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高中数学函数知识点总结大全


函数知识点大全 一次函数 一、定义与定义式: 自变量 x 和因变量 y 有如下关系: y=kx+b 则此时称 y 是 x 的一次函数。 特别地,当 b=0 时,y 是 x 的正比例函数。 即:y=kx (k 为常数,k≠0) 二、一次函数的性质: 1.y 的变化值与对应的 x 的变化值成正比例,比值为 k 即:y=kx+b (k 为任意不为零的实数 b 取任何实数) 2.当 x=

0 时,b 为函数在 y 轴上的截距。 三、一次函数的图像及性质: 1.作法与图形:通过如下 3 个步骤 (1)列表; (2)描点; (3)连线,可以作出一次函数的图像——一条直线。因此,作一次函数的图像只需知道 2 点,并连成直线即可。(通常找函数图像与 x 轴和 y 轴的交点) 2.性质:(1)在一次函数上的任意一点 P(x,y),都满足等式:y=kx+b。(2) 一次函数与 y 轴交点的坐标总是(0,b),与 x 轴总是交于(-b/k,0)正比例函数的图像总 是过原点。 3.k,b 与函数图像所在象限: 当 k>0 时,直线必通过一、三象限,y 随 x 的增大而增大; 当 k<0 时,直线必通过二、四象限,y 随 x 的增大而减小。 当 b>0 时,直线必通过一、二象限; 当 b=0 时,直线通过原点 当 b<0 时,直线必通过三、四象限。 特别地,当 b=O 时,直线通过原点 O(0,0)表示的是正比例函数的图像。 这时,当 k>0 时,直线只通过一、三象限;当 k<0 时,直线只通过二、四象限。 四、确定一次函数的表达式: 已知点 A(x1,y1);B(x2,y2),请确定过点 A、B 的一次函数的表达式。 (1)设一次函数的表达式(也叫解析式)为 y=kx+b。 (2)因为在一次函数上的任意一点 P(x,y),都满足等式 y=kx+b。所以可以列 出 2 个方程:y1=kx1+b ?? ① 和 y2=kx2+b ?? ② (3)解这个二元一次方程,得到 k,b 的值。 (4)最后得到一次函数的表达式。 五、一次函数在生活中的应用:

1.当时间 t 一定,距离 s 是速度 v 的一次函数。s=vt。 2.当水池抽水速度 f 一定, 水池中水量 g 是抽水时间 t 的一次函数。 设水池中原有 水量 S。g=S-ft。 六、常用公式:(不全,希望有人补充) 1.求函数图像的 k 值:(y1-y2)/(x1-x2) 2.求与 x 轴平行线段的中点:|x1-x2|/2 3.求与 y 轴平行线段的中点:|y1-y2|/2 4.求任意线段的长:√(x1-x2)^2+(y1-y2)^2 (注:根号下(x1-x2)与(y1-y2) 的平方和) 二次函数 I.定义与定义表达式 一般地,自变量 x 和因变量 y 之间存在如下关系: y=ax^2+bx+c (a,b,c 为常数,a≠0,且 a 决定函数的开口方向,a>0 时,开口方向向上,a<0 时, 开口方向向下,IaI 还可以决定开口大小,IaI 越大开口就越小,IaI 越小开口就越大.) 则称 y 为 x 的二次函数。 二次函数表达式的右边通常为二次三项式。 II.二次函数的三种表达式 一般式:y=ax^2+bx+c(a,b,c 为常数,a≠0) 顶点式:y=a(x-h)^2+k [抛物线的顶点 P(h,k)] 交点式:y=a(x-x?)(x-x ?) [仅限于与 x 轴有交点 A(x? ,0)和 B(x?,0)的 抛物线] 注:在 3 种形式的互相转化中,有如下关系: h=-b/2a k=(4ac-b^2)/4a x?,x?=(-b±√b^2-4ac)/2a III.二次函数的图像 在平面直角坐标系中作出二次函数 y=x^2 的图像, 可以看出,二次函数的图像是一条抛物线。 IV.抛物线的性质 1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线 x = -b/2a。 对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点 P。 特别地,当 b=0 时,抛物线的对称轴是 y 轴(即直线 x=0) 2.抛物线有一个顶点 P,坐标为 P ( -b/2a ,(4ac-b^2)/4a ) 当-b/2a=0 时,P 在 y 轴上;当 Δ = b^2-4ac=0 时,P 在 x 轴上。 3.二次项系数 a 决定抛物线的开口方向和大小。 当 a>0 时,抛物线向上开口;当 a<0 时,抛物线向下开口。 |a|越大,则抛物线的开口越小。 4.一次项系数 b 和二次项系数 a 共同决定对称轴的位置。 当 a 与 b 同号时(即 ab>0),对称轴在 y 轴左; 当 a 与 b 异号时(即 ab<0),对称轴在 y 轴右。

5.常数项 c 决定抛物线与 y 轴交点。 抛物线与 y 轴交于(0,c) 6.抛物线与 x 轴交点个数 Δ = b^2-4ac>0 时,抛物线与 x 轴有 2 个交点。 Δ = b^2-4ac=0 时,抛物线与 x 轴有 1 个交点。 Δ = b^2-4ac<0 时,抛物线与 x 轴没有交点。X 的取值是虚数(x= -b±√b^2-4ac 的 值的相反数,乘上虚数 i,整个式子除以 2a) V.二次函数与一元二次方程 特别地,二次函数(以下称函数)y=ax^2+bx+c, 当 y=0 时,二次函数为关于 x 的一元二次方程(以下称方程), 即 ax^2+bx+c=0 此时,函数图像与 x 轴有无交点即方程有无实数根。 函数与 x 轴交点的横坐标即为方程的根。 1.二次函数 y=ax^2,y=a(x-h)^2,y=a(x-h)^2 +k,y=ax^2+bx+c(各式中,a≠0)的图象形 状相同,只是位置不同,它们的顶点坐标及对称轴如下表: 解析式 y=ax^2 y=a(x-h)^2 y=a(x-h)^2+k y=ax^2+bx+c 顶点坐标 (0,0) (h,0) (h,k) (-b/2a, [4ac-b^2]/4a) 对 称 轴 x=0 x=h x=h x=-b/2a

当 h>0 时,y=a(x-h)^2 的图象可由抛物线 y=ax^2 向右平行移动 h 个单位得到, 当 h<0 时,则向左平行移动|h|个单位得到. 当 h>0,k>0 时,将抛物线 y=ax^2 向右平行移动 h 个单位,再向上移动 k 个单位,就可以 得到 y=a(x-h)^2 +k 的图象; 当 h>0,k<0 时,将抛物线 y=ax^2 向右平行移动 h 个单位,再向下移动|k|个单位可得到 y=a(x-h)^2+k 的图象; 当 h<0,k>0 时,将抛物线向左平行移动|h|个单位,再向上移动 k 个单位可得到 y=a(x-h)^2+k 的图象; 当 h<0,k<0 时,将抛物线向左平行移动|h|个单位,再向下移动|k|个单位可得到 y=a(x-h)^2+k 的图象; 因此,研究抛物线 y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象,通过配方,将一般式化为 y=a(x-h)^2+k 的形式,可确定其顶点坐标、对称轴,抛物线的大体位置就很清楚了.这给画图象提供了方 便. 2.抛物线 y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象:当 a>0 时,开口向上,当 a<0 时开口向下,对称 轴是直线 x=-b/2a,顶点坐标是(-b/2a,[4ac-b^2]/4a). 3.抛物线 y=ax^2+bx+c(a≠0),若 a>0,当 x ≤ -b/2a 时,y 随 x 的增大而减小;当 x ≥ -b/2a 时,y 随 x 的增大而增大.若 a<0,当 x ≤ -b/2a 时,y 随 x 的增大而增大;当 x ≥ -b/2a 时,y 随 x 的增大而减小. 4.抛物线 y=ax^2+bx+c 的图象与坐标轴的交点: (1)图象与 y 轴一定相交,交点坐标为(0,c);

(2)当△=b^2-4ac>0,图象与 x 轴交于两点 A(x?,0)和 B(x?,0),其中的 x1,x2 是一元二 次方程 ax^2+bx+c=0 (a≠0)的两根.这两点间的距离 AB=|x?-x?| 当△=0.图象与 x 轴只有一个交点; 当△<0.图象与 x 轴没有交点.当 a>0 时,图象落在 x 轴的上方,x 为任何实数时,都有 y>0;当 a<0 时,图象落在 x 轴的下方,x 为任何实数时,都有 y<0. 5.抛物线 y=ax^2+bx+c 的最值:如果 a>0(a<0),则当 x= -b/2a 时,y 最小(大)值 =(4ac-b^2)/4a. 顶点的横坐标,是取得最值时的自变量值,顶点的纵坐标,是最值的取值. 6.用待定系数法求二次函数的解析式 (1)当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知 x、 y 的三对对应值时, 可设解析式为一 般形式: y=ax^2+bx+c(a≠0). (2)当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴时,可设解析式为顶点式: y=a(x-h)^2+k(a≠0). (3)当题给条件为已知图象与 x 轴的两个交点坐标时,可设解析式为两根式:y=a(x-x ?)(x-x?)(a≠0). 7.二次函数知识很容易与其它知识综合应用,而形成较为复杂的综合题目。因此,以二 次函数知识为主的综合性题目是中考的热点考题,往往以大题形式出现. 反比例函数 形如 y=k/x(k 为常数且 k≠0) 的函数,叫做反比例函数。 自变量 x 的取值范围是不等于 0 的一切实数。 反比例函数图像性质: 反比例函数的图像为双曲线。 由于反比例函数属于奇函数,有 f(-x)=-f(x),图像关于原点对称。 另外,从反比例函数的解析式可以得出,在反比例函数的图像上任取一点,向两个坐标轴作 垂线,这点、两个垂足及原点所围成的矩形面积是定值,为∣k∣。 如图,上面给出了 k 分别为正和负(2 和-2)时的函数图像。 当 K>0 时,反比例函数图像经过一,三象限,是减函数 当 K<0 时,反比例函数图像经过二,四象限,是增函数 反比例函数图像只能无限趋向于坐标轴,无法和坐标轴相交。 知识点: 1.过反比例函数图象上任意一点作两坐标轴的垂线段, 这两条垂线段与坐标轴围成的矩形的 面积为| k |。 2.对于双曲线 y=k/x ,若在分母上加减任意一个实数 (即 y=k/(x±m)m 为常数),就 相当于将双曲线图象向左或右平移一个单位。 (加一个数时向左平移, 减一个数时向右平移) 对数函数 对数函数的一般形式为 ,它实际上就是指数函数 的反函数。因此指数函数里对于 a 的规 定,同样适用于对数函数。 右图给出对于不同大小 a 所表示的函数图形:

可以看到对数函数的图形只不过的指数函数的图形的关于直线 y=x 的对称图形, 因为它们互 为反函数。 (1)对数函数的定义域为大于 0 的实数集合。 (2)对数函数的值域为全部实数集合。 (3)函数总是通过(1,0)这点。 (4)a 大于 1 时,为单调递增函数,并且上凸;a 小于 1 大于 0 时,函数为单调递减函数, 并且下凹。 (5)显然对数函数无界。 指数函数 指数函数的一般形式为 ,从上面我们对于幂函数的讨论就可以知道,要想使得 x 能够取整 个实数集合为定义域,则只有使得 如图所示为 a 的不同大小影响函数图形的情况。 可以看到: (1) 指数函数的定义域为所有实数的集合,这里的前提是 a 大于 0,对于 a 不大于 0 的情 况,则必然使得函数的定义域不存在连续的区间,因此我们不予考虑。 (2) 指数函数的值域为大于 0 的实数集合。 (3) 函数图形都是下凹的。 (4) a 大于 1,则指数函数单调递增;a 小于 1 大于 0,则为单调递减的。 (5) 可以看到一个显然的规律,就是当 a 从 0 趋向于无穷大的过程中(当然不能等于 0), 函数的曲线从分别接近于 Y 轴与 X 轴的正半轴的单调递减函数的位置,趋向分别接近于 Y 轴的正半轴与 X 轴的负半轴的单调递增函数的位置。 其中水平直线 y=1 是从递减到递增的一 个过渡位置。 (6) 函数总是在某一个方向上无限趋向于 X 轴,永不相交。 (7) 函数总是通过(0,1)这点。 (8) 显然指数函数无界。 奇偶性 注图:(1)为奇函数(2)为偶函数 1.定义 一般地,对于函数 f(x) (1)如果对于函数定义域内的任意一个 x,都有 f(-x)=-f(x),那么函数 f(x)就叫做奇 函数。 (2)如果对于函数定义域内的任意一个 x,都有 f(-x)=f(x),那么函数 f(x)就叫做偶函 数。 (3)如果对于函数定义域内的任意一个 x,f(-x)=-f(x)与 f(-x)=f(x)同时成立,那么函 数 f(x)既是奇函数又是偶函数,称为既奇又偶函数。 (4)如果对于函数定义域内的任意一个 x,f(-x)=-f(x)与 f(-x)=f(x)都不能成立,那么 函数 f(x)既不是奇函数又不是偶函数,称为非奇非偶函数。 说明:①奇、偶性是函数的整体性质,对整个定义域而言 ②奇、偶函数的定义域一定关于原点对称,如果一个函数的定义域不关于原点对称,则这 个函数一定不是奇(或偶)函数。 (分析: 判断函数的奇偶性, 首先是检验其定义域是否关于原点对称, 然后再严格按照奇、 偶性的定义经过化简、整理、再与 f(x)比较得出结论)

③判断或证明函数是否具有奇偶性的根据是定义 2.奇偶函数图像的特征: 定理 奇函数的图像关于原点成中心对称图表,偶函数的图象关于 y 轴或轴对称图形。 f(x)为奇函数《==》f(x)的图像关于原点对称 点(x,y)→(-x,-y) 奇函数在某一区间上单调递增,则在它的对称区间上也是单调递增。 偶函数 在某一区间上单调递增,则在它的对称区间上单调递减。 3. 奇偶函数运算 (1) . 两个偶函数相加所得的和为偶函数. (2) . 两个奇函数相加所得的和为奇函数. (3) . 一个偶函数与一个奇函数相加所得的和为非奇函数与非偶函数. (4) . 两个偶函数相乘所得的积为偶函数. (5) . 两个奇函数相乘所得的积为偶函数. (6) . 一个偶函数与一个奇函数相乘所得的积为奇函数. 定义域 (高中函数定义)设 A,B 是两个非空的数集,如果按某个确定的对应关系 f,使对于集合 A 中的任意一个数 x,在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应,那么就称 f:A--B 为集合 A 到集合 B 的一个函数,记作 y=f(x),x 属于集合 A。其中,x 叫作自变量,x 的取值范围 A 叫作函数的定义域; 值域 名称定义 函数中,应变量的取值范围叫做这个函数的值域函数的值域,在数学中是函数在定义域中应 变量所有值的集合 常用的求值域的方法 (1)化归法;(2)图象法(数形结合), (3)函数单调性法, (4)配方法,(5)换元法,(6)反函数法(逆求法),(7)判别式法,(8)复合函数 法,(9)三角代换法,(10)基本不等式法等 关于函数值域误区 定义域、 对应法则、 值域是函数构造的三个基本“元件”。 平时数学中, 实行“定义域优先” 的原则,无可置疑。然而事物均具有二重性,在强化定义域问题的同时,往往就削弱或谈化 了,对值域问题的探究,造成了一手“硬”一手“软”,使学生对函数的掌握时好时坏,事 实上,定义域与值域二者的位置是相当的,绝不能厚此薄皮,何况它们二者随时处于互相转 化之中(典型的例子是互为反函数定义域与值域的相互转化)。如果函数的值域是无限集的 话,那么求函数值域不总是容易的,反靠不等式的运算性质有时并不能奏效,还必须联系函 数的奇偶性、单调性、有界性、周期性来考虑函数的取值情况。才能获得正确答案,从这个 角度来讲,求值域的问题有时比求定义域问题难,实践证明,如果加强了对值域求法的研究 和讨论,有利于对定义域内函的理解,从而深化对函数本质的认识。

“范围”与“值域”相同吗?

“范围”与“值域”是我们在学习中经常遇到的两个概念,许多同学常常将它们混为一谈, 实际上这是两个不同的概念。 “值域”是所有函数值的集合 (即集合中每一个元素都是这个 函数的取值),而“范围”则只是满足某个条件的一些值所在的集合(即集合中的元素不一 定都满足这个条件) 。 也就是说:“值域”是一个“范围”, 而“范围”却不一定是“值域”。


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