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等差数列的前n项和第一课时课件

时间:2012-12-26


北京师范大学 菅美娟

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等差数列:
一般地,如果一个数列从第2项起,每一项 与它的前一项的差等于同一个常数,那么 这个数列就叫做等差数列. 等差数列的通项公式:

an ? a1 ? ?n -1?d

泰姬陵(印度)
传说陵寝中有一个三 角形图案(如图), 由相同大小的圆宝石 镶饰而成,共有100 层,奢靡之程度可见 一斑,那你知道这个 图案一共有多少宝石 吗?

数学王子高斯:
(1+100)+(2+99)+ … +(50+51) =101×50=5050

首项与末项的和:1+100=101
第2项与倒数第2项的和: 2+99=101 第3项与倒数第3项的和: 3+98=101 …… 第50项与倒数第50项的和:50+51=101

100 ∴ 101× = 5050 2

探究一:如图,第1层到第100层一共有
多少颗宝石?
2 3 1 100 99 98

101 ?100 ? 5050 2
100 1

先补

后分

探究二:1+2+3+·· ·+n=?
x= 1
x= n

+

2

+
+

… +
… +

n-1
2

+
+

n
1

+ n-1

2x=(n+1) + (n+1) + 2x=(n+1) ×n

… + (n+1) + (n+1)

(n ? 1) ? n x=1+2+3+…+n= 2

一、数列的前n项和
一般地,我们称 为数列?an ? 的前n项和,用S n 表示,即 S n ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an . a1 ? a2 ? ? ? an

二、等差数列的前n项和
等差数列{an},公差为d,则:
S n ? a1 ? (a1 ? d ) ? (a1 ? 2d ) ? ? ? ?a1 ? ?n ? 1?d ? ?1?

S n ? an ? (an ? d ) ? (an ? 2d ) ? ? ? ?an ? ?n ? 1?d ? ?2?

2Sn ? ?a1 ? an ? ? ?a1 ? an ? ? ?a1 ? an ? ? ?? ?a1 ? an ?

? n?a1 ? an ?

n?a1 ? an ? Sn ? 2

倒序相加法

例1:在等差数列{an}中, (1)已知 an=-10,d=2, n=15, 求a1和Sn. (2)已知 a1=4,a8=-10, n=12, 求d和Sn. 解:(1)an=a1+(n-1)d -10=a1+(15-1)×2 ∴a1=-38 n?a1 ? an ? 15 ? ?? 38 ? ?? 10 ?? Sn ? ? ? ?360 2 2
(2) an=a1+(n-1)d -10=4+(8-1)d ∴d=-2

n?n ? 1? 12 ? ?12 - 1? S n ? na1 ? d ? 12 ? 4 ? ? ?- 2? ? -84 2 2

例2:2000年11月14日教育部下发了《关于在中小学实施
“校校通”工程的通知》.某市据此提出了实施“校校通” 工程的总目标:从2001年起用10年时间,在全市中小学建 成不同标准的校园网.据测算,2001年该市用于“校校通” 工程的经费为500万元.为了保证工程的顺利实施,计划每 年投入的资金都比上一年增加50万元.那么从2001年起的未 来10年内,该市在“校校通”工程中的总投入是多少?

解:令a1表示2001年的经费,所以 a1=500, d=50. n=10, 总投入即求S10.

10 ? ?10 - 1? S10 ? 10 ? 500 ? ? 50 ? 7250 2
答:未来10年内工程的总投入是7250万元。

例3:已知一个等差数列的前10项和是310,前20项

的和是1220,由这些条件能确定这个等差数列的通
项公式和前n项和的公式吗?
解:S10=310,S20=1220,

10? ?10 ? 1? ? ? d ? 310 ?10a1 ? 2 ? 20? ?20 ? 1? ?20a1 ? d ? 1220 2 ?

a1=4, d=6

an ? 4 ? (n ?1) ? 6 ? 6n ? 2
n?n ? 1? S n ? 4n ? ? 6 ? 3n 2 ? n 2

小结:
等差数列前n项和公式:

n(a1 ? an ) Sn ? 2

n(n ? 1) S n ? na1 ? d 2

公式的推证:倒序相加法

等差数列{an}
?an ? a1 ? (n ? 1)d ? ? S ? n(a1 ? an ) ? n 2 ?

? an ? a1 ? (n ? 1)d ? ?S ? na ? n(n ? 1) d 1 ? n 2 ?

五个元素,知道其中三个元素就可求出其他两个元素。

结论:知三求二。


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