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杂题1

时间:2016-04-02


? ? ( ) ??? ? ? (2011 ? ?)

1

? ) ?· ? ? ?? · ?? ??? ·???? ? ??? ·?????? ? ?? · ? ?? ?? ?? ? (? ? ? ?? ??? )
1. (

2

?

¤
B

/>

G.

??

??

? ? G = ?,
1

?§ ? ??
1

G = ?.

?? g ∈ G, g ?? ?? ? ? ?? ? ? (? ? ? ? ¨ ) ? B G. ¨ ? ?? ?? ? B = ?
1 1 1

G1 = ?, |B1 | ≥ |G1 |.

?? G = G, ??? ??? G = G, § ? g ∈ G\ G , g ? ? ?? ? ? ?? ? ? (? ? ? ? ¨ ) ? B G , ×?
1 1 2 1 2 2 2

?

? §? ¨ b ∈ B ∩B , b ? g, ? g, ? ? ?? g ? g ??? ? g ∈G , ?? ? ? G ∪ G = G, § ? ? ??? ? G\(G ∪ G ) = ?, ?§ ? g ∈ G\(G ∪ G ), ? ??? B G . ? ?? ? ? 
B1 ∩ B2 = ?,
2 1 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 3 1 2 3 3 k

|B2 | ≥ |G2 |.

Gi = G
i=1

?¨ ? ??
|Bi | ≥ |Gi|,

?

?? ??

i = 1, 2, · · · , k,

1 ≤ i1 < i2 ≤ k , Bi1 ∩ Bi2 = ?.

3

?
k k

|B | ≥
k

Bi =
i=1 i=1 k

|Bi |



i=1

| Gi | ≥

i=1

Gi = | G| .

4

? ) ? H = {1, 2, · · · , 9} ?? H ?? ? ? ? ?? n ∈ H ? P , ?? n ? ? ? ? P (n)( ??
2. (

? P (6) = 5). ?? H ?? ? ?P P ,? ¨H ? ? ? n ? m,
1 2

P : {1, 4, 5} ∪ {2} ∪ {3, 6, 7, 8, 9},

P1 (n) = P1 (m), P2 (n) = P2 (m). (?) (

?

? 2008-2009)

5

¤? ??
P1
1

?
P2 H

?

??¨ P (i)(i = 1, 2, · · · , 9) ? 4 ± ?? H ? 1+2+3+ ?? ?? ?? 4 = 10 ? P (i)(i = 1, 2, · · · , 9) ? ? ± ? ? P (i)(i = 1, 2, · · · , 9) ? ? ± ? ?? ¨ 1 ≤ i < i < i < i ≤
1 2 1 2 3 4

9,

P1 (i4 ),

{i1 , i2 , i3 , i4 }, n = m,

? ? P (i)(i = 1, 2, · · · , 9) ? ? ± ??? ¨ n, m ∈
2

P1 (i1 ) = P1 (i2 ) = P1 (i3 ) =

? ¨1≤j 3 ? ק ? ???

P2 (m),

?

? (? ) ? ? ?
1 1

P2 (n) =

??

1

P2 (j1 ) = P2 (j2 ) = P2 (j3 ) = P2 (j4 ),

< j2 < j3 < j4 ≤ 9,

?

? ? P (i)(i = 1, 2, · · · , 9) ?? 3 ± ?? ? ? 3 ? ??¨ P (i)(i = 1, 2, · · · , 9) ?? 3 ± ?? ? ?  3 ?¨ P (i)(i = 1, 2, · · · , 9) × ? ??§ ??? k, ? ?
2

? ?

??? ? ? ?? ??§?? 3 ?? ??? ?? ?? 3 ± ?

k |Card{i : P1 (i) = k },

6

? 1 ≤ x, y ≤ 2011. ? x? y? ? ¨ ? ?? ¨ ? ¤? ? ?? (? ? ? ?)

3.

?

?

??

(x, y ),

7

?? ? ° ?? ? ? ? x y ?? 1 ? ? ? ?? ?? ? ? 1 ? ? 4 · 2011 ?? ? ? ? ? ? ? ? 2k + 1 1 · 2011 ??? ?? (2k + 1) ?
2 2 2

20112 ·

1 1 1 1 + + +···+ 4 9 25 20112

.

?? ??? ? ? ??? ? ??? ± ? ? ? ° ?? ? ?? ?
1 + 4 = =
1005 k =1

?

1 1 < + 2 (2k + 1) 4
1005

1005

k =1

1 2k (2k + 2)

1 1 + 4 2 1 1 + 4 2

k =1

1 1 ? 2k 2k + 2 1 < . 2

1 1 ? 2 1005

?

? ? ??

? ?? ? ?

8

? ?? (??? ??). ? ? ? ??? ? ? ???? n ? ? ? ? (? ? ?)
4. n

9

? ?? ? ??? ?? ??? ? ??? n ??? ?? ? ?? ? 4 “? ? ”, ? ??? “? n(n ? 1) ?” ? 4 ?? 2 ? ? ? n ? 1 = 8k . ?? ? k = 1, 2, · · ·, ¨ n = 8k + 1 ?? ? ? ? ? k = 1, 9 ?? ? A A ···A ? ? ? ? (A , A ) ? (A , A ) ?? ? ? ?2π ? ? ? ?? ? 9 ??? ? 8 ?? ? ? ?¨ ?? ? ? ? A A ? ? ?? ? ? ? ? ? ? AA,AA,AA AA 4 ± ? ? ?¨ k > 1 ? 8k + 1 ??? ? ? ? 8k ? k ? 8 ?? ?? ? ?? ? 8 ? ?? ± 9 ? ?§ ? § 8? 4 2 ? ??¨ ? ?? ? ? ?
1 2 9 1 2 3 5 i j 2 3 1 3 2 5 1 5

??

¤n = 8k + 1, ?

k

10

? n > 3, ? T = {1, 2, · · · , n}, S ? T. · S T ? ?, n ?? ¨ ? c ≤ 2 , ?? s , s ∈ S , ? ? | s ? s | = c. ? T ? ? ?? ? ? (? ? ? ?? 2008)
5.
1 2 1 2

11

aj | = c.

¤ S = {a , a , · · · , a } nT ? ?. ? ¨ ? c ≤ 2 , ? ? 1 ≤ i < j ≤ m, ? ? |a ?
1 2 m i

?b


k

= n +1 ? ak , k = 1, 2, · · · , m,

S ′ = b1 , b2 , · · · , bm ,

?S ??

? T,

? ?

1 ≤ i < j ≤ m,

×?

?c≤n , 2

?? S ?
bk

? ?. k ∈ {1, 2, · · · , m}, ¨ a ? = n+1?a ?? ? ?? n+1 ? ?? , ?? ¨ S ? S 2 n+1 ?? ? ? ? . 2 a ,a ,···,a S ?? m n+1 ? ? ? ? t≥ . 2 2


|bi ? bj | = |ai ? aj | = c, T

k

k



1

2

t

?×? S ? T , ? S T ?, S ∩ S = ?. ?
′′ ′′

S ′′ = a1 + c, a2 + c, · · · , at + c ,

?

? ? ? ??

t + m ≤ n.

3m ? 2 2n 2n m≤ ? m≤ . 3 3 n≥t+m≥

? ? ?? ? ?? 2n 3, ? ?? m = . 3 n = 3k ? ?
12

?n>

S = 1, 2, · · · , k, 2k +1, 2k +2, · · · , 3k ,

?

c = k; n = 3k + 1

?× ? ? ?

S = 1, 2, · · · , k, 2k +1, 2k +2, · · · , 3k ,

? ×? c = k;

n = 3k + 1

S = 1, 2, · · · , k, 2k +2, 2k +3, · · · , 3k +2 ,

? ? c = k + 1.

13

??? S = {1, 2, · · · , 2n}. ? S ¨? ? ?? T ?? T a b, ? ? |a ? b| = 1 § n. (? ?
2009)

6. (

? ? ???? ?)

n

14

¤? S
( 1): 1 2 3

2n 1

? ?
··· n?1 n

?? ?? ? ? ¤  ?? ?  ????? ? ?n n+1 ? ?? ? ?. ? S (n) ± ? ? ? ?
2

n + 1 n + 2 n + 3 · · · 2n ? 1 2n

?

? A(n),B(n),C (n) 1, 2 3 ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? A (n) ? 1 ??? ? ? ? ? ? n ? n+1 ? ? ? ??
1

§

? ? ? ?
(? )

????? n ? n + 1
3

S (n) = A(n) ? A1 (n).

????

? ? ?

?? ? ? ?? 1, n ? 1, 2n ? n + 2 ? ? ? ???
15

?

? ??

A1 (n) = C (n ? 2),

C (n ? 2),

?

?
(? )

1,

? A(n),B(n),C (n), ??? ?? ? ? ?? A(n), ?
A(n) = A(n ? 1) + 2B (n ? 1). 1

S (n) = A(n) ? C (n ? 2).

? A(n) ? ? ± ¤ (i)1 ? n + 1 ? ? ? ?? ?
(ii)1 A(n ? 1);

? ?

??? n + 1 ???? ??? n + 1 ????
1.

(iii)1

B (n ? 1); B (n ? 1);

± 3 ?? ?? ? B(n), ?

??? ? ± 2 ?? ?? ? C (n), ?
(ii)1

?

? B(n) ? ? ? ± ¤ (i)1 ? ? ? 2 ????
B (n ? 1); 2. A(n ? 1),

B (n) = A(n ? 1) + B (n ? 1).

2

C (n) = B (n ? 1) + B (n ? 2) + C (n ? 2).

? A(n) ? ? ± ¤ (i)1 ? ? ? ? B(n ? 1); 2? (ii)1 ? ? ?n +2 ? ? ? n +2 ? ? ? ? ? ? B(n?2); (iii)1 ? n +2 ?? ? ? ? 2 ? n +3 ? ? ? ?? ? C (n ? 2); ± 3 ?? ?? 3 . ?12? ?
A(n) = 2A(n ? 1) + A(n ? 2), 16

3

? ? A(1) = 3, A(2) = 7. ? ?
A(n) = √ √ 1 (1 + 2)n+1 + (1 ? 2)n+1 . 2 4 1 ? 2, A(n) = B (n) + B (n ? 1),

?

3

?

C (n) = C (n ? 2) + A(n ? 1) ? A(n) ? A(n ? 2) C (n) = C (n ? 2) + ? 2 A(n) A(n ? 2) C (n) ? = C (n ? 2) ? . 2 2 C (2) = 4, C (3) = 8, A(n) (?1)n C (n) ? = 2 2 C (n) = 4 ?

? (? ) ?

A(n) (?1)n + . 2 2

× ? ?? ? ? ?

S (n) = A(n) ? C (n ? 2) A(n ? 2) (?1)n = A(n) ? ? 2 2 √ n √ √ √ 1 = (3 + 2)(1 + 2) + (3 ? 2)(1 ? 2)n ? 2(?1)n . 4

√ √ √ √ 1 (3+ 2)(1+ 2)n +(3? 2)(1? 2)n ?2(?1)n . 4

17

7. (

? a , a , · · · , a ??
1 2 n

? ?

)

n

??

a1 + a2 + · · · + an =

1 1 1 + 2 +···+ 2 . 2 a1 a2 an

? ¨ ? {a , a , · · · , a } ? ???? ? ??? ? m.( ? ?2009)
m ∈ {1, 2, · · · , n},
n 1 2

???

18

¤ ? ?m=n
a1 + a2 + · · · + an ≥ n.

?
1

?? ??

? ?
G≤

a1 + a2 + · · · + an < n, √ G = n a1 a2 · · · an ,

?

??

??

??

1

?

a1 + a2 + · · · + an < 1, n

? ?
n

1> = ≥
n

a1 + a2 + · · · + an n 1 1 + + · · · + a1 2 a2 a2
1 2

n

1 1 1 1 · · · 2 = 2 > 1, 2 2 a1 a2 an G

¨ m ∈ {1, 2, · · · , n ? 1}, ? ? ? ? ? ? ??? ?? ? ? ? ? m, ? ?
a1 + a2 + · · · + am < m, a2 + a3 + · · · + am+1 < m, ······ an + a1 + · · · + am?1 < m.

???? 1 ? ? § ?m<n ?

±

? ?

×?

m(a1 + a2 + · · · + an ) < mn,

???? ?? ?? ?

a1 + a2 + · · · + an < n,

???
19

1

? ??

m ∈ {1, 2, · · · , n}

? ?? ) ? ? n (n ≥ 2), ? ? ¨ ? {1, 2, · · · , n} n ?? A , A , · · · , A ??¤
8. (
1 2 n

i ∈ Aj

(b)i = j, i, j ∈ {1, 2, · · · , n},

(a)i ∈ Ai , i = 1, 2, · · · , n;

? (c) ? ?
“ (1) (2)

?

Ai ∩ Aj = ?,

i, j ∈ {1, 2, · · · , n}

j ∈ Ai ;

??

?· n
n ≥ 7. (

? ? ”. ¤n
n=7

? ? ”; “? ? ” ?
“ 9.2 )

??? ? 2003 ?

20

¤ (1) ? ?
A1 = {3, 4, 5}, A2 = {3, 5, 6}, A3 = {4, 5, 7}, A4 = {2, 6, 7}, A5 = {1, 4, 6}, A6 = {1, 3, 7}, A7 = {1, 2, 5}

??

??? n = 7 “?? ”. (2) ? ? ?? n ≥ 7 ? “? ? ”. ? (1) n = 7 “? ? ”. n = k ≥ 7 “? ? ”, ? ¨? ? A , A , · · · , A ? ? ?
1 2 k

?? ? B , B , · · · , B ?? ??? n = k + 1 “? ? ”. ? ? “? ? ”n ? ? 7. n “? ? ”, A , A , · · · , A ? {1, 2, · · · , n} ?? ? ? ?? ? j ∈ {1, 2, · · · , n}, ? ?? |A | ≥ 3. ?? A ? {j, k}, ?
1 2 k +1 1 2 n j i

B1 = A1 , B2 = A2 , · · · , Bk = Ak , Bk+1 = {1, 2, · · · , k },

Ai ∩ Aj = {k }, Ai ∩ Ak = {j }, k ∈ Aj . j ∈ AK ,

?

?? ?¨ ? ? n × n ? ? ? i j ?? ? ? a ,
ij

??

(b)

?

aij =

1, 0,

?§ ? ? (b), ?



?.

i ∈ Aj , 0.

? ?
i = j.

aij = 1 ? aji = 0, 21

?? ?¨ ? ?? ? 0 1 ? ? n ?n ?? ? ??? . 2 § ? ? 3, ??
2

???

n2 ? n ≥ 3n, 2 n ≥ 7.

22

? ? ??) a = (a , a , · · · , a ? 1, 2, · · · , 2003 ? ???A ???? ?? a ? ¤ ¨ {1, 2, · · · , 2003} ? ? S ,
9. (
1 2

2003 )

? a ∈ A,
( )

{ak |k ∈ S } = S.

2003

d(a) =
k =1

(ak ? k )2 .

? ? d(a) ? ? (?) d(a) ? d , ?? ? ? ? d(a) = d ?? a (a ∈ A). (? ? ? ? ? 2003 5
0 0

)

23

¤?? a ∈ A,
b1 = 1, b2 = ab1 , b3 = ab2 , · · · , b2003 = ab2002 , b2004 = ab2003 . bk

? ?? ? ¨ 1 < k ≤ 2003, = 1, ?? ? ????

{b1 , b2 , · · · , bk?1 } = {ab1 , ab2 , · · · , abk?1 },

?? a ∈ A

bk = 1,

? ??? ¨ 1 < i < j ≤ 2003, b =b , ??
i j

k = 2, 3, · · · , 2003.

{bi , bi+1 , · · · , bj ?1} = {abi , abi+1 , · · · , abj?1 },

? ? j ? i < 2003, ? × ? a ∈ A ? ?? ? ± ?? b , b , · · · , b ? ? ? ? b , b , · · · , b , b ×? ? ?? ? ? 1  2003 ? ???
1 2 2003 2 3 2003 2004

{b1 , b2 , · · · , b2003 } = {b2 , b3 , · · · , b2003 , b2004 }

×

= {1, 2, · · · , 2003},

??

b2004 = b1 = 1.

2003

2003

d(a) =
k =1

(ak ? k ) =

2

k =1

(bk ? bk+1 )2 .

bm = 2003, d1 (a) :=

?
|bk ? bk+1 |

2003

k =1

?

≥ (bm ? b1 ) + (bm ? b2004 ) = 4 004,
1 2

? ? ? ?b , b , · · · , b ? b ,b ,···,b ?
m m+1 2004

m

24

? ??? |b ?b |, |b ?b |, · · · , |b ? b | ? 2001 2 ? 1 ? d(a)  ?
1 2 2 3 2003 2004

d0 = 2001 × 22 + 2 × 12 = 8 006.

1

?? a ??

d(a)

 ? ?? x ?

d0 . |bk ? bk+1 | bx+1 ? bx = 1, by+1 ? by = 1,

?y

?

2.

bm = 2003,

?

|b1 ? b2 | + |b2 ? b3 | + · · · + |bm?1 ? bm |

? ? ??? x ? y § § ? m. ? x < y < m. ? ? 1 < x < m ? 1, ?
bx ∈ B1 ,

= bm ? b1 = 2002

?

2 m,

B1 = {b1 , b2 , · · · , bm?1 }, B2 = {bm , bm+1 , · · · , b2003 }.

bx+1 = bx + 1 ∈ B1 , bx+1 + 1 ∈ B2 ,

? ? ?

bx ? 1 ∈ B2 ,

? ¨ m < t ≤ 2004,

bt?1 = bx ? 1,

bt = bx+1 + 1,

??? x = 1 § x = m ? 1. ? y = 1 § y = m ? 1. ?? ? ?? a d(a)  ? d , x < y < m, ? x = 1, y = m ? 1. ? ¤
0

|bt ? bt?1 | = bx+1 ? bx + 2 = 3,

b1 = 1, b2 ? b1 = 1, bm ? bm?1 = 1, 25

bk ? bk+1 = 2, m < k ≤ 2003.

bk+1 ? bk = 2, 2 < k < m ? 1;

2, 2 b1 = 1,

m = 1003(

? 2002), ??

1

? 1000

bk = 2(k ? 1), 2 ≤ k ≤ 1002, b1003 = 2003, bk = 2(2004 ? k ) + 1, 1004 ≤ k ≤ 2004.

? ? ??

? ? a1 = b2 = 1, ? ? ? ? a =b 1 ≤ k ≤ 1000, 2k k +2 = 2(k + 1), ? a2002 = b1003 = 2003, ? ? ? ? a2k+1 = b2004?k+1 = 2k ? 1, 1 ≤ k ≤ 1001.

?

x ≥ m, y ≥ m

??? ?

bk = 2k ? 1, 1 ≤ k ≤ 1 002; b2004 = 1; b2004?k = 2k,

? ? ??

1 ≤ k ≤ 1 001,

? ? a2k?1 = bk+1 = 2k + 1, 1 ≤ k ≤ 1001, ? ? ? ? a 2003 = b1003 = 2002, ? a2k = b2004?k+1 = 2(k ? 1), 2 ≤ k ≤ 1001, ? ? ? ? a2 = b2004 = 1.

26

? ??) n ? 2 ? ? (a , a , · · · , a ) (1, 2, · · · , n) ? ?? ?? k∈ {1, 2, · · · , n}, ¨ ? k a ? ?? A, B, C ? x ,x ,x ?? ? ( ? ? ), ? x , x , x ∈ {1, 2, · · · , n}. ??? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ?? ??? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ????? ? ?? ? ??? · (x , x , x ) ? ??. ?? n ? ? ? ?? (a , a , · · · , a ) ¨ ??.( ? ? ? 2002 1 )
10. ( n
1 2 n k A B C A B C A B C 1 2 n

27

xC ≤ xB + 1.

? A ? x ?1, A? ????? × (x , x , x ??, ? x ≥ x ? 1. ?
xA ≤ xB ?2,
A B A B B

¤ ?

xA ≤ xB ≤ xC .

C)

? Q(X )

X

?
A B

????
2 Cn +1 . C

? ?? ?? (x , x , x ) ??, ? ??? ± ¤ 1 .x =x =x ,?
? A B C

s = 1+2+···+n =

?

s Q(A) = Q(B ) = Q(C ) = . 3 n ≥ 6,

??

s n(n + 1) n(n ? 1) s?n = < = . 3 6 4 2 xA = xB = xC = k

??

max {a1 +a2 +· · ·+ak?1 , ak+1 +ak+2 +· · ·+an } ≥

s?n . 2

? k ?1 ??? a + a + · · · + a ≥ 2 ? ? C ? k + 1 ????  ? ? ? ??? ?? ?? ? ± ? ?
A
k +1 k +2 n

a1 + a2 + · · · + ak?1 ≥

?? ? ???  ?s? ? ?n
s?n 2

2 ≤ n ≤ 5. 2? .

¨

k,

xA = xB = k, xC = k + 1.

?
Q(A) = Q(B ) =

? ? (x , x , x ) ??, ? ? A ? k ? 1 ? ? ?? ? ?
A B C

a1 + a2 + · · · + ak , 2 Q(C ) = ak+1 + ak+2 + · · · + an .

28

? ?×
a1 + a2 + · · · + ak 2 ≥ a1 + a2 + · · · + ak?1 ? ak ≥ a1 + a2 + · · · + ak?1 .

?? A ? k + 2 ? ?? ? ? ? ???
a1 + a2 + · · · + ak 2 ≥ ak+2 + · · · + an .

?

2ak ≥ a1 + a2 + · · · + ak?1 + ak ≥ a1 + a2 + · · · + ak?1 + ak+2 + · · · + an = s ? ak ? ak+1 , ? 3ak + ak+1 ≥ s. ak = ak+1 , 1 n,

? ?

?

×
2

?

3ak + ak+1 < 4n. 1 2, s < 4n,

? n < 7, ?
k,

2 ≤ n ≤ 6. 3? .

¨

?

xA = k ? 1, xB = k, xC = k + 1.

Q(A) = a1 + a2 + · · · + ak?1 , Q(B ) = ak , Q(C ) = ak+1 + ak+2 + · · · + an .

ak

?? n ≥ 7, ? s ≥ 4n, ? Q(B) = ≤ n, ??
max {Q(A), Q(C )} ≥ 29 3n . 2

?

k?1

Q(A) ≥

?? ?

3n . 2

?

? B ?

Q′ (B ) =

Q(A) Q(B ) + 2 3 Q(A) 2Q(B ) = Q(B ) + ? 2 3 1 3n 2n ≥ Q(B ) + · ? 2 2 3 > Q(B ),

? B ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ?? ???? ? ? ±?
2 ≤ n ≤ 6.

2 ≤ n ≤ 6. 2 ≤ n ≤ 5,
1 2

xB = xC ,

? (a , a , · · · , a ) (1, 2, · · · , n) ?? ?? ?? n = 6, § ?? ? ¤ x = 2, x = 3, x = 4;
n A B C

xA =

(a1 , a2 , · · · , a6 ) = (2, 5, 6, 4, 3, 1).

30

????) ? ? n, n ? ? ? S ? ? ?? ¤ (1)S ??? 2002 ?? (2) ? S ??? ?? a b(a ? b ?? ), ? ¨ ab ? ° ? S . (¨ ? 2002 4 )
11. (

31

¤ 1958. ¤?§? 1 ∈ S . ? ?¨ 2 ? {2, 2 , · · · , 2 } ? ? 5 ? {3, 3 , · · · , 3 } ° S; ¨ 3 ? ?3 ° S; ¨ 5 ? {5, 5 , 5 , 5 } ? ? 2 ° S; ¨ 6 ? {6, 6 , 6 , 6 } ? ?2 ° S; ? ? 2,3,5,6 ? ? 6? ?? 44 ?k? ?S ?? k ? k ?? ± k ? 31 ?? ? ? ? S ? ? ?
2 10 2 6 2 3 4 2 3 4 2

2002 ? (1 + 5 + 3 + 2 + 2 + 31) = 1958

??? ??

?? ? ? ? 1958 ? ? ?

??

S = {45, 46, 47, · · · , 2002}

32

?? ¨ n×n ?? ?? ?? ? ? ?¨? ?? ? ¨ ? 5 § ?5, ? ? ± ? (??? ? 2003 ? ?? 3 )
12. ( n ≥ 2

? ?)

33

¤? ? ? ??§ ? ? ? ? ? ? ?? 5, ? ? 1. ? ?? ? ? n 5, ? ? ? 5 ? ? ?× ? n! ± ? ?§ ? ? ? ? ?? 2 ± ? ? ??? ? ? ? 2 · n! ± ?
n2 n2

34

? ?) ± ? ? ?? ? ?? ? × (? 1 × 2 ? ). n ? ?? ? ?? ? ? 3 × n ? ? ?????× ? ? 3 × n ? ?? 3 ? ? ? ? ? ???× ? ? ? ? ± ? · ? ? (¨ 5 ? 2002)
13. (

35

¤ 3 × n ? ?? 3 ? ? ?¨ ? ? ?§ ? ? ?? ?? ? ( ? · A ?); § ? ? ? ? ?? ? ( ?· B ?); § 3 ( ? · C ?). ? ??? 3×n ? ?? ?? A ? ? a; ± 3×n ? ?? B ? ± 3 × n ? ? b; ?? C ? ± 3×n ? ? c. ?
n n n

dn := an + bn + cn

?§ ? ¨A ? B ? C ? ?? ¨ C ? ±  ? ? ? ? ???
an+1 = cn , bn+1 = cn , a1 = b1 = c1 = 1 ? d1 = 3.

±? ±

cn+1 = an +bn +cn .

dn+1 = an+1 + bn+1 + cn+1 = an + bn + 3cn = dn + 2cn = dn + 2(an?1 + bn?1 + cn?1 ) = d n + 2d n?1 .

?

?

?

? ???

? ?

z 2 ? z ? 2 = 0,

z1 = ?1, 36

z2 = 2,

×? ?
dn = u(?1)n + v 2n . 1 d1 = 3

?

d2 = d1 + 2c1 = 5, 1, ?u + 2v = 3, u + 4b = 5. 1 u=? , 3

?

??

4 v= , 3

dn =

1 (?1)n+1 + 2n+2 . 3

37

14. (

?

?

? ?)

??

n ≥ 16

?

??

G = (x, y ) x, y = 1, 2, · · · , n . √ A ? G, |A| ≥ 4n n.

4 -

·

?

· ? ?? - ?? ? 2009

?? A ? ?n ? ?(
2

6

)

38

¤ |A| = m, ? m ≥ 4n√n. · ?A ? ? ?? ? , ?? ? ? ? ? S , ?§ |S | = C . ? ?? ? ? ? ? 1 ? ? 2 ¨? G 1 ? ? 4n ? ? 2 ? ? C ??? ¨ B, ? 4n ? ? ? ?? ? ??? B P. ? ??? ?
2 m 2 2 m 2

|P | ≥

? |P | ≥ 2n. P ??? ?? ??? ¨ ?? ? ? B ? l , l , · · · , l ? ¨ ? l ? a P ??? ? a +a +· · ·+a . ? ??? G n ??? ? i, ? ? n a ≤ . ?? ?? ? 2 ? ??? ? · ? ? ? ???? B ? ? ?? · ?
1 2 k i i 1 2 k i

2 Cm m(m ? 1) = 2 4n√ 8n2 √ 4n n(4n n ? 1) ≥ 8n2√ 16n3 ? 4n n 1 = 2n ? √ = 2 8n 2 n > 2n ? 1.

ai aj =
1≤i<j ≤k

1 2
2

k

2

k

ai
i=1

? ai

a2 i
i=1



1 2

k

ai
i=1

?

n 2

k

i=1

n 1 = |P | |P | ? 2 2 n 3 ≥ n 2n ? = n2 > n2 . 2 2 39

15. (

? ?)

p < m, q < n.

?4

¨?

p, q, m, n

??? ? ?

A(0, 0), B (p, 0), C (m, q ), D (m, n).

? ? A  D ?? f ? B  C ?? g, ? ?? ? ? ? ? (? § ? ), ¨ ? ?§ ? ? ? (? ? ). ?s ??? ??? (f, g) ?? ? ??? k? ??? (? ? ? ? ? 2003
k Cn q n m n s = Cm +n Cm+q ?p ? Cm+q Cm+n?p ,

n

1

)

40

1

¤? A  D ?n ??? ? m ???¨ ? ? ? ? ? ??? ? ? C ?? f , ?? ? C ?? g. ? ?? ?? ? (f, g) ?? ??? ? ? ?? ? (f, g), ? ?? K. ?? g K → C ? ?? f K → D ? §? ??¨ ?¤ ? f A → K ?? g K→C ? ? g B → K ?? f K → D ? ? ? ? A  C ?? f , ? ? B  D ?? g . ? ????? ? A  C ? ? f , ? ? B  D ?? g , ? ??? ??? ? ?? ° ??? ?¤ ? ? ??? ? A  D ?? ? ? B  C ?? (f, g). ±?? ?? ??? ? ? ? ?? ? A  C ?? ? C ?? B  D ?? ? C ? ? ?? ?? ? ??
n m+n q m+q ?p ′ ′ ′ ′ m m+q n m+n?p

41

?? ? (f, g)

?

q n m n s = Cm +n Cm+q ?p ? Cm+q Cm+n?p . (?)

42

??) ±?? 10 × 10 × 10 ? ? ?? ?? 1 × 1 × 10 ? ? ? ???? ?? °§ ? ?? ? ? ???? ? ?? ? ± ? ? ? ? ? ? ? (? ? 2003 ? ??? 5 )
16. (

43

¤ 25 ? ? ? 2 ? ?? ??
10 × 1

¤ ? ?

? ? ?

§

1 × 1 × 10.

10 × 1 × 1, 1 ×

?

2

§ ? ?
8 ).

3,

? ? 25 ? ? ? ?? 25 ? ? ? ? ? ? 25 ? ? ? ? ?? ? ? ? 25 ? ? ? ??? 26 ? ?

5×5×5

10 × 10 × 10

(

· ?

3

? ? 26
44

10 × 1 × 1

?

? ± ?? ? ¨ 6 ?§ 6 ? ??? ? ? ¨? 6 ? ? ? ? ? ? ? ¨ 10 × 4 × 10 ? ? ? ??? 26 1 × 1 × 10 ? ? ¨ 6 ? ? ?? ? 26 1 × 10 × 1 ? ? ? 4 × 10 × 6 ?? ?

45


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