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高一数学课件:数列求和10


数列求和

复习内容
1、数列的和
2、等差数列的前n项和公式,并 简述推导方法 3、等比数列的前n项和公式,并 简述推导方法

设等差数列{an}首项为a1,公差为d
Sn=a1+a2+a3+……+an

=a1+a1+d+a1+2d+……+a1+(n-1)d
Sn=an+a

n-d+an-2d+……+an-(n-1)d 2Sn=(a1+an)+(a1+an)+……+(a1+an)

n(a1 ? an ) S n= 2

设等比数列{an}的首项是a1,公比是q

Sn=a1+a2+……+an
=a1+a1q+a1q2+……+a1q n-1 qSn=a1q+a1q2+a1q3+……+a1q n-1+a1qn (1-q)Sn=a1-a1qn

a1(1 ? q n) S n= 1? q

尝试应用
1、有限数列A={a1,a2,a3…an},Sn为其前 n项和,定义
S1 ? S2 ? ... ? Sn n

为A的

“凯森和”,如有500项的数列,a1,
a2…a500的“凯森和”为2004,则有501项 的 数列2,a1,a2…a500的“凯森和”为—— A 2002 B 2004 C 2006 D 2008 —

S 1 ? S 2 ? ? ? S 500 ? 2004 ? 500
2 ? (2 ? S 1) ? (2 ? S 2) ? ... ? (2 ? S 500 ) 501

S 1 ? S 2 ? ? ? S 500 ? 2004 500

2 ? 501 ? S 1 ? S 2 ? ... ? S 500 ? 501
2 ? 501 ? 2004 ? 500 ? ? 2002 501

2、已知
n

lg(xy)? a
n ?1

S ? lg x ? lg( x
求 S
n

? y) ? ... ? lg y , ( x ? 0, y ? 0)
n ?1

n

S ? lg x ? lg( x

? y) ? ... ? lg y
n
n

n

S ? lg y ? lg( y
n
n

n?1

? x) ? ...? lg x
n

2S ? lg ( xy) ? lg ( xy) ? ...? lg ( xy)

? n(n ? 1)a

3、求和

Sn ? 1 ? 3x ? 5 x2 ? 7 x3 ? ...? (2n ?1) xn?1 , ( x ? 0)
(1)x=1时,Sn=n2
(2)x≠1时 S=1+3x+5x2+7x3+…+(2n-1)x n-1 x· S=x+3x2+5x3+…+(2n-1)x n-1+ (2n-1)x n (1-x)S=1+2(x+x2+x3+…+xn-1)-(2n-1) xn
2 x(1 ? xn ?1) ? 1? ? (2n ? 1) xn 1? x

其他求法
第一题

1 1 1 2 n Sn ? ( x ? ) ? ( x ? 2 ) ? ... ? ( x ? n ) x x x

2

2

2

求 Sn 第二题 求数列

1 1 1 1 , , ... 1? 3 2 ? 4 3 ? 5 n(n ? 2)

的前n项和

反馈练习
1、等比数列的首项为a,公比为q,Sn为前n项和, 求S1+S2+…+Sn

1 2 ( an ? 1) 2、正数数列{an}的前n项和Sn满足Sn= 4
(1)求{an}的通项公式 (2)设

1 bn ? a na n ? 1

记{bn}的前n项和为Tn,求Tn

反馈练习1答案

n(n ? 1)a (1) q=1时 S1+S2+…+Sn=a+2a+…+na= 2
(2) q≠1时,S1+S2+…+Sn a 2 n ? [(1 ? q) ? (1 ? q ) ? ... ? (1 ? q )] 1? q a 2 n ? [n ? (q ? q ? ... ? q )] 1? q a q(1 ? qn) ? [n ? ] 1? q 1? q

na aq(1 ? qn) ? ? 1? q 1? q

反馈练习2答案

1 2 2 (1)当n≥2时, an ? Sn ? Sn ? 1 ? [(an ? 1) ? (an ? 1 ? 1) ] 4
整理得 ∵ ∴

(an ? an ? 1)(an ? an ? 1 ? 2) ? 0

(an ? an ? 1) ? 0
(an ? an ? 1 ? 2) ? 0
an ? 2 n ? 1



1 2 (2)当n=1时, a1 ? S 1 ? (a1 ? 1) 4
得 a1=1

1 1 1 1 bn ? ? ( ? ) (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1
1 1 1 1 1 1 Tn ? (1 ? ? ? ? ... ? ? ) 2 3 3 5 2n ? 1 2n ? 1

1 1 ? (1 ? ) 2 2n ? 1


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