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高中数学必修五解三角形测试题及答案

时间:2017-09-19


(数学 5 必修)第一章:解三角形 [基础训练 A 组]
一、选择题
1.在△ABC 中,若 C ? 900 , a ? 6, B ? 300 ,则 c ? b 等于( A. 1 B. ? 1 C. 2 3 D. ? 2 3 ) )

2.若 A 为△ABC 的内角,则下列函数中一定取正值的是( A. sin A B. cos A C. t

an A

1 D. tan A


3.在△ABC 中,角 A, B 均为锐角,且 cos A ? sin B, 则△ABC 的形状是( A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形

4.等腰三角形一腰上的高是 3 ,这条高与底边的夹角为 600 ,则底边长为( A. 2



B.

3 2

C. 3

D. 2 3 ) D. 300 或1500 )

5.在△ ABC 中,若 b ? 2a sin B ,则 A 等于( A. 300 或600 B. 450 或600

C. 1200 或600

6.边长为 5, 7,8 的三角形的最大角与最小角的和是( A. 90 0 B. 1200 C. 1350 D. 1500

二、填空题
0 1.在 Rt △ABC 中, C ? 90 ,则 sin A sin B 的最大值是_______________。

2.在△ABC 中,若 a ? b ? bc ? c , 则A ? _________。
2 2 2

3.在△ABC 中,若 b ? 2, B ? 30 , C ? 135 , 则a ? _________。
0 0

4.在△ABC 中,若 sin A ∶ sin B ∶ sin C ? 7 ∶ 8 ∶ 13 ,则 C ? _____________。 5.在△ABC 中, AB ?

6 ? 2 , C ? 300 ,则 AC ? BC 的最大值是________。

三、解答题
1. 在△ABC 中,若 a cos A ? b cos B ? c cosC, 则△ABC 的形状是什么?

2.在△ABC 中,求证:

a b cos B cos A ? ? c( ? ) b a b a

3.在锐角△ABC 中,求证: sin A ? sin B ? sin C ? cos A ? cos B ? cos C 。

4.在△ABC 中,设 a ? c ? 2b, A ? C ?

?
3

, 求 sin B 的值。

(数学 5 必修)第一章:解三角形 [综合训练 B 组] 一、选择题
1.在△ABC 中, A : B : C ? 1: 2 : 3 ,则 a : b : c 等于( A. 1: 2 : 3 B. 3 : 2 :1 C. 1: 3 : 2 ) D. 2 : 3 :1 )

2.在△ABC 中,若角 B 为钝角,则 sin B ? sin A 的值( A.大于零 B.小于零 C.等于零 D.不能确定 A ? 2 B 3.在△ABC 中,若 ,则 a 等于( ) A. 2b sin A B. 2b cos A C. 2b sin B D. 2b cos B

4.在△ABC 中,若 lg sin A ? lg cos B ? lg sin C ? lg 2 ,则△ABC 的形状是( A.直角三角形 B.等边三角形 C.不能确定 D.等腰三角形 )



5.在△ABC 中,若 (a ? b ? c)(b ? c ? a) ? 3bc, 则 A ? ( A. 90
0

B. 60

0

C. 135

0

D. 150

0

13 ,则最大角的余弦是( ) 14 1 1 1 1 A. ? B. ? C. ? D. ? 5 8 6 7 A? B a ?b ? 7.在△ABC 中,若 tan ,则△ABC 的形状是( ) 2 a?b
6.在△ABC 中,若 a ? 7, b ? 8, cos C ?

A.直角三角形 角形

B.等腰三角形 C.等腰直角三角形

D.等腰三角形或直角三

二、填空题
1.若在△ABC 中, ?A ? 60 , b ? 1, S?ABC ? 3, 则
0

a?b?c =_______。 sin A ? sin B ? sin C

2.若 A, B 是锐角三角形的两内角,则 tan A tan B _____ 1 (填>或<) 。 3.在△ABC 中,若 sin A ? 2 cos B cosC, 则 tan B ? tanC ? _________。 4.在△ABC 中,若 a ? 9, b ? 10, c ? 12, 则△ABC 的形状是_________。

5.在△ABC 中,若 a ?

3, b ? 2 , c ?

6? 2 则A ? _________。 2

6.在锐角△ABC 中,若 a ? 2, b ? 3 ,则边长 c 的取值范围是_________。 三、解答题 1. 在△ABC 中, A ? 120 , c ? b, a ? 21, S
0 ABC

? 3 ,求 b, c 。

2. 在锐角△ABC 中,求证: tan A ? tan B ? tan C ? 1 。

3. 在△ABC 中,求证: sin A ? sin B ? sin C ? 4 cos

A B C cos cos 。 2 2 2

4. 在△ABC 中,若 A ? B ? 120 ,则求证:
0

a b ? ?1。 b?c a?c

5.在△ABC 中,若 a cos

2

C A 3b ? c cos 2 ? ,则求证: a ? c ? 2b 2 2 2

(数学 5 必修)第一章:解三角形

[提高训练 C 组] 一、选择题
1. A 为△ABC 的内角,则 sin A ? cos A 的取值范围是( A. ( 2 ,2) B. (? 2 , 2 ) C. (?1, 2 ] ) D. [? 2 , 2 ]

2.在△ABC 中,若 C ? 900 , 则三边的比 A. 2 cos

A? B 2

B. 2 cos

A? B 2

a?b 等于( ) c A? B C. 2 sin 2


D. 2 sin

A? B 2

3.在△ABC 中,若 a ? 7, b ? 3, c ? 8 ,则其面积等于( A. 12 B.

21 2

C. 28

D. 6 3

4.在△ABC 中, ?C ? 900 , 0 0 ? A ? 450 ,则下列各式中正确的是(



A. sin A ? cos A

B. sin B ? cos A

C. sin A ? cos B

D. sin B ? cos B


5.在△ABC 中,若 (a ? c)(a ? c) ? b(b ? c) ,则 ? A ? ( A. 90 0 B. 600 C. 1200 D. 1500

6.在△ABC 中,若 A.直角三角形

tan A a 2 ? ,则△ABC 的形状是( tan B b 2
C.不能确定

) D.等腰三角形

B.等腰或直角三角形

二、填空题
1.在△ABC 中,若 sin A ? sin B, 则 A 一定大于 B ,对吗?填_________(对或错) 2.在△ABC 中,若 cos A ? cos B ? cos C ? 1, 则△ABC 的形状是______________。
2 2 2

3.在△ABC 中,∠C 是钝角,设 x ? sin C, y ? sin A ? sin B, z ? cos A ? cos B, 则 x, y , z 的大小关系是___________________________。 4.在△ABC 中,若 a ? c ? 2b ,则 cos A ? cos C ? cos A cos C ?

1 sin A sin C ? ______。 3

5.在△ABC 中,若 2 lg tan B ? lg tan A ? lg tanC, 则 B 的取值范围是_______________。
2 6.在△ABC 中,若 b ? ac ,则 cos(A ? C ) ? cos B ? cos2B 的值是_________。

三、解答题
1.在△ABC 中,若 (a 2 ? b 2 ) sin( A ? B) ? (a 2 ? b 2 ) sin( A ? B) ,请判断三角形的形状。

2. 如果△ABC 内接于半径为 R 的圆,且 2R(sin 2 A ? sin 2 C) ? ( 2a ? b) sin B, 求△ABC 的面积的最大值。

3. 已知△ABC 的三边 a ? b ? c 且 a ? c ? 2b, A ? C ?

?
2

,求 a : b : c

4. 在△ABC 中,若 (a ? b ? c)(a ? b ? c) ? 3ac ,且 tan A ? tan C ? 3 ? 3 , AB 边上的 高为 4 3 ,求角 A, B, C 的大小与边 a, b, c 的长

(数学 5 必修)第一章 [基础训练 A 组]
一、选择题 b ? tan 300 , b ? a tan 300 ? 2 3, c ? 2b ? 4 4, c ? b ? 2 3 1.C a
2.A 3.C

0 ? A ? ? ,sin A ? 0

cos A ? sin(

?
2

? A) ? sin B,

?
2

? A, B 都是锐角,则

?
2

? A ? B, A ? B ?

?
2

,C ?

?
2

4.D 作出图形 5.D

1 b ? 2a sin B,sin B ? 2sin A sin B,sin A ? , A ? 300 或 1500 2

6.B 设中间角为 ? ,则 cos ? ?

52 ? 82 ? 72 1 ? ,? ? 600 ,1800 ? 600 ? 1200 为所求 2? 5?8 2

二、填空题 1 1 1 sin A sin B ? sin A cos A ? sin 2 A ? 1. 2 2 2

2. 1200

cos A?

b2 ? c 2 ? a 2 1 ?? A , ? 10 20 2bc 2
a b b sin A 6 ?2 ? ,a ? ? 4sin A ? 4sin150 ? 4 ? sin A sin B sin B 4

3. 6 ? 2 A ? 150 , 4. 1200

C ? 7 ∶ 8 ∶13 , a ∶ b ∶ c ? s i nA ∶ s i nB ∶ s i n

a 2 ? b2 ? c 2 1 ? ? , C ? 1200 令 a ? 7k , b ? 8k , c ? 13k cos C ? 2ab 2
AC BC AB AC ? BC AB ? ? , ? , A C? B C sin B sin A sin C sin B ? sin A sin C A? B A? B ? 2( 6 ? 2)(sin A ? sin B) ? 4( 6 ? 2) sin cos 2 2 A? B ? 4 cos ? 4, ( AC ? BC ) max ? 4 2 三、解答题
5. 4 1. 解: a cos A ? b cos B ? c cos C,sin A cos A ? sin B cos B ? sin C cos C

sin 2 A ? sin 2B ? sin 2C, 2sin( A ? B) cos( A ? B) ? 2sin C cos C cos( A ? B) ? ? cos( A ? B), 2cos A cos B ? 0

cos A ? 0 或 cos B ? 0 ,得 A ?
所以△ABC 是直角三角形。 2. 证明:将 cos B ?

?
2

或B ?

?
2

a2 ? c2 ? b2 b2 ? c2 ? a2 , cos A ? 代入右边 2ac 2bc
2 2 2 a2 ? c 2? b 2 b ? c ? a 2 2a ? 2 b ? )? 2abc 2abc 2ab 2

得右边 ? c(

?


a 2 ? b2 a b ? ? ? 左边, ab b a

a b c o sB c o sA ? ? c( ? ) b a b a

3.证明:∵△ABC 是锐角三角形,∴ A ? B ?

?
2

,即

?
2

? A?

?
2

?B?0

A? co Bs;同理 s i n B? co Cs; s i n C ? co As A? sin? ( B ,即 ) sin ∴s i n
2
∴ sin A ? sin B ? sin C ? cos A ? cos B ? cos C

?

4.解:∵ a ? c ? 2b, ∴ sin A ? sin C ? 2sin B ,即 2 sin

A?C A? C B B cos ? 4 sin cos , 2 2 2 2

∴ sin

B ? B 1 A?C 3 B 13 ,而 0 ? ? , ∴ cos ? , ? cos ? 2 2 2 2 2 4 2 4

∴ sin B ? 2sin

B B 3 13 cos ? 2? ? ? 2 2 4 4

39 8

参考答案(数学 5 必修)第一章 [综合训练 B 组]
一、选择题
1.C

A?

?
6

,B ?

?
3

,C ?

?
2

, a : b : c ? sin A : sin B : sin C ?

1 3 2 : : ? 1: 3 : 2 2 2 2

2.A 3.D 4.D

A ? B ? ? , A ? ? ? B ,且 A, ? ? B 都是锐角, sin A ? sin(? ? B) ? sin B

sin A ? sin 2B ? 2sin B cos B, a ? 2b cos B

lg

sin A sin A ? lg 2, ? 2,sin A ? 2 cos B sin C cos B sin C cos B sin C

sin( B ? C ) ? 2cos B sin C,sin B cos C ? cos B sin C ? 0, sin( B ? C ) ? 0, B ? C ,等腰三角形
5.B

(a ? b ? c)(b ? c ? a) ? 3bc,(b ? c)2 ? a 2 ? 3bc,
b2 ? c 2 ? a 2? 3bc , c oA s? b2 ? c 2 ? a 2 1 ? A,? 2bc 2 60 0
1 7

6.C

B?? c 2 ? a 2 ? b2 ? 2 ac b o s C? 9 , c ?,3B 为最大角, c o s

A? B A? B 2cos sin A ? B a ? b sin A ? sin B 2 2 , 7.D tan ? ? ? 2 a ? b sin A ? sin B 2sin A ? B cos A ? B 2 2 A? B tan A? B 2 , tan A ? B ? 0 ,或 tan A ? B ? 1 tan ? A? B 2 2 2 tan 2 ? 所以 A ? B 或 A ? B ? 2

二、填空题

1.

2 39 3

1 1 3 S?ABC ? bc s i n A ? c? ? 2 2 2

3 c ,?

a 42 ,?

a 1? 3,

13

a ? b? c sin A ? s iB n?

? sC in

a

13 2 39 ? ? s Ai n 3 3 2

2. ?

3.

2

sin( ?B ) A ? B ? , A ? ? B ,即 t a n A? tan( ?B ? ) 2 ? 2 2 2 cos( ?B ) 2 cos B 1 1 ? ? A? , t aA n tB a ?n 1 ,t an sin B t aB n tan B sin B si C n tan B? ta C n? ? cos B co Cs sin B c oC s? c B o? s C sin B s ?i nC ( ) A 2 sin ? ? ? 1 cos B c oC s sA in sin A 2

?

?

?

?

4. 锐角三角形

C 为最大角, c o s C? 0 C, 为锐角
8? 4 3 ?3 3 ?1 1 4 ? ? 6? 2 2 ? 2 ? ( 3 ? 1) 2 2 2? 2 2?

5. 600

b2 ? c 2? a 2 cos A ? ? 2bc

6. ( 5, 13)

?a 2 ? b 2 ? c ? 2 2 ?a ? c ? b ?c 2 ? b 2 ? a ?

?13 ? c 2 2? 2 2 , ?4 ? c ? 9,5 ? c ? 13, 5 ? c ? 13 2? 2 ?c ? 9 ? 4
2

三、解答题
1.解: S ?ABC ?

1 bc sin A ? 3, bc ? 4, 2

a2 ? b2 ? c2 ? 2 bc o s A , b ? c ?,而 5 c?b
所以 b ? 1, c ? 4 2. 证明:∵△ABC 是锐角三角形,∴ A ? B ?

?
2

,即

?
2

? A?

?
2

?B?0

A? co Bs;同理 s i n B? co Cs; s i n C ? co As A? sin? ( B ,即 ) sin ∴s i n
2
∴ sin A sin B sin C ? cos A cos B cos C , ∴ tan A ? tan B ? tan C ? 1

?

sin A sin B sin C ?1 cos A cos B cos C

3. 证明:∵ sin A ? sin B ? sin C ? 2sin

A? ?2 sin 2 A? ?2 sin 2 C ?2 cos ? 2 A ?4 cos 2

A? B cos ? 2 B A? B (cos ? 2 A B 2 cos cos 2 2 B C cos cos 2 2 B

A? B A? B cos ? sin( A ? B) 2 2 A ? B A ? B 2 sin cos 2 2 A ? B cos ) 2

∴ sin A ? sin B ? sin C ? 4 cos

A B C cos cos 2 2 2

4.证明:要证

a 2 ? ac ? b 2 ? bc a b ? ? 1 ,只要证 ?1, b?c a?c ab ? bc ? ac ? c 2

即 a 2 ? b2 ? c2 ? ab 而∵ A ? B ? 1200 , ∴ C ? 60
0

a 2 ? b2 ? c 2 2 cos C ? , a ? b 2 ? c 2 ? 2ab cos 600 ? ab 2ab
∴原式成立。 5.证明:∵ a cos

C A 3b ? c cos 2 ? 2 2 2 1? c oC s ? 1 co As 3B sin A? ? si C n? ? ∴s i n 2 2 2 A ? s iA n cC o? s C si ?n C sin A ? cos 即s i n
2

B3 s i n

∴s i n A ? s iC n?

s iA n? (C ? )

3B sin

A ? s iC n? 即s i n

2 sB i,∴ n a ? c? 2 b

参考答案(数学 5 必修)第一章 [提高训练 C 组] 一、选择题
1.C

s i nA ? c oA s?
而0 ? A ??,

2 sA in ?( 4

?

),

?
4

? A?

?
4

?

5? 2 ? ?? ? sin( A ? ) ? 1 4 2 4

2.B

a? b sin A ? sin B ? ? s i nA ? s iB n c sin C A? B A? B A ? B ?2 sin cos ? 2 cos 2 2 2

3.D 4.D

1 cos A ? , A ? 600 , S 2

ABC

1 ? bc sin A ? 6 3 2

A ? B ? 900 则 sin A ? cos B,sin B ? cos A , 00 ? A ? 450 ,

sin A? co As, 450 ? B ? 900 ,sin B ? cos B
5.C
2 2 2 a 2 ? c2 ? b2 ? b ,c b ? c ? a ? ?, b co cs

1 A ? ?, 2

0 A ? 120

6.B

sin A c oB s ? ? cos A s iB n

2 2

s iA n , s iB n

c Bo s ? c A os

A sin , s iA n B sin

co As ?

s Bi n B cos

sin A 2?

sin B2 A ,? 2 或 B2 A ?2 B ? ?2

二、填空题
1. 对

s i nA ? s i n B, 则

a b ? ?a?b? A? B 2R 2R ) 1,

2. 直角三角形

1 ( 1? c o sA2? ? 1 co Bs 2 ? )2 c Ao ? sB ( ? 2 1 (cos 2 A ? cos 2 B) ? cos 2 ( A ? B) ? 0, 2

cos( A ? B)cos( A ? B) ? cos2 ( A ? B) ? 0
cos A cos B cos C ? 0 ? ? A ? B ? , A ? ? B , s iA n? 2 2
c? a? b , s i n C? s i n A?
4. 1

3. x ? y ? z

cB os

B , s? in A y co ?s z ,
y ? z

s iB n x ? , y x ? ,

A? C A? C A ? C , 2 sin c o? s 4 sin 2 2 2 A?C A?C A C A C cos ? 2 cos , cos cos ? 3sin sin 2 2 2 2 2 2 1 A C 2 sin 2 则 sin A sin C ? 4sin 3 2 2 1 cos A ? cos C ? cos A cos C ? sin A sin C 3 A C ? ?(1 ? cos A)(1 ? cos C ) ? 1 ? 4sin 2 sin 2 2 2 A C A C ? ?2sin 2 ? 2sin 2 ? 4sin 2 sin 2 ? 1 ? 1 2 2 2 2 ? ? tan A ? tan C 2 5. [ , ) tan B ? tan A tan C , tan B ? ? tan( A ? C ) ? 3 2 tan A tan C ? 1 t a nA ? t a C n tan B ? ? t aA n? (C ? ) 2 tan B? 1 s i nA ? s iC n? 2 sB in

A ? 2

C cos

tan3 B ? tan B ? tan A ? tan C ? 2 tan A tan C ? 2 tan B
tan 3 B ? 3 tan B, tan B ? 0 ? tan B ? 3 ? B ?

?
3

6. 1

( ? C) ? c o s B?co 2 sB b2 ? ac,sin 2 B ? sin A sin C, c o sA ? cos A cos C ? sin A sin C ? cos B ? 1 ? 2sin 2 B

? cos A cos C ? sin A sin C ? cos B ? 1 ? 2sin A sin C ? cos A cos C ? sin A sin C ? cos B ? 1
? cos( A ? C ) ? cos B ? 1 ? 1

三、解答题
a 2 ? b2 sin( A ? B) a 2 sin A cos B sin 2 A 1. 解: 2 ? , ? ? a ? b2 sin( A ? B) b2 cos A sin B sin 2 B
cos B s iA n ? , s i nA 2? cos A s iB n
∴等腰或直角三角形 2. 解: 2R sin A ? sin A ? 2R sin C ? sin C ? ( 2a ? b)sin B,

s iB n 2A ? , 2 B或2 2 A ? B ? ?2

a sin A ? c sin C ? ( 2a ? b)sin B, a2 ? c2 ? 2ab ? b2 ,
a 2 ? b2 ? c 2 ? 2ab, cos C ? a 2 ? b2 ? c 2 2 ? , C ? 450 2ab 2

c ? 2 R, c ? 2 R sin C ? 2 R, a 2 ? b 2 ? 2 R 2 ? 2ab, sin C

2 R 2 ? 2ab ? a 2 ? b2 ? 2ab, ab ?

2R2 2? 2
2 ?1 2 R 2

1 2 2 2R2 S ? ab sin C ? ab ? ? , S max ? 2 4 4 2? 2
另法: S ?

1 2 2 ab sin C ? ab ? ? 2R sin A ? 2R sin B 2 4 4

?

2 ? 2 R sin A ? 2R sin B ? 2 R 2 sin A sin B 4

1 ? 2 R 2 ? ? [cos( A ? B) ? cos( A ? B)] 2

1 2 ? 2 R 2 ? ? [cos( A ? B) ? ] 2 2 2R2 2 ? ? (1 ? ) 2 2
? Smax ? 2 ?1 2 R 此时 A ? B 取得等号 2
A?C A?C A?C A?C cos ? 4sin cos 2 2 2 2

3. 解: sin A ? sin C ? 2sin B, 2sin

sin

B 1 A?C 2 B 14 B B 7 ? cos ? , cos ? ,sin B ? 2sin cos ? 2 2 2 4 2 4 2 2 4

A?C ?

?
2

, A ? C ? ? ? B, A ?

3? B ? B ? ,C ? ? 4 2 4 2

sin A ? sin(

3? 3? 3? 7 ?1 ? B) ? sin cos B ? cos sin B ? 4 4 4 4

sin C ? sin( ? B) ? sin cos B ? cos sin B ? 4 4 4

?

?

?

7 ?1 4

a : b : c ? sin A : sin B : sin C ? (7 ? 7 ) : 7 : (7 ? 7 )
2 2 2 4. 解: (a ? b ? c)(a ? b ? c) ? 3ac, a ? c ? b ? ac, cos B ?

1 , B ? 600 2

t a nA ( ?C ? )

tan A? t a C n ?, 1? t a n A tC an

?3

?3 3 , ?1 A t a nC t a n

tan A ta C n? ? 2 ,联合 3 tan A? t a C n? ? 3

3

? A ? 750 ? ? A ? 450 ? tan A ? 2 ? 3 ? ? tan A ? 1 ? ? 或? 或? 得? ,即 ? 0 0 ? tan C ? 1 ? ?C ? 45 ?C ? 75 ? ? tan C ? 2 ? 3 ? ?
当 A ? 75 , C ? 45 时, b ?
0 0

4 3 ? 4(3 2 ? 6), c ? 8( 3 ? 1), a ? 8 sin A 4 3 ? 4 6, c ? 4( 3 ? 1), a ? 8 sin A

当 A ? 45 , C ? 75 时, b ?
0 0 0 0 0

∴当 A ? 75 , B ? 60 , C ? 45 时, a ? 8, b ? 4(3 2 ? 6), c ? 8( 3 ?1), 当 A ? 45 , B ? 60 , C ? 75 时, a ? 8, b ? 4 6, c ? 4( 3 ?1) 。
0 0 0


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