nbhkdz.com冰点文库

直线与圆锥曲线解析版


高二数学
一.直线与圆锥曲线的位置关系

直线与圆锥曲线的位置关系

1. 代数法: 判断直线 l 与圆锥曲线 r 的位置关系时, 通常将直线 l 的方程 Ax ? By ? C ? 0( A, B 不 同时为 0) 代入圆锥曲线 r 的方程 F ( x, y) ? 0 ,消去 y (也可以消去 x )得到一个关于变量 x (或

y )
Ax ? By ? C ? 0 的一元方程,即 ? 消去 y 后得 ax2+bx+c=0, ? ? F ( x, y) ? 0

(1) 当 a ? 0 时 , 则 有 ? ? 0 , 直 线 l 与 曲 线 r ; ? ? 0 ,直线 l 与曲线 ; ? ? 0 ,直线 l 与曲线 r 。 r (2)当 a ? 0 时,即得到一个一次方程,则 l 与 r 相交,且只有一个交点,此时,若 r 为双曲线,则 直线 l 与双曲线的渐近线的位置关系是 ;若 r 是抛物线,则直线 l 与抛物线的对称 轴的位置关系是 。 2.几何法:直线与圆锥曲线的位置关系可分为三类: (1)直线与圆锥曲线没有公共点 ? 直线与圆锥曲线 ; (2) 直线与圆锥曲线有且只有一个公共点 ? 对椭圆而言,直线与椭圆 ;对双曲线而 言,表示直线与其相切或与双曲线的渐近线 ,对于抛物线而言,表示直线与其 或 与其对称轴平行; (3) 直线与圆锥曲线有个相异的公共点 ? 直线与圆锥曲线 ,此时直线被圆锥曲线所 截得的线段称为圆锥曲线的弦。 二.中点弦问题 已知弦 AB 的中点,研究 AB 的斜率与方程.

x2 y 2 3 . AB 是椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的一条弦,中点 M 坐标为 ( x0 , y0 ) ,则直线的斜率 a b
为 。运用点差法求 AB 的斜率:设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), A, B 都在椭圆上,则

? x12 y12 ? ?1 2 2 ? x12 ? x2 y12 ? y2 ? a 2 b2 ,两式相减,得 ? ? 0, ? 2 2 a2 b2 ? x2 ? y2 ? 1 ? ? a 2 b2
? ( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) ( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) y1 ? y2 b2 ( x1 ? x2 ) ? ? 0 ,从而 ? ? ? a2 b2 x1 ? x2 a 2 ( y1 ? y2 )
。 ,

故 k AB ?

运用类比思想,可以推出已知 AB 是双曲线
2

x2 y 2 ? ? 1 的弦,中点 M ( x0 , y0 ) ,则 k AB ? a 2 b2
.



已知抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的弦 AB 的中点 M ( x0 , y0 ) ,则 k AB ?

三.弦长问题. 4.(1)斜率为 k 的直线与圆锥曲线相交于两点 P 1 ( x1 , y1 ) , P 2 ( x2 , y2 ) ,则所得的弦长 或 , 其 中 求 | x2 ? x1 | 与 | y2 ? y1 | 时 , 常 使 用 韦 达 定 理 , 即 做 如 下 变 形 :
2 ( x1 ? x |2 y2 ? y1 |? 2 ) ? 4 x, 1 x 2 ( y1 ? y . y2 2 ) ? 4 y1

| x2 ? x1 |?

(2)当直线的斜率不存在时,可求出交点的坐标,直接运算; (3) 经过圆锥曲线的焦点的弦 ( 也称为焦点弦 ) 的长度问题,可利用圆锥曲线的定义,将其转化 为 ,往往比利用弦长公式简单。

[基础闯关]
1.过点 P (2, 4) 作直线与抛物线 y 2 ? 8x 只有一个公共点,这样的直线有( (A)1 条 (B)2 条 (C)3 条 (D)4 条 2.与直线 2 x ? y ? 4 ? 0 平行的抛物线 y ? x2 的切线方程为( (A) 2 x ? y ? 3 ? 0
2

)

) (D) 2 x ? y ? 1 ? 0

(B) 2 x ? y ? 3 ? 0

(C) 2 x ? y ? 1 ? 0 )

3.抛物线 y ? 4 x 过焦点的弦的中点的轨迹方程是( (A) y 2 ? 2( x ? 1) (B) y 2 ? x ?1 (C) y ? x ?
2

1 2

(D) y 2 ? 2 x ? 1

x y x2 y 2 ? ? 1 相交于 A, B 两点,椭圆上的点 C 使 ?ABC 的面积等于 12, 4.直线 ? ? 1 与椭圆 4 3 16 9
这样的点 C 共有( (A)1 个
2

) (B)2 个

(C)3 个

(D)4 个

5. 过抛物线 y ? 4 x 的焦点 F 作垂直与 x 轴的直线, 交抛物线于 A, B 两点, 则以 F 为圆心,AB 为直径的圆的方程是 . 6.已知直线 l 与抛物线 y 2 ? 8x 交于 A, B 两点,且 l 过抛物线的焦点 F ,点 A 的坐标为 (8,8) , 则线段 AB 的中点到抛物线准线的距离是 .

[典例精析]
例 1.已知直线 y ? (a ? 1) x ? 1与曲线 y 2 ? ax 恰有一个公共点,求实数 a 的值。

[变式训练]1. (1)已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点为 F ,若过点 F 的直线与双曲线的右支 12 4

有且只有一个交点,则直线斜率的取值范围是 (2)不论 k 取值何值,直线 y ? k ( x ? 2) ? b 与曲线 x 2 ? y 2 ? 1总有公共点,则实数 b 的取值范 围是 例 2. 过点 P(?1,1) 作直线与椭圆

x2 y 2 ? ? 1 交于 A, B 两点, 若线段 AB 的中点为 P , 求直线 AB 4 2

所在的直线方程和线段 AB 的长度.

[变式训练]2.椭圆 a2 x2 ? b2 y 2 ? 1 与直线 x ? y ? 1 ? 0 相交于 A, B 两点, C 是 A, B 的中点.若

| AB |? 2 2 ,直线 OC 的斜率为

2 ,求椭圆的方程。 2

例 3.已知椭圆 E :

l : y ? 4 x ? m 对称。

x2 y 2 ? ? 1 ,试确定 m 的取值范围,便得椭圆 E 上存在不同的两点关于直线 4 3

[变式训练]3.已知双曲线 x ?
2

y2 ? 1 ,若双曲线上存在关于直线 l : y ? kx ? 4 的对称点,求 3

实数 k 的取值范围 4.直线 l 经过点(1,1) ,若抛物线 y2=x 上存在两点关于直线 l 对称,求直线 l 斜率的取值范围.

y2 ? 1 ,过点 M(0,1)的直线 l 交椭圆于点 A、B,O 是坐标原点, 4 1 1 1 点 P 满足 OP ? (OA ? OB ) ,点 N 的坐标为 ( , ) ,当 l 绕点 M 旋转时,求: 2 2 2
例 4.设椭圆方程为 x ?
2

(1)动点 P 的轨迹方程;

(2) | NP | 的最小值与最大值.

例 5.椭圆 C 的中心在坐标原点 O,焦点在 y 轴上,离心率为

,以短轴的一个端点与两焦点为

顶点的三角形的面积为 . (1)求椭圆 C 的方程; (2)若过点 P(0,m)存在直线 l 与椭圆 C 交于相异两点 A,B,满足: 且 ,求常数 λ 的值和实数 m 的取值范围.

[变式训练]5.已知椭圆 C 的中心为坐标原点 O,一个长轴端点为(0,2) ,短轴端点和焦点所 组成的四边形为正方形, 直线 l 与 y 轴交于点 P (0, m) , 与椭圆 C 交于相异两点 A、 B, 且 (Ⅰ)求椭圆方程; (Ⅱ)求 m 的取值范围. .

[知识梳理] 1.(1)相交 相切 相离 (2)平行 平行 2.(1)相离 (2)相切 平行 (3)相交 3. ?

b 2 x0 a 2 y0

?

b 2 x0 a 2 y0

?

b 2 x0 a 2 y0

?

b 2 x0 a 2 y0
1?

p y0

2 4(1) | P 1P 2 |? 1 ? k | x2 ? x1 |

|P | 1 P 2?

1 k2

| y2 ? y1 |

(3) 两个焦半径之和 [基础闯关] 1.B 2.D 3.A 4.B 5. ( x ? 1)2 ? y 2 ? 4 6.

25 4

例 1. [解]联立方程 ?

? y ? (a ? 1) x ? 1 2 ? y ? ax ? x ?1 ; ?y ? 0

(1)当 a ? 0 时,此方程组恰有组解 ? (2)当 a ? 0 时,消去 x ,得

a ?1 2 y ? y ?1 ? 0 ; a

①当

? x ?1 a ?1 ? 0 ,即 a ? ?1 时,方程变为一元一次方程 ? y ? 1 ? 0 ,方程恰有一组解 ? ; a ? y ? ?1
a ?1 4(a ? 1) 4 ? 0 ,即 a ? ?1 时,令 ? ? 0 ,得 1 ? ? 0 ,解得 a ? ? ,此时直线与曲线相 a a 5 4 2 时,直线与曲线 y ? ax 恰有一个公共点。 5

②若

切,有且只有一个公共点. 综上所述,当 a ? 0 , a ? ?1 或 a ? ? 变式 1(1) [?

3 3 , ] 3 3

(2) [? 3, 3]

例 2.[解]设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,由 ?

? x12 ? 2 y12 ? 4 得 ( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) ? 2( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) ? 0 , 2 2 ? x2 ? 2 y2 ? 4
1 ,从而直线 AB 的方 2

显然 x1 ? x2 不合题意,? x1 ? x2 ,( x1 ? x2 ) ? 2( y1 ? y2 ) ? k AB ? 0 ,? k AB ? 程为 y ? 1 ?

1 ( x ? 1) ,即 x ? 2 y ? 3 ? 0 . 2

?x ? 2 y ? 3 ? 0 1 ? 2 由 ? x2 y 2 ,得 3x ? 6 x ? 1 ? 0 ,? x1 ? x2 ? ?2, x1 ? x2 ? 3 ? ?1 ? ? 4 2

? | AB |? 1 ? k 2 | x1 ? x2 |? 1 ?
变 式 : 解 : 设 点

1 24 30 . ? ? 4 3 3

A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ) , 代 入 椭 圆 方 程 并 作 差 得 :
y1 ? y2 y ?y 2 , ? ?1 , 1 2 ? kOC ? x1 ? x2 x1 ? x2 2

a( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) ? b( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) ? 0 ,而
代入上式,可得 b ?

2a ,

2 再 由 | AB |? 2 | x2 ? x1 |? 2 2 , 其 中 x1 , x2 是 方 程 (a ? b) x 的再根,故 ? 2 b x? b?1 ? 0

1 2 b ?1 ? 2b ? ,所以所求的椭圆方程为 ? 4 , 将 b ? 2a , 解 得 a ? , b ? ? ? ?4 3 3 b ?1 ? a?b ?

2

x2 2 2 ? y ?1. 3 3
例 3. 解]解法一:设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 是椭圆 E 上关于直线 l : y ? 4 x ? m 的两个对称点,则

? x12 y12 ? ?1 ? 4 3 ? 2 2 x2 y2 ? ? ?1 ? 4 3 ? ? y1 ? y2 1 ?? ? x1 ? x2 4 ? ? y1 ? y2 x ?x ?4 1 2 ?m ? 2 2 ? ? x1 ? x2 2 y ? y2 2 ) ? 4( 1 ) ? 12 ?3( ? 2 2 x ? x2 y1 ? y2 1 ? ? (? ) ? 0 ,? y1 ? y2 ? 3( x1 ? x2 ) 由①②③得 1 4 3 4 ? x1 ? x2 ? ?m ? ? 2 2 2 联立④⑥得 ? 代入⑤,得 3(?m) ? 4(?3m) ? 12 y ? y 2 ? 1 ? ?3m ? ? 2



??

2 13 2 13 ?m? . 13 13

解法二:把对称点视为直线 l 垂直平分弦之两端.设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 是椭圆 E 上关于 l 对 称的两点,则 AB 所在的直线方程为 y ? ?

1 x ? b 与椭圆方程 3x2 ? 4 y 2 ? 12 联立,消去 x 得 4

13 y 2 ? 24by ? 3(4b2 ?1) ? 0 .

? 此方程有二个实根,?? ? (?24b)2 ?12 ?13(4b2 ?1) ? 0 ,解之得: ?
24b 13b ,? 弦 AB 中点纵坐标是 . 13 12 1 又弦 AB 中点是直线 y ? 4 x ? m 与 y ? ? x ? b 的公共点, 4
由韦达定理,得 y1 ? y2 ?

13 13 (*) ?b? 2 2

? y ? 4x ? m 4 (b ? m ) 1 6 b? m 16b ? m 12b ? , ), ? ? , 得 弦 AB 中 点 为 ( ,即 ? 解方程组 ? 1 1 7 1 7 17 13 y ? ? x ? b ? ? 4
b?? 13 13 13 13 2 13 2 13 m ,代入(*)式,得 ? ,即 ? . ?? m? ?m? 4 2 4 2 13 13

变式 4. 解法一:设直线 l 的方程为 y-1=k(x-1) ,弦的两个端点分别是 A(x1,y1) 、B(x2, y2) ,代入抛物线方程并作差得(y1+y2) (y1-y2)=x1-x2. ∵kAB=

y1 ? y 2 1 =- ,∴y1+y2=-k.注意到 AB 的中点在直线 l:y-1=k(x-1)上, x1 ? x 2 k

2 2 .∴y12+y22=x1+x2=1- . k k 2 ( y ? y ) ( k ? 2)( k 2 ? 2k ? 2) 2 k2 2 由 y12+y22> 1 ,得 1- > <0 ? -2<k<0. ? 2 2k k 2
∴x1+x2=1- 解法二: 设抛物线上关于直线 l: y-1=( k x-1) 对称的两点为 (y12, y1) ( 、y22, y2) , y1+y2=-k, 则-1

y1 ? y 2 y12 ? y 2
2

=

k

?

y1y2=

k2 1 1 + - , 2 k 2

2 2 y1 ? y 2 y1 ? y 2 -1=k( -1) 2 2

k2 1 1 + - =0 的两根. 2 k 2 2 ( k ? 2)( k 2 ? 2k ? 2) k 1 1 由Δ =k2-4( + - )>0 ? <0 ? -2<k<0. 2 k k 2
∴y1、y2 是方程 y2+ky+ 例 4. [解] (1)解法一:直线 l 过点 M(0,1)设其斜率为 k,则 l 的方程为 y ? kx ? 1.

记 A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y 2 ), 由题设可得点 A、B 的坐标 ( x1 , y1 ) 、 ( x2 , y 2 ) 是方程组

? y ? kx ? 1 ? ? 2 y2 ?1 ?x ? 4 ?

① 的解. 将①代入②并化简得, (4 ? k 2 ) x 2 ? 2kx ? 3 ? 0 ,所以 ②

2k ? x1 ? x 2 ? ? , ? ? 4 ? k 2 于是 OP ? 1 (OA ? OB) ? ( x1 ? x2 , y1 ? y 2 ) ? ( ? k , 4 ). ? 2 2 2 4? k2 4? k2 ?y ? y ? 8 . 2 ? 1 4? k2 ?

?k ? x? , ? ? 4? k2 设点 P 的坐标为 ( x, y), 则 ? 消去参数 k 得 4 x 2 ? y 2 ? y ? 0 ?y ? 4 . ? 4? k2 ?



当 k 不存在时,A、B 中点为坐标原点(0,0) ,也满足方程③,所以点 P 的轨迹方 程为 4 x 2 ? y 2 ? y ? 0. 解法二:设点 P 的坐标为 ( x, y ) ,因 A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y 2 ) 在椭圆上,所以

x12 ?

y12 ? 1, 4
2


2

2 x2 ?

2 y2 ? 1. 4



④—⑤得 x1 ? x 2 ?

1 2 1 2 ( y1 ? y 2 ) ? 0 ,所以 ( x1 ? x 2 )( x1 ? x 2 ) ? ( y1 ? y 2 )( y1 ? y 2 ) ? 0. 4 4

当 x1 ? x 2 时,有 x1 ? x2 ?

y ? y2 1 ( y1 ? y 2 ) ? 1 ? 0. 4 x1 ? x2



? x1 ? x 2 , ?x ? 2 ? y ? y2 ? , 并且 ? y ? 1 2 ? ? y ? 1 y1? y2 ? x ? x ?x . 1 2 ?



将⑦代入⑥并整理得 4 x ? y ? y ? 0.
2 2



当 x1 ? x 2 时,点 A、B 的坐标为(0,2) 、 (0,-2) ,这时点 P 的坐标为(0,0)

1 ( y ? )2 x 2 ? 1. 也满足⑧,所以点 P 的轨迹方程为 ? 1 1 16 4
2

1 1 1 , 即 ? ? x ? . 所以 16 4 4 1 1 1 1 1 7 | NP | 2 ? ( x ? ) 2 ? ( y ? ) 2 ? ( x ? ) 2 ? ? 4 x 2 ? ?3( x ? ) 2 ? 2 2 2 4 6 12 1 1 1 故当 x ? , | NP | 取得最小值,最小值为 ;当x ? ? 时, | NP | 取得最大值, 4 4 6
(2)解:由点 P 的轨迹方程知 x ?
2

最大值为

21 . 6


例 5. 解: (1)设椭圆的方程为:

由题意知, 解得:a=1, .
2

,且



故椭圆 C 的方程为:y +2x =1. (2)由 ∴ 得, , ,

2

∴1+λ=4,λ=3. 当直线 l 与 x 轴不垂直时,设直线 l 的方程为:y=kx+m, 且与椭圆 C 的交点为 A(x1,y1) ,B(x2,y2) , 由 得: (k +2)x +2kmx+m ﹣1=0,
2 2 2

∴△=(2km) ﹣4(k +2) (m ﹣1)=4(k ﹣2m +2)>0,

2

2

2

2

2







得﹣x1=3x2,
2

∴x1+x2=﹣2x2,x1x2=﹣3x2 , 2 消去 x1,x2 得:3(x1+x2) +4x1x2=0, 即 , (4m ﹣1)k =2﹣2m .
2 2 2



时,上式不成立,∴



代入△ >0,即 k >2m ﹣2,得

2

2

恒成立,



,解得







. . .

当直线 l 与 x 轴垂直时,l 的方程为:x=0 得 综上所述:m 的取值范围为

【点评】本题考查用待定系数法求曲线方程的方法,设计新颖,基础性强 待定系数法求曲线方 程,如何处理直线与圆锥曲线问题,向量问题,成为解决本题的关键.本题考查圆锥曲线的位置 关系,解题时要认真审题,仔细解答. 变式 5. 解: (Ⅰ)由题意知椭圆的焦点在 Y 轴上,设椭圆方程为 由题意知 a=2,b=c,又 a =b +c ,则 所以椭圆方程为
2 2 2





﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(4 分) (Ⅱ)设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,由题意,直线 l 的斜率存在, 设其方程为 y=kx+m,与椭圆方程联立 即
2 2


2 2 2 2

则(2+k )x +2mkx+m ﹣4=0,△ =(2mk) ﹣4(2+k ) (m ﹣4)>0

由韦达定理知

;﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

(6 分) 又 ,即有(﹣x1,m﹣y1)=2(x2,y2﹣m) ,

∴﹣x1=2x2, ∴ ,



﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(8 分)

整理得(9m ﹣4)k =8﹣2m
2

2

2

2

又 9m ﹣4=0 时不成立, 所以 分) 得 ,此时△ >0

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ (10

所以 m 的取值范围为(﹣2,﹣ )

.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(12 分) 【点评】本题主要考查了直线与椭圆的位置关系的应用,直线与曲线联立,根据方程的根与系数 的关系,这是处理这类问题的最为常用的方法,但圆锥曲线的特点是计算量比较大,要求考试具 备较强的运算推理的能力,关键是看清题中给出的条件,灵活运用韦达定理进行求解.解决此类 问题的必须熟悉曲线的定义和曲线的图形特征,这也是高考常考的知识点.


直线与圆锥曲线解析版

直线与圆锥曲线解析版_数学_高中教育_教育专区。高二数学一.直线与圆锥曲线的位置关系 直线与圆锥曲线的位置关系 1. 代数法: 判断直线 l 与圆锥曲线 r 的位置...

高考数学必考直线和圆锥曲线经典题型 含详解

高考数学必考直线和圆锥曲线经典题型 含详解。高考数学必备圆锥曲线题型 ...仅有一个公共点及有两个 对于抛物线来说,平行于对称轴的直线与抛物线相交于一...

直线与圆锥曲线的位置关系(有答案)

直线与圆锥曲线的位置关系(有答案)_高二数学_数学_高中教育_教育专区。第4讲 ...( A.3 2 B.2 6 ). C.2 7 D.4 2 x2 y2 解析 根据题意设椭圆...

直线与圆锥曲线的位置关系常考题型及解析

直线与圆锥曲线的位置关系常考题型及解析 直线与圆锥曲线的位置关系一直是高中数学常考的知识点以及高考的重点 内用, 常考题型也有很多方面, 现就将常考的重点题型...

2012直线与圆锥曲线含详解

苏教版高二期中模拟试卷 7页 2财富值如要投诉违规内容,请到百度文库投诉中心;如...2012直线与圆锥曲线详解 隐藏>> 在练习中总结成败,在成败中寻找自我,改变自我...

圆锥曲线解析版

绝密★启用前 2013-2014 学年度 12 月练考卷 圆锥曲线考试范围:圆锥曲线;考试...((A) 2 【答案】C 【解析】 试题分析: 因为直线 l 过焦点 F ? (B) 2...

2015年高考理数专题复习---圆锥曲线(理科)(解析版)

2015年高考理数专题复习---圆锥曲线(理科)(解析版)_数学_高中教育_教育专区。...1 2 x 的焦点, 与抛物线相切于点(-4,-4)的直线 l 与 x 轴的交点为 Q...

直线与圆锥曲线综合性问题(含答案)

直线与圆锥曲线综合性问题(含答案)一.考点分析。 ⑴直线与圆锥曲线的位置关系和判定 直线与圆锥曲线的位置关系有三种情况:相交、相切、相离. 直线方程是二元一次...

圆锥曲线考法分析及解题方法分析

0 时,得到的是一个一元一次方程,则直线 l 和圆锥曲线 C 相交,且只有一 个...(分)比定理及圆锥曲线的定义. 9.求动点轨迹方程是解析几何的重点内容之一,它...