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第8章 第2节《两条直线的位置关系》


第二节

两条直线的位置关系

对应学生用书 P121

1.两条直线的位置关系 斜截式 方程 y=k1x+b1 y=k2x+b2 k1≠k2 1 k1=- 或 k2 k1k2=-1 k1=k2 且 b1≠b2 一般式
2 A1x+B1y+C1=0(A2 1+B1≠0) 2 A2x+B2y+C2=0(A2 2+

B2≠0)

A1B2-A2B1≠0 相交

?当A2B2≠0时,记为A1≠B1? A2 B2? ?
A1A2+B1B2=0 A2 ?当B1B2≠0时,记为A1· =-1? B1 B2 ? ?
?A1B2-A2B1=0, ?A1B2-A2B1=0, ? ? ? 或? ?B2C1-B1C2≠0 ? ? ?A1C2-A2C1≠0

垂直

平行

?当A2B2C2≠0时,记为A1=B1≠C1? A2 B2 C2? ?

2.两条直线的交点 设两条直线的方程是 l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,两条直线的交点坐标
?A1x+B1y+C1=0, ? 就是方程组? 的解,若方程组有唯一解,则两条直线相交,此解就是交点 ?A2x+B2y+C2=0 ?

坐标;若方程组无解,则两条直线无公共点,此时两条直线平行;反之,亦成立. 3.几种距离 (1)两点间的距离: 平面上的两点 A(x1,y1),B(x2,y2)间的距离公式 d(A,B)=|AB|= ?x1-x2?2+?y1-y2?2. (2)点到直线的距离: |Ax1+By1+C| 点 P(x1,y1)到直线 l:Ax+By+C=0 的距离 d= . A2+B2 (3)两条平行线间的距离:

两条平行线 Ax+By+C1=0 与 Ax+By+C2=0 间的距离 d=

|C1-C2|

. A2+B2

1.在判断两条直线的位置关系时,易忽视斜率是否存在,两条直线都有斜率可据条件进 行判断,若无斜率,要单独考虑. 2.运用两平行直线间的距离公式时易忽视两方程中的 x, y 的系数分别相等这一条件盲目 套用公式导致出错. [试一试] 1. (2013· 长春调研)已知直线 3x+4y-3=0 与直线 6x+my+14=0 平行, 则它们之间的距 离是( 17 A. 10 C .8 6 m 14 解析:选 D ∵ = ≠ , 3 4 -3 ∴m=8,直线 6x+my+14=0 可化为 3x+4y+7=0,两平行线之间的距离 d= 2. 2. 已知 p: 直线 l1: x-y-1=0 与直线 l2: x+ay-2=0 平行, q: a=-1, 则p是q的 ( A.充要条件 C.必要不充分条件 B.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件 ) |-3-7| = 32+42 ) 17 B. 5 D.2

解析:选 A 由于直线 l1:x-y-1=0 与直线 l2:x+ay-2=0 平行的充要条件是 1×a- (-1)×1=0,即 a=-1.

1.与已知直线垂直及平行的直线系的设法 与直线 Ax+By+C=0(A2+B2≠0)垂直和平行的直线方程可设为: (1)垂直:Bx-Ay+m=0; (2)平行:Ax+By+n=0. 2.转化思想在对称问题中的应用 对称问题一般是将线与线的对称转化为点与点的对称,利用坐标转移法. [练一练] 1.点(2,3)关于直线 x+y+1=0 的对称点是________.

b-3 ? ?a-2=1, 解析:设对称点为(a,b),则? a+2 b+3 ? ? 2 + 2 +1=0, 答案:(-4,-3)

? ?a=-4, 解得? ?b=-3. ?

2.(2014· 张家口质检)已知直线 l 过点(-1,2)且与直线 2x-3y+4=0 垂直,则直线 l 的方 程为________. 3 解析:由直线 l 与直线 2x-3y+4=0 垂直,可知直线 l 的斜率是- ,由点斜式可得直线 2 3 l 的方程为 y-2=- (x+1),即 3x+2y-1=0. 2 答案:3x+2y-1=0

对应学生用书 P122

考点一

两条直线平行与垂直

1.已知过点 A(-2,m)和点 B(m,4)的直线为 l1,直线 2x+y-1=0 为 l2,直线 x+ny+1 =0 为 l3.若 l1∥l2,l2⊥l3,则实数 m+n 的值为( A.-10 C .0 解析:选 A ∵l1∥l2, 4-m ∴kAB= =-2. m+2 解得 m=-8. 又∵l2⊥l3, 1 ∴- ×(-2)=-1,解得 n=-2, n ∴m+n=-10. 2.“a=2”是“直线 ax+2y=0 与直线 x+y=1 平行”的( A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ) B.-2 D.8 )

解析:选 C 当 a=2 时,直线 ax+2y=0 即 x+y=0 与直线 x+y=1 平行;当直线 ax+ a 2y=0 与直线 x+y=1 平行时,- =-1,a=2.综上所述,“a=2”是“直线 ax+2y=0 与直 2 线 x+y=1 平行”的充要条件,故选 C.

3.经过两直线 l1:x-2y+4=0 和 l2:x+y-2=0 的交点 P,且与直线 l3:3x-4y+5=0 垂直的直线 l 的方程为________. 解析:法一 由方程组{x-2y+4=0, x+y-2=0, 得{x=0, y=2, 即 P(0,2). 4 ∵l⊥l3,∴直线 l 的斜率 k1=- , 3 4 ∴直线 l 的方程为 y-2=- x, 3 即 4x+3y-6=0. 法二 ∵直线 l 过直线 l1 和 l2 的交点, ∴可设直线 l 的方程为 x-2y+4+λ(x+y-2)=0, 即(1+λ)x+(λ-2)y+4-2λ=0. ∵l 与 l3 垂直, ∴3(1+λ)+(-4)(λ-2)=0, ∴λ=11, ∴直线 l 的方程为 12x+9y-18=0,即 4x+3y-6=0. 答案:4x+3y-6=0 [类题通法] 充分掌握两直线平行与垂直的条件是解决本题的关键,对于斜率都存在且不重合的两条 直线 l1 和 l2,l1∥l2?k1=k2,l1⊥l2?k1· k2=-1.若有一条直线的斜率不存在,那么另一条直线 的斜率是多少一定要特别注意.

考点二

距离问题

[典例] 已知 A(4,-3),B(2,-1)和直线 l:4x+3y-2=0,在坐标平面内求一点 P,使 |PA|=|PB|,且点 P 到直线 l 的距离为 2. 解:设点 P 的坐标为(a,b). ∵A(4,-3),B(2,-1), ∴线段 AB 的中点 M 的坐标为(3,-2). 而 AB 的斜率 kAB= -3+1 =-1, 4-2

∴线段 AB 的垂直平分线方程为 y+2=x-3, 即 x-y-5=0. ∵点 P(a,b)在直线 x-y-5=0 上, ∴a-b-5=0.①

又点 P(a,b)到直线 l:4x+3y-2=0 的距离为 2, ∴ |4a+3b-2| =2, 5

即 4a+3b-2=± 10,②
? ?a=1, 由①②联立可得? 或 ?b=-4, ?

?a= 7 , ? 8 ?b=-7.

27

27 8? ∴所求点 P 的坐标为(1,-4)或? ? 7 ,-7?. [类题通法] 1.点到直线的距离问题可直接代入点到直线的距离公式去求. 注意:直线方程为一般式. 2.动点到两定点距离相等,一般不直接利用两点间距离公式处理,而是转化为动点在两 定点所在线段的垂直平分线上,从而计算简便,如本例中|PA|=|PB|这一条件的转化处理. [针对训练] 与直线 7x+24y-5=0 平行,并且到它的距离等于 3 的直线方程是______________. 解析:设所求直线方程为 7x+24y+m=0, 由 3= |m+5| , 72+242

∴m=70 或-80. 答案:7x+4y-80=0 或 7x+24y+70=0

考点三

对称问题

对称问题是高考常考内容之一,也是考查学生转化能力的一种常见题型.归纳起来 常见的命题角度有: ?1?点关于点对称; ?2?点关于线对称; ?3?线关于线对称; ?4?对称问题的应用.

角度一 点关于点的对称 1.过点 P(0,1)作直线 l 使它被直线 l1:2x+y-8=0 和 l2:x-3y+10=0 截得的线段被点 P 平分,求直线 l 的方程.

解:设 l1 与 l 的交点为 A(a,8-2a), 则由题意知,点 A 关于点 P 的对称点 B(-a,2a-6)在 l2 上, 代入 l2 的方程得-a-3(2a-6)+10=0, 解得 a=4,即点 A(4,0)在直线 l 上, 所以直线 l 的方程为 x+4y-4=0. 角度二 点关于线对称 2.已知直线 l:2x-3y+1=0,点 A(-1,-2),求点 A 关于直线 l 的对称点 A′的坐标. 解:设 A′(x,y), y+2 2 ? ?x+1×3=-1, 再由已知得? x-1 y-2 ? ?2× 2 -3× 2 +1=0,

?x=-13, 解得? 4 ?y=13,

33

33 4 ? 故 A′? ?-13,13?.

角度三 线关于线对称 3.在[角度二]的条件下,求直线 m:3x-2y-6=0 关于直线 l 的对称直线 m′的方程. 解:在直线 m 上取一点,如 M(2,0),则 M(2,0)关于直线 l 的对称点 M′必在直线 m′上. 设对称点 M′(a,b),则

?a+2? ?b+0? ? ?2×? 2 ?-3×? 2 ?+1=0, ?b-0 2 ?a-2×3=-1, ?
6 30? 得 M′? ?13,13?. 设直线 m 与直线 l 的交点为 N,则
?2x-3y+1=0, ? 由? ?3x-2y-6=0, ?

得 N(4,3). 又∵m′经过点 N(4,3), ∴由两点式得直线 m′的方程为 9x-46y+102=0. 角度四 对称问题的应用 4.光线从 A(-4,-2)点射出,到直线 y=x 上的 B 点后被直线 y=x 反射到 y 轴上的 C 点,又被 y 轴反射,这时反射光线恰好过点 D(-1,6),求 BC 所在的直线方程. 解:作出草图,如图所示,设 A 关于直线 y=x 的对称点为 A′, D

关于 y 轴的对称点为 D′, 则易得 A′(-2, -4), D′(1,6). 由入射角等于反射角可得 A′D′ 所在直线经过点 B 与 C. y-6 x-1 故 BC 所在的直线方程为 = ,即 10x-3y+8=0. 6+4 1+2 [类题通法] 解决对称问题的方法 (1)中心对称 ①点 P(x,y)关于 O(a,b)的对称点 P′(x′,y′)满足
?x′=2a-x, ? ? ? ?y′=2b-y.

②直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决. (2)轴对称 ① 点 A(a , b) 关 于 直 线 Ax + By + C = 0(B≠0) 的 对 称 点 A′(m , n) , 则 有 n-b ? A? ? ?m-a×?-B?=-1, ? a+m b+n ? ?A· 2 +B· 2 +C=0. ②直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决.

对应学生用书 P123

[课堂练通考点] 1. (2013· 银川模拟)已知直线 l1:x+ay+6=0 和 l2:(a-2)x+3y+2a=0,则 l1∥l2 的充要 条件是 a 等于( A.3 C.-1 ) B.1 D.3 或-1

1 a 6 解析:选 C 由题意知,l1∥l2? = ≠ , a- 2 3 2a 即 a=-1. 2.若直线 l1:ax+2y+6=0 与直线 l2:x+(a-1)y+a2-1=0 垂直,则实数 a=( 2 A. 3 C .2 解析:选 A 由 a×1+(a-1)×2=0 2 ∴a= . 3 B.-1 D.-1 或 2 )

3.(2014· 广州模拟)直线 x-2y+1=0 关于直线 x=1 对称的直线方程是( A.x+2y-1=0 C.2x+y-3=0 B.2x+y-1=0 D.x+2y-3=0

)

解析:选 D 由题意得直线 x-2y+1=0 与直线 x=1 的交点坐标为(1,1). 又直线 x-2y+1=0 上的点(-1,0)关于直线 x=1 的对称点为(3,0),所以由直线方程的两 y-0 x-3 点式,得 = ,即 x+2y-3=0. 1-0 1-3 4. 已知点 P(4,a)到直线 4x-3y-1=0 的距离不大于 3,则 a 的取值范围是________. |4×4-3×a-1| |15-3a| 解析:由题意得,点 P 到直线的距离为 = . 5 5 又 |15-3a| ≤3, 5

即|15-3a|≤15, 解之得,0≤a≤10, 所以 a∈[0,10]. 答案:[0,10] 5.已知两条直线 l1:ax-by+4=0,l2:(a-1)x+y+b=0,求分别满足下列条件的 a,b 的值. (1)直线 l1 过点(-3,-1),并且直线 l1 与 l2 垂直; (2)直线 l1 与直线 l2 平行,并且坐标原点到 l1,l2 的距离相等. 解:(1)∵l1⊥l2,∴a(a-1)+(-b)· 1=0, 即 a2-a-b=0.① 又点(-3,-1)在 l1 上, ∴-3a+b+4=0② 由①②得 a=2,b=2. a a (2)∵l1∥l2,∴ =1-a,b= , b 1-a 故 l1 和 l2 的方程可分别表示为: 4?a-1? (a-1)x+y+ =0, a a (a-1)x+y+ =0, 1-a 又原点到 l1 与 l2 的距离相等. ∴4? a-1? ? a ? ? a ?=?1-a?,

2 ∴a=2 或 a= , 3

2 ∴a=2,b=-2 或 a= ,b=2. 3 [课下提升考能] 第Ⅰ组:全员必做题 1. (2014· 成都模拟)若直线(a+1)x+2y=0 与直线 x-ay=1 互相垂直,则实数 a 的值等于 ( ) A.-1 C .1 B.0 D.2

a+1? 1 解析:选 C 由?- × =-1,得 a+1=2a,故 a=1. 2 ? a ? 2.已知平面内两点 A(1,2),B(3,1)到直线 l 的距离分别是 2, 5- 2,则满足条件的直 线 l 的条数为( A.1 C .3 ) B.2 D.4 5,所以

解析:选 C 由题知满足题意的直线 l 在线段 AB 两侧各有 1 条,又因为|AB|= 还有 1 条为过线段 AB 上的一点且与 AB 垂直的直线,故共 3 条.

3. 已知直线 l1:y=2x+3,直线 l2 与 l1 关于直线 y=-x 对称,则直线 l2 的斜率为( 1 A. 2 C .2 1 B.- 2 D.-2

)

解析:选 A ∵l2,l1 关于 y=-x 对称, 1 3 ∴l2 的方程为-x=-2y+3.即 y= x+ . 2 2 1 ∴l2 的斜率为 . 2 4. 已知点 A(1,-2),B(m,2),且线段 AB 垂直平分线的方程是 x+2y-2=0,则实数 m 的值是( A.-2 C .3 ) B.-7 D.1

4 解析:选 C 由已知 kAB=2,即 =2,解得 m=3. m-1 5. 设 A,B 是 x 轴上的两点,点 P 的横坐标为 3,且|PA|=|PB|,若直线 PA 的方程为 x-y +1=0,则直线 PB 的方程是( A.x+y-5=0 C.x-2y+4=0 ) B.2x-y-1=0 D.x+y-7=0

解析:选 D 由|PA|=|PB|知点 P 在 AB 的垂直平分线上.由点 P 的横坐标为 3,且 PA 的

方程为 x-y+1=0,得 P(3,4).直线 PA,PB 关于直线 x=3 对称,直线 PA 上的点(0,1)关于 直线 x=3 的对称点(6,1)在直线 PB 上, ∴直线 PB 的方程为 x+y-7=0. 6. 在平面直角坐标系中,已知矩形 ABCD 的长为 2,宽为 1,AB,AD 边分别在 x 轴,y 轴的正半轴上,A 点与坐标原点重合,将矩形折叠,使 A 点落在线段 DC 上,若折痕所在直线 的斜率为 k(k≠0),则折痕所在直线的方程为________. 解析:设将矩形折叠后 A 点落在线段 CD 上对应的点为 G(a,1)(0≤a≤2),所以 A 与 G 关 1 于折痕所在的直线对称,设所求直线的斜率为 k,则有 kAG· k=-1,即 · k=-1,得 a=-k, a k 1? 故 G 点的坐标为(-k,1)(-2≤k<0),从而折痕所在的直线与 OG 的交点坐标为? ?-2,2? ,折 k 1 k2 1 x+ ?,即 y=kx+ + (-2≤k<0). 痕所在直线的方程为 y- =k? 2 ? 2? 2 2 1 1 答案:y=kx+ k2+ (-2≤k<0) 2 2 7. 已知点 A(-3, -4), B(6,3)到直线 l: ax+y+1=0 的距离相等, 则实数 a 的值为________. |-3a-4+1| |6a+3+1| 1 7 解析:由题意及点到直线的距离公式得 = ,解得 a=- 或- . 2 2 3 9 a +1 a +1 1 7 答案:- 或- 3 9 8. ?创新题?若实数 x,y 满足 x|x|-y|y|=1,则点(x,y)到直线 y=x 的距离的取值范围是 ________. 解析:①当 x≥0 且 y≥0 时,x|x|-y|y|=x2-y2=1; ②当 x>0 且 y<0 时,x|x|-y|y|=x2+y2=1; ③当 x<0 且 y>0 时,无意义; ④当 x<0 且 y<0 时,x|x|-y|y|=y2-x2=1.作出图象如图所示,因为 直线 y=x 为两段等轴双曲线的渐近线, 四分之一个单位圆上的点到直线 y =x 的距离的最大值为 1. ∴取值范围为(0,1]. 答案:(0,1] 9.已知直线 l1:x+a2y+1=0 和直线 l2:(a2+1)x-by+3=0(a,b∈R). (1)若 l1∥l2,求 b 的取值范围; (2)若 l1⊥l2,求|ab|的最小值. 解:(1)因为 l1∥l2,所以-b-(a2+1)a2=0, 1?2 1 2 即 b=-a2(a2+1)=-a4-a2=-? ?a +2? +4, 因为 a2≥0,所以 b≤0.

又因为 a2+1≠3,所以 b≠-6. 故 b 的取值范围是(-∞,-6)∪(-6,0]. (2)因为 l1⊥l2,所以(a2+1)-a2b=0, 1? 1 显然 a≠0,所以 ab=a+ ,|ab|=? ?a+a?≥2, a 当且仅当 a=± 1 时等号成立,因此|ab|的最小值为 2. 10. 已知直线 l:3x-y+3=0,求: (1)点 P(4,5)关于 l 的对称点; (2)直线 x-y-2=0 关于直线 l 对称的直线方程. 解:设 P(x,y)关于直线 l:3x-y+3=0 的对称点为 P′(x′,y′). y′-y ∵kPP′· kl=-1,即 ×3=-1.① x′-x 又 PP′的中点在直线 3x-y+3=0 上, x′+x y′+y ∴3× - +3=0.② 2 2 3y-9 , ?x′=-4x+ 5 由①②得? 3x+4y+3 ?y′= 5 . (1)把 x=4,y=5 代入③④得 x′=-2,y′=7, ∴P(4,5)关于直线 l 的对称点 P′的坐标为(-2,7). (2)用③④分别代换 x-y-2=0 中的 x,y,得关于 l 的对称直线方程为 3x+4y+3 -2=0, 5 化简得 7x+y+22=0. 第Ⅱ组:重点选做题 1. 已知直线 y=2x 是△ABC 中∠C 的平分线所在的直线, 若点 A, B 的坐标分别是(-4,2), (3,1),则点 C 的坐标为( A.(-2,4) C.(2,4) ) B.(-2,-4) D.(2,-4) -4x+3y-9 - 5 ③ ④

解析: 选 C 点 A 关于直线 y=2x 对称的点为(4, -2), 且点 A 关于 y=2x 对称的点在 BC
?y=2x, ? 上,于是 BC 所在的直线方程为 3x+y-10=0,由? 得点 C 的坐标为(2,4). ? ?3x+y-10=0,

2.若点(1,1)到直线 xcos α+ysin α=2 的距离为 d,则 d 的最大值是________. 解析:依题意有 d=|cos α+sin α-2|

? π? ? =? ? 2sin?α+4?-2?.
π? 于是当 sin? ?α+4?=-1 时,d 取得最大值 2+ 2. 答案:2+ 2


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