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08年图象信息题的求解方略

时间:2015-05-26


2 0 0 9年  第 4 8卷  第 5期 

数 学 通 报 

3 5  

0 8年 图象信 息题的求解方略 
张敬 祝 
( 江 苏 省 阜 宁 中学 数 学 组  2 2 4 4 0 0 )  

图象 信息 题 的形式 大多 数是 以选 择题 和 填 空 

题为 主 , 重点考 查 学生 的观 察能 力 、 独立研 究 探 索  问题 的能 力 , 因此一 直是 高 考 中的热 点 , 而解决 图 


1   2 t a n   z ( 吾 < z ≤ 7 【 1  
{   , 根据解析结合 函数图象 

f   2 s i n   L z ( 7 c < z < 号7 【 )  
易 知 应 选 D.  

象信息 题 的关键 在 于从 观察 与捕 捉 图象特 征 中获  取信息 , 即从 图象 中检索 存储 的有 关 信息 , 进行 鉴  别、 筛选 、 分析、 综 合、 抽象概括和表达, 有 时 还 利 
用 特殊 化思 想 和极 端 化 思 想 进 行 合 情 推 理 , 纵 观  O 8年 各地 高 考 试 题 解 决 图 象 信 息 题 主要 从 以 下 
几方 面人 手.   1 直 接 应用解 析 法求解 

解 法二


本 题 也 可 以选 用 特 值 法 求 解 : 取 z  

孚 丌 , 则   一 一 1 +  一 1 一  一 一 2 , 结 合 图 应 选  
点评 解析 一 比较 繁 琐 , 相 比之 下 解 析 二 确 

D.  

为 妙笔 , 观察 四个 函数 图象 , 用 定量 计算 选用 特值  法, 简缩 了思维过 程 , 节省 解题 时 间 , 只 有此 时 , 该  题 才是 一个 真正 的“ 小题” , 事半 功倍 .   2 定性 分析 法 求解  对给 定 的 函数 图 象 , 利用 图象提供 的信息 , 进  行定 性 的合情 推理 可使 问题 得 以解决 .   例2   ( 0 8年 山 东 卷 、 1 2 ) 已知 函数 f( z ) 一   l o g 。 ( 2   +6 —1 ) ( & >0 , a ≠1 ) 的图象 如 图所 示 , 则 
a , b满 足 的 关 系 是 (  
A. 0< n   <6 < 1  
C. O< 6   < 口< 1  

对能 够写 出解 析 式 的 函数 图象 问题 , 可 以先 
根据 已知 条件 写 出 函数 解 析式 , 再 结 合解 析 式 对  选 项进 行选 择排 除.   例 1   ( 0 8年 江 西 卷 、 6 ) . 函 数  — t a n   z+  

s i n   z —l   t a n  — s i n - z   l 在区间f 詈,  1 内 的图 象  
、 厶  厶 ,  

大致 是 

)  
B.0 <b <&   < 1  
D. O< &   < 6 一  < 1  

分 析  由图象 可 知 本题 是 单 调 函数 , 从 解 析 
A 
B 

式看 本题 又是 复 合 函数 , 因此 解 决 本 题 的关 键 是  对复 合 函数进 行分 解 , 对复 合 函数进 行定 性 分析 ,  

7 r  

j7 r  

2   7 r   2  

仃  3 7 r   2   仃  2  
…  

一 2   \   j  
…  

D 

再用 复合 函数 单调 性 的判别 方法 便 可求解 .  
J ,  

C 

D 

分析

本 题 的解 析 式 已给 出 , 化 简 解 析式 可 

/, 
O  ,


得分 段 函数 , 从 而转 化 为 我 们 熟 悉 的 正 切 函数 和 

x  

正弦 函数 的 图象 问题 , 这 样 由题 干 中 的 选择 支不 
难 求解 .   解 法 一  Y —t a n   +s i n   z— l   t a n   z —s i n   zl   解析





/   -  

令 £ 一2   +6 —1 , 则 Y —l o g 。 t  

因为 t 一2   +6 —1是增 函数 ,  
而 _ 厂 (  ) 一l o g 。 ( 2   +6 —1 ) ( a >O , n ≠1 ) 也 是 

增 函数 , 所 以 由复 合 函 数 的单 调性 可 知 , Y —l o g   t  

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必须是增 函数 , 故 > 1 , 又 由图象知 , 厂 ( O ) :l o g 。 b  
1  

可迅速 发现 数量关 系 , 从 而使 解法 简捷巧妙 , 经 常  这样 的训练不 仅 可以培养 从观察 中发现 图形特 征 

∈( 一1 , 0 ) , 即 l o g  
“  

<l o g 。 b <l o g   1 ,所 以 0 < 

的能力 , 而且也 培 养 了善 于运 用 数形 结 合 方 法解 
题 的能 力.   例4 ( 0 8江 苏 卷 、 7 ) . 某 地 区 为 了解 7 0 ~8 O  

n   <6 <1 . 应 选 A.  

点评

定 性分 析法是 解决 与图象有关 问题 的 

有效 方法 , 它能简化 复杂 的运算过 程 , 所 谓定 性分  析法 , 就 是在 做题 时 通 过对 题 干 中显 示 出 的某 些 

岁 老人 的 日平均 睡 眠 时 间 ( 单位 : h ) , 随 机 选择 了   5 0位老 人进 行 调 查. 下表是这 5 O位 老 人 日睡 眠  时 间的频 率分 布表.  

特性 的研 究 、 分析 , 分 离 出解 决 问题 的信 息 , 从 而 
使 问题得 到解 决 的 方法. 如 研究 分 析 函数 的定 义  域、 值域 、 奇偶性 、 最值.  
3 定 量 分 析 法 求 解 

定量分 析法 是解 决 图象 信 息 题 常用 的方 法 ,  

就是通 过 图像 提供 的数据 , 进行 分析 , 合 理 的选用 
公式 , 但 要注 意运 算 熟 练 , 跳 步合 理 , 恰 当选 择 解  题方法 , 还要 注意恰 当地运 用估算 与特例 等方法 .  
f — H- l  

卫 
/  ) \ 、 G   F   /  
l  
s— s+G  F 

IⅣ  
I   l ,  

/输出  / 

序 号 

分 组  ( 睡眠时间)  

组 中值  ( G   )  

频 数  ( 人数)  

频 率  ( F   )  

例3 ( O 8年广 东 文 、 1 1 ) 为 了调查 某 工 厂工  人生 产某种 产 品的能力 , 随机抽 查 了 2 0位工 人某  天生 产 该 产 品 的 数 量 . 产 品 数 量 的 分 组 区 间 为 

( i )  

1  
2  

[ 4 , 5 )  
[ 5 , 6 )  

4 。 5  
5 . 5  

6  
1 0  

0 . 1 2  
0 . 2 O  

[ 4 5 , 5 5 ) , [ 5 5 , 6 5 ) , E 6 5 , 7 5 ) , [ 7 5 , 8 5 ) , [ 8 5 , 9 5 ) , 由  
此 得 到频 率分 布直方 图如 图所示 , 则这 2 0名工 人 

3   4   5  

[ 6 , 7 )   [ 7 , 8 )   [ 8 , 9 )  

6 . 5   7 . 5   8 . 5  

2 O   l O   4  

0 . 4 0   0 . 2 0   O . O 8  

中一天生 产该 产 品数 量 在 [ 5 5 , 7 5 ) 之 间 的人 数 是 
● 
...................... .....  .....一

分析

对直 方 图进 行 定量 分 析 可 知 , 在E s 5 ,  

在 上述 统 计数 据 的分 析 中, 一 部分 计算 算 法  流程 图如上 , 则输 出 的 s的值 是  分析 .   观察流 程 图和频 率 分 布 表 可 知 : 本题 

7 5 ) 内有两个 小长方 形 , 其高 分 别 为 0 . 0 4 、 0 . 0 2 5 ,  
活用公 式 : 频 率 一频 数/ 样本 容量 , 问题 可解决  解  由题 意得 : ( 0 . O 4 +0 . 0 2 5 ) ×1 0 ×2 0 —1 3  
( 人)  

以算 法 中的循 环 结 构 为载 体 , 表 达 的是 利用 组 中  值求 平 均数 , 一 般地, 若 每 组 中的 组 中 值 为 z   ,  

点评  识 别 图象 中 的 各 种 关 系 是 解 题 的 关 

z   , z 。 , …z   , 对应 的 频率 为 P   , P   , P 。 , …P   , 则 其 
平均数 为 P 1 z l + z z 2 +P 3 z 3 + …+  z   .   解  由题 意得 : 4 . 5 ×0 . 1 2 +5 . 5 ×0 . 2 0 +6 . 5  
× 0. 4 0+ 7 . 5X 0 . 2 0+ 8 . 5× 0 . 08— 6 . 42  

键, 在频率 分布直方 图中 , 每个 小矩形 的面积 等 于  相应 的各组 的频率 , 而各 组频 率 之 和等 于 1 , 因此 
各小矩形 的面 积之 和等 于 1 , 掌握 上 述 结 论 对 于 

解 决此类 问题很 有 帮助.  
4 观 察 法 求 解 

点评

算法 的描 述有 自然 语 言 、 流 程 图 和伪 

代码 , 它们 之 间是 相通 的 , 而且在 同一种结 构 中也 
可 以是相 同 的 , 因此 解决 本 题 的关 键 是识 别流 程 

图象 信息题关 键是 借助 图象 , 形 象观察 , 这 样 

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图, 一定 要 弄清 何 时 循 环 ( 清楚 循 环 的条 件 ) ? 如  何控 制循 环 ?循环 多少 次 等 问题 .   例 5 ( 0 8年 湖北 卷 、 1 0 ) . 如 图所 示 , “ 嫦 娥 一  号” 探 月 卫星 沿地 月转 移轨 道飞 向月 球 , 在 月球 附  近一 点 P进 人 以月 球 球 心 F 为 一 个 焦 点 的椭 圆  轨道 J绕月 飞行 , 之 后 卫 星在 P点 第 二 次 变轨 进  入仍 以 F 为 一个 焦 点 的椭 圆轨道 Ⅱ绕 月 飞行 , 最  终卫 星在 P点 第 三 次 变 轨 进 入 以 F 为 圆心 的 圆  形 轨道 Ⅲ绕 月 飞行 , 若用 2 c  和 2 c   分 别 表示椭 轨  道 I和 Ⅱ的焦距 , 用 2 n  和 2 n 。分 别 表 示 椭 圆 轨 
道 I和 Ⅱ的 长 轴 的 长 , 给 出下列 式 子 :  
: P 

构 造模 型等 .   例 6   ( 0 8年 浙 江 卷 、 1 0 ) 如图, AB 是 平 面 a   的斜线 段 , A 为斜 足 , 若 点 P 在 平 面 a内 运动 , 使 

得 △AB P 的面积 为 定值 , 则动点 J P的轨 迹 是 (  
) .  

A.圆   B .椭 圆  C . 一 条 直线  D .两 条平行 直 线 

分 析  因为△ AB P 的面 积 为定 值 , 且 AB为  定长, 所 以 P 点 到 AB 的 距 离 为 定 值 , 又 因为 P  
①& I +f 】 一a   2 +c 2 ; ②& l —c 1 一a   2 一c 2 ; ③f 1 n 2  
>& 1   c 2 ; ④L   J <  .  
“ 1   a2  

点 在平 面 a内 , 由于 圆柱 的 侧 面上 任 一点 到 圆柱  的中轴线 的距 离相 等 , 故 可 以构 造 圆 柱用 一 个 平  面斜 截 圆柱侧 面解 决此 题.   解析


其 中正确式 子 的序 号是 
A. ① ③  B . ② ③  C . ① ④  D . ② ④ 

构 造 出一 个 圆柱 , 则 圆柱 侧 面上 的任 

点 到轴 线 的距 离 都 相 等 , 现 用一 平 面 a斜 截 圆 

分析

结合 题 目条 件 细 致 观 察 图 形 , 可 以发 

柱, 与 圆柱 的侧 面相 交 , 所得 交 线 的轨 迹 为 椭 圆.  
故选 B  

现两个 规律 : ①I   PFf 始终是定 值; ② 椭 圆轨 道 I   的长轴 大 于椭 圆轨道 Ⅱ的长轴 , 即有 2 a   >2 n z , 为 
此 得到 如下 的解 法.  

点评

本 例是 通 过 构 造 图形 来 解 决 问 题 的 ,  

那么解 决 问题 时 , 如 何构 造 图形 呢?这 需要 观察 、  
分析题 目的条 件 与 结 论 的结 构 , 并 联 想 以往 的 特  殊 图形 的相关 结 论 , 另 一 方 面 不注 意思 维 方 法 与 

解  由题 意 知 : P F—n—C , 所以 n l —f l —a 2  
一c   , 故 ② 正确 : 又 因为 n   >n   , 所 以  
¨ 1  

< 

技巧 .  

二   1一   < 1一 c d 2 _
Ⅱ2   口 1   a 2  



所 以  >  , 所以 & 2 c 1 >  a1   “2  

6 拼 接 法 求 解 

拼接 法主要 是 求 解 拼 接 问题 , 由于 拼 接 问 题  情 景新 颖 、 内涵 丰富 、 极 富创 意等特 点为 高考 注 入 

a   c 。 , 故 ③ 正确. 所 以选 B .   点评 求 解 图象信 息题 , 观察 法是 核心 , 所以   考 生应 注意全 方 位 地 、 立 体 地 观 察 分 析 图 形 深 刻 

了新 的气息 , 它作 为 高考热 点 、 重点题 型 之一 从 幕  后 走到 前 台 , 近几年经常活 跃在高考试题 中( 如 
0 7 年 上海 卷 果 圆 问题 就 是 由两 个 半 椭 圆拼 接 而  成 等等 ) .  

揭求 图 象本质 , 善 于发 现 图象 中隐含 条件 和 性质 ,  
加 深 对 图 中各 个 变 量 含 义 的 理 解 , 概 括 出规 律 , 能 

够发 现别 人不 易察 觉 的东 西.  
5 构 造 法求解 

例7 ( 0 8 年 重 庆卷 、 1 1 ) 如图 , 模 块 ①一 ⑤ 均  由 4个棱 长 为 1的小 正方体 构 成 , 模 块⑥ 由 1 5个  棱 长为 1的小正 方体 构成 ,现从模 块 ①一 ⑤ 中选 
( 下转 第 4 4页 )  

构造 法是 一 种快 速 解 题 的好 方 法 , 解 题 时 可 

以构 造特 例 ( 或特殊值法) 、 构 造 图形 、 构 造 函数 、  

4 4  

数 学通报 

2 0 0 9年  第 4 8卷  第 5期 

“ 非常好 !结 果 正 确. 我注意到你在加上 ‘ n  
厶  厶2  

是( 一元 二次 方程 的) ‘ 求 根公式 ’ 啊! ”   “ 我们成 功 了 !今天 , 我们不 仅探 索 了一 般 的 


×(   )   =  ’ 时做 法 和前 面有 所 不 同 , 你 可 以解 
U   “  

元二 次方程 的解 法 , 并 且 推 导 出 了它 的 求根 公 

释一下 吗? ”  

式, 太 使人 高兴 了 !更 可贵 的是这 一切 , 都 是你 通  过 自己 的探 索 、 试验 、 思考、 筛选 、 概括、 归 纳 而得 
到 的. 它说 明原来 我有能 力做很 多事 情 , 包 括我原  以为做 不到 的事 !   但是 , 要注 意 , 我们 还 有很多 问题还 有待进 一  步研 究 , 例如 , 一元二 次方 程一定 有实数 根 吗?一 

“ 是的, 我认 为我 的做法 是一 种 改进 ! 虽 然 我 
们 曾经列 为化归 目标 的方 程 是形 如 a (  一  )   +k  

一0的方 程 , 但 在后续 的解 法 中 , 实际 上存 在 的化  归 目标 却是形如 (  一 )   — 的方程 , 所 以改变 了  在等式 一边加减 的做 法 , 而 采取在 等式 两边 ‘ 都加  上’ 的做 法 , 是直 奔 目标 的方法 . ”   “ 这 的确 是 一 个 好 的 改进 ,你 能 依 照 自 己的  思考 判断来 处 理 问题 , 值 得 我们 大 家 学 习 !我们  也应 当像他那 样做 …… 另一 方 面 , 让 我们 再认 真  地想一想 , 你们 实 际 上完 成 了一项 很 有 意义 的工  作 !你们 知道这 个工作 的意义 是什 么 吗? ”   “ 因为我们求 解 的是 一个 一 般 的 一元 二 次 方  程, 根 的表达 式都是 用方 程系数 表示 的式子 , 所 以  我们 只需把字 母 表 示 的系 数 代人 , 再 计 算 出相 应 
的式 子的值 , 就 是方 程 的 根 了 !它 使 得 我们 可 以 

元二 次方程 有 几 个 实数 根 ?求 根公 式 说 明 , 只 需  对方 程的 系数 做 运 算 , 就 能求 出一 元 二次 方 程 的  实 数根 , 说明‘ 根’ 和 ‘ 系数 ’ 有 着 密 切 的关 系 , 这 
种 关 系能有进 一步 的发现 吗? ……我们 还是 任重  而道 远 !我们要 继续 努力 ! ”   【 点评 6 】教 师巧妙地把 一 元二 次方程 求根 公  式 的推导 过 程 设 计 为 让 学 生 “ 先 实践, 再 深 化 认  识” 的过程 , 这样做 , 把 建立公 式 的过 程 交给 学生 ,   在 实践 中提 高 了独 立操 作 的能 力 , 在 思考 中加 深  对公 式意义 的理解 和认识. 这样做 , 既提 升 学生独  立学 习的信 心 , 也 提 高 了学 生恒 等 变形 的操 作 技 

舍弃解方 程 的过 程 , 直 接把方 程 的根求 出来 , 又 简  单、 又方便 , 真棒 ! ”   “ 我们 怎样称 呼它 呢? ”  
“ 它就是 求一元 二次方 程 的根 的计 算公 式 , 就 
( 上接 第 3 7页)  

能. 对提 高学 生学 习数 学的 能力有 长远 的裨 益.  

出三个放 到模 块 ⑥上 , 使 得 ⑥ 成 为一 个 棱 长 为 3  

( 即为 右 图 的 黑 色 区域 ) . 显 然  只需将 模 块① 拼 接在 最上 层 的  左边( 即右 图的斜 线 区域 ) 只需 

的大正方体 , 则下列 选择 方案 中 , 能够 完成任 务 的 
为(   ) .  

再 将 最 上 层 铺 满 即 可. 再 将 模  块② 拼 接 最 上 层 的 右 上 方 ( 即 
右 图的 白色 区域 ) . 故选 A.  
模 块 ①  模 块 ②  模 块 ③ 

点评

本 题拼 接成一 个棱 长为 3的大 正方体 

的联合 体问题 , 解 决 本 题 的关 键 是 以“ 降 维” 的思 
想为 指导 , 根据 联合体 “ 拼 接” 生成 的方式 , 从 整体 

上着 眼 , 细节 人手 , 寻求 联合 体所包 含 的各 个元 素  基 本量 之 间的关 系 , 化整 为零 , 逐个 击破.  

综 上所述 , 图象 信 息题 形 式 新 颖 , 格 调 清新 ,  
模 块④  模 块⑤  模 块 ⑥ 

能 直接测 试考 生 的感 知能 力 , 同时 它能 摆 脱 繁琐 

A.模块 ① , ②, ⑤ 

B .模块 ① , ③, ⑤ 

的计 算 、 严 密的推理 , 给考 生 留 下 更 多 的思 维 空 

C . 模块 ② , ④, ⑤ 
分析

D .模 块③ , ④, ⑤ 

间, 更 有利 于培养数 学 思维 能力 等数 学素 质 , 这 种 
别 开生 面 的常考 常新 的图象信 息题将 在 高考试题 
中继 续 发展.  

本 题采 取搭积 木 的方 法进行 拼接 

解析

观 察六个 模 块 , 将 模块 ⑤ 搭在 模 块 ⑥ 

的右下 角 , 则最 上 层 的右 下 角 已有 一 个小 正 方 体 


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