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【步步高】2015届高考数学总复习 第一章 1.1集合的概念与运算课件 理 北师大版


数学

北(理)

§1.1 集合的概念与运算
第一章 集合与常用逻辑用语

基础知识·自主学习
要点梳理
知识回顾 理清教材

1.集合与元素 (1)集合元素的三个特征: 确定性 、 互异性 、 无序性 . (2) 元 素 与 集 合 的 关 系 是 属于 或 不属于

关 系 , 用 符 号∈或 ? 表示. (3)集合的表示法: 列举法、描述法 . (4)常见数集的记法 集合 自然数集 正整数集 符号 N N+(或 N*) 整数集 有理数集 实数集 Z Q R

基础知识·自主学习
要点梳理
知识回顾 理清教材

2.集合间的关系 (1)子集: 对任意的 x∈A, 都有 x∈B, 则 A ? B(或 B?A ). (2)真子集:若 A?B,且 A≠B,则 A B(或 B A ).

(3)空集:空集是任意一个集合的子集,是任何非空集合 的真子集.即??A,? B(B≠?). (4)若 A 含有 n 个元素,则 A 的子集有 2n 个,A 的非空
n 子集有 2 -1 个.

(5)集合相等:若 A?B,且 B?A,则 A=B .

基础知识·自主学习
要点梳理
知识回顾 理清教材

3.集合的运算 集合的并集 图形 A∪B={x|x∈A A∩B= {x|x∈A ?UA= {x|x∈U,
或 x∈B}
且 x∈B}
且 x?A}

集合的交集

集合的补集

符号

基础知识·自主学习
要点梳理
4.集合的运算性质 并集的性质: A∪?=A;A∪A=A;A∪B=B∪A;A∪B=A? B?A . 交集的性质: A∩?=?;A∩A=A;A∩B=B∩A;A∩B=A? A?B . 补集的性质: A∪(?UA)= U ;A∩(?UA)= ? ;?U(?UA)= A .
知识回顾 理清教材

基础知识·自主学习
夯基释疑
夯实基础 突破疑难

题号
1 2 3 4 5

答案
(1)× (2) √ (3) × (4) × (5) √ (6) √

解析

B C

A
?3 4? ? , ? ?4 3?

题型分类·深度剖析
题型一 集合的基本概念
思维启迪 解析 答案 思维升华

【例 1】

(1) 已 知 集 合 A =

{1,2,3,4,5},B={(x,y)|x∈A, y∈A,x-y∈A},则 B 中所 含元素的个数为 A. 3 B. 6 C. 8 ( )

D.10

(2)设 a, b∈R, 集合{1, a+b, ? ? ? ? b ?,则 b-a= 0 , , b a} = ? ? ? a ? ? ________.

题型分类·深度剖析
题型一 集合的基本概念
思维启迪 解析 答案 思维升华

【例 1】

(1) 已 知 集 合 A =

{1,2,3,4,5},B={(x,y)|x∈A, y∈A,x-y∈A},则 B 中所 含元素的个数为 A. 3 B. 6 C. 8 ( )
解决集合问题首先要理解 集合的含义,明确元素的 特征,抓住集合的“三 性”.

D.10

(2)设 a, b∈R, 集合{1, a+b, ? ? ? ? b ?,则 b-a= 0 , , b a} = ? ? ? a ? ? ________.

题型分类·深度剖析
题型一 集合的基本概念
思维启迪 解析 答案 思维升华

【例 1】

(1) 已 知 集 合 A =

(1)由 x-y∈A,及 A={1,2,3,4,5} 得 x>y,

{1,2,3,4,5},B={(x,y)|x∈A, y∈A,x-y∈A},则 B 中所 含元素的个数为 A. 3 B. 6 C. 8 ( )

当 y=1 时, x 可取 2,3,4,5,有 4 个;

当 y=2 时, x 可取 3,4,5, 有 3 个;

D.10

当 y=3 时,x 可取 4,5,有 2 个;
当 y=4 时,x 可取 5,有 1 个.
故共有 1+2+3+4=10(个), 选 D.

(2)设 a, b∈R, 集合{1, a+b, ? ? ? ? b ?,则 b-a= 0 , , b a} = ? ? ? a ? ? ________.

题型分类·深度剖析
题型一 集合的基本概念
思维启迪 解析 答案 思维升华

【例 1】

(1) 已 知 集 合 A =

{1,2,3,4,5},B={(x,y)|x∈A, (2)因为{1,a+b,a} y∈A,x-y∈A},则 B 中所 含元素的个数为 A. 3 B. 6 C. 8 ( )

? ? ? ? b ? =?0,a,b? ,a≠0, ? ? ?

b 所以 a+b=0,得 =-1, a 所以 a=-1,b=1.

D.10

(2)设 a, b∈R, 集合{1, a+b, ? ? 所以 b-a=2. ? ? b ?,则 b-a= 0 , , b a} = ? ? ? a ? ? ________.

题型分类·深度剖析
题型一 集合的基本概念
思维启迪 解析 答案 思维升华

【例 1】

(1) 已 知 集 合 A =

{1,2,3,4,5},B={(x,y)|x∈A, (2)因为{1,a+b,a} y∈A,x-y∈A},则 B 中所 含元素的个数为 A. 3 B. 6 C. 8 ( D ) D.10

? ? ? ? b ? =?0,a,b? ,a≠0, ? ? ?

b 所以 a+b=0,得 =-1, a 所以 a=-1,b=1.

(2)设 a, b∈R, 集合{1, a+b, ? ? 所以 b-a=2. ? ? b ?,则 b-a= 0 , , b a} = ? ? ? a ? ?

2 ________.

题型分类·深度剖析
题型一 集合的基本概念
思维启迪 解析 答案 思维升华

【例 1】

(1) 已 知 集 合 A =

(1)用描述法表示集合, 首先要 搞清楚集合中代表元素的含 义,再看元素的限制条件,明 白集合的类型,是数集、点集 还是其他类型集合; (2) 集合中元素的互异性常常
容易忽略,求解问题时要特别 注意.分类讨论的思想方法常 用于解决集合问题.

{1,2,3,4,5},B={(x,y)|x∈A, y∈A,x-y∈A},则 B 中所 含元素的个数为 A. 3 B. 6 C. 8 ( D ) D.10

(2)设 a, b∈R, 集合{1, a+b, ? ? ? ? b ?,则 b-a= 0 , , b a} = ? ? ? a ? ?

2 ________.

题型分类·深度剖析
跟踪训练 1 数为 A.0 B.1 C. 2 D.3 (1)已知集合 A={(x,y)|x,y∈R,且 x2+y2 ( C )

=1},B={(x,y)|x,y∈R,且 y=x},则 A∩B 的元素个

(2)若集合 A={x|ax2-3x+2=0}的子集只有两个, 则实数 a =________.
解析 (1)集合 A 表示的是圆心在原点的单位圆, 集合 B 表 示的是直线 y=x,
据此画出图像,可得图像有两个交点,

即 A∩B 的元素个数为 2.

题型分类·深度剖析
跟踪训练 1 数为 A.0 B.1 C. 2 D.3 (1)已知集合 A={(x,y)|x,y∈R,且 x2+y2 ( C )

=1},B={(x,y)|x,y∈R,且 y=x},则 A∩B 的元素个

(2)若集合 A={x|ax2-3x+2=0}的子集只有两个, 则实数 a
9 0或 8 =________.

解析

(2) ∵集合 A 的子集只有两个,∴A 中只有一个元素. 2 当 a=0 时,x= 符合要求. 3 9 2 当 a≠0 时,Δ=(-3) -4a×2=0,∴a= . 8 9 故 a=0 或 . 8

题型分类·深度剖析
题型二 集合间的基本关系
2

【例 2】

(1)已知集合 A={x|x -

思维启迪

解析

答案

思维升华

3x+2=0, x∈R}, B={x|0<x<5, x∈N},则满足条件 A?C?B 的 集合 C 的个数为 A. 1 B . 2 C. 3 ( D. 4 )

(2)已知集合 A={x|-2≤x≤7}, B={x|m+1<x<2m-1},若 B? A,则实数 m 的取值范围是 ________.

题型分类·深度剖析
题型二 集合间的基本关系
2

【例 2】

(1)已知集合 A={x|x -

思维启迪

解析

答案

思维升华

3x+2=0, x∈R}, B={x|0<x<5, x∈N},则满足条件 A?C?B 的 集合 C 的个数为 A. 1 B . 2 C. 3 ( D. 4 )
对于含有有限个元素的集 合的子集,可按含元素的 个数依次写出; B?A 不要 忽略 B=?的情形.

(2)已知集合 A={x|-2≤x≤7}, B={x|m+1<x<2m-1},若 B? A,则实数 m 的取值范围是 ________.

题型分类·深度剖析
题型二 集合间的基本关系
2

【例 2】

(1)已知集合 A={x|x -

思维启迪

解析

答案

思维升华

3x+2=0, x∈R}, B={x|0<x<5, x∈N},则满足条件 A?C?B 的 集合 C 的个数为 A. 1 B . 2 C. 3 ( D. 4 )

(1)用列举法表示集合 A,B,根据集 合关系求出集合 C 的个数.

由 x2-3x+2=0 得 x=1 或 x=2, ∴A={1,2}.
由题意知 B={1,2,3,4},

(2)已知集合 A={x|-2≤x≤7},

B={x|m+1<x<2m-1},若 B? ∴ 满 足 条 件 的 C 可 为 {1,2} , A,则实数 m 的取值范围是 ________.
{1,2,3},{1,2,4},{1,2,3,4}.

题型分类·深度剖析
题型二 集合间的基本关系
2

【例 2】

(1)已知集合 A={x|x -

思维启迪

解析

答案

思维升华

3x+2=0, x∈R}, B={x|0<x<5,

(2)当 B=?时,有 m+1≥2m-1, 则 m≤2.

x∈N},则满足条件 A?C?B 的 当 B≠?时,若 B?A,如图. 集合 C 的个数为 A. 1 B . 2 C. 3 ( D. 4
, 解得 2<m≤4.

)

?m+1≥-2 ? 则?2m-1≤7 ?m+1<2m-1 B={x|m+1<x<2m-1},若 B? ?

(2)已知集合 A={x|-2≤x≤7},

A,则实数 m 的取值范围是 ________.

综上,m 的取值范围为 m≤4.

题型分类·深度剖析
题型二 集合间的基本关系
2

【例 2】

(1)已知集合 A={x|x -

思维启迪

解析

答案

思维升华

3x+2=0, x∈R}, B={x|0<x<5,

(2)当 B=?时,有 m+1≥2m-1, 则 m≤2.

x∈N},则满足条件 A?C?B 的 当 B≠?时,若 B?A,如图. 集合 C 的个数为 A. 1 B . 2 C. 3 ( D ) D. 4
,解得 2<m≤4.

?m+1≥-2 ? 则?2m-1≤7 ?m+1<2m-1 B={x|m+1<x<2m-1},若 B? ?

(2)已知集合 A={x|-2≤x≤7},

A,则实数 m 的取值范围是

(- ∞,4] . ________

综上,m 的取值范围为 m≤4.

题型分类·深度剖析
题型二 集合间的基本关系
2

【例 2】

(1)已知集合 A={x|x -

思维启迪

解析

答案

思维升华

3x+2=0, x∈R}, B={x|0<x<5, (1)空集是任何集合的子集,在
必须优先考虑 x∈N},则满足条件 A?C?B 的 涉及集合关系时, 空集的情况,否则会造成漏解;
(2) 已知两个集合间的关系求 参数时,关键是将条件转化为 元素或区间端点间的关系,进 而转化为参数所满足的关 系.常用数轴、Venn 图来直观 解决这类问题.

集合 C 的个数为 A. 1 B . 2 C. 3

( D ) D. 4

(2)已知集合 A={x|-2≤x≤7}, B={x|m+1<x<2m-1},若 B? A,则实数 m 的取值范围是

(- ∞,4] . ________

题型分类·深度剖析
跟踪训练 2 (1)设 M 为非空的数集,M?{1,2,3},且 M 中至 少含有一个奇数元素,则这样的集合 M 共有 A.6 个 B. 5 个 C.4 个 D.3 个 ( A )

(2)已知集合 A={x|log2x≤2},B=(-∞,a),若 A?B,则实

4 数 a 的取值范围是(c,+∞),其中 c=________.
解析 (1)集合{1,2,3}的所有子集共有 23=8(个),集合{2}的所有子集 共有 2 个, 故满足要求的集合 M 共有 8-2=6(个).
(2)由 log2x≤2,得 0<x≤4,即 A={x|0<x≤4},

而 B=(-∞,a),
由于 A?B,如图所示,则 a>4,即 c=4.

题型分类·深度剖析
题型三 集合的基本运算
解析 答案 思维升华

【例 3】 (1)(2013· 湖北)已知全集为 R,集 思维启迪 ? ? ? 1 x ? ? x|x2-6x+8≤0 , 合 A=?x|?2? ≤1? , B = ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

则 A∩(?RB)等于 A.{x|x≤0} B.{x|2≤x≤4} C.{x|0≤x<2 或 x>4} D.{x|0<x≤2 或 x≥4}

(

)

(2)(2012· 天津 ) 已知集合 A = {x∈R||x + 2|<3},集合 B={x∈R|(x-m)(x-2)<0}, 且 A∩B=(-1,n),则 m=________,n =________.

题型分类·深度剖析
题型三 集合的基本运算
解析 答案 思维升华

【例 3】 (1)(2013· 湖北)已知全集为 R,集 思维启迪 ? ? ? 1 x ? ? x|x2-6x+8≤0 , 合 A=?x|?2? ≤1? , B = ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

则 A∩(?RB)等于 A.{x|x≤0} B.{x|2≤x≤4} C.{x|0≤x<2 或 x>4} D.{x|0<x≤2 或 x≥4}

(

)

集合的运算问题可先对集合 进行化简,然后结合数轴或 Venn 图计算.

(2)(2012· 天津 ) 已知集合 A = {x∈R||x + 2|<3},集合 B={x∈R|(x-m)(x-2)<0}, 且 A∩B=(-1,n),则 m=________,n =________.

题型分类·深度剖析
题型三 集合的基本运算
【例 3】 (1)(2013· 湖北)已知全集为 R,集 思维启迪 解析 答案 思维升华 ? ? ? 1 x ? ? x|x2-6x+8≤0 , (1)A={x|x≥0},B={x|2≤x≤4}, 合 A=?x|?2? ≤1? , B = ? ? ? ∴A∩( ? RB) = {x|x≥0}∩{x|x>4 则 A∩(?RB)等于 ( ) 或 x<2} A.{x|x≤0} ={x|0≤x<2 或 x>4}. B.{x|2≤x≤4} (2)先求出集合 A,再根据集合的 C.{x|0≤x<2 或 x>4} 交集的特点求解. D.{x|0<x≤2 或 x≥4} A={x|-5<x<1}, 因为 A∩B={x| (2)(2012· 天津 ) 已知集合 A = {x∈R||x + -1<x<n}, 2|<3},集合 B={x∈R|(x-m)(x-2)<0}, B={x|(x-m)(x-2)<0}, 且 A∩B=(-1,n),则 m=________,n 所以 m=-1,n=1. =________.
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

题型分类·深度剖析
题型三 集合的基本运算
【例 3】 (1)(2013· 湖北)已知全集为 R,集 思维启迪 解析 答案 思维升华 ? ? ? 1 x ? ? x|x2-6x+8≤0 , (1)A={x|x≥0},B={x|2≤x≤4} 合 A=?x|?2? ≤1? , B = ? ? ? ∴A∩( ? RB) = {x|x≥0}∩{x|x>4 则 A∩(?RB)等于 ( C ) 或 x<2} A.{x|x≤0} ={x|0≤x<2 或 x>4}. B.{x|2≤x≤4} (2)先求出集合 A,再根据集合的 C.{x|0≤x<2 或 x>4} 交集的特点求解. D.{x|0<x≤2 或 x≥4} A={x|-5<x<1}, 因为 A∩B={x| (2)(2012· 天津 ) 已知集合 A = {x∈R||x + -1<x<n}, 2|<3},集合 B={x∈R|(x-m)(x-2)<0}, B={x|(x-m)(x-2)<0}, 所以 m 且 A∩B=(-1,n),则 m=________ -1 ,n =-1,n=1. 1 =________.
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

题型分类·深度剖析
题型三 集合的基本运算
【例 3】 (1)(2013· 湖北)已知全集为 R,集 思维启迪 解析 答案 思维升华 ? ? ? 1 x ? ? x|x2-6x+8≤0 , (1)一般来讲, 合 A=?x|?2? ≤1? , B = 集合中的元素若 ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

则 A∩(?RB)等于 A.{x|x≤0} B.{x|2≤x≤4} C.{x|0≤x<2 或 x>4} D.{x|0<x≤2 或 x≥4}

则用 Venn 图表示; ( C ) 是离散的, 集合中的元素若是连续的实 数,则用数轴表示,此时要注 意端点的情况.

(2)(2012· 天津 ) 已知集合 A = {x∈R||x + (2) 运算过程中要注意集合间 2|<3},集合 B={x∈R|(x-m)(x-2)<0}, 的特殊关系的使用,灵活使用 且 A∩B=(-1,n),则 m=________ -1 ,n

1 =________.

这些关系,会使运算简化.

题型分类·深度剖析
跟踪训练 3 (1)设集合
? ? ? ?x+1≥0,? ? ? A=?x∈R|? ? ? ? ?x-3≤0 ? ?

,B={x∈Z|x ( B )

-2>0},则 A∩B 等于 A.{x|2<x≤3} C.{2,3} B.{3} D.{x|-1≤x<2}

(2)设 U=R,集合 A={x|x2+3x+2=0},B={x|x2+(m+1)x +m=0}.若(?UA)∩B=?,则 m 的值是________.

解析

(1)A={x|-1≤x≤3},B={x∈Z|x>2},

∴A∩B={x∈Z|2<x≤3}={3}.

题型分类·深度剖析
跟踪训练 3 (1)设集合
? ? ? ?x+1≥0,? ? ? A=?x∈R|? ? ? ? ?x-3≤0 ? ?

,B={x∈Z|x ( B )

-2>0},则 A∩B 等于 A.{x|2<x≤3} C.{2,3} B.{3} D.{x|-1≤x<2}

(2)设 U=R,集合 A={x|x2+3x+2=0},B={x|x2+(m+1)x +m=0}.若(?UA)∩B=?,则 m 的值是________.
解析 (2)A={-2,-1},由(?UA)∩B=?,得 B?A,
∵方程 x2+(m+1)x+m=0 的判别式 Δ=(m+1)2-4m=(m-1)2≥0, ∴B≠?.
∴B={-1}或 B={-2}或 B={-1,-2}.

题型分类·深度剖析
跟踪训练 3 (1)设集合
? ? ? ?x+1≥0,? ? ? A=?x∈R|? ? ? ? ?x-3≤0 ? ?

,B={x∈Z|x ( B )

-2>0},则 A∩B 等于 A.{x|2<x≤3} C.{2,3} B.{3} D.{x|-1≤x<2}

(2)设 U=R,集合 A={x|x2+3x+2=0},B={x|x2+(m+1)x +m=0}.若(?UA)∩B=?,则 m 的值是________.
①若 B={-1},则 m=1; ②若 B={-2},则应有-(m+1)=(-2)+(-2)=-4,
且 m=(-2)· (-2)=4,这两式不能同时成立,∴B≠{-2}; ③若 B={-1,-2},则应有-(m+1)=(-1)+(-2)=-3,

且 m=(-1)· (-2)=2,由这两式得 m=2.

题型分类·深度剖析
跟踪训练 3 (1)设集合
? ? ? ?x+1≥0,? ? ? A=?x∈R|? ? ? ? ?x-3≤0 ? ?

,B={x∈Z|x ( B )

-2>0},则 A∩B 等于 A.{x|2<x≤3} C.{2,3} B.{3} D.{x|-1≤x<2}

(2)设 U=R,集合 A={x|x2+3x+2=0},B={x|x2+(m+1)x +m=0}.若(?UA)∩B=?,则 m 的值是________ 1或 2 .
经检验知 m=1 和 m=2 符合条件.
∴m=1 或 2.

题型分类·深度剖析
题型四 集合中的新定义问题
思维启迪 解析 答案 思维升华

【例 4】 在整数集 Z 中,被 5 除所得 余数为 k 的所有整数组成一个 “ 类 ” , 记 为 [k] , 即 [k] = {5n + k|n∈Z}, k=0,1,2,3,4.给出如下四个 结论: ①2 014∈[4] ;②- 3∈[3] ;③Z = [0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]; ④“整数 a, b 属于同一‘类’”的充要条件是 “a-b∈[0]”. 其中,正确结论的个数是 A.1 B. 2 C.3 ( D.4 )

题型分类·深度剖析
题型四 集合中的新定义问题
思维启迪 解析 答案 思维升华

【例 4】 在整数集 Z 中,被 5 除所得 余数为 k 的所有整数组成一个 “ 类 ” , 记 为 [k] , 即 [k] = {5n + k|n∈Z}, k=0,1,2,3,4.给出如下四个 结论: [0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]; ④“整数 a, b 属于同一‘类’”的充要条件是 “a-b∈[0]”. 其中,正确结论的个数是 A.1 B. 2 C.3 ( D.4 )

解 答 本 题 要 充 分 理 解 [k] 的

然后对选项逐一验证. ①2 014∈[4] ;②- 3∈[3] ;③Z = 意义,

题型分类·深度剖析
题型四 集合中的新定义问题
思维启迪 解析 答案 思维升华

【例 4】 在整数集 Z 中,被 5 除所得

余 数 为 k 的 所 有 整 数 组 成 一 个 又因为[4] ={5n+4|n∈Z}, “ 类 ” , 记 为 [k] , 即 [k] = {5n + 所以 2 014∈[4] ,故①正确;
因为-3=5×(-1)+2, 所以-3∈[2] ,故②不正确; 结论: 因为所有的整数 Z 除以 5 可得的余 ①2 014∈[4] ;②- 3∈[3] ;③Z = 数为 0,1,2,3,4,所以③正确; 若 a,b 属于同一“类”, [0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]; ④“整数 a,则有 a=5n1+k,b=5n2+k, b 属于同一‘类’”的充要条件是 所以 a-b=5(n1-n2)∈[0] ,

因为 2 014=402×5+4,

k|n∈Z}, k=0,1,2,3,4.给出如下四个

“a-b∈[0]”. 其中,正确结论的个数是 A.1 B. 2 C.3

反过来,如果 a-b∈[0] ,

也可以得到 a,b 属于同一“类”, ( ) 故④正确. D.4 故有 3 个结论正确.

题型分类·深度剖析
题型四 集合中的新定义问题
思维启迪 解析 答案 思维升华

【例 4】 在整数集 Z 中,被 5 除所得

余 数 为 k 的 所 有 整 数 组 成 一 个 又因为[4]={5n+4|n∈Z}, “ 类 ” , 记 为 [k] , 即 [k] = {5n + 所以 2 014∈[4],故①正确;
因为-3=5×(-1)+2, 所以-3∈[2],故②不正确; 结论: 因为所有的整数 Z 除以 5 可得的余 ①2 014∈[4] ;②- 3∈[3] ;③Z = 数为 0,1,2,3,4,所以③正确; 若 a,b 属于同一“类”, [0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]; ④“整数 a,则有 a=5n1+k,b=5n2+k, b 属于同一‘类’”的充要条件是 所以 a-b=5(n1-n2)∈[0],

因为 2 014=402×5+4,

k|n∈Z}, k=0,1,2,3,4.给出如下四个

“a-b∈[0]”. 其中,正确结论的个数是 A.1 B. 2 C.3

反过来,如果 a-b∈[0],

也可以得到 a,b 属于同一“类”, ( C ) 故④正确. D.4 故有 3 个结论正确.

题型分类·深度剖析
题型四 集合中的新定义问题
思维启迪 解析 答案 思维升华

【例 4】 在整数集 Z 中,被 5 除所得 “ 类 ” , 记 为 [k] , 即 [k] = {5n + k|n∈Z}, k=0,1,2,3,4.给出如下四个 结论: ①2 014∈[4] ;②- 3∈[3] ;③Z = [0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]; ④“整数 a, “a-b∈[0]”. 其中,正确结论的个数是 A.1 B. 2 C.3 D.4

余 数 为 k 的 所 有 整 数 组 成 一 个 解决以集合为背景的新定义问
题,要抓住两点: (1) 紧扣新定 义.首先分析新定义的特点,把 新定义所叙述的问题的本质弄 清楚,并能够应用到具体的解题 过程之中,这是破解新定义型集

合问题难点的关键所在; b 属于同一‘类’”的充要条件是 (2)用好集合的性质.解题时要善

于从试题中发现可以使用集合性

( C ) 质的一些因素,在关键之处用好
集合的运算与性质.

题型分类·深度剖析
跟踪训练 4 足X 等于 A.(X∪Y)∪(?UZ) C.[(?UX )∪(?UY )]∩Z
解析 因为 X

设 U 为全集,对集合 X,Y,定义运算“

”,满 (Y Z)

Y=(?UX)∪Y,则对于任意集合 X,Y,Z,X

( D ) B.(X∩Y)∪(?UZ) D.(?UX)∪(?UY)∪Z
Z=(?UY)∪Z,

Y=(?UX)∪Y,所以 Y

所以 X 故选 D.

(Y

Z)=(?UX)∪(Y

Z)=(?UX)∪(?UY)∪Z,

题型分类·深度剖析
易错警示系列1 遗忘空集致误
典例:(5 分)若集合 P={x|x2+x-6=0},S={x|ax+1=0},且 S?P,则由 a 的可取值组成的集合为__________.

易 错 分 析

解 析

温 馨 提 醒

题型分类·深度剖析
易错警示系列1 遗忘空集致误
典例:(5 分)若集合 P={x|x2+x-6=0},S={x|ax+1=0},且 S?P,则由 a 的可取值组成的集合为__________.

易 错 分 析

解 析

温 馨 提 醒

从集合的关系看,S?P,则 S=?或 S≠?,易遗忘 S=?的情况.

题型分类·深度剖析
易错警示系列1 遗忘空集致误
典例:(5 分)若集合 P={x|x2+x-6=0},S={x|ax+1=0},且 S?P,则由 a
? 1 1? ? ? ?0, ,- ? 3 2? ? ? ? . 的可取值组成的集合为_____________

易 错 分 析

解 析

温 馨 提 醒

P={-3,2}.当 a=0 时,S=?,满足 S?P;

1 当 a≠0 时,方程 ax+1=0 的解集为 x=- , a 1 1 为满足 S?P 可使- =-3 或- =2, a a
? 1 1? ? ? 1 1 ? 即 a= 或 a=- .故所求集合为?0,3,-2? . ? 3 2 ? ?

题型分类·深度剖析
易错警示系列1 遗忘空集致误
典例:(5 分)若集合 P={x|x2+x-6=0},S={x|ax+1=0},且 S?P,则由 a
? 1 1? ? ? ?0, ,- ? 3 2? ? ? ? . 的可取值组成的集合为_____________

易 错 分 析

解 析

温 馨 提 醒

(1)根据集合间的关系求参数是高考的一个重点内容.解答此类问 题的关键是抓住集合间的关系以及集合元素的特征.
(2)在解答本题时,存在两个典型错误.一是忽略对空集的讨论, 1 如 a=0 时,S=?;二是易忽略对字母的讨论.如- 可以为-3 a 或 2.因此,在解答此类问题时,一定要注意分类讨论,避免漏解.

思想方法·感悟提高
1.集合中的元素的三个特征,特别是无序性和互 异性在解题时经常用到.解题后要进行检验,

方 法 与 技 巧

要重视符号语言与文字语言之间的相互转化.

2.对连续数集间的运算,借助数轴的直观性,进 行合理转化;对已知连续数集间的关系,求其 中参数的取值范围时,要注意单独考察等号.
3.对离散的数集间的运算,或抽象集合间的运算, 可借助 Venn 图. 这是数形结合思想的又一体现.

思想方法·感悟提高
1.集合问题解题中要认清集合中元素的属性(是数集、 点集还是其他类型集合),要对集合进行化简.

2. 空集是任何集合的子集, 是任何非空集合的真子集,

失 误 与 防 范

时刻关注对空集的讨论,防止漏解.

3.解题时注意区分两大关系:一是元素与集合的从属 关系;二是集合与集合的包含关系.
4.Venn 图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补 运算的常用方法,其中运用数轴图示法要特别注意 端点是实心还是空心.
5. 要注意 A?B、 A∩B=A、 A∪B=B、 ?UA??UB、 A∩ (?UB)=?这五个关系式的等价性.

练出高分
1 2 3 4

A组
5

专项基础训练
6 7 8 9 10 11 12

练出高分
1 2 3 4

A组
5

专项基础训练
6 7 8 9 10 11 12

1.(2013· 重庆)已知全集 U={1,2,3,4},集合 A={1,2}, B={2,3},则?U(A∪B)等于 A.{1,3,4} C.{3} B.{3,4} D.{4} ( D )

解析

因为 A∪B={1,2,3},全集 U={1,2,3,4},

所以?U(A∪B)={4},故选 D.

练出高分
1 2 3 4

A组
5

专项基础训练
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2.下列集合中表示同一集合的是 A.M={(3,2)},N={(2,3)} B.M={2,3},N={3,2} C.M={(x,y)|x+y=1},N={y|x+y=1} D.M={2,3},N={(2,3)}
解析

(

)

选项 A 中的集合 M 表示由点(3,2)所组成的单点集,集

合 N 表示由点(2,3)所组成的单点集,故集合 M 与 N 不是同一 个集合. 选项 C 中的集合 M 表示由直线 x+y=1 上的所有点组成的集 合, 集合 N 表示由直线 x+y=1 上的所有点的纵坐标组成的集 合,即 N={y|x+y=1}=R,故集合 M 与 N 不是同一个集合.

练出高分
1 2 3 4

A组
5

专项基础训练
6 7 8 9 10 11 12

2.下列集合中表示同一集合的是 A.M={(3,2)},N={(2,3)} B.M={2,3},N={3,2} C.M={(x,y)|x+y=1},N={y|x+y=1} D.M={2,3},N={(2,3)}

( B )

选项 D 中的集合 M 有两个元素,而集合 N 只含有一个 元素,故集合 M 与 N 不是同一个集合. 对选项 B,由集合元素的无序性,可知 M,N 表示同一 个集合.

练出高分
1 2 3 4

A组
5

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6 7 8 9 10 11 12

3.已知全集 S={1,2,a2-2a+3},A={1,a},?SA={3}, 则实数 a 等于 A.0 或 2 C.1 或 2 B.0 D.2 ( D )

解析

?a=2, ? 由题意,知? 2 ? ?a -2a+3=3,

则 a=2.

练出高分
1 2 3 4

A组
5

专项基础训练
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4. 设集合 M={m∈Z|m≤-3 或 m≥2}, N={n∈Z|-1≤n≤3}, 则(?ZM)∩N 等于 A.{0,1} C.{0,1,2} B.{-1,0,1} D.{-1,0,1,2} ( B )

解析

由已知,得?ZM={-2,-1,0,1},

N={-1,0,1,2,3},所以(?ZM)∩N={-1,0,1}.

练出高分
1 2 3 4

A组
5

专项基础训练
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5.已知集合 M={0,1,2,3,4},N={1,3,5},P=M∩N,则 P 的子集共有 A.2 个 B.4 个 C.6 个 ( B ) D.8 个

解析 ∵M={0,1,2,3,4},N={1,3,5}, ∴M∩N={1,3}.
∴M∩N 的子集共有 22=4 个.

练出高分
1 2 3 4

A组
5

专项基础训练
6 7 8 9 10 11 12

6. 已知集合 A={x|x2-x-2<0}, B={x|-1<x<1}, 则( B ) A.A B C.A=B
解析

B.B A D.A∩B=?

因为 A={x|x2-x-2<0},

所以 A={x|-1<x<2}. 又 B={x|-1<x<1},画出数轴,可得 B A.

练出高分
1 2 3 4

A组
5

专项基础训练
6 7 8 9 10 11 12

7.(2013· 辽宁)已知集合 A={x|0<log4x<1},B={x|x≤2},则 A∩B 等于 A.(0,1) B.(0,2] C.(1,2) D.(1,2] ( D )

解析

A={x|1<x<4},B={x|x≤2},

∴A∩B={x|1<x≤2}.

练出高分
1 2 3 4

A组
5

专项基础训练
6 7 8 9 10 11 12

8. 设全集 U 为整数集,集合 A={x∈N|y= 7x-x2-6}, B={x∈Z|-1<x≤3},则右图中阴影部分表示的集 合的真子集的个数为 A.3
解析

( C ) C.7 D.8

B. 4

因为 A = {x∈N|y = 7x-x2-6} = {x∈N|7x - x2 -

6≥0}={x∈N|1≤x≤6},
由题意,知题图中阴影部分表示的集合为 A∩B={1,2,3},

所以其真子集有:?,{1},{2},{3},{1,2},{1,3}, {2,3},共7个.

练出高分
1 2 3 4

A组
5

专项基础训练
6 7 8 9 10 11 12

9.已知集合 A={1,3,a},B={1,a2-a+1},且 B?A,

- 1或 2 则 a=__________.

解析 由 a2-a+1=3,得 a=-1 或 a=2,经检验 符合.
由 a2-a+1=a,得 a=1,由于集合中不能有相同 元素,所以舍去.故 a=-1 或 2.

练出高分
1 2 3 4

A组
5

专项基础训练
6 7 8 9 10 11 12

10.已知集合 A={(0,1),(1,1),(-1,2)},B={(x,y)|x

{(0,1),(-1,2)} +y-1=0,x,y∈Z},则 A∩B=______________.

解析 A、B 都表示点集,A∩B 即是由 A 中在直 线 x+y-1=0 上的所有点组成的集合,代入验证 即可.

练出高分
1 2 3 4

A组
5

专项基础训练
6 7 8 9 10 11 12

11. (2013· 天津改编)已知集合 A={x||x|≤2}, B={x|x≤1},

{x|-2≤x≤1} 则 A∩B=____________.

解析

易知 A={x|-2≤x≤2},

∴A∩B={x|-2≤x≤1}.

练出高分
1 2 3 4

A组
5

专项基础训练
6 7 8 9 10 11 12

12.已知集合 A={x|1≤x<5},C={x|-a<x≤a+3}.若 C∩A

(-∞,-1] . =C,则 a 的取值范围是___________

解析 因为 C∩A=C,所以 C?A.
3 ①当 C=?时,满足 C?A,此时-a≥a+3,得 a≤-2;
?-a<a+3, ? ②当C≠?时,要使C?A,则?-a≥1, ?a+3<5, ? 3 解得-2<a≤-1.

练出高分
1 2

B组

专项能力提升
3 4 5 6

练出高分
1
2

B组
2

专项能力提升
3 4 5 6

4 1.若集合 A={x|x -9x<0,x∈N+},B={y|y∈N+},则 A∩B 中元 素个数为 A.0 个 C.2 个 B. 1 个 D.3 个 ( D )

解析 ∵A={x|x2-9x<0,x∈N+}={1,2,3,4,5,6,7,8}, 4 B={y|y ∈N+}={1,2,4},

所以 A∩B={1,2,4},含有 3 个元素,选 D.

练出高分
1 2

B组

专项能力提升
3 4 5 6

x 2. 已知集合 M={x| ≥0, x∈R}, N={y|y=3x2+1, x∈R}, 则 M∩N x-1 等于 A.? C.{x|x>1} B.{x|x≥1} D.{x|x≥1 或 x<0} ( C )

解析

? ?x≠1, x 由 ≥0,得? ? x-1 ?x?x-1?≥0,

∴x>1 或 x≤0,

∴M={x|x>1 或 x≤0},N={y|y≥1},M∩N={x|x>1}.

练出高分
1 2

B组

专项能力提升
3 4 5 6

3. 已知

?9 ? 6 ? ? U={x∈Z|y=ln x-1 }, M={x∈Z||x-4|≤1}, N={x∈N|x ? ?

∈Z},则集合{4,5}等于 A.M∩N C.N∩(?UM)
解析

(

)

B.M∩(?UN) D.(?UM)∪(?UN)
?9 ? y=ln?x-1?的定义域内的整数集, ? ?

集合 U 为函数

9-x 9 由 -1>0,即 >0,解得0<x<9, x x
又x∈Z,所以x可取1,2,3,4,5,6,7,8,

故 U={1,2,3,4,5,6,7,8}.
集合 M 为满足不等式|x-4|≤1 的整数集,

练出高分
1 2

B组

专项能力提升
3 4 5 6

3. 已知

?9 ? 6 ? ? U={x∈Z|y=ln x-1 }, M={x∈Z||x-4|≤1}, N={x∈N|x ? ?

∈Z},则集合{4,5}等于 A.M∩N C.N∩(?UM) B.M∩(?UN) D.(?UM)∪(?UN)

(

)

解|x-4|≤1,得 3≤x≤5, 又 x∈Z,所以 x 可取 3,4,5, 6 故 M={3,4,5}.集合 N 是使x为整数的自然数集合, 6 显然当 x=1 时,x =6; 6 6 当 x=2 时,x =3; 当 x=3 时,x =2;

练出高分
1 2

B组

专项能力提升
3 4 5 6

3. 已知

?9 ? 6 ? ? U={x∈Z|y=ln x-1 }, M={x∈Z||x-4|≤1}, N={x∈N|x ? ?

∈Z},则集合{4,5}等于 A.M∩N C.N∩(?UM) B.M∩(?UN) D.(?UM)∪(?UN)

( B )

6 当 x=6 时,x=1. 显然 M?U,N?U.

所以 N={1,2,3,6}.

而 4∈M,4∈U,4?N,5∈M,5∈U,5?N,
所以 4∈M,4∈?UN,5∈M,5∈?UN,

即{4,5}=M∩(?UN).

练出高分
1 2

B组

专项能力提升
3 4 5 6

1 4.已知 U={y|y=log2x,x>1},P={y|y= ,x>2},则?UP= x ?1 ? ? ? ,+∞ ?2 ? ? ? ________.

解析

∵U={y|y=log2x,x>1}={y|y>0},

1 1 P={y|y= ,x>2}={y|0<y< }, x 2
? 1 ? ?1 ∴?UP={y|y≥ }=?2,+∞? ?. 2 ? ?

练出高分
1 2

B组

专项能力提升
3 4 5 6

5.已知集合 A={x|y=lg(x-x2)},B={x|x2-cx<0,c>0},

,+∞). 若 A?B,则实数 c 的取值范围是[1 ________
A={x|y=lg(x-x2)}={x|x-x2>0}=(0,1),

解析

B={x|x2-cx<0,c>0}=(0,c),

因为 A?B,画出数轴,如右图所示, 得 c≥1.

练出高分
1 2

B组

专项能力提升
3 4 5 6

6.已知集合 A={(x,y)|y=a},B={(x,y)|y=bx+1,b>0, b≠1},若集合 A∩B 只有一个真子集,则实数 a 的取值

(1,+∞) 范围是________ .
解析 由于集合 B 中的元素是指数函数 y=bx 的图像向

上平移一个单位长度后得到的函数图像上的所有点, 要 使集合 A∩B 只有一个真子集,
那么 y=bx+1(b>0,b≠1)与 y=a 的图像只能有一个交点,

所以实数 a 的取值范围是(1,+∞).


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