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集合的含义与表示


1.1





1.1.1 集合的含义与表示

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1 . 通过实例,了解集合的含义,体会元素与集合的 “属于”关系. 2.能选择自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描 述法)描述不同的具体问题,感受集合语

言的意义和作用.

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基础 梳理 元素 ,把一些元素组 1.集合的含义:把研究对象统称为______ 集合 简称为______) 集 . 成的总体叫做________( 2.元素与集合的关系:如果x是集合A中的元素,则说x属 x∈A 于集合A,记作________ ;若x不是集合A中的元素,就说x不属 栏 x?A 于集合A,记作________ . 3.集合中元素的三个特征:
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(1)确定性:给定集合A,对于某个对象x,“x∈A”或“x?A” 这两者必居其一且仅居其一. (2)互异性:集合中的元素互不相同,不允许重复 ________ . (3)无序性:在一个给定的集合中,元素之间 无先后次序之分 . ________________

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基础 梳理 4.集合的表示. (1)把集合中的元素一一列举出来,写在大括号内表示集合的方 列举法 . 法称为_________ (2)把集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集栏 描述法 .常用形式是: {x|p} ,竖线前面的 x 叫目 合的方法称为 ________ 链 接 做集合的代表元素,p表示元素x所具有的公共属性. (3) 用平面上一段封闭的曲线的内部表示集合,这种图形称为 ________ Venn图 .用Venn图、数轴上的区间及直角坐标平面中的图形 图示法 . 等表示集合的方法称为________

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基础 梳理 5.①常用数集的符号表示.

实数集

正实 数集

有理数集

整数集

自然 数集

正整数集

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R

R+

Q

Z

N

N+或N*

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基础 梳理 6.含有有限个元素的集合叫有限集,含有无限个元素的集合 叫无限集. 例如:大于0小于1的实数构成的集合是有限集还是无限集? 无限集 ________.

例如:小于3的自然数集用列举法表示为 {0,1,2}(其他合理皆可) _____________________________ ;
{x|x<3且x∈N}或{小于3的自然数} . 用描述法表示为________________________________

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思考 应用 1.{a}与a有何不同?
解析:符号{a}与 a 所表达的含意是不同的.{a}是用列举法表示 栏 的一个集合,这个集合只有一个元素 a,而后者可看成是集合{a}的 目 链 一个元素.


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思考 应用 2.{实数集}与{实数}是一样的含义吗?
解析:{实数集}与{实数}是用语言描述的两个集合.集合{实数} 栏 的元素是实数,表示所有实数构成的集合,它所表示的就是实数集; 目 而{实数集}的元素是实数集, 是以集合为元素的一个集合, 并且只有 链 接 实数集这个元素.

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思考 应用

3.已知x∈R,集合{(x,y)|y=x2+1}与集合{y|y=x2+1}的 含义有何不同?

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思考 应用

解析:这是用描述法表示的两个集合,这两个集合元素不同, 含义不同. 集合 {(x, y)|y= x2+ 1}中的元素是坐标平面上的点 (x, y),这些点的 坐标满足等式:y=x2+1,这些点都在二次函数 y=x2+1 的图象上, 并且凡是二次函数 y=x2+1 图象上的点都是这个集合的元素.故集 栏 合{(x,y)|y=x2+1}表示二次函数 y=x2+1
目 链 的图象的所有点构成的集 接

合. 集合{y|y=x2+1}中的元素是实数 y, 这些实数可以表示成某个实 数的平方再加上 1,即这些实数 y 可写成 x2+1 的形式,并且凡是可 写成 x2+1 这种形式的实数都是这个集合的元素.因此集合 {y|y=x2 +1}表示的是所有不小于 1 的实数构成的集合.

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自测 自评

1.下列各组对象:(1)高中数学中所有难题;(2)所有偶 数;(3)平面上到定点O距离等于5的点的全体;(4)全体著名 的数学家.其中能构成集合的个数为( )
A.1个 答案:B B.2个 C.3个 D.4个
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自测 自评

2 .给出三个命题:①集合 {a , b} 可以写成 {b , a} ;②方 程4x2-4x+1=0的解集可以表示为;③“很小的数”构成一 个集合.其中正确命题的个数是( )
A.0个 答案:B B.1个 C.2个 D.3个
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自测 自评 3.实数2与集合{x|1<x<3}的关系为________. 答案:
栏 栏 目 目 链 链 接 接

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题型一

集合中元素的特性

例1 关于集合元素的特征:
(1)确定性.设A是一个给定的集合,x是某一个具体对象, 则或者是A的元素,或者不是A的元素,两种情况必有一种且 只有一种成立. (2)互异性.一个给定集合中的元素,指属于这个集合的互 不相同的个体(对象),因此,同一集合中不应重复出现同一元 素. (3)无序性.用列举法表示集合时不必考虑元素的顺序. 由此可判断下列命题的正误:

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①高个子同学可组成集合(
②{1,2}={2,1}( ③{1,2}={(1,2)}( ); );

);

④0∈N(

);
);

⑤2∈{1,2} (

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⑥方程x(x-1)2=0的解集为{0,1,1}( ).

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解析:①错(不符合元素的确定性).

②对(集合元素是无序的).
③错 [ 第一个集合有两个元素,都是数,一个是 1 ,另一个 栏 是2;第二个集合是一个元素点(1,2),即两集合不相等]. 目 ④对(元素与集合间关系). ⑤对(元素与集合间关系).
链 接

⑥错(不符合元素的互异性,应写为{0,1}).

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点评:判断指定的对象能不能构成集合,关键在于能否找 到一个明确标准,对于任何一个对象,却能确定它是不是给 栏 定集合的元素,同时还要注意集合中元素的互异性、无序 目 链 性.


答案:错;对;错;对;对;错

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跟踪 训练 1.(1)选用适当的符号填空:

A={x|2x-3<3x}, 则有:-4______A,-2______A.
答案:? ∈
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(2)说出下列三个集合的含义: ①{x|y=x2};②{y|y=x2};③{(x,y)|y=x2}. 解析:①{x|y=x2}表示满足y=x2的x的取值范围;

②{y|y=x2}表示满足y=x2的y的取值范围;
③ {(x , y)|y = x2} 表示抛物线 y = x2 的图象的所有点构成的集 合.

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题型二

元素与集合的关系

例2 所给下列关系正确的个数是(

)

①-∈R;②?Q;③0∈N+;④|-3|?N+. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
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解析: -是实数,是无理数, ∴ ①②正确. N + 表示正整 数,∴③和④不正确. 答案:B

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点评:①注意正确使用元素与集合关系的符号:“∈”与 “?”.元素只能写在前面,集合写在后面. ②判断一个对象是否为某个集合的元素,就是判断这个对 象是否具有这个集合的元素具有的共同特征,如果一个对象是 某个集合的元素,那么这个对象必具有这个集合的元素的共同 特征.
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跟踪 训练 2.下列说法正确的是( )

A.若a∈N,b∈N,则a-b∈N
B.若x∈N+,则x∈Q C.若x≥0,则x∈N D.若x?Z,则x?Q 答案:B
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题型三

集合的表示法

例3 分别用列举法和描述法表示方程x2-3x+2=0的解. 解析:∵x2-3x+2=0的两解为x1=1,x2=2.
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∴列举法表示为:{1,2};
描述法表示为:{x|x2-3x+2=0}.

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点评:一个集合可以用不同的方法表示,需要根据题意选 择恰当的方法,同时注意到列举法和描述法的适用范围. 1.列举法是把集合中的元素一一列举出来,写在花括号 里表示集合的方法,列举时要注意元素的不重不漏,不计次 栏 序,且元素与元素之间“,”隔开. 2 .用描述法表示集合时,常用的模式是 {x|p(x)} ,其中 x 代表集合中的元素,p(x)为集合中元素所具备的共同特征,要 注意竖线不能省略,同时表达要力求简练、明确. 3.用列举法或描述法表示集合时,要分清点集和数 集.一般地,数集用用一个字母代表其元素,而点集则用一 个有序实数对来表示.
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跟踪 训练

3.用列举法表示下列集合.

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分析:(1)根据x的范围解方程.(2)根据绝对值的意义化简.

(3)所求x满足两个条件:①x是正整数;②x使为整数.
解析:(1)∵x=|x|,∴x≥0.又x∈Z且x<8, ∴{x|x=|x|,x∈Z且x<8}用列举法表示为 {0,1,2,3,4,5,6,7}. (2)当a>0,b>0时,x=2,当a<0,b<0时,x=-2,
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当a、b异号时,x=0.∴B={-2,0,2}.
(3)由题意知3-x=±1,±2,±3,±6, ∴x=0,-3,1,2,4,5,6,9, 又x∈N+,∴C={1,2,4,5,6,9}.

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题型四

注意集合中元素的互异性

例4 已知集合A={1,3,a2},若3a-2∈A,求实数a的取值 集合. 解析:由3a-2=1得:a=1,此时a2=1,集合A中有两个 相同的元素,故a≠1; 由3a-2=3解得:a=53,满足条件; 由3a-2=a2解得:a=1(舍去)或a=2,满足条件. 故所求实数a的取值集合为
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点评:因集合A={1,3,a2}有三个元素,故所求a值应满足 a2≠1且a2≠3,即保证集合元素的互异性.另外,利用集合中 元素的特性问题时,要注意分类讨论思想的应用.

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跟踪 训练

4.(1)若2∈,则实数x的值是________.
解析:∵2∈{1,x,x2+x}, ∴x=2或x2+x=2得x=±2或x=1.
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当x=2时,{1,x,x2+x}={1,2,6};
当x=-2时,{1,x,x2+x}={1,-2,2}; 当x=1时,{1,x2,x2+x}={1,1,2}不满足互异性. ∴x的值是±2. 答案:±2

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(2)已知集合A={2,x2-2x-1},求实数x的取值范围 答案:由集合元素互异性可知,x2-2x-1≠2, 即x2-2x-3≠0,得x≠-1且x≠3. ∴x的取值范围是{x∈R|x≠-1且x≠3}.

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