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正态分布测试题


咸阳渭城中学正态分布测试题
1.已知随机变量 ? 服从正态分布 N (0, ? ) ,且 P(? ? 2) ? 0.8 ,则 P(0 ? ? ? 2) ? (
2

y

y ? ?1 ? x ?

y ? ?2 ? x ?


y ? ?3 ? x ?
O<

br />
A.0.6

B.0.4

C.0.3

D.0.2

2.在如图所示的正方形中随机投掷 10000 个点,则落入阴影外部(曲线 C 为正态分布 N ? 0,1? 的密度曲线)的点 的个数的估计值为(
y
1 C

x



A. ?1 ? ? 2 ? ?3 , ? 1 ? ? 2 ? ? 3 C. ?1 ? ? 2 ? ?3 , ? 1 ? ? 2 ? ? 3

B. ?1 ? ? 2 ? ?3 , ? 1 ? ? 2 ? ? 3 D. ?1 ? ? 2 ? ?3 , ? 1 ? ? 2 ? ? 3

10. 设随机变量 ? 服从正态分布 N (1, ? 2 ) ,则函数 f ( x) ? x2 ? 2x ? ? 不存在零点的概率为(
1

)

O

x

A.
A.3413 B.1193 C.2718 D.6587

1 4

B.

1 3

C.

1 2

D.

2 3

11.以Φ (x)表示标准正态总体在区间(-∞,x)内取值的概率,若随机变量ξ 服从正态分布 N(μ ,σ 2),则概率
P(|ξ -μ |<σ )等于( ) ). B.Φ (1)-Φ (-1) C.Φ ?

附:若 X ~ N ?,? 2 ,则 P ? ? ? ? ? X ? ? ? ? ? ? 0.6826 , P ? ? ? 2? ? X ? ? ? 2? ? ? 0.9544 3.已知随机变量 ξ 服从正态分布 N(3,σ ) ,P(ξ ≤4)=0.842,则 P(ξ ≤2)=( A.0.842 B.0.158 C.0.421 D.0.316 4.已知 ? 服从正态分布 N (1, ? 2 ), a ? R ,则“ P(? ? a) ? 0.5 ”是“关于 x 的二项式 ( ax ? 项为 3”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 5.下列函数是正态分布密度函数的是( ) A.f(x)= B.f(x)=
2

?

?

A.Φ (μ +σ )-Φ (μ -σ )

?1-μ ? ? ? σ ?
).

D.2Φ (μ +σ )

1 3 ) 的展开式的常数 x2

12.已知随机变量 X~N(3,22),若 X=2η +3,则 D(η )等于( A.0 B.1 C .2

D.4 .

C.既不充分又不必要条件

D.充要条件

2 13.已知随机变量 X 服从正态分布 N (0,? ) 且 P(?2 ≤ X ≤ 0) ? 0.4 则 P( X ? 2) ?

14.某校某次数学考试的成绩 x 服从正态分布,其密度函数为 知该校学生总数是 10000 人,则成绩位于 (65,85] 的人数约是

f ( x) ?
.

1 2? ?

e

?

( x?? )2 2? 2

,
密度曲线如右图,已

C.f(x)=

D.f(x)=

1


6.已知随机变量 ? 服从正态分布 N (1, ) ,则 P(? ? 4) ? ( A. 0.0013 B. 0.0026 C. 0.0228

9 4

5 2?

D. 0.0456

7.设随机变量 ? 服从正态分布 N ? 3,4? ,若 P ?? ? 2a ? 3? ? P ?? ? a ? 2? ,则 a 的值为 A.

7 3

B.

5 3

C.5

D.3

O

7 5

x
2

,100 ) ,现有 2500 名考生,据往年录取率可推测今年约 15.假设某市今年高考考生成绩 X 服从正态分布 N (500
8.设随机变量 ? 服从标准正态分布 N(0,1) ,已知 P(? ? ?1.96) ? 0.025, 则P(| ? |? 1.96) 等于 A.0.025 B. 0.950 C. 0.050
2? i2

有 1000 名 高 考 考 生 考 上 一 类 大 学 , 估 计 今 年 一 类 大 学 的 录 取 分 数 线 为

分. (其中

D.0.975
? x ? ?i ?
2

? (0.26) ? 0.6026 , ? (0.25) ? 0.5987)



? 1 9.已知三个正态分布密度函数 ?i ? x ? ? e 2?? i

( x ? R , i ? 1, 2,3 )的图象如图 1 所示,则(
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16.设随机变量ξ 服从正态分布 N(0,1),记Ф (x)=P(ξ <x),给出下列结论: ①Φ (0)=0.5; ②Φ (x)=1-Φ (-x);③P(|ξ |<2)=2Φ (2)-1.
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则正确结论的序号是________. 17.某 人乘车从 A 地到 B 地,所需时间(分钟)服从正态分布 N(30,100),求此人在 40 分钟至 50 分钟到达目的地的 概率. 21. 从某企业的某种产品中抽取 500 件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量结果得如下频率分布直方图:

? 1 18.若一批白炽灯共有 10 000 只,其光通量 X 服从正态分布,其概率密度函数是φ μ ,σ (x)= e 6 2?

( x ? 209 ) 2 72



x∈(-∞,+∞),试求光通量在下列范围内的灯泡的个数. (1)209-6~209+6; (2)209-18~209+18. (Ⅰ)求这 500 件产品质量指标值的样本平均数 x 和样本方差 s (同一组数据用该区间的中点值作代表) ;
2

(?,? ) ,其中 ? 近似为样本平均 (Ⅱ)由频率分布直方图可以认为,这种产品的质量指标值 Z 服从正态分布 N
2

数 x ,?

2

近似为样本方差 s .

2

( 1 8 7 . 8 ? Z ? 2 1 2 . 2 ) (i)利用该正态分布,求 P ;
19.在某次数学考试中,考生的成绩ξ 服从正态分布,即ξ ~N(100,100),已知满分为 150 分. (1)试求考试成绩ξ 位于区间(80,120]内的概率; (2)若这次考试共有 2 000 名考生参加,试估计这次考试及格(不小于 90 分)的人数. (ii)某用户从该企业购买了 100 件这种产品,记 X 表示这 100 件产品中质量指标值为于区间(187.8,212.2)的 产品件数,利用(i)的结果,求 EX . 附: 150 ≈12.2.

(?,? ) , (? ? Z ? ? ) P (?? 2Z ? ? 2 ) 若Z ~N 则P =0.6826, =0.9544.
2

? ? ? ?

?? ??

20.在某市组织的一次数学竞赛中全体参赛学生的成绩近似服从正态分布 N(60,100),已知成绩在 90 分以上的学 生有 13 人. (1)求此次参加竞赛的学生总数共有多少人? (2)若计划奖励竞赛成绩排在前 228 名的学生,问受奖学生的分数线是多少?

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参考答案 1.C 【解析】 试题分析:由 N (0, ? ) 可知,对称轴 ? ? 0 ,所以 P(0 ? ? ? 2) ? P(? ? 0) ? P(? ? 2) ,
2



P(0 ? ? ? 2) ? 0.8 ? 0.5 ? 0.3 .
考点:正态分布. 2.D 【解析】 试题分析:由题意得,曲线 C 为正态分布

N ? 0,1?

的 密 度 曲 线 , 即 u ? 0, ? ? 1 , 又

P?? ? ? ? X ? ? ? ? ? ? 0 . 6 8 2 6 ,所以落在阴影部分的概率为

P?

1 ? 0.6826 ? 0.3413 2 ,所

以 在 阴 影 外 的 概 率 为 1 ? p ? 0.6587 , 所 以 落 入 阴 影 外 部 的 点 的 个 数 的 估 计 值 为

10000 ? 0.6587 ? 6587 ,故选 D.
考点:正态分布概率的计算. 3.B 【解析】 试题分析:P(ξ ≤4)=0.842,所以 P(ξ >4)=0.158, P(ξ ≤2)=P(ξ >4)=0.158 考点:正态分布 4.A 【解析】 试题分析:由 P(? ? a ) ? 0.5,知 a ? 1 .因为二项式

( ax ?

1 3 ) x 2 展开式的通项公式为

Tr ?1 ? C3r (ax)3? r (

1 r ) 3? r r 3?3r r ? 0, 得 r ? 1 , 所 以 其 常 数 项 为 x 2 = a C3 x , 令 3? 3 ( ax ? 1 3 ) x2 的

a2C31? 3a 2? 3 ,解得 a ? ?1 ,所以“ P(? ? a) ? 0.5 ”是“关于 x 的二项式
展开式的常数项为 3”的充分不必要条件,故选 A. 考点:1、正态分布;2、二项式定理;3、充分条件与必要条件. 5.B 【解析】

试题分析:直接在正态密度函数 f(x)=

中去μ =0,δ =1 得答案.

答案第 1 页,总 3 页

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解:由正态密度函数的特征 f(x)=

可知,

当δ =1,μ =0 时,正态密度函数 f(x)=

=

=

为标准正态密度函数, 故选:B. 考点:正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义. 6.A 【解析】 试题分析:随机变量 ξ 服从正态分布 N(4,6) ,得到曲线关于 x=4 对称,根据 P(ξ >c+2) =P(ξ <c﹣2) ,结合曲线的对称性得到点 c+2 与点 c﹣2 关于点 4 对称的,从而做出常数 c 的值得到结果. 解:随机变量 ξ 服从正态分布 N(4,6) ,∴曲线关于 x=4 对称, ∵P(ξ >c+2)=P(ξ <c﹣2) , ∴c+2+c﹣2=8, ∴c=4, 故选:A. 考点:正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义. 7.C 【解析】 试题分析:正态曲线的对称轴是 x ? 1 , P?? ? 1? ? 0.5 , ? ? 1,? ?

3 2 若 X~N(μ ,σ ), 2

有 P(μ -σ <X≤μ +σ )=0.682 6,P(μ -2σ <X≤μ +2σ )=0.954 4,P(μ -3σ <X≤μ + 3σ ) = 0 . 997 4 . , 所 以

P?? 2 ? ? ? 4? ? 0.9544 , 所 以

P?? ? 4 ? ? 0.5 ?

1 ? 0.9 5 ?40.0 4 2 ,故选 2 8C. 2

考点:服从正态分布的概率计算 8.D 【解析】 试题分析:正太曲线是关于 x ? ? 对称,且在 x ? ? 处取得峰值

1 2? ?

,由图易得

?1 ? ? 2 ? ?3 ,

1 2? ? 1

?

1 2? ? 2

?

1 2? ? 3

,故 ? 1 ? ? 2 ? ? 3

考点:正太分布曲线的性质 9.A 【解析】略 10.B
答案第 2 页,总 3 页

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【解析】本题考查变量服从标准正态分布的概率计算。 由题意 P(| ? |? 1.96) ? P(?1.96 ? ? ? 1.96) ? 1 ? 2 P(? ? ?1.96) ? 1 ? 2 ? 0.025 ? 0.950 , 故选 B。 11.0.1 【解析】 试题分析: P( X ? 2) ? P ? X ? 0? ? P(?2 ≤ X ≤0) ? 0.5 ? 0.4 ? 0.1 考点:正态分布 12.9544 【解析】略 13.525 【解析】

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