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绵阳一诊文科数学答案


绵阳市高 2011 级第一次诊断性考试

数学(文)参考解答及评分标准
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. CBDDB AACAD 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.
5

11.9

12. a 6

13.5


1 14. ( , 2 ) 15.m<0 或 m>2 e e 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算
步骤. 16.解:(I) f ( x) ? 2(sin x cos

?
3

? cos x sin

?
3

) cos x

? sin x cos x ? 3 cos2 x

?

1 3 (1 ? cos 2 x) sin 2 x ? 2 2

1 3 3 ? sin 2 x ? cos 2 x ? 2 2 2
? sin( 2 x ?

?
3

)?

3 ,……………………………………………6 分 2

∴ T?

2? ? ? ,即 f(x)的最小正周期为 π. …………………………………7 分 2

π π π π 5π ≤ 2 x ? ≤ 2kπ ? ,可得 kπ ? ≤ x ≤ kπ ? ,k∈Z, 3 12 2 2 12 π π 3π 5π 11π 由 2kπ ? ≤ 2 x ? ≤ 2kπ ? ,可得 kπ ? ≤ x ≤ kπ ? ,k∈Z, 3 2 2 12 12 π 5π 即函数 f(x)的单调递减区间为 [kπ ? ,kπ ? ] ,k∈Z, 12 12 ?π 11π 单调递增区间为 [kπ ? ,kπ ? ] ,k∈Z, 12 12 5π 5π π ∴ f (x)在[ 0, ]上是减函数,在[ , ]上是增函数. ………………12 分 12 ?? 2 17.解:(I)设{a n }的公差为 d,则由题知
(II)由 2kπ ?

?a1 ? 3d ? 14, 解得 a 1 =2,d=4. ……………………………………4 分 ? ?a1 ? 4d ? a1 ? 7 d ? 48,
∴a n =2+4(n-1)=4n-2.…………………………………………………………6 分 (II)设{b n }的公比为 q,
数学(文科)答案第1页(共 4 页)

若 q=1,则 S 1 =b 1 ,S 2 =2b 1 ,S 3 =3b 1 , 由已知 2 ? 2S2 ? 3S1 ? S3 ,代入得 8b 1 =4b 1 ,而 b 1 ≠0,故 q=1 不合题意. …………………………………………………………7 分 若 q≠1,则 S 1 =b 1 , S 2 ? 于是 2 ? 2 ?
b1 (1 ? q 2 ) b (1 ? q 3 ) , S3 ? 1 , 1? q 1? q

b1 (1 ? q 2 ) b (1 ? q 3 ) ? 3b1 ? 1 , 1? q 1? q

整理得:4q 2 =3q+q 3 ,解得 q=0(舍去),q=1(舍去),q=3, ………10 分 ∴ S4 ?
2 ? (1 ? 34 ) ? 80 . ………………………………………………………12 分 1? 3

18.解:(I)∵ f ?( x) ?

1 a , ? x x2

∴ 由题意知 f ?(1) ? 2,即 1-a=2,解得 a=-1. 于是 f(1)=-1-2=-3, ∴ -3=2×1+b,解得 b=-5. …………………………………………………6 分

a ? 2≥0 对任意 x>0 恒成立,即 a≥ 2x ? x ln x , x 令 g ( x) ? 2x ? x ln x ,
(II)由题知 ln x ? ∴ g ?( x) ? 2 ? (ln x ? 1) ? 1 ? ln x . ………………………………………………8 分 显然当 0<x<e 时, g ?( x) ? 0 ,即得 g(x)在(0,e)上是增函数,

? 当 x≥e 时, g ?( x) ≤0,即得 g(x)在 ? e, ? ? 上是减函数.
∴ g ( x) max ? g (e) ? e . ∴ a≥e,即 a 的最小值为 e.………………………………………………12 分 19.解:(I)由已知 A=2,
3 , 2

? 且有 2 sin( ? 0 ? ? ) ? 3 ,即 sin? ?
由| ? |<

? ? 得? ? . 3 2

又∵ 最高点为(1,2), ∴ 2 sin(? ? . 6 3 ? ? ∴ y ? 2 sin( x ? ) .…………………………………………………………6 分 6 3 π π (II)∵ B 点的横坐标为 3,代入函数解析式得 yB ? 2sin( ? 3 ? ) =1, 6 3 ∴ BD ? 12 ? (4 ? 3) 2 ? 2 .…………………………………………………8 分
数学(文科)答案第2页(共 4 页)

?

解得 ? ? ) ? 2,

?

在△BCD 中,设∠CBD=θ,则∠BDC=180? -120? -θ=60? -θ. 由正弦定理有 ∴ CD ?
BD CD BC ,? ? ? sin 120? sin ? sin(60? ? ? )

2 6 2 6 sin ? , BC ? sin(60? ? ? ) , …………………………………9 分 3 3 2 6 [sin ? ? sin(60? ? ? )] 3

∴ BC ? CD ?

?
?

2 6 3 1 [sin ? ? cos ? ? sin ? ] 3 2 2
2 6 ? sin(? ? ) . 3 3

∴ 当且仅当 ? ?

?
6

时,折线段 BCD 最长,最长为

2 6 千米.……………12 分 3

20.解:(I)由于 f(1+x)=f(2-x)知函数 f(x)关于 x ? 即?

3 对称, 2

b 3 2 ? ,解得 b=-3,于是 f(x)=x -3x+2.………………………………3 分 2 2

? x 2 ? 1,x ? ?1或x ? 1, ? g ( x) ? ? 2 ? ?1 ? x , 1 ? x ? 1, ?
当 x≤-1,或 x≥1 时,由 f(x)≥g(x)有 x 2 -3x+2≥x 2 -1,解得 x≤1, ∴ 此时 x 的范围为 x≤-1,或 x=1. 当-1<x<1 时,由 f(x)≥g(x)有 x 2 -3x+2≥1-x 2 ,解得 x≤ ∴ 此时 x 的范围为-1<x≤
1 . 2

1 或 x≥1, 2

∴ 综上知,使不等式 f(x)≥g(x)成立的 x 的取值集合为{x|x≤

1 或 x=1}. 2 ………………………………………………………………7 分

?2 x 2 ? bx ? 3,x ? ?1或x ? 1, (II) h( x) ? ? ? 1 ? x ? 1, ?bx ? 5, ?2 x 2 ? 3,x ? ? 1 x ? 1 或 , 若 b=0 时, h( x) ? ? 显然 h(x)>0 恒成立,不满足条件. ? 1 ? x ? 1. ?5,
…………………………………………………………………9 分 若 b≠0 时,函数 ? (x)=bx+5 在(0,1)上是单调函数, 即 ? (x)在(0,1)上至多一个零点,不妨设 0<x 1 <x 2 <2. ①如果 0<x 1 <1,1≤x 2 <2 时,则 ? (0)? (1) ? 0 ,且 h(1)h (2)≤0,即
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?b ? 5 ? 0, 11 解得 ? ≤ b ? ?5 . ? 2 ?(b ? 5)(2b ? 11) ? 0,
经检验 b ? ?

10 11 11 时, h(x) 的零点为 ,2(舍去),∴ ? < b ? ?5 . 2 11 2

②若 1≤x 1 <x 2 <2 时,

? h(1) ? 1, ?b ? 5 ? 0, ? h(2) ? 0, ?2b ? 11 ? 0, ? ? ? 即? 得:-5≤ b ? ?2 6 . b ? ?1 ? ? 4 ? 2, ?? 8 ? b ? ?4, ?b ? ?2 6或b ? 2 6, ? 2 ?b ? 24 ? 0, ? ?
∴ 综上所述 b 的取值范围为 ?

11 ? b ? ?2 6 . ……………………………12 分 2

21.解:(I)∵ f ?( x) ? e x ? 2 x ? a(a ? 0) , ∴ 当 x∈[-2,0]时, f ?( x) ? 0 ,即 f (x)在[-2,0]上是增函数, ∴ f ( x) max ? f (0) ? 1 . …………………………………………………………4 分 (II)∵ 函数 f(x)恰有两个不同的极值点 x 1 ,x 2 , ∴ 方程 e x -2x-a=0 有两个不同的零点 x 1 ,x 2 . 令 h(x)=e x -2x-a. ① h?( x) ? e x ? 2 , 当 x ? ln 2 时, h?( x) ? 0 ,h(x)是减函数; 当 x ? ln 2 时, h? (x)>0,h(x)是增函数, ∴ h(x) 在 x=ln2 时取得最小值. ∴ x 1 <ln2.……………………………………………………………………… 9 分 ②∵ h(x 1 )=0,即 e x1 ? 2 x1 ? a ? 0 , ∴ a ? e x1 ? 2 x1 .
2 2 于是 f ( x1 ) ? e x1 ? x1 ? (e x1 ? 2 x1 ) ? x1 ? (1 ? x1 )e x1 ? x1 ,

∴ f ?( x1 ) ? x1 (2 ? e x1 ) . ∵ x 1 <ln2, ∴ 2 ? e x1 ? 0 . ∴ 当 x 1 <0 时, f ?( x1 ) ? 0 ,f(x 1 )是减函数; 当 0≤x 1 <ln2 时, f ?( x2 ) ? 0 , f ( x1 ) 是增函数. ∴ f (x 1 )在(-∞,ln2)上的最小值为 f(0)=1,此时 a=1.…………………14 分

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