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018变化率与导数、导数的运算(教学设计)(师)


专题 018:变化率与导数、导数的运算(教学设计) (师)
考点要求: 1.利用导数的几何意义求曲线在某点处的切线方程. 2.考查导数的有关计算,尤其是简单的函数求导. 3.本讲复习时,应充分利用具体实际情景,理解导数的意义及几何意义,应能灵活运用导数公式及导数运算法则进行 某些函数求导. 知识结构: 1.函数 y=f(x)从 x1 到 x2 的平均变化率 f?x2?-

f?x1? 函数 y=f(x)从 x1 到 x2 的平均变化率为 . x2-x1 Δy 若 Δx=x2-x1,Δy=f(x2)-f(x1),则平均变化率可表示为 . Δx 2.函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数 (1)导数的概念: 从函数 y=f(x)在 x=x0 处的瞬时变化率是:
?x ?0

lim

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?f ? lim ?x ? 0 ?x ?x

我们称它为函数 y ? f ( x) 在 x ? x0 出的导数,记作 f ' ( x0 ) 或 y' |x? x ,即 0

f ?( x0 ) ? lim

?x ?0

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?x

说明: (1)导数即为函数 y=f(x)在 x=x0 处的瞬时变化率 (2) ?x ? x ? x0 ,当 ?x ? 0 时, x ? x0 ,所以 f ?( x0 ) ? lim (2)几何意义 函数 f(x)在点 x0 处的导数 f′(x0)的几何意义是在曲线 y=f(x)上点(x0,f(x0))处切线的斜率.相应地,切线方程为 y-f(x0) =f′(x0)(x-x0). 3.函数 f(x)的导函数 称函数 f ?( x ) ? lim
?x ?0

?x ?0

f ( x) ? f ( x0 ) x ? x0

f ( x ? ?x) ? f ( x) 为 f(x)的导函数,导函数有时也记作 y′. ?x

4.基本初等函数的导数公式 若 f(x)=c,则 f′(x)=0; 若 f(x)=xα(α∈R),则 f′(x)=αxα 1;


若 f(x)=sin x,则 f′(x)=cos x; 若 f(x)=cos x,则 f′(x)=-sin x; 若 f(x)=ax(a>0,且 a≠1),则 f′(x)=axln_a; 若 f(x)=ex,则 f′(x)=ex;

-1-

1 若 f(x)=logax(a>0,且 a≠1),则 f′(x)= ; xln a 1 若 f(x)=ln x,则 f′(x)= . x 5.导数四则运算法则 (1)[f(x)± g(x)]′=f′(x)± g′(x); (2)[f(x)· g(x)]′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x); (3)? f?x? ? f′?x?g?x?-f?x?g′?x? (g(x)≠0). ?g?x??′= [g?x?]2

**6.复合函数的求导法则 复合函数 y=f(g(x))的导数和函数 y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为 yx′=yu′·x′. u 7.一个区别 曲线 y=f(x)“在”点 P(x0,y0)处的切线与“过”点 P(x0,y0)的切线的区别: 曲线 y=f(x)在点 P(x0,y0)处的切线是指 P 为切点,若切线斜率存在时,切线斜率为 k=f′(x0),是唯一的一条切线;曲 线 y=f(x)过点 P(x0,y0)的切线,是指切线经过 P 点,点 P 可以是切点,也可以不是切点,而且这样的直线可能有多条. 8/两种法则 (1)导数的四则运算法则. **(2)复合函数的求导法则. 9.三个防范 1.利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号,防止与乘法公式混淆. 2.要正确理解直线与曲线相切和直线与曲线只有一个交点的区别. **3.正确分解复合函数的结构,由外向内逐层求导,做到不重不漏. 基础自测: 1.下列求导过程中 1 ln x 1 1 1 ①? x?′=- 2;②( x)′= ;③(logax)′=?ln a?′= ;④(ax)′=(eln ax)′=(exln a)′=exln aln a=axln a ? ? ? ? x xln a 2 x 其中正确的个数是( D ). A.1 B.2 C.3 D.4 2.函数 f(x)=(x+2a)(x-a)2 的导数为( A.2(x2-a2) 解析 B.2(x2+a2) ). D.3(x2+a2)

C.3(x2-a2)

f′(x)=(x-a)2+(x+2a)[2(x-a)]=3(x2-a2).答案 C ).

π sin x 1 3.(2011· 湖南)曲线 y= - 在点 M?4,0?处的切线的斜率为( ? ? 2 sin x+cos x 1 A.- 2 1 B. 2 C.- 2 2 D. 2 2

解析 本小题考查导数的运算、导数的几何意义,考查运算求解能力. cos x?sin x+cos x?-sin x?cos x-sin x? 1 π 1 y′= = ,把 x= 代入得导数值为 . 4 2 ?sin x+cos x?2 1+sin 2x
-2-

答案 B 4.(2011· 江西)若 f(x)=x2-2x-4ln x,则 f′(x)>0 的解集为( A.(0,+∞) C.(2,+∞) B.(-1,0)∪(2,+∞) D.(-1,0) ).

4 2?x-2??x+1? 解析 令 f′(x)=2x-2- = >0,利用系轴标根法可解得-1<x<0 或 x>2,又 x>0,所以 x>2.故选 C. x x 5.如图,函数 f(x)的图象是折线段 ABC,其中 A,B,C 的坐标分别为(0,4),(2,0),(6,4),则 f(f(0))=______;
?x ? 0

lim

f?1+Δx?-f?1? =________(用数字作答). Δx

6.已知 f ( x) ? x 3 ? x 2 f ' (1) , 则 f ' (2) ?

0



7.若曲线 y ? x4 的一条切线 l 与直线 x ? 4 y ? 8 ? 0 垂直,则 l 的方程为 4 x ? y ? 3 ? 0 。 例题选讲: 例 1:利用导数的定义求函数 f(x)=x3 在 x=x0 处的导数,并求曲线 f(x)=x3 在 x=x0 处切线与曲线 f(x)=x3 的交点. [审题视点] 正确理解导数的定义是求解的关键. f?x?-f?x0? x3-x3 0 解 f′(x0)=x→x lim =x→x lim =x→x (x2+xx0+x2)=3x2. lim 0 0 0 0 x-x0 0 x-x0 曲线 f(x)=x3 在 x=x0 处的切线方程为
2 y-x3=3x0· (x-x0), 0 3 ? ?y=x , 3 即 y=3x2x-2x0,由? 0 2 3 ?y=3x0x-2x0, ?

得(x-x0)2(x+2x0)=0,解得 x=x0,x=-2x0.
3 若 x0≠0,则交点坐标为(x0,x3),(-2x0,-8x0); 0

若 x0=0,则交点坐标为(0,0). Δy Δy 小结:利用定义求导数的一般过程是:(1)求函数的增量 Δy;(2)求平均变化率 ;(3)求极限 lim . Δx ?x ? 0 Δx 例 2:求下列各函数的导数: (1)y= x+x5+sin x x 1 1 2x ;(2)y=(x+1)(x+2)(x+3);(3)y=sin ?1-2cos 4?;(4)y= + ; ? x2 2? 1- x 1+ x

分析: 先把式子化为最简式再进行求导. 1 x +x5+sin x 2 3 sin x 解 (1)∵y= =x- +x3+ 2 , x2 2 x
-3-

3 3 5 - - - ∴y′=?x-2?′+(x3)′+(x 2sin x)′=- x- +3x2-2x 3sin x+x 2cos x. ? ? 2 2 (2)法一 y=(x2+3x+2)(x+3)=x3+6x2+11x+6, ∴y′=3x2+12x+11. 法二 y′=[(x+1)(x+2)]′(x+3)+(x+1)(x+2)(x+3)′ =[(x+1)′(x+2)+(x+1)(x+2)′](x+3)+(x+1)· (x+2)=(x+2+x+1)(x+3)+(x+1)(x+2) =(2x+3)(x+3)+(x+1)(x+2)=3x2+12x+11. x x 1 (3)∵y=sin ?-cos2?=- sin x, ? 2? 2 1 1 1 ∴y′=?-2sin x?′=- (sin x)′=- cos x. ? ? 2 2 1+ x+1- x 1 1 2 (4)y= + = = , 1-x 1- x 1+ x ?1- x??1+ x? 2 -2?1-x?′ 2 ∴y′=?1-x?′= = . ? ? ?1-x?2 ?1-x?2 小结:(1)熟记基本初等函数的导数公式及四则运算法则是正确求导的基础. (2)必要时对于某些求导问题可先化简函数解析式再求导. **例 3:求下列复合函数的导数(复合函数的导数) . (1)y=(2x-3)5;(2)y=ln(2x+5). 分析: 正确分解函数的复合层次,逐层求导. 解 (1)设 u=2x-3,则 y=(2x-3)5, 由 y=u5 与 u=2x-3 复合而成, ∴y′=f′(u)· u′(x)=(u5)′(2x-3)′=5u4· 2=10u4=10(2x-3)4. (2)设 y=ln u,u=2x+5,则 yx′=yu′·x′ u 1 2 y′= · (2x+5)′= . 2x+5 2x+5 小结:由复合函数的定义可知,中间变量的选择应是基本函数的结构,解这类问题的关键是正确分析函数的复合层次, 一般是从最外层开始,由外向内,一层一层地分析,把复合函数分解成若干个常见的基本函数,逐步确定复合过程. 例 4. 已知曲线 y= x3 ? . ? (1)求曲线在 x=2 处的切线方程;?(2)求曲线过点(2,4)的切线方程. 2 解 (1)∵y′=x ,∴在点 P(2,4)处的切线的斜率 k= y ? |x=2=4. ? ∴曲线在点 P(2,4)处的切线方程为 y-4=4(x-2),即 4x-y-4=0. (2)设曲线 y= x3 ? 则切线的斜率 k= y ? |
1 3 4 1 3 4 与过点 P(2,4)的切线相切于点 A? x0 , x0 ? ? , ? ? 3 3? ? 3 1 3 4 3

x? x0

=x .
2 0

2 4 1 4 2 ∴切线方程为 y ? ? x0 ? ? ? x0 ( x ? x0 ), 即 y ? x ? x ? x ? . ? 3 ?
2 3

?3

3?

0

3

0

3

-4-

2 3 ∵点 P(2,4)在切线上,∴4= 2 x0 ? x0 ? ,

2 3

4 3

3 2 3 2 2 2 即 x0 ? 3x0 ? 4 ? 0,? x0 ? x0 ? 4 x0 ? 4 ? 0, ∴ x0 ( x0 ? 1) ? 4( x0 ? 1)(x0 ? 1) ? 0,

∴(x0+1)(x0-2) =0,解得 x0=-1 或 x0=2, 故所求的切线方程为 4x-y-4=0 或 x-y+2=0. 例 5. 如果曲线 y ? x 3 ? x ? 10 的某一切线与直线 y ? 4 x ? 3 平行,求切点坐标与切线方程. 分析:本题重在理解导数的几何意义:曲线 y ? f ( x) 在给定点 P( x0 , f ( x0 )) 处的切线的斜率 k ? f ?( x0 ) ,用导数的几 何意义求曲线的斜率就很简单了。 解:? 切线与直线 y ? 4 x ? 3 平行, 斜率为 4 又切线在点 x0 的斜率为 y?
2 ∵ 3x0 ? 1 ? 4

2

x ? x0

? ( x 3 ? x ? 10)?

x ? x0

2 ? 3x0 ? 1

∴ x0 ? ?1

∴?

? x0 ? 1 ? y 0 ? ?8

? x ? ?1 或? 0 ? y 0 ? ?12

∴切点为(1,-8)或(-1,-12) 切线方程为 y ? 8 ? 4( x ? 1) 或 y ? 12 ? 4( x ? 1) 即 y ? 4 x ? 12 或 y ? 4 x ? 8 点评:函数导数的几何意义揭示了导数知识与平面解析几何知识的密切联系,利用导数能解决许多曲线的切线问题, 其中寻找切点是很关键的地方。 巩固作业: A 组: 一、选择题: 1.函数 y ? (2 x ? 1) 的导数是
2 2


3
3 3

C



( A) 16 x ? 4 x ( B ) 4 x ? 8x (C ) 16 x ? 8x 2.已知函数 f ( x)在x ? 1处的导数为 , 则f ( x) 的解析式可 3
3 2

( D) 16 x ? 4 x ( A )

( A) f ( x) ? ( x ? 1) 2 ? 3( x ? 1) (C ) f ( x) ? 2( x ? 1)
2
2

( B ) f ( x) ? 2( x ? 1)

( D ) f ( x) ? x ? 1 B 3 . 曲 线 y ? 4x ? x 上 两 点 A( 4, 0), ( 2, 4) 若 曲 线 上 一 点 P 处 的 切 线 恰 好 平 行 于 弦 AB , 则 点 P 的 坐 标 为 , ( B ) ( A) (1,3) ( B ) (3,3) (C ) (6, ?12) ( D) (2, 4) 2 4.若函数 f ( x) ? x ? bx ? c 的图象的顶点在第四象限,则函数 f ?( x ) 的图象是( A )
y y y y

O

x
( A) (B)

O

x
O

x

O

x

(C )

( D)

二、填空题: 5.已知曲线 y ? f ( x) 在 x ? ?2 处的切线的倾斜角为

3? ,则 f ?(?2) ? ?1 , [ f (?2)]? ? 0 . 4

-5-

6.已知 y ?

sin x 2? , x ? (?? , ? ) ,则当 y ' ? 2 时, x ? ? 。 1 ? cos x 3
2

7.一物体做直线运动的方程为 s ? 1 ? t ? t , s 的单位是 m, t 的单位是 s ,该物体在 3 秒末的瞬时速度是 5m / s 。

8. 设 f (x) 是可导函数,且 lim

?x ?0

f ( x0 ? 2?x) ? f ( x0 ) ? 2, 则f ?( x0 ) ? ?x

-1



9.在函数 y ? x 3 ? 8x 的图象上,其切线的倾斜角小于 10.设 f(x)在 x=1 处连续,且 f(1)=0, lim
x ?1

? 的点中,坐标为整数的点的个数是 4

3



f ( x) =2,则 f ?(1) ? __2_____。 x ?1

解:∵f(1)=0, lim

f ( x) =2, x ?1 x ? 1 f (1 ? ?x) ? f (1) f ( x) ? f (1) f ( x) ∴f′(1)= lim = lim = lim =2 ?x ?0 x ?1 x ?1 x ? 1 ?x x ?1

三、解答题: 11. 求下列函数的导数: cos x n x x 2 (1)y=x e ;(2)y= ;(3)y=e ln x;(4)y=(x+1) (x-1). (5)y=tanx sin x 解 (1)y′=nxn 1ex+xnex=xn 1ex(n+x). -sin2x-cos2x 1 (2)y′= =- 2 . sin2x sin x 1 1 (3)y′=exln x+ex·=ex?x+ln x?. ? ? x (4)∵y=(x+1)2(x-1)=(x+1)(x2-1)=x3+x2-x-1, ∴y′=3x2+2x-1.
? 1 ? sin x ? (sin x)? cos x ? sin x(cos x)? cos2 x ? sin 2 x ? ? . ? ? cos2 x cos2 x cos2 x ? cos x ?
- -

(5) y′ ? ?

2 12. (1)设函数 f ( x) ? (3x ? x ? 1)(2x ? 3) ,求 f ?( x), f ?(?1) ;

(2)设函数 f ( x) ? x ? 2 x ? x ? 5 ,若 f ?( x? ) ? 0 ,求 x? 的值.
3 2 3 2 2 解: (1) f ( x) ? 6x ? 11x ? 5x ? 3 ,∴ f ?( x) ? 18x ? 22 x ? 5

(2)∵ f ( x) ? x ? 2 x ? x ? 5 ,∴ f ?( x) ? 3x ? 4 x ? 1
3 2 2

由 f ?( x? ) ? 0 得: 3x02 ? 4 x ? 1 ? 0 ,解得: x0 ? 1 或 x0 ?

1 3

13.已知曲线方程为 y=x2,求曲线在点 A(2,4)处的切线方程。 解:由 y=x2 得 y′=2x ∴k=y′|x=2=4, 因此所求直线的方程为 y-4=4(x-2),即 4x-y-4=0. 14.已知曲线方程为 y=x2,求过 B(3,5)点且与曲线相切的直线方程。 解:设切点 P 的坐标为(x0,y0) 由 y=x2 得 y′=2x, ∴k=y′|x=x0=2x0,
-6-

又∵k=

y0 ? 5 x0 ? 3



y0 ? 5 =2 x0 x0 ? 3
2

又由 y0 ? x0 ,代入上式得 x0=1 或 x0=5, ∴切点坐标为(1,1),(5,25), ∴所求直线方程为 2x-y-1=0,10x-y-25=0. 小结:(1)解决此类问题一定要分清“在某点处的切线” ,还是“过某点的切线” 。 (2)解决“过某点的切线”问题,一般是设出切点坐标解决。 4 3 2 15.偶函数 f(x)=ax +bx +cx +dx+e 的图象过点 P(0,1) ,且在 x=1 处的切线方程为 y=x-2,求 y=f(x)的解析式.? 解 ∵f(x)的图象过点 P(0,1) ,∴e=1. ①? 又∵f(x)为偶函数,∴f(-x)=f(x).? 4 3 2 4 3 2 故 ax +bx +cx +dx+e=ax -bx +cx -dx+e.? ∴b=0,d=0. ②? 4 2 ∴f(x)=ax +cx +1.? ∵函数 f(x)在 x=1 处的切线方程为 y=x-2,∴可得切点为(1,-1).? ∴a+c+1=-1. ③? 3 ∵ f ?(1) =(4ax +2cx)|x=1=4a+2c,∴4a+2c=1. ④? 由③④得 a= ,c= ? .?∴函数 y=f(x)的解析式为 f ( x) ? x 4 ? x 2 ? 1. 16.求函数 y ? x4 ? x ? 2 图象上的点到直线 y ? x ? 4 的距离的最小值及相应点的坐标.
5 2 9 2 5 2 9 2

?y ? x4 ? x ? 2 4 解:首先由 ? 得 x ? 2 ? 0 知,两曲线无交点. y ? x?4 ? y? ? 4x3 ? 1 ,要与已知直线平行,须 4 x3 ? 1 ? 1 , x ? 0 2?4 故切点: , -2). d ? (0 ? 2. 2
17.已知直线 l1 为曲线 y ? x 2 ? x ? 2 在点 (0, ?2) 处的切线, l 2 为该曲线的另一条切线,且 l1 ? l 2 (Ⅰ)求直线 l 2 的方程; (Ⅱ)求由直线 l1 , l 2 和 x 轴所围成的三角形的面积 解: 设直线 l1 的斜率为 k1 ,直线 l2 的斜率为 k2 ,

y ' ? 2 x ? 1 ,由题意得 k1 ? y ' |x?0 ? 1 ,得直线 l1 的方程为 y ? x ? 2

? l1 ? l2 ? k2 ? ?

1 ? ?1 k1

令2 x ? 1 ? ?1, 得x ? ?1, 将x ? ?1代入y ? x2 ? x ? 2, 得y ? ?2

? l2 与该曲线的切点坐标为 A(?1, ?2), 由直线方程的点斜式得直线 l 2 的方程为: y ? ? x ? 3
-7-

(Ⅱ)由直线 l1 的方程为 y ? x ? 2 ,令 y ? 0得:x=2 由直线 l 2 的方程为 y ? ? x ? 3 ,令 y ? 0得:x= ? 3 由?

? y ? x?2 5 得: y ? ? 2 ? y ? ?x ? 3
1 5 25 ? ? ? [2 ? (?3)] ? 2 2 4

设由直线 l1 , l 2 和 x 轴所围成的三角形的面积为 S,则: s ? B 组: 一、选择题: 二、填空题: 三、解答题: 1-a 1.(2010· 山东)已知函数 f(x)=ln x-ax+ -1(a∈R). x (1)当 a=-1 时,求曲线 y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程; 1 (2)当 a≤ 时,讨论 f(x)的单调性. 2

分析: (1)求出在点(2,f(2))处的斜率及 f(2),由点斜式写出切线方程;(2)求 f′(x),再对 a 分类讨论. 2 解: (1)当 a=-1 时,f(x)=ln x+x+ -1, x x∈(0,+∞).所以 f′(x)= x2+x-2 ,x∈(0,+∞),(1 分) x2

因此 f′(2)=1,即曲线 y=f(x)在点(2,f(2))处的切线斜率为 1. 又 f(2)=ln 2+2, 所以曲线 y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为 y-(ln 2+2)=x-2,即 x-y+ln 2=0.(3 分) 1-a a-1 ax2-x+1-a 1 (2)因为 f(x)=ln x-ax+ -1,所以 f′(x)= -a+ 2 =- ,x∈(0,+∞).(4 分) x x x x2 令 g(x)=ax2-x+1-a,x∈(0,+∞). ①当 a=0 时,g(x)=-x+1,x∈(0,+∞), 所以当 x∈(0,1)时,g(x)>0, 此时 f′(x)<0,函数 f(x)单调递减; 当 x∈(1,+∞)时,g(x)<0,此时 f′(x)>0,函数 f(x)单调递增;(6 分) ②当 a≠0 时,由 f′(x)=0, 1 即 ax2-x+1-a=0,解得 x1=1,x2= -1. a 1 1).当 a= 时,x1=x2,g(x)≥0 恒成立,此时 f′(x)≤0,函数 f(x)在(0,+∞)上单调递减;(7 分) 2

-8-

1 1 2).当 0<a< 时, -1>1>0. 2 a x∈(0,1)时,g(x)>0,此时 f′(x)<0,函数 f(x)单调递减; 1 1 x∈?1,a-1?时,g(x)<0,此时 f′(x)>0,函数 f(x)单调递增;x∈?a-1,+∞?时,g(x)>0,此时 f′(x)<0,函数 f(x) ? ? ? ? 单调递减;(9 分) 1 3).当 a<0 时,由于 -1<0,x∈(0,1)时,g(x)>0,此时 f′(x)<0,函数 f(x)单调递减; a x∈(1,+∞)时,g(x)<0,此时 f′(x)>0,函数 f(x)单调递增.(11 分) 综上所述: 当 a≤0 时,函数 f(x)在(0,1)上单调递减, 函数 f(x)在(1,+∞)上单调递增; 1 当 a= 时,函数 f(x)在(0,+∞)上单调递减; 2 1 当 0<a< 时,函数 f(x)在(0,1)上单调递减, 2 1 函数 f(x)在?1,a-1?上单调递增, ? ? 1 函数 f(x)在?a-1,+∞?上单调递减.(12 分) ? ? 小结: 求解切线问题的关键是切点坐标,无论是已知切线斜率还是切线经过某一点,切点坐标都是化解难点的关键所 在. 【问题研究】 利用导数的几何意义求函数在某一点的坐标或某一点处的切线方程是高考常常涉及的问题.这类问题最容 易出现的错误就是分不清楚所求切线所过的点是不是切点而导致错误., 【解决方案】 解这类问题的关键就是抓住切点.看准题目所求的是“在曲线上某点处的切线方程”还是“过某点的切线 方程”,然后求某点处的斜率,用点斜式写出切线方程.

-9-


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第13 讲 变化率与导数导数的运算 一.考纲要求 1.了解导数概念的实际背景. 2.理解导数的几何意义. 1 3.能根据导数的定义求函数 y=C(C 为常数),y=x,y...

说课教案一第1讲 变化率与导数、导数的运算

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