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圆与圆的位置关系第一课时练习与答案-数学高一必修2第四章直线与圆 4.2.2人教A版


人教 A 版 第四章 4.2.2 第一课时

数学习题

必修 2

第四章

直线与圆

4.2.2 圆与圆的位置关系 测试题
知识点 两圆相切问题 1.(2014· 海淀高一检测)圆 x2+y2+4x-4y+7=0 与圆 x2+y2-4x+10y+13=0 的公切线的

条数是 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 2.(2013· 山东高考)过点(3,1)作圆(x-1)2+y2=1 的两条切线,切点分别为 A,B,则直线 AB 的方程 为( ) A.2x+y-3=0 B.2x-y-3=0 C.4x-y-3=0 D.4x+y-3=0 3.过原点的直线与圆 x2+y2+4x+3=0 相切,若切点在第三象限,则该直线的方程是( A.y= 3x C.y= 3 x 3 B.y=- 3x D.y=- 3 x 3 )

4.若圆 x2+y2=4 与圆 x2+y2-2ax+a2-1=0 相内切,则 a=________. 5.求半径为 4,与圆(x-2)2+(y-1)2=9 相切,且和直线 y=0 相切的圆的方程. 知识点 2 两圆相交问题 6.(2014· 天津高一检测)已知圆 x2+y2=4 与圆 x2+y2-6x+6y+14=0 关于直线 l 对称,则直线 l 的方 程是( )

A.x-2y+1=0 B.2x-y-1=0 C.x-y+3=0 D.x-y-3=0 7.过两圆 x2+y2+6x+4y=0 及 x2+y2+4x+2y-4=0 的交点的直线方程是( A.x+y+2=0 C.5x+3y-2=0
2 2

)

B.x+y-2=0 D.不存在

8. 点 P 在圆 x +y -8x-4y+11=0 上, 点 Q 在圆 x2+y2+4x+2y+1=0 上, 则|PQ|的最小值是________. 9.(2014· 长沙高一检测)已知直线 l:x+y-2=0 和圆 C:x2+y2-12x-12y+54=0,则与直线 l 和圆 C 都相切且半径最小的圆的标准方程是________. 10.已知两圆 x2+y2-2x+10y-24=0 和 x2+y2+2x+2y-8=0. (1)试判断两圆的位置关系; (2)求公共弦所在的直线方程;

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(3)求公共弦的长度.

11.已知 P(-1,2)为圆 x2+y2=8 内一定点. (1)求过点 P 且被圆所截得的弦最短的直线方程; (2)求过点 P 且被圆所截得的弦最长的直线方程.

12.已知点 P(-2,-3)和以 Q 为圆心的圆(x-4)2+(y-2)2=9. (1)画出以 PQ 为直径,Q′为圆心的圆,再求出它的方程; (2)作出⊙Q 和⊙Q′的两个交点 A,B,直线 PA,PB 是以 Q 为圆心的圆的切线吗?为什么? (3)求直线 AB 的方程.

13.求过直线 2x+y+4=0 与圆 x2+y2+2x-4y+1=0 的交点,且面积最小的圆的方程.

14.求过两圆 C1:x2+y2-4x+2y+1=0 与 C2:x2+y2-6x=0 的交点且过点(2,-2)的圆的方程.

【参考答案】 1.【解析】 由题意,两圆的圆心距 d= (-2-2)2+(2+5)2= 65,半径分别为 r1=1,r2=4, ∵d>r1+r2,∴两圆外离.∴它们有 4 条公切线. 【答案】 D 2.【解析】 设 P(3,1),圆心 C(1,0),切点为 A、B,则 P、A、C、B 四点共圆,且 PC 为圆的直径, 1 2 5 y- ? = ,① ∴四边形 PACB 的外接圆方程为(x-2)2+? ? 2? 4 圆 C:(x-1)2+y2=1,②

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①-②得 2x+y-3=0,此即为直线 AB 的方程. 【答案】 A

3.【解析】 因为圆心为(-2,0),半径为 1,由图可知直线的斜率为 = 3 x. 3 【答案】 C

r 3 2= 3 ,所以直线方程为 y 4-r

4.【解析】 圆 x2+y2-2ax+a2-1=0 的圆心为(a,0),半径为 1,由题意可知|a|=3,∴a=± 3. 【答案】 ± 3 5.【解】设所求圆 C 的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2. 圆 C 与直线 y=0 相切且半径为 4, 则圆心 C 的坐标为 C1(a,4)或 C2(a,-4),2 分 已知圆(x-2)2+(y-1)2=9 的圆心 A 的坐标为(2,1),半径为 3. 由两圆相切,则|CA|=4+3=7 或|CA|=4-3=1.4 分 ①当圆心为 C1(a,4)时, (a-2)2+(4-1)2=72 或(a-2)2+(4-1)2=12(无解), 故可得 a=2± 2 10, ∴所求圆的方程为(x-2-2 10)2+(y-4)2=16 或(x-2+2 10)2+(y-4)2=16. ②当圆心为 C2(a,-4)时, (a-2)2+(-4-1)2=72 或(a-2)2+(-4-1)2=12(无解), ∴a=2± 2 6. ∴所求圆的方程为(x-2-2 6)2+(y+4)2=16 或(x-2+2 6)2+(y+4)2=16. 6.【解析】 联立两圆的方程消去 x2,y2 得-6x+6y+18=0,即 x-y-3=0. 由圆的几何性质知,直线 l 的方程为 x-y-3=0. 【答案】 D 7.【解析】 过两圆交点的直线就是两圆公共弦所在直线,因此该直线方程为 x2+y2+6x+4y-(x2+y2 +4x+2y-4)=0,即 x+y+2=0. 【答案】 A 8.【解析】 若两圆相交或相切,则最小值为 0;若两圆外离,则最小值为|C1C2|-r1-r2.

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人教 A 版 第四章 4.2.2 第一课时

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(x-4)2+(y-2)2=9 的圆心为 C1(4,2),半径 r1=3. (x+2)2+(y+1)2=4 的圆心为 C2(-2,-1),半径 r2=2. 又|C1C2|=3 5,显然两圆相离, 所以|PQ|的最小值为 3 5-5. 【答案】 3 5-5 9.【解析】 圆 C 的标准方程为(x-6)2+(y-6)2=18,圆心 C(6,6),半径为 18=3 2.圆心 C 到直线 |6+6-2| 10 l 的距离 d= = =5 2.则圆上的点到直线的最短距离为 5 2-3 2=2 2,要使圆与直线 l 和圆 C 2 2 都相切且半径最小,则圆的直径 2r=2 2,r= 2.所以所求圆心在直线 y=x 上,且圆心到直线的距离为 2, 解得圆心坐标为(2,2),所以圆的标准方程为(x-2)2+(y-2)2=2.如图:

【答案】 (x-2)2+(y-2)2=2 10.【解】 (1)将两圆方程配方,化为标准方程: C1:(x-1)2+(y+5)2=50,C2:(x+1)2+(y+1)2=10. 则圆 C1 的圆心为(1,-5),半径 r1=5 2; 圆 C2 的圆心为(-1,-1),半径 r2= 10. 又∵|C1C2|=2 5,r1+r2=5 2+ 10, r1-r2=5 2- 10, ∴r1-r2<|C1C2|<r1+r2.故两圆相交. (2)将两圆方程相减,得公共弦所在的直线方程为 x-2y+4=0. (3)两圆方程联立,得方程组
?x2+y2-2x+10y-24=0, ① ? ? 2 2 ? ② ?x +y +2x+2y-8=0,

两式相减得 x=2y-4,③ 把③代入②得 y2-2y=0, 解得 y=0 或 y=2.

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人教 A 版 第四章 4.2.2 第一课时 ? ?x=-4, ? ?x=0, 则? 或? ? ? ?y=0 ?y=2.

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故两圆交点坐标为(-4,0)和(0,2). 因此,两圆的公共弦长为 (-4-0)2+(0-2)2=2 5. 11.【解】 已知圆心 C(0,0),半径 r=2 2. (1)当弦与 PC 垂直时,过点 P 且被圆所截得的弦最短. 2 1 因为 kPC= =-2,所以 k= , 2 -1 1 因此所求的直线方程为 y-2= (x+1), 2 即 x-2y+5=0. (2)当弦过圆心 C 时,过点 P 且被圆所截得的弦最长. 因为 kPC=-2, 所以所求的直线方程为 y-2=-2(x+1), 即 2x+y=0. 12.【解】 (1)因为 P(-2,-3),Q(4,2)是以 Q′为圆心的圆的直径的两个端点,所以以 Q′为圆心的圆 的方程是(x+2)(x-4)+(y+3)(y-2)=0. 即 x2+y2-2x+y-14=0, (2)PA,PB 是圆(x-4)2+(y-2)2=9 的切线. 因为点 A,B 在圆 x2+y2-2x+y-14=0 上,且 PQ 是直径,所以 PA⊥AQ,PB⊥BQ,所以,PA,PB 是圆(x-4)2+(y-2)2=9 的切线. (3)两方程(x-4)2+(y-2)2=9, x2+y2-2x+y-14=0 相减, 得 6x+5y-25=0.这就是直线 AB 的方程. 13.【解】设过圆 x2+y2+2x-4y+1=0 与直线 2x+y+4=0 的交点的圆系方程为 x2+y2+2x-4y+1 +λ(2x+y+4)=0,整理得 x2+y2+2(1+λ)x-(4-λ)y+1+4λ=0. 要使圆的面积最小,只需半径 r 最小. 1 1 ∵r= 4(1+λ)2+(4-λ)2-4(1+4λ)= 2 2 8 2 16 1 λ- ? + ≥ 5? 5? ? 5 2 16 2 5 = , 5 5

8 26 12 37 ∴当 λ= 时,半径长 r 最小,此时圆的方程为 x2+y2+ x- y+ =0, 5 5 5 5 13 2 6 2 4 x+ ? +?y- ? = . 即? 5? ? ? 5? 5 14.【解】设过两圆 C1:x2+y2-4x+2y+1=0 与 C2:x2+y2-6x=0 的交点的方程为 x2+y2-4x+2y +1+λ(x2+y2-6x)=0,即(1+λ)x2+(1+λ)y2-(4+6λ)x+2y+1=0.把(2,-2)代入得 4(1+λ)+4(1+λ)- 3 2(4+6λ)-4+1=0,解得 λ=- .∴圆的方程为 x2+y2+2x+8y+4=0. 4

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