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圆与圆的位置关系第一课时教案-数学高一必修2第四章直线与圆4.2.2人教A版

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人教 A 版 数学教案 必修 2 第四章 4.2.2 第一课时

第四章

直线与圆

4.2.2 圆与圆的位置关系
一、学习目标
1.知识与技能 (1)掌握圆与圆的位置关系及判断方法. (2)能利用直线与圆的位置关系解决简单的问题. 2.过程与方法 (1)通过圆与圆的位置关系的探究活动,经历知识的建

构过程,培养学生独立思考、自主探究、动手 实践、合作交流的学习方式. (2)强化学生用坐标法解决几何问题的意识,培养学生分析问题和灵活解决问题的能力. 3.情感、态度与价值观 (1)让学生通过观察图形,理解并掌握直线与圆的方程的应用,培养学生分析问题与解决问题的能力. (2)通过学生的自主探究、小组讨论合作,培养学生的团队精神和主动学习的良好习惯.

二、教学重点难点
重点:掌握用几何法和解析法判断圆与圆的位置关系;能用圆与圆的方程解决一些简单的问题. 难点:灵活地运用“数形结合” 、解析法来解决圆与圆的相关问题.

三、专家建议
以学生熟知的圆与圆的五种位置关系为切入点,类比直线与圆位置关系的判断方式,引导学生得出判 断圆与圆位置关系的两种方法,重点得以突破.在此基础上,借助具体案例,通过实战演练及教师的点拨 指导,让学生深化理解解析法在处理圆与圆问题中的优越性,突出重点的同时化解难点.

四、教学方法 自学-训练-点拨-练习-总结 五、教学过程 ●课堂探究
知识点: 圆与圆的位置关系及其判定 【问题导思】 观察下面这些生活中常见的图形,感受一下圆与圆之间有哪些位置关系?

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1.根据上图,结合平面几何知识可知,圆与圆的位置关系有几种? 【提示】 5 种,即相离、外切、相交、内切、内含. 2.能否通过一些数量关系表示这些圆的位置关系? 【提示】 利用圆心距与半径的关系可判断. 3.直线与圆的位置关系可利用几何法与代数法判断,那么圆与圆的位置关系能否利用代数法判断? 【提示】 可以. 1.圆与圆的位置关系 圆与圆的位置关系有五种,分别为外离、外切、相交、内切、内含. 2.圆与圆的位置关系的判定 (1)几何法: 设两圆半径分别为 r1,r2,圆心距为 d,则 ①当 d>r1+r2 时,两圆外离; ②当 d=r1+r2 时,两圆外切; ③当|r1-r2|<d<r1+r2 时,两圆相交; ④当 d=|r1-r2|时,两圆内切; ⑤当 0≤d<|r1-r2|时,两圆内含. (2)代数法:设两圆方程分别为
2 C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0(D2 1+E1-4F1>0), 2 C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0(D2 2+E2-4F2>0),

?x2+y2+D1x+E1y+F1=0, ? 联立方程得? 2 2 ?x +y +D2x+E2y+F2=0, ?

则方程组解的个数与两圆的位置关系如下: 方程组解的个数 两圆的公共点个数 两圆的位置关系 2组 2个 相交 1组 1个 内切或外切 0组 0个 内含或外离

●典例探究
类型 1 判断两圆的位置关系

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例 1 (1)判断圆 C1∶x2+y2-2x-3=0 和圆 C2∶x2+y2-4x+2y+4=0 的位置关系; (2)判断圆 C1∶x2+y2+2x-6y-39=0 与圆 C2∶x2+y2-4x+2y+1=0 的位置关系. 【思路探究】 尝试根据圆心距|C1C2|与两圆半径的和或差的绝对值来判定,也可以解由 C1,C2 组成的 方程组,看解的情况来判断. 【解析】 (1)法一:两圆的方程分别变形为 (x-1)2+y2=4,(x-2)2+(y+1)2=1, 所以两个圆心的坐标分别为(1, 0)和(2, -1), 两圆的圆心距 d=|C1C2|= (2-1)2+(-1-0)2= 2, |r1-r2|=1,r1+r2=3, 因为 1<|C1C2|<3,所以这两个圆相交. 法二:由圆 C1 与圆 C2 的方程联立组成的方程组得
?x2+y2-2x-3=0, ? ? 2 2 ?x +y -4x+2y+4=0, ?

① ②

①-②得 2x-2y-7=0, 即 y=x-3.5,③ 把③代入①并整理得 2x2-9x+9.25=0,④ 方程④的判别式 Δ=(-9)2-4×2×9.25=7>0, 所以方程组有两组不相同的实数解,所以圆 C1 与圆 C2 相交. (2)圆 C1∶(x+1)2+(y-3)2=49, 其圆心 C1(-1,3),半径 R=7; 圆 C2∶(x-2)2+(y+1)2=4, 其圆心 C2(2,-1),半径 r=2. 于是 d=|C1C2|= (2+1)2+(-1-3)2=5, |R-r|=5=d,所以两圆内切. 【总结提升】 1.判断两圆的位置关系有两种基本的方法:几何法与代数法.几何法显然比代数法简便,在解题中常 用. 2.几何法的步骤: (1)将两圆方程化为标准方程; (2)求两圆圆心坐标与半径 R,r; (3)求两圆圆心距 d; (4)比较 d 与|R-r|,R+r 的大小关系,得结论. 【变式训练】 已知圆 C1∶x2+y2-2mx+4y+m2-5=0, C2∶x2+y2+2x-2my+m2-3=0.当 m 为何值时,圆 C1 与 C2 外切?

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【解】 将两圆化为标准方程得 C1∶(x-m)2+(y+2)2=9, C2∶(x+1)2+(y-m)2=4. ∴C1(m,-2),r1=3,C2(-1,m),r2=2. 若 C1 与 C2 外切,则有 (m+1)2+(m+2)2=3+2, 即 m2+3m-10=0,∴m=-5 或 m=2, ∴当 m=-5 或 m=2 时,圆 C1 与 C2 外切. 类型 2 两圆相交问题 例 2.已知圆 C1:x2+y2-6x-6=0,圆 C2:x2+y2-4y-6=0, (1)求两圆公共弦 AB 所在直线的方程; (2)求公共弦 AB 的长. 【思路探究】 (1)由于两圆的交点同时满足两圆方程,故联立两圆方程组成方程组消去二次项可得过两 圆交点的公共弦所在直线方程;(2)由圆的弦长公式求弦长. 【解析】 (1)联立两圆方程,消去二次项得公共弦 AB 所在的直线方程为 3x-2y=0. (2)∵圆 C1 的圆心为(3,0),半径 r1= 15, ∴圆心 C1(3,0)到直线 AB:3x-2y=0 的距离为 d=
2 由圆的性质可得|AB|=2 r1 -d2=2

|9| 9 = , 13 9+4

81 2 1482 15- = . 13 13

【总结提升】 1.求两圆公共弦所在直线方程的方法:将两圆方程相减,所得的方程即为两圆的公共弦所在直线的方 程;当两圆相切时,公共弦所在直线即为两圆的公切线. 2.在求两圆公共弦长时,可先求两圆的交点坐标,再用距离公式求弦长,也可利用相交两圆的几何性 质和勾股定理求弦长. 【变式训练】 本例中,求线段 AB 的垂直平分线的方程. 【解】∵两圆的连心线垂直平分公共弦,圆 C1 的圆心为(3,0),圆 C2 的圆心为(0,2).∴所求的方程 x y 为: + =1.即 2x+3y-6=0. 3 2 类型 3 两圆相切问题 例 3.求和圆 C∶(x-2)2+(y+1)2=4 相切于点 P(4,-1)且半径为 1 的圆的方程. 【思路点拨】 由于两圆相切,两圆圆心的连线一定过切点,即三点共线,再利用切点到圆心的距离

等于半径,即可确定圆心坐标,进而可求圆的方程. 【解析】 由圆(x-2)2+(y+1)2=4 知, 圆心 C(2,-1),半径为 2,∴PC 的方程为 y=-1,

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故所求圆心纵坐标为-1. 设横坐标为 a,则有|4-a|=1, 故 a=3 或 a=5. 即所求圆的圆心坐标为(3,-1)或(5,-1), 故所求圆的方程为(x-3)2+(y+1)2=1 或(x-5)2+(y+1)2=1. 【归纳提升】 1. 处理两圆相切问题, 首先必须准确把握是内切还是外切, 若题目只告诉两圆相切, 则必须分类处理. 其 次是将相切问题转化为两圆圆心距等于半径之差或半径之和. 2.要充分利用圆的平面几何知识寻找其内在的联系,转化条件,确定圆心,半径,从而求得圆的方程. 【变式训练】 求过点 A(4,-1)且与圆 x2+y2+2x-6y+5=0 相切于点 B(1,2)的圆的方程. 【解】 设所求圆的圆心为 M(a,b),半径为 r.已知圆方程化为(x+1)2+(y-3)2=5,圆心为 C(-1,3). a+1 1+1 因为切点 B 在连心线上,即 C,B,M 共线,所以 = , b-3 2-3

即 a+2b-5=0,① AB 的垂直平分线方程为 x-y-2=0,圆心 M 在 AB 的垂直平分线上,所以 a-b-2=0,②
?a=3, ? 由①、②解得? 故 M(3,1),r=|MB|= 5. ?b=1, ?

所以所求圆方程为(x-3)2+(y-1)2=5.

●课堂小结
1.判断两圆的位置关系通常用几何法判断,即利用圆的方程及两点间的距离公式求出圆心距 d 和两圆 的半径 r1 和 r2,再根据 d 与 r1+r2,|r1-r2|的大小关系来判断. 2.求两圆公切线条数时,应先判断两圆的位置关系;求两圆的公共弦长时,可转化为直线与圆相交求 相交弦长问题. 六、板书设计

圆与圆的位置关系

倍角公式 学习目标
(1) 掌握圆与圆的位置关系 及判断方法. (2) 能利用直线与圆的位置 关系解决简单的问题.

探究点 注意事项: 1 2. 3. 第 5 页共 5 页

典例分析 例1 例2 例3

小结:

作业

当堂检

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七.当堂检测 1.两圆 x2+y2=9 和 x2+y2-8x+6y+9=0 的位置关系是( A.外离 B.相交 C.内切 D.外切 )

【解析】两圆 x2+y2=9 和 x2+y2-8x+6y+9=0 的圆心分别为(0,0)和(4,-3),半径分别为 3 和 4. 所以两圆的圆心距 d= 42+(-3)2=5. 又 4-3<5<3+4,故两圆相交. 【答案】 B 2.两圆 x2+y2=r2 与(x-3)2+(y+1)2=r2(r>0)外切,则 r 的值是( A. 10 C.5 B. 5 D. 10 2 (3-0)2+(-1-0)2=2r,∴r= 10 . 2 )

【解析】 由题意可知 【答案】 D

3.以 A(1,3)为圆心,且与圆(x+3)2+y2=9 相外切的圆的方程为________. 【解析】 两圆相外切,∴两圆圆心距等于 r+3. ∴ (-3-1)2+32=5=r+3,∴r=2, ∴方程为(x-1)2+(y-3)2=4. 【答案】 (x-1)2+(y-3)2=4 4.求半径为 1,且与圆 x2+y2=4 相切的动圆圆心的轨迹方程. 【解】 设动圆圆心为 M,若两圆内切,则圆心距 d=|2-1|=1,由圆的定义知 M 点的轨迹是以 O 为 圆心,1 为半径的圆,其方程为 x2+y2=1; 若两圆外切,则圆心距 d=|2+1|=3,由圆的定义知 M 点的轨迹是以 O 为圆心,3 为半径的圆,其方 程为 x2+y2=9. 综上所述,动圆圆心的轨迹方程为 x2+y2=1 或 x2+y2=9.

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