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湖北省黄冈中学、黄石二中2011届高三联考数学试题(理科)

时间:2010-12-03


湖北省黄冈中学、黄石二中 2011 届 高 三 联 考

数学试题(理科)
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) 1.若 A = {2,3,4},B = {x | x = n·m,m,n∈A,m≠n},则集合 B 的元素个数为( ) A.2 B.3 C.4 D.5 2

.已知 S n 是等差数列 {a n } 的前 n 项和,且 S11 = 35 + S 6 , 则S17 的值为 A.117 B.118 C.119 D.120 ( )

3. 已知函数 f ( x ) = ( x ? a )( x ? b)(其中 a > b ) 的图象如下面右图所示, 则函数 g ( x) = a x + b 的图象是 f(x) ( )

A.

B.

C.

D. ( )

4.已知 p : { x | 2 x ? 3 > 1} , q : x | x 2 + x ? 6 > 0 ,则 ?p 是 ?q 的 A.充分不必要条件 C.充分必要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

{

}

5. 由函数 f ( x ) = sin 2 x的图象得到g ( x ) = cos( 2 x ? A.向左平移 C.向右平移

π
6

)的图象, 需要将f ( x) 的图象(



π π
3

个单位 个单位

B.向左平移 D.向右平移

π π
6 6

个单位 个单位

3

6.已知 x>0,y>0,x+3y=1,则

1 1 + 的最小值是 x 3y
C.4 D. 2 3





A. 2 2

B.2

7.在 ?ABC 中, AB ? BC = 3, ?ABC 的面积 S ?ABC ∈ [

3 3 , ] ,则 AB 与 BC 夹角的取值范围是 2 2

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( A. [



π π

, ] 4 3

B. [

π π

, ] 6 4

C. [

π π

, ] 6 3

D. [

π π

, ] 3 2

8.车流量被定义为单位时间内通过十字路口的车辆数,单位为 辆/分,上班高峰期某十字 路口的车流量由函数 F(t)=50+4sin

t (其中 0≤t≤20)给出,F(t)的单位是辆/分, 2
( D.[15,20] ( ) )

t 的单位是分,则在下列哪个时间段内车流量是增加的 A.[0,5] B.[5,10] C.[10,15] 9.函数 y =| x ? 1| + | x ? 2 | + ? + | x ? 2011| A.图象无对称轴,且在 R 上不单调 B.图象无对称轴,且在 R 上单调递增 C.图象有对称轴,且在对称轴右侧不单调 D.图象有对称轴,且在对称轴右侧单调递增 10.记集合 T = {0,1, 2,3, 4,5, 6} , M = ?

? a1 a2 a3 a4 ? + 2 + 3 + 4 ai ∈ T , i = 1, 2, 3, 4 ? ,将 M 中 7 7 ?7 7 ?
( )

的元素按从大到小的顺序排列,则第 2011 个数是 A.

1 1 0 1 + 2 + 3+ 4 7 7 7 7 1 1 0 0 C. + 2 + 3 + 4 7 7 7 7

1 0 6 5 + + + 7 7 2 73 7 4 1 0 6 6 D. + 2 + 3 + 4 7 7 7 7
B.

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 11.不等式

( x + 1)( x ? 1) < 0 的解集为____________. x
. .

12.已知两点 P (4, ?9) , Q ( ?2,3) ,则直线 PQ 与 y 轴的交点分有向线段 PQ 的比为 13.已知 {a n } 是等比数列, a 2 = 2,a 5 = 14. 对于函数

1 , 则 a1 a 2 + a 2 a3 + ? + a n a n +1 = 4

f ( x) = ax 2 + bx , 存在一个正数 b ,使得 f ( x ) 的定义域和值域相同, 则非零
π? ? π π? ? , ? ,λ∈R,且 ? α ? ? ? cos α ? 2λ = 0 , 2? ? 4 4? ?
3

实数 a 的值为__________. 15.若 α ∈ [ 0, π ] , β ∈ ? ?

?α ? 4 β 3 + sin β cos β + λ = 0 ,则 cos ? + β ? 的值为= ?2 ?



三、解答题: (本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 16. (本小题满分 10 分) 已知 f ( x ) = 2 cos 2 x + 2 3 sin x cos x + a , a 为实常数。 (I)求 f ( x ) 的最小正周期;

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(II)若 f ( x ) 在 [ ?

π π

, ] 上最大值与最小值之和为 3,求 a 的值。 6 3

17. (本题满分 12 分)

?ABC 中内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,
向量 m = (2 sin B, ? 3), n = (cos 2 B, 2 cos (Ⅰ)求锐角 B 的大小, (Ⅱ)如果 b = 2 ,求 ?ABC 的面积 S ?ABC 的最大值
2

B ? 1) 且 m / / n 2

18. (本题满分 12 分) 已知函数 f ( x) = ax + b 1 + x 2 ( x ≥ 0) ,且函数 f ( x)与g ( x) 的图象关于直线 y = x 对 称,又 f ( 3) = 2 ? 3, g (1) = 0 . (1)求 f ( x ) 的值域; (2)是否存在实数 m ,使命题 p : f ( m 2 ? m) < f (3m ? 4) 和 q : g (

m ?1 3 )> 满足复合命 4 4

题 p且q 为真命题? 若存在, 求出 m 的范围; 若不存在, 说明理由.

19. (本题满分 14 分) 随着国家政策对节能环保型小排量车的调整,两款 1.1 升排量的 Q 型车、R 型车的销 量引起市场的关注。已知 2010 年 1 月 Q 型车的销量为 a 辆,通过分析预测,若以 2010 年 1 月为第 1 月,其后两年内 Q 型车每月的销量都将以 1%的比率增长,而 R 型车前 n

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个月的销售总量 Tn 大致满足关系式: Tn = 228a (1.01 ? 1) . ( n ≤ 24, n ∈ N )
2n

?

(1)求 Q 型车前 n 个月的销售总量 Sn 的表达式; (2)比较两款车前 n 个月的销售总量 Sn 与 Tn 的大小关系; (3)试问从第几个月开始 Q 型车的月销售量小于 R 型车月销售量的 20%,并说明理由. (参考数据

5 ≈ 1.09 4.5828

lg1.09 ≈ 8.66 ) lg1.01

20. (本题满分 13 分) 已知函数 f ( x) = log 4 (4 + 1) + kx ( k ∈ R ) 是偶函数.
x

(1)求 k 的值; (2)设 g ( x ) = log 4 ( a ? 2 ?
x

4 a ) ,若函数 f ( x) 与 g ( x) 的图象有且只有一个公共点,求实数 3

a 的取值范围.

21. (本小题满分 14 分) 已知数列 {a n } 满足 a1 = 1, a 2 = 3, 且 an + 2 = (1 + 2 cos (1)求 a2 k - 1 (k ? N + ) ; (2)数列 { yn },{bn } 满足 yn = a2 n ?1 , b1 = y1 ,且 当n ≥ 2 时

nπ nπ )an + sin , n ∈ N ?, 2 2

bn = yn 2 (

1 1 1 + 2 +? + ). 2 y1 y2 yn ?12

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证明当 n ≥ 2 时,

bn +1 b 1 ? n = 2; 2 2 (n + 1) n n
1 1 1 1 ) ? (1 + ) ? (1 + ) ?? ? (1 + ) 与 4 的大小关系. b1 b2 b3 bn

(3)在(2)的条件下,试比较 (1 +

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参考答案
1-5 BCAAB 6-10CBCDB

11. ( ?∞, ?1) ∪ (0,1) 12.2

32 (1 ? 4 ? n ) 3 14. a = ?4
13. 2 15. 2 16.解: (I) f ( x ) = 1 + cos 2 x + 3 sin 2 x + a = 2 sin(2 x + 所以 f ( x ) 的最小正周期 T = π ; (II)∵ x ∈ [ ?

π
6

) +1+ a
………………………5 分

π π
6 3 ,

] , 则 2x +

π
6

∈ [?

π 5π
6 , 6

]

π 1 ∴ sin(2 x + ) ∈ [? , 1] 6 2

所以 f ( x ) 是最大值为 3 + a ,最小值为 a 依题意有: 3 + 2a = 3 ,

∴ a=0
2

………………………10 分

17.解: (1)∵ m // n ∴ 2 sin B ( 2 cos

B ? 1) = ? 3 cos 2 B 2

∴ sin 2 B = ? 3 cos 2 B



tan 2 B = ? 3

又∵ B 为锐角 ∴ 2 B ∈ (0, π )

∴ 2B =

2π 3

∴B =

π
3

……………………………………6 分

(2)∵ B =

π
3

, b = 2,由余弦定理 cos B =

a2 + c2 ? b2 得 2ac

a 2 + c 2 ? ac ? 4 = 0
又∵ a + c ≥ 2ac 代入上式得: ac ≤ 4 (当且仅当 a = c = 2 时等号成立。 )
2 2

S ?ABC =

1 3 ac sin B = ac ≤ 3 (当且仅当 a = c = 2 时等号成立。 )………12 分 2 4

18. (1)由 f ( 3) = 2 ? 3, f (0) = 1, 得a = ?1, b = 1 ,

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于是 f ( x) = 1 + x ? x( x ≥ 0) ------------------------------------3 分
2

由 f ( x) =

1 1 + x2 + x

,此函数在 [ 0, +∞ ) 是单调减函数,

从而 f ( x ) 的值域为 (0,1] 。------------------------------6 分 (2) 假定存在的实数 m 满足题设,即 f(m2-m) < f(3m ? 4)和 g ( 又 f( )=?

m ?1 3 ) > 都成立 4 4

3 4

3 3 1 + 1 + ( )2 = 4 4 2

∴ g( ) =

1 2

3 , 4

∴ g(

m ?1 1 ) > g ( ) ---------8 分 4 2

由 f ( x ) 的值域为 (0,1] ,则 g ( x ) 的定义域为 (0,1] 已证 f ( x ) 在 [0, +∞ ) 上是减函数,则 g ( x ) 在 (0,1] 也是减函数, 由减函数的定义得

?m 2 ? m > 3m ? 4 ≥ 0 ? ? m ?1 1 < <1 ?0 < ? 4 2
解得,

-------------------------------------------------11 分

4 ≤ m < 3且 m ≠ 2 . 3 因此存在实数 m 使得命题: p 且 q 为真命题, 4 且 m 的取值范围为 [ , 2) ∪ (2,3) .------12 分 3

19.解: (1)Q 型车每月的销售量{ an }足以首项 a1 = a, 公比 q = 1+1%= 1.01 的等比数列...(2 分) ...

a (1.01n ? 1) ∴ 前 n 个月的销售总量 S n = = 100a (1.01n ? 1), (n ∈ N * , 且n ≤ 24) 1.01 ? 1
...(4 分) ... (2) ∵ S n ? Tn = 100a (1.01 ? 1) ? 228a (1.01 ? 1)
n 2n

= 100a (1.01n ? 1) ? 228a (1.01n ? 1)(1.01n + 1) = ?228a (1.01n ? 1) ? (1.01n +
又 1.01 ? 1 > 0,1.01 +
n n

32 ) 57

32 > 0,∴ S n < Tn 57

......... (9 分) .........
n ?1

(3)记 Q、R 两款车第 n 个月的销量分别为 an 和 bn ,则 an = a ×1.01 当 n≥2 时, bn = Tn ? Tn ?1 = 228a (1.01 ? 1) ? 228a (1.01
2n 2n?2

? 1)

= 228a × (1.012 ? 1) × 1.012 n ? 2 = 4.5828a1.012 n ? 2 .........(10 分) .........
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b1 = 4.5828a (或228 × 0.0201a), 显然20% × b1 < a1
当 n≥2 时,若 an < 20% × bn , a × 1.01
n ?1

1 < × 4.5828a × 1.012 n ? 2 5

1.012( n ?1) >

5 5 lg1.09 ×1.01n ?1 ,1.01n ?1 > ≈ 1.09, n ? 1 > ≈ 8.66 4.5828 4.5828 lg1.01
.... ...(14 分)

∴ n≥10,即从第 10 个月开始,Q 型车月销售量小于 R 型车月销售量的 20%.
20.解: (1)由函数 f ( x ) 是偶函数可知: f ( x ) = f ( ? x )

∴ log 4 (4 x + 1) + kx = log 4 (4 ? x + 1) ? kx log 4 4x + 1 = ?2kx 即 x = ?2kx 对一切 x ∈ R 恒成立 4? x + 1
1 2

………………………2 分

………………………4 分

∴k = ?

………………………5 分

(2)函数 f ( x) 与 g ( x ) 的图象有且只有一个公共点

1 4 x = log 4 (a ? 2 x ? a ) 有且只有一个实根 …………………7 分 2 3 1 4 x x 化简得:方程 2 + x = a ? 2 ? a 有且只有一个实根 2 3 4 x 2 令 t = 2 > 0 ,则方程 (a ? 1)t ? at ? 1 = 0 有且只有一个正根 ………………9 分 3 3 ① a = 1 ? t = ? ,不合题意; ………………………10 分 4 3 ② ? = 0 ? a = 或 ?3 ………………………11 分 4 3 1 1 若 a = ? t = ? ,不合题意;若 a = ?3 ? t = ………………………12 分 4 2 2 ?1 ③一个正根与一个负根,即 < 0 ? a >1 a ?1
即方程 log 4 (4 + 1) ?
x

综上:实数 a 的取值范围是 {?3} ∪ (1, +∞) ………………………13 分 21. (1)设 n = 2k - 1, k  N* . 由 a2 k + 1 = (1 + 2 cos
? a2 k + 1 a2 k - 1 = 1. (2k - 1)p (2k - 1)p ) a2 k - 1 + sin = a2 k - 1 + 1 2 2

∴当 k ? N* 时,数列 {a2 k - 1} 为等差数列.
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∴ a2 k - 1 = a1 + ( k - 1) i 1 = k . (2)证: yn = a2 n ?1 = n 当 n ≥ 2 时, 由 bn = yn (
2

……(4 分)

b 1 1 1 1 1 1 + 2 +? + ) ,得 n2 = 2 + 2 + ? + , 2 2 y1 y2 yn ?1 yn y1 y2 yn ?12



bn 1 1 1 = 2 + 2 +? + ……① 2 n 1 2 (n ? 1) 2 bn +1 1 1 1 = 2 + 2 + ? + 2 ……② 2 (n + 1) 1 2 n bn +1 b 1 ? n = 2 ,得证. 2 2 (n + 1) n n
……(6 分)



②式减①式,有

……(8 分)

(3)解:当 n = 1 时, 1 +

1 = 2 < 4; b1

当 n = 2 时, (1 +

1 1 5 )(1 + ) = 2 × < 4 , b1 b2 4
bn +1 1+ b 1 + bn n2 = 2n ? = , (n + 1) 2 (n + 1) 2 n bn +1

由(2)知,当 n ≥ 2 时,

∴当 n ≥ 3 时, (1 +

1 1 1 1 ) ? (1 + ) ? (1 + ) ?? ? (1 + ) b1 b2 b3 bn

=

1 + bn 1 + b1 1 1 + b2 1 + b3 1 + bn ?1 1 + b1 1 + b2 1 + b3 ? ? ?? ? = ? ? ? ?? ? ? (1 + bn ) b1 b2 b3 bn b1 b2 b3 b4 bn

1 22 32 (n ? 1) 2 n2 1 1 1 1 = 2 ? ? 2 ? 2 ?? ? b = 2[1 + 2 + 2 + ? + + 2] 2 2 n +1 2 4 3 4 n (n + 1) 2 3 (n ? 1) n


1 1 1 1 < = ? (n ≥ 2) , 2 n n(n ? 1) n ? 1 n
1 2 1 1 2 3 1 1 1 2 ? )] = 2(2 ? ) = 4 ? < 4 , n ?1 n n n
……(14 分)

∴上式 < 2[1 + (1 ? ) + ( ? ) + ? + ( ∴ (1 +

1 1 1 1 ) ? (1 + ) ? (1 + ) ?? ? (1 + ) < 4 . b1 b2 b3 bn

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