) . 一、 (本题满分 40 分) 设实数 a1 , a2 ,? , a2016 满足 9ai > 11ai2+1 (i =
2 2 2 ) ? ( a 2 ? a3 ) ? ? ? ( a2015 ? a2016 ) ? ( a2016 ? a12 ) 的最大值. 求 ( a1

? a2

二、 (本题满分 40 分) 如图所示, 在△ ABC 中, X , Y 是直线 BC 上两点( X , B, C , Y 顺次排列) ,使得 BX ? AC ? CY ? AB . 设△ ACX ,△ ABY 的外心分别为 O1 , O2 ,直线 O1O2 与 AB, AC 分别交于点 U ,V . 证明:△ AUV 是等腰三角形.

威 海





任 怀



A



O1 X B

U

O2



V C Y

三、 (本题满分 50 分) 给定空间中 10 个点, 其中任意四点不在一个平面 上.将某些点之间用线段相连,若得到的图形中没有三角形也没有空间四边形, 试确定所连线段数目的最大值.

四、 (本题满分 50 分) 设 p 与 p + 2 均是素数, p > 3 . 数列 {an } 定义为 a1 = 2 , ? pa ? an an ?1 + ? n ?1 ? , n = 2,3,? .这里 ? = ? x? ? 表示不小于实数 x 的最小整数. ? n ? 证明:对 = n 3, 4,? , p ? 1 均有 n pan ?1 + 1 成立.





威 海





任 怀




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