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山东省招远市第二中学2012年高考数学试题分类汇编 三角函数 文 新人教A版


2012 年高考试题分类汇编:三角函数
一、选择题 1.【2012 高考安徽文 7】要得到函数 y ? cos(2 x ? 1) 的图象,只要将函数 y ? cos 2 x 的图 象 (A) 向左平移 1 个单位 (C) 向左平移 【答案】C 2. 【 2012 高 考 新 课 标 文 9 】 已 知 ω >0 , 0 ? ? ? ? , 直 线 x ?

>
(B) 向右平移 1 个单位 (D) 向右平移

1 个单位 2

1 个单位 2

?
4

和x?

5? 是函数 4

f(x)=sin(ω x+φ )图像的两条相邻的对称轴,则 φ =
π (A) 4 【答案】A
??x ? ? ? ? (0 ? x ? 9) 的最大值与最小值之和为 3.【2012 高考山东文 8】函数 y ? 2sin ? 3? ? 6

π (B) 3

π (C) 2

3π (D) 4

(A) 2 ? 3 【答案】A

(B)0

(C)-1

(D) ?1 ? 3

4.【2012 高考全国文 3】若函数 f ( x) ? sin (A)

? 2

(B)

2? 3

x ?? (? ? [0, 2? ]) 是偶函数,则 ? ? 3 3? 5? (C) (D) 2 3 3 ,则 sin 2? ? 5
(D)

【答案】C 5.【2012 高考全国文 4】已知 ? 为第二象限角, sin ? ? (A) ?

24 25

(B) ?

12 25

(C)

12 25

24 25

【答案】B 6.【2012 高考重庆文 5】

sin 47? ? sin17? cos 30? cos17?

(A) ?

1 1 3 3 (B) ? (C) (D) 2 2 2 2

【答案】C 7.【2012 高考浙江文 6】把函数 y=cos2x+1 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵 坐标不变) ,然后向左平移 1 个单位长度,再向下平移 1 个单位长度,得到的图像是

1

【 答案】A 8.【2012 高考上海文 17】在△ ABC 中,若 sin A ? sin B ? sin C ,则△ ABC 的形状是
2 2 2



) B、直角三角形 C、锐角三角形 D、不能确定

A、钝角三角形

【答案】A 9.【2012 高考四川文 5】如图,正方形 ABCD 的边长为 1 ,延长 BA 至 E ,使 AE ? 1 ,连
D C

接 EC 、 ED 则 sin ?CED ? ( (1)



E

A

B

3 10 10

B、

10 10

C、

5 10

D、

5 15

【答案】B 10.【2012 高考辽宁文 6】已知 sin ? ? cos ? ? 2 , ? ?(0,π ),则 sin 2? = (A) ? 1 【答案】A 【点评】本题主要考查三角函数中的倍角公式以及转化思想 和运算求解能力,属于容易题。 11.【2012 高考江西文 4】若 A. (B) ?

2 2

(C)

2 2

(D) 1

3 4

B.

3 4

C. -

4 3

sin ? ? cos ? 1 ? ,则 tan2α = sin ? ? cos ? 2 4 D. 3

【答案】B

2

12.【2012 高考江西文 9】已知 f ( x) ? sin ( x ?
2

?

1 ) 若 a=f(lg5) b ? f (lg ) 则 , 4 5

A.a+b=0 【答案】C

B.a-b=0

C.a+b=1

D.a-b=1

13.【2012 高考湖南文 8】 在△ABC 中,AC= 7 ,BC=2,B =60°,则 BC 边上的高等于

A.

3 2

B.

3 3 2

C.

3? 6 2

D.

3 ? 39 4

【答案】B 【点评】本题考查余弦定理、三角形面积公式, 考查方程思想、 运算能力, 是历年常考内容. 14.【2012 高考湖北文 8】设△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若三边的长为 连续的三个正整数,且 A>B>C,3b=20acosA,则 sinA∶sinB∶sinC 为 A.4∶3∶2 B.5∶6∶7 C.5∶4∶3 D.6∶5∶4 【答案】D 【点评】本题考查正、余弦定理以及三角形中大角对大边的应用.本题最终需求解三个角的 正弦的比值,明显是要利用正弦定理转化为边长的比值,因此必须求出三边长.来年需注意 正余弦定理与和差角公式的结合应用. 15.【2012 高考广东文 6】在△ ABC 中,若 ?A ? 60? , ?B ? 45? , BC ? 3 2 ,则 AC ? A. 4 3 【答案】B 16.【2102 高考福建文 8】函数 f(x)=sin(xA.x= B. 2 3 C.

3

D.

3 2

? 4

B.x=

? 2

C.x=-

? 4

? )的图像的一条对称轴是 4 ? D.x=2
?

【答案】C. 17.【2012 高考天津文科 7】将函数 f(x)=sin ? x (其中 ? >0)的图像向右平移 个单位长
4

度,所得图像经过点( (A) 【答案】D 二、填空题
1 3

3? 4

, 0) ,则 ? 的最小值是 (B)1 C)
5 3

(D)2

? ?? 4 ? 18.【2012 高考江苏 11】 分)设 ? 为锐角,若 cos ? ? ? ? ? ,则 sin( 2a ? ) 的值为 (5 6? 5 12 ?
▲ .

3

【答案】

17 2。 50

【考点】同角三角函数,倍角三角函数,和角三角函数。 19. 【2102 高考北京文 11】 在△ABC 中, a=3, 若 b= 3 , ∠A= 【答案】 90 ? 20.【2102 高考福建文 13】在△ABC 中,已知∠BAC=60°,∠ABC=45°, BC ? 3 ,则 AC=_______. 【答案】 2 . 21. 【 2012 高 考 全 国 文 15 】 当 函 数 y ? sin x ?

? , 则∠C 的大小为_________。 3

3 cos (0 x ? ?2 取 得 最 大 值 时 , x ? )

x ? ___________. 5?
【答案】

6

22.【2012 高 考重庆文 13】设△ ABC 的内角 A、 B、 C 的对边分别为 a、b、c ,且

a =1, b=2, C ? cos
【答案】

1 ,则 sin B ? 4

15 4

23.【2012 高考上海文 3】函数 f ( x) ? 【答案】 ?

sin x 2 的最小正周期是 ?1 cos x

24.【2012 高考陕西文 13】在三角形 ABC 中,角 A,B,C 所对应的长分别为 a,b,c,若 a=2 , B=

? ,c=2 3 ,则 b= 6

.

【答案】2. 三、解答题 25.【2012 高考浙江文 18】 (本题满分 14 分)在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b, c,且 bsinA= 3 acosB。 (1)求角 B 的大小; (2)若 b=3,sinC=2sinA,求 a,c 的值. 【答案】 【解析】 (1) ? bsinA= 3 acosB,由正弦定理可得 sin B sin A ? 3 sin A cos B ,即得

tan B ? 3 ,? B ?

?
3

.

4

cos B ( 2 ) ? sinC=2sinA , 由 正 弦 定 理 得 c ? 2a , 由 余 弦 定 理 b ? a ? c ?2 ac ,
2 2 2

9 ? a 2 ? 4a 2 ? 2a ? 2a cos

?
3

,解得 a ? 3 ,?c ? 2a ? 2 3 .

26.【2012 高考安徽文 16】 (本小题满分 12 分) 设△ ABC 的内角 A, B, C 所对边的长分别为 a, b, c, ,且有

2 sin B cos A ? sin A cos C ? cos A sin C 。
(Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ) 若 b ? 2 , c ? 1 , D 为 BC 的中点,求 AD 的长。 【答案】 【解析】

27.【2012 高考山东文 17】(本小题满分 12 分) 在△ABC 中,内角 A, B, C 所对的边分别为 a , b, c ,已知 sin B(tan A ? tan C ) ? tan A tan C . (Ⅰ)求证: a , b, c 成等比数列; (Ⅱ)若 a ? 1, c ? 2 ,求△ ABC 的面积 S. 【答案】 (I)由已知得:
sin B(sin A cos C ? cos A sin C ) ? sin A sin C , sin B sin( A ? C ) ? sin A sin C , sin 2 B ? sin A sin C ,

再由正弦定理可得: b 2 ? ac ,
5

所以 a , b, c 成等比数列. (II)若 a ? 1, c ? 2 ,则 b2 ? ac ? 2 , ∴ cos B ?

a 2 ? c 2 ? b2 3 ? , 2ac 4
7 , 4 1 1 7 7 ac sin B ? ? 1 ? 2 ? ? . 2 2 4 4

sin C ? 1 ? cos 2 C ?

∴△ ABC 的面积 S ?

28.【2012 高考湖南文 18】 (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? )( x ? R, ? ? 0, 0 ? ? ? (Ⅰ)求函数 f(x)的解析式; (Ⅱ)求函数 g ( x) ? f ( x ?

?
2

的部分图像如图 5 所示.

?
12

) ? f (x ?

?
12

) 的单调递增区间.

【答案】

11? 5? 2? ? ) ? ? ,?? ? ? 2. 12 12 T 5? 5? 5? , 0) 在函数图像上,所以 A sin(2 ? ? ? ) ? 0, 即sin( ? ? ) ? 0 . 因为点 ( 12 12 6 ? 5? 5? 4? 5? ? ? ?? ? , 从而 ? ? =?, ? = . 又? 0 ? ? ? ,? 即 2 6 6 3 6 6
【解析】 (Ⅰ)由题设图像知,周期 T ? 2(

A ( ) 又 点 0 , 1 在 函 数 图 像 上 , 所 以 A s i n ? 1, ? f ( x) ? 2sin(2 x ? ). 6

?

?

6

2 ,故函数 f(x)的解析式为

? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? g ( x) ? 2sin ?2 ? x ? ? ? ? ? 2sin ?2 ? x ? ? ? ? (Ⅱ) ? ? 12 ? 6 ? ? ? 12 ? 6 ?
? 2sin 2 x ? 2sin(2 x ? ) 3

?

1 3 ? 2sin 2 x ? 2( sin 2 x ? cos 2 x) 2 2

6

? sin 2 x ? 3 cos 2 x
? 2sin(2 x ? ), 3
由 2 k? ?

?

?

2

? 2x ?

?
3

? 2 k? ?

?
2

, 得 k? ?

?
12

? x ? k? ?

5? , k ? z. 12

? 5? ? ? ? g ( x) 的单调递增区间是 ? k? ? , k? ? ? , k ? z. 12 12 ? ?
【点评】本题主要考查三角函数的图像和性质.第一问结合图形求得周期

11? 5? 2? T ? 2( ? ) ? ? , 从而求得 ? ? ? 2 .再利用特殊点在图像上求出 ? , A , 从而求出 f 12 12 T
(x) 的解析式; 第二问运用第一问结论和三角恒等变换及 y ? A sin(? x ? ? ) 的单调性求得. 29.【2012 高考四川文 18】(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? cos
2

x x x 1 ? sin cos ? 。 2 2 2 2

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的最小正周期和值域; (Ⅱ)若 f (? ) ?

3 2 ,求 sin 2? 的值。 10

命题立意:本题主要考查三角函数的性质、两角和的正余弦公式、二倍角公式等基础知识, 考查基本运算能力以及化归与转化的数学思想. 【解析】

30.【2012 高考广东文 16】 (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? A cos ?

?x ?? ?? ? ? ? , x ? R ,且 f ? ? ? 2 ?4 6? ?3?
7

(1)求 A 的值; (2)设 ? ? ? ? ?0, 值. 【答案】 (1) f ?

4 ? 30 ? ? ?? ? , f ? 4? ? 3 ? ? ? ? 17 , ? ? ? 2?

2 ? 8 ? f ? 4? ? ? ? ? ,求 cos(? ? ? ) 的 3 ? 5 ?

? 2 ?? ? ?? ?? A ? 2 ,解得 A ? 2 。 ? ? A cos ? ? ? ? A cos ? 4 2 ?3? ? 12 6 ?

( 2 )

4 ? ? ?? ?? 30 ? ? ? , 即 f ? 4? ? ? ? ? 2cos ? ? ? ? ? ? 2cos ? ? ? ? ? ?2sin ? ? ? 3 ? 3 6? 2? 17 ? ? ?

sin ? ?

15 , 17

4 2 ? ? ?? 8 ? ? f ? 4? ? ? ? ? 2cos ? ? ? ? ? ? 2cos ? ? ,即 cos ? ? 。 5 3 ? 6 6? 5 ? ?
因为 ? ? ? ? ?0,

8 3 ? ?? 2 2 ? ,所以 cos ? ? 1 ? sin ? ? 17 , sin ? ? 1 ? cos ? ? 5 , ? 2? 8 4 15 3 13 ? ? ? ?? 。 17 5 17 5 85

所以 cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ? 31.【2012 高考辽宁文 17】(本小题满分 12 分)

在 ?ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a,b,c。角 A,B,C 成等差数列。 (Ⅰ)求 cos B 的值; (Ⅱ)边 a,b,c 成等比数列,求 sin A sin C 的值。 【答案】

8

【解析】本题主要考查三角形的正弦定理、余弦定理、三角形内角和定理及等差、等比数列 的定义,考查转化思想和运算求解能力,属于容易题。第二小题既可以利用正弦定理 把边的关系转化为角的关系,也可以利用余弦定理得到边之间的关系,再来求最后的 结果。 32.【2012 高考重庆文 19】 (本小题满分 12 分, (Ⅰ)小问 5 分, (Ⅱ)小问 7 分)设函数

f ( x) ? A sin(? x ? ? ) (其中 A ? 0, ? ? 0, ?? ? ? ? ? )在 x ?
象与轴的相邻两个交点的距离为

?
6

处取得最大值 2,其图

? ( I ) 求 f ( x ) 的 解 析 式 ; ( II ) 求 函 数 2

g ( x) ?

6 cos 4 x ? sin 2 x ? 1 f (x ? ) 6

?

的值域。

【答案】 (Ⅰ) ? ? 【解析】

?
6

(Ⅱ) [1, ) ? ( , ]

7 4

7 5 4 2

1 1 (cos 2 x ? ) 因 cos2 x ?[0,1] ,且 cos 2 x ? 2 2 7 7 5 故 g ( x) 的值域为 [1, ) ? ( , ] 4 4 2 ?
33.【2012 高考新课标文 17】 (本小题满分 12 分) 已知 a,b,c 分别为△ABC 三个内角 A,B,C 的对边,c = (1) 求 A (2) 若 a=2,△ABC 的面积为 3,求 b,c 【答案】 3asinC-ccosA

3 cos 2 x ? 1 2

9

34.【2102 高考北京文 15】 (本小题共 13 分) 已知函数 f ( x) ?

(sin x ? cos x) sin 2 x 。 sin x

(1)求 f (x) 的定义域及最小正周期; (2)求 f (x) 的单调递减区间。 【答案】 f ( x) ?
(sin x ? cos x)sin 2 x (sin x ? cos x)2sin x cos x ? ? 2(sin x ? cos x)cos x sin x sin x

π? ? ? sin 2 x ? 1 ? cos 2 x ? 2 sin ? 2 x ? ? ? 1 , x | x ? kπ ,k ? Z? ? 4? ? 。

(1)原函数的定义域为 ?x | x ? kπ , ?Z? ,最小正周期为 π . k
3π ? π ? ? ? k (2)原函数的单调递增区间为 ? ? ? kπ ,π ? k ? Z , ? kπ , ? kπ ? k ? Z 。 8 ? 8 ? ? ?

35.【2012 高考陕西文 17】 (本小题满分 12 分) 函数 f ( x) ? A sin(? x ? 间的距离为

?
6

) ? 1 ( A ? 0, ? ? 0 )的最大值为 3, 其图像相邻两条对称轴之

? , 2

(1)求函数 f ( x) 的解析式; (2)设 ? ? (0, 【答案】

?

) ,则 f ( ) ? 2 ,求 ? 的值。 2 2

?

10

36.【2012 高考江苏 15】 (14 分)在 ?ABC 中,已知 AB ? AC ? 3BA? BC . (1)求证: tan B ? 3tan A ;

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

5 ,求 A 的值. 5 ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? 【 答 案 】 解 :( 1 ) ∵ AB ? AC ? 3BA? BC , ∴ AB ?AC ?cos A=3BA?BC ?cos B , 即
(2)若 cos C ?
A C c o s A = 3 ?C c o B ? B s 。

由正弦定理,得

AC BC cos ,∴ sin B?cos A=3sin A? B 。 = sin B sin A sin B sin A 即 =3? cos B cos A

又 ∵ 0 < A ? B < ? , ∴ cos A > 0,cos B > 0 。 ∴
tan B ? 3tan A 。

? 5? 5 2 5 tan C ? 2 。 , <C < ? ,∴ sin C ? 1 ? ? 0 (2)∵ cos C ? ? 5 ? = 5 。∴ ? 5 ? ?

2

tan A ? tan B ? ?2 。 1 ? tan A?tan B 1 4tan A 由 (1) ,得 ? ?2 ,解得 tan A=1 tan A= ? 。 , 2 3 1 ? 3tan A
∴ tan ?? ? ? A ? B ?? ? 2 ,即 tan ? A ? B ? ? ?2 。∴ ? ? ∵ cos A > 0 ,∴ tan A=1 。∴ A=

?
4



【考点】平面微量的数量积,三角函数的基本关系式,两角和的正切公式,解三角形。 【解析】 (1)先将 AB ? AC ? 3BA? BC 表示成数量积,再根据正弦定理和同角三角函数关系 式证明。 (2)由 cos C ?

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

5 ,可求 tan C ,由三角形三角关系,得到 tan ?? ? ? A ? B?? ,从 ? ? 5

而根据两角和的正切公式和(1)的结论即可求得 A 的值。 37.【2012 高考天津文科 16】 (本小题满分 13 分) 在 △ABC 中,内角 A,B,C 所对的分别是 a,b,c。已知 a=2.c= 2 ,cosA= -

2 . 4
11

(I)求 sinC 和 b 的值; (II)求 cos(2A+ 【答案】

д )的值。 3

38.【2012 高考湖北文 18】 (本小题满分 12 分) 设函数 f x) ( = 的图像关于直线 x=π 对称,

其中

为常数,且

1.求函数 f(x)的最小正周期; 2.若 y=f(x)的图像经过点 【答案】 ,求函数 f(x) 的值域。

12

【解析】本题考查三角函数的最小正周期,三角恒等变形;考查转化与划归,运算求解的能 力.二倍角公式,辅助角公式在三角恒等变形中应用广泛,它在三角恒等变形中占有重要的 地位,可谓是百考不厌. 求三角函数的最小正周期,一般运用公式 T ?

2?

?

来求解;求三角

函数的值域, 一般先根据自变量 x 的范围确定函数 ? x ? ? 的范围.来年需注意三角函数的单 调性,图象变换,解三角形等考查. 39.【2012 高考全国文 17】(本小题满分 10 分) (注意:在试题卷上作答无效) .........

?ABC 中,内角 A 、 B 、 C 成等差数列,其对边 a 、 b 、 c 满足 2b2 ? 3ac ,求 A 。
【答案】

13

14


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