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14年北京石景山区高三数学一模(文)含答案


2014 年石景山区高三统一测试

数学(文科)
本试卷共 6 页,满分为 150 分,考试时间为 120 分钟.请务必将答案答在答题卡上, 在试卷上作答无效,考试结束后上交答题卡.

第Ⅰ卷(选择题 共 40 分)
一、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,选出符合题 目要求的一项


2 B ? ? x | x ? 1 ? 0? , 1. 已知全集 U ? R , 集合 A ? x | x ? 2 x ? 0 , 那么 A ? ?U B ? ( )

?

?

A. ? x | 0 ? x ? 1? C. ? x | x ? 2?

B. ? x | x ? 0? D. ? x |1 ? x ? 2?

? ?) 内单调递减,并且是偶函数的是( 2.下列函数中,在 (0 ,
A. y ? x 2 C. y ? ? lg | x | B. y ? x ? 1 D. y ? 2 x



3.直线 l : x ? 3 y ? 4 ? 0 与圆 C : x 2 +y 2 =4 的位置关系是( A.相交 B.相切 C.相离

) D.无法确定

4.双曲线

x2 y2 b ? 0) 的渐近线方程是 y ? ?2x ,则其离心率为( ) ? ? 1 (a ? 0 , a 2 b2
B.

A. 5

5 2
1

C. 3

D. 5

5.下列函数中周期为 ? 且图象关于直线 x ? A. y ? 2sin( ?

?
3

对称的函数是( ) B. y ? 2sin(2 x ? D. y ? 2sin( ?

x ? ) 2 3

?
6

)

C. y ? 2sin(2 x ?

?

6

)

x ? ) 2 3

6.正三棱柱的左视图如右图所示,则该正三棱柱的侧面积为( ) A. 4 C. B. 12 D. 24

2
3
左视图 开始

4 3 3

7.阅读右面的程序框图,运行相应的程序, 输出的结果为( ) A. ?2 C. ?1 B.

i ? 0, A?2

1 2

i ? i ?1
A ? 1? 1 A


D. 2

i ? 2014
是 输出 A 结束

y ) 在椭圆 C : 8 .已知动点 P( x ,

x2 y 2 ? ? 1 上, F 为椭圆 C 的右焦点,若点 M 满足 25 16 ???? ? ???? ???? ???? | MF |? 1 且 MP ? MF ? 0 ,则 | PM | 的最小值为( )
A. 3 B. 3 C.

12 5

D. 1

2

第Ⅱ卷(非选择题 共 110 分)
二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9. i 是虚数单位,计算

4?i ? _________. 1? i

a4 =16 ,则数列 an ? 的通项公式 an = _____________, 10.在等比数列 an ? 中, a1 =2 ,
设 bn ? log 2 an ,则数列 bn ? 的前 n 项和 S n = _____________. 11.已知命题 p : ?x ? R , e x ? 0 ,则 ?p 是____________________.

?

?

?

? x ? y ? 2 ? 0, y 满足约束条件 ? 12.已知变量 x, 则 z ? x ? 2 y 的最大值是_________. ? x ? 1, ? x ? y ? 7 ? 0, ?
13.一艘轮船在匀速行驶过程中每小时的燃料费与它速度的平方成正比,除燃料费外其 它费用为每小时 96 元. 当速度为 10 海里/小时时,每小时的燃料费是 6 元. 若匀速行 驶 10 海里,当这艘轮船的速度为___________海里/小时时,费用总和最小. 14.若存在实常数 k 和 b ,使得函数 f ( x) 和 g ( x) 对其定义域内的任意实数 x 分别满足:

f ( x) ? kx ? b 和 g ( x) ? kx ? b ,则称直线 l : y ? kx ? b 为 f ( x) 和 g ( x) 的“隔离直
2 线”.已知函数 f ( x) ? x ? 1 和函数 g ( x) ? 2ln x ,那么函数 f ( x) 和函数 g ( x) 的隔

离直线方程为_________.

3

三、解答题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15. (本小题满分 13 分)

B, C 的对边分别为 a ,, b c ,且 a ? b ? c , 3a ? 2b sin A . 在△ ABC 中,角 A ,
(Ⅰ)求角 B 的大小; (Ⅱ)若 a ? 2 , b ? 7 ,求 c 边的长和△ ABC 的面积.

16. (本小题满分 13 分) 某校高一(1)班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的 污损,可见部分如下图.

60) 的频率及全班人数; (Ⅰ)求分数在 [50,

90) 之间的频数,并计算频率分布直方图中 [80, 90) 间矩形的 (Ⅱ)求分数在 [80,
高;

100) 之间的试卷中任取两份分析学生失分情况,求在抽取 (Ⅲ)若要从分数在 [80,
100) 之间的概率. 的试卷中,至少有一份分数在 [90,
频率 组距

0.044 0.028 0.012 0.008 0 50 60 70 80 90 100 分数

4

17.(本小题满分 14 分) 如图,已知四棱锥 A ? BCDE , AB ? BC ? AC ? BE ? 1 , CD ? 2 ,

CD ? 平面 ABC , BE ∥ CD , F 为 AD 的中点.
(Ⅰ)求证: EF ∥平面 ABC ; (Ⅱ)求证:平面 ADE ? 平面 ACD ; (Ⅲ)求四棱锥 A ? BCDE 的体积.

D

F
E
C

A

B

18. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? x ? 2a ln x (a ? 0) .
2 2

(Ⅰ)若 f ( x) 在 x ? 1 处取得极值,求实数 a 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x) 的单调区间;

e] 上没有零点,求实数 a 的取值范围. (Ⅲ)若 f ( x) 在 [1,

19. (本小题满分 14 分) 给定椭圆 C :

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) ,称圆心在原点 O ,半径为 a 2 ? b 2 的圆 2 a b
5

是椭圆 C 的 “准圆” .若椭圆 C 的一个焦点为 F ( 2 , 其短轴上的一个端点到 F 的 0) , 距离为 3 . (Ⅰ)求椭圆 C 的方程和其“准圆”方程;

l2 交“准圆”于 (Ⅱ)点 P 是椭圆 C 的“准圆”上的动点,过点 P 作椭圆的切线 l1 ,
N. 点M,
(ⅰ) 当点 P 为 “准圆” 与 y 轴正半轴的交点时,

y

l2

P

l1

l2 的方程并证明 l1 ? l2 ; 求直线 l1 ,
(ⅱ)求证:线段 MN 的长为定值.

M
O
N

x

20. (本小题满分 13 分)

3 4, ?, n) 对于数列 {an } ,把 a1 作为新数列 {bn } 的第一项,把 ai 或 ?ai ( i ? 2 ,,
作为新数列 {bn } 的第 i 项,数列 {bn } 称为数列 {an } 的一个生成数列.例如,数列

1,,,, 2 3 4 5的一个生成数列是 1, ? 2, ? 3,, 4 5.
已知数列 {bn } 为数列 {

1 }(n ? N? ) 的生成数列, S n 为数列 {bn } 的前 n 项和. n 2

(Ⅰ)写出 S 3 的所有可能值;

? 1 , n ? 3k ? 1, ? ? 2n ( k ? N) ,求 S n . (Ⅱ)若生成数列 {bn } 满足的通项公式为 bn ? ? 1 ?? , n ? 3k ? 1, ? ? 2n

6

2014 年石景山区高三统一测试

高三数学(文科)参考答案
一、选择题:本大题共 8 个小题,每小题 5 分,共 40 分. 题号 答案 1 A 2 C 3 B 4 D 5 B 6 B 7 C 8 A

二、填空题:本大题共 6 个小题,每小题 5 分,共 30 分.两空的题目,第一空 2 分, 第二空 3 分. 题号 9 10 11 12 13 14

答案

5 3 - i 2 2

2n ; n(n ? 1) 2

?x ? R , ex ? 0

13

40

y ? 2x ? 2

三、解答题:本大题共 6 个小题,共 80 分.应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)因为 3a ? 2b sin A , 所以 3 sin A ? 2sin B sin A , 因为 0 ? A ? ? ,所以 sin A ? 0 , 所以 sin B ? ??????2 分

3 , 2

??????4 分 ??????6 分

因为 0 ? B ? ? ,且 a ? b ? c ,所以 B ? 60? . (Ⅱ)因为 a ? 2 , b ? 7 , 所以由余弦定理得 ( 7)2 ? 22 ? c 2 ? 2 ? 2 ? c ?

1 ,即 c 2 ? 2c ? 3 ? 0 , 2
??????8 分

解得 c ? 3 或 c ? ?1 (舍) , 所以 c 边的长为 3 . ??????10 分

7

1 1 3 3 3 . S?ABC = ac sin B ? ? 2 ? 3 ? ? 2 2 2 2
16. (本小题满分 13 分)

??????13 分

60) 的频率为 0.008 ?10 ? 0.08 , 解:(Ⅰ)分数在 [50,

??????2 分

60) 之 间 的 频 数 为 2 , 所 以 全 班 人 数 为 由 茎 叶 图 知 : 分 数 在 [50,

2 ? 25 . 0.08
90) 之间的频数为 25 ? 22 ? 3 ; (Ⅱ)分数在 [80,

??????4 分

90) 间的矩形的高为 频率分布直方图中 [80,

3 ? 10 ? 0.012 .?????7 分 25

90) 之间的 3 个分数编号为 a1 , 100) 之间的 2 个分数编号为 a2 , a3 , [90, (Ⅲ)将 [80,

b1 , b2 ,
100) 之间的试卷中任取两份的基本事件为: 在 [80,

??????8 分

(a1 , a2 ), ( a1 , a3 ), ( a1 , b1 ), ( a1 , b2 ), ( a2 , a3 ), ( a2 , b1 ), ( a2 , b2 ), ( a3 , b1 ), ( a3 , b2 ), ( b1 , b2 ) 共 10 个,
100) 之间的基本事件有 7 个, 其中,至少有一个在 [90, 100) 之间的概率是 故至少有一份分数在 [90,
17. (本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ)取 AC 中点 G ,连结 FG , BG ,
??????10 分

7 ? 0.7 . 10

?????13 分

?F, G 分别是 AD , AC 的中点,
? FG ∥ CD ,且 FG ?

D

1 DC ? 1 . 2
??????2 分

? BE ∥ CD ,
? FG 与 BE 平行且相等.

F E
G
C

?四边形 BEFG 为平行四边形,
? EF ∥ BG .
??????3 分
8

A

H
B

又 EF ? 平面 ABC , BG ? 平面 ABC .

? EF ∥平面 ABC .
(Ⅱ)? ?ABC 为等边三角形, G 为 AC 的中点,

??????4 分

? BG ? AC .
又 DC ? 平面 ABC , BG ? 平面 ABC .

??????5 分

? DC ? BG ,
又 AC ? DC ? C ,

??????6 分

? BG ? 平面 ADC .

??????7 分 ??????8 分

? EF ∥ BG ,? EF ? 平面 ADC , ? EF ? 平面 ADE ,

?平面 ADE ? 平面 ADC .
(Ⅲ)取 BC 中点 H ,连结 AH .

??????10 分

? AB ? BC ? AC , ? AH ? BC . ? DC ? 平面 ABC , AH ? 平面 ABC ? DC ? AH ,
又 BC ? DC ? C ,

? AH ? 平面 BCDE ,
? AH 是四棱锥 A ? BCDE 的高,且 AH ?
3 , 2
??????12 分

1 1 (1 ? 2) ?1 3 3 . V ? S梯形BCDE ? AH ? ? ? ? 3 3 2 2 4
18. (本小题满分 13 分)

??????14 分

? ?) . 解: (Ⅰ) f ( x) ? x ? 2a ln x (a ? 0) 的定义域为 (0,
2 2

??????1 分

f ?( x) ? 2 x ?

2a 2 2 x 2 ? 2a 2 2( x ? a)( x ? a) ? . ? x x x
9

??????2 分

? f ( x) 在 x ? 1 处取得极值,
? f ?(1) ? 0 ,解得 a ? 1 或 a ? - 1 (舍).
??????3 分

1? , f ?( x) ? 0 ; x ? ?1, ? ? ? , f ?( x) ? 0 , 当 a ? 1 时, x ? ? 0,
所以 a 的值为 1 . (Ⅱ)令 f ?( x) ? 0 ,解得 x ? a 或 x ? ?a (舍). ??????4 分 ??????5 分

? ?) 内变化时, f ?( x), f ? x ? 的变化情况如下: 当 x 在 (0,

x
f ?( x)

(0, a)
?


a
0
极小值

(a , ? ?)

?
↗ ?????8 分

f ( x)

? ?) ,单调递减区间为 (0, a) . 由上表知 f ( x) 的单调递增区间为 (a ,

e] 上没有零点,只需在 [1, e] 上 f ( x) min ? 0 或 f ( x)max ? 0 , (Ⅲ)要使 f ( x) 在 [1, e] 上 f ( x) min ? 0 . 又 f (1) ? 1 ? 0 ,只须在区间 [1,
e] 上单调递减, (ⅰ)当 a ? e 时, f ( x) 在区间 [1,
f ( x) min ? f (e) ? e2 ? 2a 2 ? 0 ,
解得 0 ? a ?

2e 与 a ? e 矛盾. 2

??????10 分

a) 上单调递减,在区间 (a , e] 上单调递增, (ⅱ) 当 1 ? a ? e 时, f ( x) 在区间 [1,
f ( x)min ? f (a) ? a 2 (1 ? 2ln a) ? 0 ,
解得 0 ? a ?

e,
??????12 分
10

所以 1 ? a ? e .

e] 上单调递增, f ( x)min ? f (1) ? 0 ,满足题意. (ⅲ)当 0 ? a ? 1时, f ( x) 在区间 [1,
综上, a 的取值范围为 0 ? a ? 19. (本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ)? c ?

e.

??????13 分

2, a ? 3, ?b ? 1 ,

?椭圆方程为

x2 ? y 2 ? 1, 3

??????2 分

准圆方程为 x 2 ? y 2 ? 4 .

??????3 分

2) , (Ⅱ) (ⅰ)因为准圆 x 2 ? y 2 ? 4 与 y 轴正半轴的交点为 P(0,
2) 且与椭圆相切的直线为 y ? kx ? 2 , 设过点 P(0,

? y ? kx ? 2, ? 所以由 ? x 2 得 (1 ? 3k 2 ) x 2 ? 12kx ? 9 ? 0 . 2 ? ? y ? 1, ?3
因为直线 y ? kx ? 2 与椭圆相切, 所以 ? ? 144k 2 ? 4 ? 9(1 ? 3k 2 ) ? 0 ,解得 k ? ?1 , ??????6 分 ??????7 分 ??????8 分

y ? ?x ? 2 . l2 方程为 y ? x ? 2, 所以 l1 ,
? kl1 ? kl2 ? ?1 ,? l1 ? l2 .

l2 中有一条斜率不存在时,不妨设直线 l1 斜率不存在, (ⅱ)①当直线 l1 ,
则 l1 : x ? ? 3 , 当 l1 : x ? 3 时, l1 与准圆交于点 ( 3 ,, 1) ( 3 , ? 1) ,

l2 垂直; 此时 l 2 为 y ? 1(或 y ? ?1 ) ,显然直线 l1 , l2 垂直. 同理可证当 l1 : x ? ? 3 时,直线 l1 ,
11

??????10 分

2 2 l2 斜率存在时,设点 P( x0 , y0 ) ,其中 x0 ? y0 ? 4. ②当 l1 ,

y0 ) 与椭圆相切的直线为 y ? t ( x ? x0 ) ? y0 , 设经过点 P( x0 ,
? y ? t ( x ? x0 ) ? y0 , ? 所以由 ? x 2 2 ? ? y ? 1, ?3
2 2 2 得 (1 ? 3t ) x ? 6t ( y0 ? tx0 ) x ? 3( y0 ? tx0 ) ? 3 ? 0 . 2 2 2 由 ? ? 0 化简整理得 (3 ? x0 )t ? 2 x0 y0t ? 1 ? y0 ? 0 ,

2 2 2 2 2 因为 x0 ? y0 ? 4 ,所以有 (3 ? x0 )t ? 2 x0 y0t ? ( x0 ? 3) ? 0 .

l2 的斜率分别为 t1 , t 2 ,因为 l1 , l2 与椭圆相切, 设 l1 ,
2 2 2 t 2 满足上述方程 (3 ? x0 )t ? 2 x0 y0t ? ( x0 ? 3) ? 0 , 所以 t1 ,

l2 垂直. 所以 t1 ? t2 ? ?1 , 即 l1 ,

??????12 分

N ,且 l1 , y0 ) ,又分别交其准圆于点 M , l2 经过点 P( x0 , l2 综合①②知:因为 l1 ,
垂直. 所以线段 MN 为准圆 x 2 ? y 2 ? 4 的直径, | MN | =4 , 所以线段 MN 的长为定值. 20. (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)由已知, b1 ? ??????14 分

1 1 ? n ? 2) , , | bn |? n (n ? N , 2 2 1 8

b3 ? ? , ∴ b2 ? ? ,
由于

1 4

1 1 1 7 1 1 1 5 1 1 1 3 1 1 1 1 ? ? ? ,? ? ? ,? ? ? ,? ? ? , 2 4 8 8 2 4 8 8 2 4 8 8 2 4 8 8 1 3 5 7 8 8 8 8
??????5 分

∴ S 3 可能值为 ,,, .

12

? 1 , n ? 3k ? 1, ? ? 2n ( k ? N) . (Ⅱ)∵ bn ? ? 1 ?? , n ? 3k ? 1, ? ? 2n
∴ n ? 3k (k ? N? ) 时,

Sn ? (

1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? 2 ? 3 ) ? ( 4 ? 5 ? 6 ) ? ? ? ( 3k ?2 ? 3k ?1 ? 3k ) 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ( 1 ? 4 ? ? ? 3k ?2 ) ? ( 2 ? 5 ? ? ? 3k ?1 ) ? ( 3 ? 6 ? ? ? 3k ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 [1 ? ( 3 ) k ] [1 ? ( 3 ) k ] [1 ? ( 3 ) k ] 2 3 2 2 2 ?2 ?2 ?2 1 1 1 1? 3 1? 3 1? 3 2 2 2 8 1 1 1 1 1 1 ? [1 ? ( )k ]( ? ? ) ? [1 ? ( )3k ] . 7 8 2 4 8 7 2 1 1 ? Sn ? [1 ? ( )n ] . 7 2
n ? 3k ? 1(k ? N) 时,

1 1 1 1 1 Sn ? Sn?1 ? an ? [1 ? ( )n?1 ] ? n ? [1 ? 5( )n ] ; 7 2 2 7 2
n ? 3k ? 2(k ? N) 时,

1 1 1 1 1 Sn ? Sn ?1 ? an ?1 ? [1 ? ( ) n ?1 ] ? n ?1 ? [1 ? 3( ) n ] ; 7 2 2 7 2

1 ? 1 n ? 3k , ( k ? N* ) ? 7 (1 ? 2n ), ? 5 ?1 ? S n ? ? (1 ? n ), n ? 3k ? 1, (k ? N) 7 2 ? 3 ?1 n ? 3k ? 2.(k ? N) ? 7 (1 ? 2n ), ?
【注:若有其它解法,请酌情给分】

??????13 分

13


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