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29-第二章 平面向量小结与复习(2)


第二章
教学目标

平面向量章末复习(第 2 课时)

重点:平面向量数量积的定义及其坐标表示;数量积的几何意义、向量法在平面几何中的应用. 难点:用向量法解决平面几何问题时,如何建立平面几何与平面向量之间的联系. 能力点:在运用向量方法解决平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题过程中,进一步发展学生的运 算能力和解决实际问题的

能力. 教育点:提高学生的认知水平,为学生塑造良好的数学认识结构. 自主探究点:例题及变式的解题思路的探寻. 易错点:(1)忽视两向量垂直的概念是针对两非零向量的而致错; (2)对两向量夹角的定义理解不清致错; (3)把数的乘法的消去律运用在向量的数量积运算上而致错; (4)混淆点的坐标与向量的坐标致错.

学法与教具
1.学法:讲授法、讨论法. 2.教具:投影仪. 数量积的定义 平面向量的数量积 数量积的性质 数量积的运算律 平面向量 几何中的应用 平面向量应用举例 物理中的应用 数量积的几何意义

一、 【知识结构】

二、 【知识梳理】
1.平面向量的数量积 (1)数量积的定义 已知两个非零向量 a 与 b ,我们把数量 a b cos? 叫做 a 与 b 的数量积(inner product)(或内积) ,记作

a ?b ,即 a? b = a b cos? ,其中 ? 是 a 与 b 的夹角.
(2)数量积的几何意义 数量积 a ?b 等于 a 的长度 a 与 b 在 a 方向上的投影 b cos? 的乘积,或等于 b 的长度 b 与 a 在 b 方向 上的投影 a cos? 的乘积. (3)数量积的性质 b?0. ① a ? b ? a? ②当 a 与 b 同向时, a? b = a b ;当 a 与 b 反向时, a? b = ? a b ;特别地, a ?a = a ,所以
2

a 记作 a 2 . a ? a ?a .通常 a?
③ a? b?a b

(4)数量积的运算律 已知向量 a 、 b 、 c 和实数 ? ,则: b ? b? a; ① a? ② (?a)? b ? ? (a? b) ? a? (?b) ; ③ (a ? b)? c ? a? c ? b? c. (5)数量积的坐标表示 已知两个非零向量 a ? ( x1 , y1 ) , b ? ( x2 , y2 ) ,则 a? b ? x1x2 ? y1 y2 . 由此可得:
2 2 2 2 ① a ? x1 ? y1 或 a ? x1 ? y1 ;
2

② a ? b ? x1 x2 ? y1 y2 ? 0 ; ③设 ? 为 a 、 b 的夹角,则 cos ? ?

x1 x2 ? y1 y2 a? b . ? | a || b | x12 ? y12 ? x22 ? y22

2.平面几何中的向量方法 用向量法解决平面几何问题的“三步曲” : (1)建立平面几何与向量的联系, 用向量表示问题中涉及的几何元素, 将平面几何问题转化为向量问题; (2)通过向量运算,研究几何元素之间的关系,如距离、夹角等问题; (3)把运算结果“翻译”成几何关系. 在上述步骤中,把平面几何问题转化为向量问题是解决问题的关键一步,转化方法大致有两种思路: 第一,选取恰当的基向量;第二,建立坐标系. 3.向量法在物理中的应用 向量有丰富的物理背景,向量的物理背景是位移、力、速度等,向量的数量积的物理背景是力所做的 功.因此,用向量可以解决一些物理问题.向量在物理中的应用,实际上是把物理问题转化为向量问题, 然后通过向量运算解决向量问题,最后再用所获的结果解释物理现象.用向量法解决物理问题时,应作出 相应的图形,以帮助我们建立数学模型.

三、 【范例导航】
例 1 ( 2012? 天 津 ) 在 △ABC 中 , ∠A=90° , AB=1 , AC=2 . 设 点 P , Q 满 足 AP ? ? AB ,

??? ?

??? ?

??? ? ??? ? ???? ???? CP ? ?2 ,则 ? ? AQ ? ?1 ? ? ? AC, ? ? R .若 BQ?
??? ? ????

.

【分析】由题意可知 AB?AC ? 0 ,根据 BQ? CP ? (? ? 1) AC ? ? AB ? ?2 ,解方程可以求得 ? 的 值.

??? ? ??? ?

??? ?2

??? ?2

c ? 0, 【解答】如图,设 AB ? b , AC ? c ,则 b ? 1 , c ? 2 , b?
又 BQ ? BA ? AQ ? ?b ? (1 ? ? )c , CP ? CA ? AP ? ?c ? ?b , 由 BQ? CP ? ?2 得,

??? ?

?

??? ?

?

?

?

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??? ?

??? ? ????

?

?

??? ?

??? ? ??? ?

?

??? ? ??? ?

[?b ? (1 ? ? )c] ? (?c ? ?b) ? (? ? 1) c ? ? b ? 4(? ? 1) ? ? ? ?2 ,

2

2

即 3? ? 2, 所以 ? ?

2 . 3

【点评】本题主要考查两个向量垂直的性质,两个向量的加减法的法则,以及其几何意义,两个向量 的数量积的运算,属于中档题. 变式训练 1(2011· 江苏卷 10)已知 e1 , e 2 是夹角为
? ?

?

?

? ? ? ? ? ? 2 ? 的两个单位向量,a ? e1 ? 2 e2 , b ? k e1 ? e2 , 若 3

a ?b ? 0 ,则 k 的值为
答案:



5 4
? ?

解析: a ?b ? ? e1 ? 2 e2 ?? e2 ? 2 e2 ? k ? ?1 ? 2k ? cos ? k e1 ? e2 ? ? k e1 ? ?1 ? 2k ? e1 ? 解得 k ?

?? ?

?

?? ??

?

?

? ?

?2

? ?

?2

2? ?0, 3

5 . 4

例 2(2012·江苏 9)如图,在矩形 ABCD 中, AB ? 2 ,BC ? 2 ,点 E 为 BC 的中点,点 F 在边 CD 上,若 AB ? AF ? 2 ,则 AE ?BF 的值是

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?



【分析】根据所给的图形,把已知向量用矩形的边所在的向量来表示,求出要 用的向量的模,表示出要求得向量的数量积,注意应用垂直的向量的数量积等于 0, 得到结果. 【解答】因为 AF ? AD ? DF , ??? ? ??? ? ??? ? ???? ???? ??? ? ???? ??? ? ???? ??? ? ???? ???? AB ? AF ? AB ? AD ? DF ? AB ?AD ? AB ?DF ? AB ?DF ? 2 DF ? 2 ,

??? ?

???? ????

?

?

???? ??? ? 所以 DF ? 1 , CF ? 2 ? 1 .

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? CF ? BE ?BC ? 2( 2 ? 1) ? 1 ? 2 ? 2 . 所以 AE ? BF ? AB ? BE ? BC ? CF ? AB ?

?

??

?

【点评】本题主要考查平面向量的数量积的运算.解题的关键是要把要用的向量表示成已知向量的和 的形式. 变式训练 2(2012·湖南文 15)如图 4,在平行四边形 ABCD 中 , AP⊥ BD,垂足为 P, AP ? 3 且 AP?AC = 答案:18 解析:设 AC ? BD ? O ,则 AC ? 2 AB ? BO , 所以,

??? ? ??? ?



????

?

??? ? ??? ?

?

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ?2 AP?AC ? AP?2 AB ? BO ? 2 AP?AB ? 2 AP?BO ? 2 AP?AB ? 2 AP? AP ? PB ? 2 AP ? 18

?

?

?

?

例 3.证明:对于任意的 a1 、 a2 、 b1 、 b2 ? R ,恒有不等式 ? a1b1 ? a2b2 ? ? a1 ? a2
2 2

?

2

??b

2 1

2 ? b2 ?.

【分析】此题形式对学生较为熟悉,在不等式证明部分常用比较法证明,若利用向量知识求证,则关 键在于根据其形式与数量积的坐标表示产生联系,故需要构造向量
王新敞
奎屯 新疆

【解答】设 a ? (a1 , a2 ) , b ? (b1 , b2 ) ,

2 2 2 则 a? , b ? b1 ? b2 b ? a1b1 ? a2b2 , a ? a12 ? a2

2

2

因为 a? b?a b,

b ?a 所以 a ?

2

2

b
2

2

所以 ? a1b1 ? a2b2 ? ? a1 ? a2
2

?

2

??b

2 1

2 ? b2 ?.
王新敞
奎屯 新疆

【点评】此题证法难点在于向量的构造,若能恰当构造向量,则利用数量积的性质容易证明结论 这一 技巧应要求学生注意体会 ?
王新敞
奎屯 新疆

变式训练 3.如图,在平面直角坐标系中,以原点为圆心,单 位长度为半径的圆上有两点 A(cos ? ,sin ? ) , B(cos ? ,sin ? ) , 试用 A 、 B 两点的坐标表示 ?AOB 的余弦值. 答案: cos ?AOB ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? 解析:因为 A(cos ? ,sin ? ) , B(cos ? ,sin ? ) , 所以 OA ? (cos ? ,sin ? ) , OB ? (cos ? ,sin ? )

??? ?

??? ?

??? ? ??? ? OA? OB 那么, cos ?AOB ? ??? ? ??? ? ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? . OA OB

四、 【解法小结】
1.准确把握平面向量数量积的重要性质:设 a ? ( x1 , y1 ) , b ? ( x2 , y2 ) (1) a ? b ? a? b ? 0 ? x1x2 ? y1 y2 ? 0 ,既可以用来证明两向量垂直,也可以由垂直进行有关计算;

a = a2 ? a 与 a ? (2) a ?
转化. (3) cos ? ?

2

a ?a ? x12 ? y12 可用来求向量的模,以实现实数运算向向量运算的相互

x1 x2 ? y1 y2 a? b 不仅可以用来直接计算两向量 a 、b 的夹角, 也可用来求 ? 2 2 2 2 | a || b | x1 ? y1 ? x2 ? y2

直线的夹角(向量的夹角与向量所在直线的夹角有区别),还可利用夹角的取值情况建立方程或不等式 用于求参数的值或范围. 2.向量解决几何问题就是把点、线、平面等几何元素直接归纳为向量,对这些向量借助于它们之间的 运算进行讨论,然后把这些计算的结果 翻译成关于点、线、平面的相应结果,可以简单表述为“形到 向量 ?向量的运算 ?数到形”. 3.明确和掌握用向量研究物理问题的相关知识: (1)力、速度、加速度、位移的合成、力的分解就是向量的加减法,运动的叠加亦用到向量的合成; (2)动量 mv 是数乘向量; (3)功即是力 F 与所产生的位移 s 的数量积.

五、 【布置作业】
必做题: 1. (2012· 辽宁卷)已知两个非零向量 a,b 满足|a+b|=|a-b|,则下面结论正确的是( A.a∥ b B.a⊥ bC.|a|=|b| D.a+b=a-b )

π 2. (2012· 上海卷) 在平行四边形 ABCD 中,∠ A= ,边 AB、AD 的长分别为 2、1.若 M、N 分别是边 3

→ → |BM| |CN| → → BC、CD 上的点,且满足 = ,则AM· AN的取值范围是________. → → |BC| |CD| → → → → 3. (2012· 北京卷)已知正方形 ABCD 的边长为 1,点 E 是 AB 边上的动点,则DE· CB的值为__ __.DE· DC 的最大值为________. 4.在边长为 1 的正三角形 ABC 中,则 AB?BC ? BC ? CA ? CA?AB ? ________.. 必做题答案: 1.因为|a+b|=|a-b|?(a+b)2=(a-b)2?a· b=0,所以 a⊥b,答案选 B. 点评:本小题主要考查向量的数量积以及性质.解题的突破口为对于模的理解,向量的模平方就等于向 量的平方. → → → → → → → → → 2.令BM=nBC(0≤n≤1),则DN=(1-n)DC,在平行四边形 ABCD 中,AM=AB+nAD,AN=AD+(1- → → → → → → → n)AB,所以AM· AN=(AB+nAD)· [AD+(1-n)AB]=-n2-2n+5, → → 而函数 f(n)=-n2-2n+5 在[0,1]上是单调递减的,其值域为[2,5],所以AM· AN的取值范围是[2,5]. → → 3. 以 D 为坐标原点, DC与DA所在直线分别为 x, y 轴建立平面直角坐标系, 如图所示, 可知 E(x,1), 0≤x≤1, → → → → 所以DE=(x,1),CB=(0,1),可得DE· CB=x× 0+1× 1=1. → → → → → 因为DC=(1,0),所以DE· DC=x,因为 1≥x≥0,所以(DE· DC)max=1.

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ?

CA ? CA?AB = 4. AB?BC ? BC ?
??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 3 ? 1? ? 1? ? 1? AB BC cos1200 ? BC CA cos1200 ? CA AB cos1200 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 ? 2? ? 2? ? 2?
点评:利用数量积的定义求解时,务必要注意两向量夹角的大小.两向量夹角的定义前提是两向量的起 点要重合,对于本题要特别注意:向量 AB与BC, BC与CA, CA与AB 的夹角不是 60 ,而是 120 . 选做题: 1.已知向量 a 是以点 A(3,-1)为起点,且与向量 b =(-3,4)垂直的单位向量,求 a 的终点坐标. 2.如图,在 ?ABC 中, AD ? DB , AE ? EC , CD 与 BE 交于 F ,证明: CF ? 2 FD . 选做题答案: 1.设 a 的终点坐标为 (m, n) ,则 a = (m, n) ,?

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ?

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ?

0

0

?

?

?

?

?

由题意 ?

?? 3(m ? 3) ? 4(n ? 1) ? 0 ?(m ? 3) ? (n ? 1) ? 1
2 2

① ②

由①得:n=

1 2 (3m-13)代入②得? 25m -15Om+2O9=O 4

19 ? 11 ? m1 ? , ?m 2 ? , ? ? 19 2 11 8 ? ? 5 5 或? 解得 ? ∴ a 的终点坐标是( ,? )或( ,? ) 5 5 5 5 ?n ? ? 2 . ?n ? ? 8 . 1 2 ? 5 ? 5 ? ?
点评:向量的坐标表示是终点坐标减去起始点的坐标,所以向量的坐标与点的坐标既有联系又有区别, 二者不能混淆 2.本题选自《学生自主学习丛书·数学》P122,例 2.?
王新敞
奎屯 新疆

六、 【教后反思】
1.本教案的亮点是:(1)用结构图呈现本章知识,直观简明;(2)知识梳理部分十分详实且分类明晰;(3) 例题具有典型性且解法总结到位,变式练习有效,讲练结合教学效果明显;(4)在作业的布置上,选择了部 分高考题,对学生理解、巩固知识能够起到良好的作用. 2.本教案的弱项是:(1)有关平面向量数量积的应用涉及题目较少,如夹角的计算、模的计算等;(2)向 量法在物理中的应用没有涉及到,有待于进一步补充.


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