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§6.4.1 含有绝对值的不等式


§6.4.1 含有绝对值的不等式(一)
●教学目标:

1.理解含有绝对值的不等式的性质; 2.能够简单的应用; 3.认识不等式证法的多样性、灵活性. ●教学重点:含有绝对值不等式的性质及证明. ●教学难点:对性质的理解(等号成立的条件)及证明过程. ●教学方法:启发式. ●教具准备:幻灯片. ●教学过程: Ⅰ.复习回顾,引入新课: 前面几节我们已学

过不等式的性质和证明方法,特别是分析法证明不等式我们已经看出它的优 ∣ ∣ ∣∣ ∣∣ (2) a ? b ?∣ ? b .在 ∣∣∣∣ a ∣ 点,下面请同学们用分析法证明这两个不等式(1) a ? b ? a ? b ,

∣∣∣∣ a ∣ a ? b .这就是我们这一节研究的含有绝对值的 学生证明后教师归纳得出: a ? b ?∣ ? b ?∣∣ ∣∣ 不等式问题. (板书课题) Ⅱ.讲授新课: ∣∣∣∣ ∣ ∣ ∣∣ ∣∣ 1.定理: a ? b ? a ? b ? a ? b . 证明一: (分析法) ∣ ∣ ∣∣ ∣∣ 欲证 a ? b ? a ? b 成立,只需证 (a ? b) ? ∣∣∣∣ 成立即可. (a ? b)
2 2

∣ ∣ a ? b 成立. ab ,而 ab ?∣ ∣ ab 显然成立,故 a ? b ?∣∣ ∣∣ 即证 ab ?∣ ∣
∣∣∣∣ 当 a ? b ? 0 时,显然成立, ∣∣∣∣ ab 也显然成立. 当 a ? b ? 0 时,同样平方得 ? ab ?∣ ∣

∣∣∣∣ ∣ ∣ ∣∣ ∣∣ 故 a ? b ? a ? b ? a ? b 成立. 证明二: (综合法) ∣∣ ∣ ∣ ∣∣ ∣∣ ∵? a ? a ? a ,? b ? b ? b ,
∣∣∣∣ ∣∣ ∣∣ ∣ ∣ ∣∣ ∣∣ ∴ ? a ? b ? a ? b ? a ? b ,即 a ? b ? a ? b . ① ∣ ∣ ∣∣ ∣∣ ∣ ∣ ∣ ∣∣ ∣ 又 a ? a ? b ? b , -b ? b ,所以由①得: a ? a ? b ? b ? a ? b ? ?b , ∣∣∣∣ ∣ ∣ 即 a ? b ? a?b


∣∣∣∣ ∣ ∣ ∣∣ ∣∣ 由①②得 a ? b ? a ? b ? a ? b .
推论 1: a1 ? a2 ? a3∣ ∣ 1 ? a2∣∣ 3 . ∣ ? a∣∣ ? a ∣

∣∣∣∣ ∣ ∣ ∣∣ ∣∣ 推论 2: a ? b ? a ? b ? a ? b . ∣ ∣ ∣∣ ∣∣ ① ∣∣∣∣?∣ ? b a ? b a ∣ 说明:① 定理由两部分组成,即 a ? b ? a ? b ②,而② 式由①式改写而得,故实质与①式相同,所以证明主要针对①式. ② 推论 1 由①式连用两次得到, 也可推广到 n 个数和的绝对值不大于 n 个数的绝对值的和. (推广变形) ③ 推论 2 由定理将 ? b 替换 b 可得,故其实质与定理相同,无需记忆. (换元变形) ∣ ∣ ∣∣ ④ 当 a、 b 同号时①式取“ ? ”号;当 a、 b 异号且 a ? b 时,②式取“ ? ”号. a ∣ ∣∣ ∣∣ (加强变形) ⑤ 左边可以“加强”同样成立,即∣∣∣∣?∣ ? b ? a ? b . a ? b
师:接下来,我们通过例题熟悉一下定理的应用. 2.例题讲解:

∣∣ [例 1]已知 x ?

? ? ? ∣∣ ∣∣ ∣ ∣ , y ? , z ? ,求证: x ? 2 y ? 3z ? ? . 3 6 9 ∣ ∣ ∣∣ 2y ? ? ∣ ∣∣ ∣ ∣ 3z , 证明: x ? 2 y ? 3z ? x ?∣ ∣ ∣ 3z ? x ? 2 y ?∣ ∣ ? ? ? ? 2? 3? ? ?? , ∣∣ ∣∣ ∵ x ? , y ? , z ? ,∴ x ? 2 y ? 3z ? ? ∣∣ ∣ ∣ 3 6 9 3 6 9 ∴ x ? 2 y ? 3z ? ? . ∣ ∣

说明:此例题主要应用了推论 1,其中出现的字母 ? ,其目的是为学生以后学习微积分作点准备. ∣∣ ∣ ∣ a ∣ ∣∣ [例 2]设 a ? 1 , b ? 1 ,求证: a ? b ?∣ ? b ? 2 .

∣ ∣ a ∣∣ ∣ ∣∣ 证明:当 a ? b 与 a ? b 同号时, a ? b ?∣ ? b ? a ? b ? a ? b ? 2 a ? 2 ; ∣ ∣ a ∣∣ 当 a ? b 与 a ? b 异号时, a ? b ?∣ ? b ? a ? b ? (a ? b) ? 2 b ? 2 . ∣ ∣∣ ∣ ∣ a ∣ ∴ a ? b ?∣ ? b ? 2 . ∣ ∣∣ ∣ [例 3]若关于 x 的不等式 x ? 2 ? x ? 1 ? a 的解集是 ? ,求 a 的取值范围. ∣ ∣∣ ∣ ∣ ∣∣ ∣ ∣ ∣ 法一:由 x ? 2 ? x ? 1 ? x ? 2 ? 1 ? x ? x ? 2 ? 1 ? x ? 3 ,知 a ? 3 时, 原不等式的解集是 ? . 法一:用绝对值的几何意义画图得. (略) Ⅲ.课堂练习:课本 P22 练习 1,3. ∣ ∣ ∣∣ n ? 补充练习:已知 m ? n ? 1 ,求证: m ?∣∣ 1 . m ∣ ∣ ∣ ∣∣ m ? n ,即 m ? n ? 证明:∵ 1 ?∣ ? n ? m ? n ,∴ 1 ?∣ ∣ ∣∣ ∣ ∣ ∣∣ 1 . 要求:学生板演,并注意其书写的规范性. Ⅳ.课堂小结: 通过本节学习,要求大家理解含有绝对值不等式的性质,并能够简单的应用,同时认识证明不等 式的方法的灵活性、多样性. Ⅴ.课后作业:习题 6.5 1,2. ∣ ∣∣ ∣ 补充作业:1.若关于 x 的不等式 x ? 2 ? x ? a ? a 恒成立,求 a 的最大值; a ? 1 ) (
2.解不等式 log 1 x ? x ?∣ 1 x ? x . x ? 1 ) ∣ ∣ log ∣∣∣ (
2 2

§6.4.2 含有绝对值的不等式(二)
●教学目标:

1.掌握含有绝对值不等式的定理及其推论; 2.用不等式的有关性质、定理对不等式进行证明. ●教学重点:不等式性质、定理的综合运用. ●教学难点:常见证明技巧. ●教学方法:学导式. ●教具准备:幻灯片. ●教学过程: Ⅰ.复习回顾: 上一节课,我们学习了含绝对值的不等式的一个重要性质,并认识到证明不等式的方法的多样性 与灵活性,这一节,我们将综合运用绝对值的性质、不等式的性质、算术平均数与几何平均数的定理 证明不等式. Ⅱ.讲授新课: [例 1]设 a 、 b 、 c 、 d 都是不等于 0 的实数,求证: | 证明:∵ |

a b c d | ?| | ?| | ?| |  4 . ? b c d a

a b c d |? 0 , | |? 0 , | |? 0 , | |? 0 , b c a a a b a b a b a ∴ | | ? | |  2 | | ? | | ? 2 | ? | ? 2 | | , ? b c b c b c c

① ② ③

|

c d c d c d c | ? | |  2 | | ? | | ? 2 | ? | ? 2 | | , ? d a d a d a a

又 |

a c |? | |?2 c a

|

4 a c a c |? | | ?2 | ? | ? 2. c a c a

由①,②,③式,得:

|

a b c d a c a c | ? | | ? | | ? | |   2 | | ? 2 | | ? 2( | | ? | | ) ? 4 . ? b c d a c a c a
a?b |? 1 . 1 ? ab

说明:此题作为一含绝对值的不等式,在证明过程中运用了基本不等式及不等式的性质,在证法上 采用的是综合法.

∣∣ ∣∣ [例 2]已知 a ? 1 , b ? 1 ,求证: |
证明: |

a?b ( a ? b) 2 |? 1 ? ?1 1 ? ab (1 ? ab) 2

? a 2 ? 2ab ? b 2 ? 1 ? 2ab ? a 2 b 2 ? 1 ? a 2 ? b 2 ? a 2b 2 ? 0 ? (1 ? a 2 )(1 ? b 2 ) ? 0.
∣∣ ∣∣ 由 a ? 1 , b ? 1 ,可知 (1 ? a 2 )(1 ? b 2 ) ? 0 成立,所以 |
2 2

a?b |? 1 . 1 ? ab

说明: 此题作为一个含有绝对值的不等式, ∣∣? a ? x ? a 这一等价条件将绝对值符号去掉, 运用 x 并采用了求差比较法证明其等价不等式的正确性,并用到了绝对值的有关性质,也体现了证明 不等式的方法的综合性、灵活性. 师:接下来,我们通过练习来熟悉一下证明不等式的方法. [例 3]已知 f ( x) ? 1 ? x 2 ,当 a ? b 时,求证: | f (a) ? f (b) | ? | a ? b | . 证明一: | f (a ) ? f (b) |?|

a 2 ? 1 ? b 2 ? 1 |?

a2 ?1 ? b2 ?1 a2 ?1 ? b2 ?1

a2 ? 1 ? b2 ? 1 a2 ? b2 (| a | ? | b |) | a ? b | ? ? | a ? b |. |a|?|b|

?

| a2 ? b2 |

?

| (a ? b)(a ? b) |

?

| a ? b || a ? b | |a|?|b|
1

y A B

∣ ∣ 证明二: (构造法)如图: OA ? f (a) ? 1 ? a 2 ,
O ∣ ∣? f (b) ? 1 ? b2 , | AB | ? | a ? b | . OB |a 由三角形两边之差小于第三边得: | f (a) ? f (b) |?   ? b | .
2

a

b

x

∣∣ ∣∣ [例 4]设 ?、? 是关于 x 的方程 x ? ax ? b ? 0 的两根 (a, b ? R) ,且 a ? b ? 1 .

∣ 求证: ?∣? 1 且 ?∣? 1 . ∣
∣∣ ∣ ∣∣ 证明一:由题意得: ? ? ? ? ?a , ? ? ? ? b .∴ ? ? ?∣? a , ? ? ?∣? b . ∣
? ∣∣ ∣∣ ∵ a ? b ? 1 ,∴ ? ? ?∣∣ ? ?∣ 1 .又 ?∣∣ ∣? ? ? ?∣ ∣ ? ?∣? ?∣ ?∣ , ? ∣ ? ? ∣ ? ? ∣ ∣ ∣ . ?

∣ ∴ ?∣∣ ∣ ∣ ? ?∣?1 ? 0 ,即 ∣ ∣ 1)( ?∣ 1) ? 0 ,∴ ?∣? 1 .同理得 ?∣? 1 . ∣ ? ? ? ? (? ? ∣ ? ∣ ∣ ∣ 证明二: (反证法)设 f ( x) ? x ? ax ? b ,假设 ?∣? 1 且 ?∣? 1 不成立,
2

∣ ∣ ∣ 则(1) ?∣? 1 且 ?∣? 1 或(2) ?∣? 1 且 ?∣? 1 或(3) ?∣? 1 且 ?∣? 1 至少有一个 ∣ ∣ ∣
∣∣ ∣∣ ∣∣ ∣ 成立.对于(1) b ? ? ? ?∣? ?∣ ?∣ 1 ,这同 a ? b ? 1 相矛盾; ∣ ∣ ? ?
对于(2) (3)实质是一根不大于 ? 1 ,而另一根在 (?1,1) 之间,或一根不小于1 而另一根在

(?1,1) 之间.不妨设 ? ? ?1 , ? 1 ? ? ? 1 ,由图象可知: f (1) ? 0 且 f (?1) ? 0 ,即 ?1 ? a ? b ? 0 ∣ ? ? ∣ ∣ ∣ ,解得 a ? 0 .又 ?∣∣ ∣? ? ? ?∣ ,∴ ?? ? ?∣? ?? ? ? , ?∣? ? , ? ?1 ? a ? b ? 0 ∴ ? ? 0 ,∴ b ? ? ? ? ? 0 .由 1 ? a ? b ? 0 得: b ? a ? 1 ,∴ a ? 1 ? 0 ,即 a ? 1 ,这同 ∣∣ ∣∣? 1 相矛盾. a ? b

∣ 综上所述,假设不成立,所以 ?∣? 1 且 ?∣? 1 . ∣
Ⅲ.课堂练习:课本 P22 练习 2;习题 6.5 补充练习: 4.

1.设 x ? y ? x ? y ? 2 ,求证: x 2 ? y 2 ? 2 . ∣ ∣∣ ∣
2 ∣∣ ∣∣ 证明:∵ ( x ? y) ? ( x ? y) ? x ? y ? x ? y ? 2 ,∴ 2 x ? 2 ,即 x ? 1 ,∴ x ? 1 . ∣ ∣ ∣ ∣∣ ∣

∵ ( x ? y) ? ( x ? y) ? x ? y ? x ? y ? 2 ,∴ 2 y ? 2 ,即 y ? 1 ,∴ y 2 ? 1 . ∣ ∣ ∣ ∣∣ ∣ ∣∣ ∣∣ 故 x2 ? y2 ? 2 . 2.求证:

∣ ?b a ∣ ∣∣ ∣∣ a b ? ? . 1? a ? b 1? a 1? b ∣ ∣ ∣∣ ∣∣ ∣ ∣ 证明:当 a ? b ? 0 时,显然成立. 1 1 ∣∣ ∣∣ ∣∣ ∣∣ a ? b a b ? ? ? ? ∣ ∣ 当 a ? b ? 0 时,左边 ? . 1 1 1? a ? b 1? a 1? b ∣∣ ∣∣ ∣∣ ∣∣ ?1 ?1 ∣ ?b a ∣ ∣∣ ∣∣ a ? b x 也可以用函数的单调性证明:可以证明 y ? 在 x ? 0 时是递增的, 1? x ∣ ∣ ∣∣ ∣∣ ∣ ∣ ∣∣ ∣∣ 又 a ? b ? a ? b ,将 a ? b , a ? b 分别作为自变量代入即得.
当然也可以用分析法.

∣ ∣ 3.设 f ( x) ? x 2 ? x ? a ,若 b ? R 且 x ? b ? 1 ,求证: | f ( x) ? f (b) |? 2(| b | ?1) . ? ∣ x ∣∣ ∣ ∣∣ ∣ x 证明: f ( x) ? f (b) ? x ? x ? b ? b ? x ? b ∣ ? b ? 1 ?∣ ? b ? 1 ? x ? b ? 2b ? 1 ∣ ∣∣
2 2

∣∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ?∣x ? b ? 2b ? 1 ? 1? 2b ? 1 ? 1? 2b ?1 ? 2(| b | ?1) .
要求:注意学生书写的规范性和证明过程的逻辑性和严谨性. Ⅳ.课堂小结: 通过本节学习,要求大家进一步认识证明不等式的方法的多样性,并能灵活掌握绝对值的性质、 不等式的性质,算术平均数与几何平均数的定理对不等式进行证明. Ⅴ.课后作业:习题 6.5 3,5. 补充作业:设 ?、? 是关于 x 的方程 x ? ax ? b ? 0 的两根 (a、b ? R) ,求证:
2

∣∣ ∣ ∣? 2 , ?∣? 2 ? 2 a ? b ? 4 且 b ? 4 . ? ∣∣ ∣ 2 ∣ 证明:设 f ( x) ? x ? ax ? b ,若 ?∣? 2 , ?∣? 2 ,∴ f (2) ? 0 且 f (?2) ? 0 ,即 4 ? 2a ? b ? 0 , ∣ 4 ? 2a ? b ? 0 ,∴ 2a ? ?(b ? 4) , 4 ? b ? 2a ,∴ 2 a ? b ? 4 . ∣∣ ∣∣ ∣ 又 b ? ? ? ?∣? ?∣ ?∣ 4 , ∣ ∣ ? ? ∣∣ ∣∣ ∣∣ ∴ b ? 4 .∴ 2 a ? b ? 4 且 b ? 4 成立. ∣∣ 若 2 a ? b ? 4 ,∴ f (2) ? 0 且 f (?2) ? 0 . ∴ f ( x) ? 0 的两根同在 (?2,2) 之间或同在 (?2,2) ∣∣ ∣ 之外,假若两根同在 (?2,2) 之外,则与 b ? ? ? ?∣? ?∣ ?∣ 4 相矛盾, ∣ ∣ ? ? ∣ ∴ ?∣? 2 , ?∣? 2 . ∣ ∣∣ ∣ ∣∣ ∣ ∴ ?∣? 2 , ?∣? 2 ? 2 a ? b ? 4 且 b ? 4 成立.


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