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2006年普通高等学校招生全国统一考试数学理科卷(山东卷)必修+选修II


2006 年普通高等学校招生全国统一考试数学理科卷(山东卷)必修+选修 II
本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分,第 I 卷 1 至 2 页,第 II 卷 3 至 10 页,满分 150 分,考试用时 120 分钟,考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 第 I 卷(共 60 分) 参考公式: 如果事件 A、B 互斥,那么 P(A+B)=P(A

)+P(B) 如果事件 A、B 相互独立,P(A·B)=P(A)·P(B) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,选择一个 符合题目要求的选项. (1)定义集合运算:A⊙B={z︳z= xy(x+y),z∈A,y∈B} ,设集合 A={0,1} B={2,3} , , 则集合 A⊙B 的所有元素之和为 (A)0 (B)6 (C)12 (D)18 x (2)函数 y=1+a (0<a<1)的反函数的图象大致是

(A)
x ?1

(B)

(C) 则不等式 f(x)>2 的解集为

(D)

? 2e , x ? 2, ? (3)设 f(x)= ? 2 ? lo g 3 ( x ? 1), x ? 2 , ?

(A)(1,2) ? (3,+∞) (C)(1,2) ? ( 10 ,+∞)

(B)( 10 ,+∞) (D)(1,2)
?
3

(4)在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,A= (A) 1 (B)2 (C) 3 —1

,a= 3 ,b=1,则 c= (D) 3

(5)设向量 a=(1, -2),b=(-2,4),c=(-1,-2),若表示向量 4a,4b-2c,2(a-c),d 的有向 线段首尾相接能构成四边形,则向量 d 为 (A)(2,6) (B)(-2,6) (C)(2,-6) (D)(-2,-6) (6)已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x+2)=-f(x),则,f(6)的值为 (A)-1 (B) 0 (C) 1 (D)2

(7)在给定椭圆中,过焦点且垂直于长轴的弦长为 2 ,焦点到相应准线的距离为 1,则该椭 圆的离心率为 (A) 2 (B)
2 2

(C)
1? x x
2

1 2

(D)

2 4

(8)设 p:x -x-20>0,q:
2

?2

<0,则 p 是 q 的 (B)必要不充分条件

(A)充分不必要条件

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1

(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 (9)已知集合 A={5},B={1,2},C={1,3,4} ,从这三个集合中各取一个元素构成空间直角 坐标系中点的坐标,则确定的不同点的个数为 (A)33 (B) 34 (C) 35 (D)36
? 2 (10) 已知 ? x ? ? i ? 3 2 ,其中 i =-1, 则展开式 ? 的展开式中第三项与第五项的系数之比为- 14 x ?
n

中常数项是 (A)-45i

(B) 45i

(C) -45

(D)45

? 5 x ? 11 y ? ? 22 , ? (11) 某公司招收男职员 x 名, 女职员 y 名, 和 y 须满足约束条件 ? 2 x ? 3 y ? 9 , x 则 z=10x+10y ? 2 x ? 11 . ?

的最大值是 (A)80 (B) 85 (C) 90 (D)95 (12)如图,在等腰梯形 ABCD 中,AB=2DC=2,∠DAB=60°,E 为 AB 的中点,将△ADE 与△BEC 分 别沿 ED、EC 向上折起,使 A、B 重合于点 P,则 P-DCE 三棱锥的外接球的体积为 (A)
4 3? 27

(B)

6? 2

(C)

6? 8

(D)

6? 24

(12 题图) 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.答案须填在题中横线上. (13)若 lim
1 n( n ? a ?
2

n? ?

? 1, 则 常 数 a ? n)

.
2 2

(14)已知抛物线 y =4x,过点 P(4,0)的直线与抛物线相交于 A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则 y1 +y2 的最小值是 . (15)如图,已知正三棱柱 ABC-A1B1C1 的所有棱长都相等,D 是 A1C1 的 中点,则直线 AD 与平面 B1DC 所成角的正弦值为 .

(16)下列四个命题中,真命题的序号有

(15 题图) (写出所有真命题的序号).

①将函数 y= x ? 1 的图象按向量 v=(-1,0)平移,得到的图象对应的函数表达式为 y= x

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2

②圆 x +y +4x+2y+1=0 与直线 y= ③若 sin( ? + ? )=
1 2

2

2

1 2

x 相交,所得弦长为 2 1 3

,sin( ? - ? )=

,则 tan ? cot ? =5

④如图,已知正方体 ABCD- A1B1C1D1,P 为底面 ABCD 内一动点,P 到平面 AA1D1D 的距离与到直线 CC1 的距离相等,则 P 点的轨迹是抛物线的一部分.

(16 题图)

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (17)已知函数 f(x)=A sin (? x ? ? ) (A>0, ? >0,0< ? <
2

?
2

函数,且 y=f(x)的最大值为 2,其图

象相邻两对称轴间的距离为 2,并过点(1,2). (1)求 ? ; (2)计算 f(1)+f(2)+… +f(2 008).

(18) (本小题满分 12 分) 设函数 f(x)=ax-(a+1)ln(x+1),其中 a ? -1,求 f(x)的单调区间。

(19) (本小题满分 12 分) 如图,已知平面 A1B1C1 平行于三棱锥 V-ABC 的底面 ABC,等边? AB1C 所在的平面与底面 ABC 垂 直,且 ? ACB=90°,设 AC=2a,BC=a. (1)求证直线 B1C1 是异面直线 AB1 与 A1C1 的公垂线; (2)求点 A 到平面 VBC 的距离; (3)求二面角 A-VB-C 的大小.

(19 题图)

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3

(20) (本小题满分 12 分) 袋中装着标有数学 1,2,3,4,5 的小球各 2 个,从袋中任取 3 个小球,按 3 个小球上最大数 字的 9 倍计分,每个小球被取出的可能性都相等,用 ? 表示取出的 3 个小球上的最大数字,求: (1)取出的 3 个小球上的数字互不相同的概率; (2)随机变量 ? 的概率分布和数学期望; (3)计分介于 20 分到 40 分之间的概率.

(21) (本小题满分 12 分) 双曲线 C 与椭圆
x
2

?

y

2

? 1 有相同的焦点,直线 y=

3 x 为 C 的一条渐近线.

8

4

(1) 求双曲线 C 的方程; (2) 过点 P(0,4)的直线 l , 交双曲线 C 于 A,B 两点, x 轴于 Q 点 Q 点与 C 的顶点不重合) 交 ( . 当 P Q ? ? 1 Q A ? ? 2 Q B ,且 ? 1 ? ? 2 ? ?
???? ??? ? ??? ?
8 3

时,求 Q 点的坐标.

(22) (本小题满分 14 分) 2 已知 a1=2,点(an,an+1)在函数 f(x)=x +2x 的图象上,其中=1,2,3,… (1) 证明数列{lg(1+an)}是等比数列; (2) 设 Tn=(1+a1) (1+a2) …(1+an),求 Tn 及数列{an}的通项; 记 bn=
1 an ? 1 an ? 2

,求{bn}数列的前项和 Sn,并证明 Sn+

2 3T n ? 1

=1.

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4


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