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排列组合经典专题练习与答案


排列与组合习题
1.6 个人分乘两辆不同的汽车,每辆车最多坐 4 人,则不同的乘车方法数为( A.40 B.50 C.60 D.70
3

)

C6 2 [解析] 先分组再排列,一组 2 人一组 4 人有 C6=15 种不同的分法;两组各 3 人共有 2=10 种不 A2 同的分法,所以乘车方法数为 25×2=50,故

选 B. 2.有 6 个座位连成一排,现有 3 人就坐,则恰有两个空座位相邻的不同坐法有( A.36 种 B.48 种 C.72 种 D.96 种 )

[解析] 恰有两个空座位相邻,相当于两个空位与第三个空位不相邻,先排三个人,然后插空,从 而共 A3A4=72 种排法,故选 C. 3.只用 1,2,3 三个数字组成一个四位数,规定这三个数必须同时使用,且同一数字不能相邻出现, 这样的四位数有( A.6 个 ) B.9 个 C.18 个 D.36 个
3 2

[解析] 注意题中条件的要求,一是三个数字必须全部使用,二是相同的数字不能相邻,选四个数 字共有 C3=3(种)选法, 即 1231,1232,1233, 而每种选择有 A2×C3=6(种)排法, 所以共有 3×6=18(种) 情况,即这样的四位数有 18 个. 4.男女学生共有 8 人,从男生中选取 2 人,从女生中选取 1 人,共有 30 种不同的选法,其中女生 有( ) A.2 人或 3 人 B.3 人或 4 人 C.3 人 D.4 人
2 1 1 2 2

[解析] 设男生有 n 人,则女生有(8-n)人,由题意可得 CnC8-n=30,解得 n=5 或 n=6,代入验 证,可知女生为 2 人或 3 人. 5.某幢楼从二楼到三楼的楼梯共 10 级,上楼可以一步上一级,也可以一步上两级,若规定从二楼 到三楼用 8 步走完,则方法有( A.45 种 B.36 种 ) C.28 种 D.25 种

[解析] 因为 10÷8 的余数为 2,故可以肯定一步一个台阶的有 6 步,一步两个台阶的有 2 步,那 么共有 C8=28 种走法. 6.某公司招聘来 8 名员工,平均分配给下属的甲、乙两个部门,其中两名英语翻译人员不能分在同 一个部门,另外三名电脑编程人员也不能全分在同一个部门,则不同的分配方案共有( A.24 种 B.36 种 C.38 种 D.108 种 )
2

[解析] 本题考查排列组合的综合应用, 据题意可先将两名翻译人员分到两个部门, 共有 2 种方法, 第二步将 3 名电脑编程人员分成两组,一组 1 人另一组 2 人,共有 C3种分法,然后再分到两部门去 共有 C3A2种方法,第三步只需将其他 3 人分成两组,一组 1 人另一组 2 人即可,由于是每个部门各 4 人, 故分组后两人所去的部门就已确定, 故第三步共有 C3种方法, 由分步乘法计数原理共有 2C3A2C3= 36(种).
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1 1 2 1 1 2 1

7.已知集合 A={5},B={1,2},C={1,3,4},从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系 中点的坐标,则确定的不同点的个数为( A.33 B.34 C.35 ) D.36
1 3

[解析] ①所得空间直角坐标系中的点的坐标中不含 1 的有 C2·A3=12 个; ②所得空间直角坐标系中的点的坐标中含有 1 个 1 的有 C2·A3+A3=18 个; ③所得空间直角坐标系中的点的坐标中含有 2 个 1 的有 C3=3 个. 故共有符合条件的点的个数为 12+18+3=33 个,故选 A. 8.由 1、2、3、4、5、6 组成没有重复数字且 1、3 都不与 5 相邻的六位偶数的个数是( A.72 B.96 C.108
2 1 2 2 1 1 3 3

)

D.144
3 3

[解析] 分两类:若 1 与 3 相邻,有 A2·C3A2A3=72(个),若 1 与 3 不相邻有 A3·A3=36(个) 故共有 72+36=108 个. 9.如果在一周内(周一至周日)安排三所学校的学生参观某展览馆,每天最多只安排一所学校,要求 甲学校连续参观两天,其余学校均只参观一天,那么不同的安排方法有( A.50 种 B.60 种 C.120 种 D.210 种 )

[解析] 先安排甲学校的参观时间,一周内两天连排的方法一共有 6 种:(1,2)、(2,3)、(3,4)、 (4,5)、(5,6)、(6,7),甲任选一种为 C6,然后在剩下的 5 天中任选 2 天有序地安排其余两所学校参 观,安排方法有 A5种,按照分步乘法计数原理可知共有不同的安排方法 C6·A5=120 种,故选 C. 10.安排 7 位工作人员在 5 月 1 日到 5 月 7 日值班,每人值班一天,其中甲、乙二人都不能安排在 5 月 1 日和 2 日,不同的安排方法共有________种.(用数字作答) [解析] 先安排甲、 乙两人在后 5 天值班, 有 A5=20(种)排法, 其余 5 人再进行排列, 有 A5=120(种) 排法,所以共有 20×120=2400(种)安排方法. 11.今有 2 个红球、3 个黄球、4 个白球,同色球不加以区分,将这 9 个球排成一列有________种不 同的排法.(用数字作答) [解析] 由题意可知,因同色球不加以区分,实际上是一个组合问题,共有 C9·C5·C3=1260(种) 排法. 12.将 6 位志愿者分成 4 组,其中两个组各 2 人,另两个组各 1 人,分赴世博会的四个不同场馆服 务,不同的分配方案有________种(用数字作答). C6C4 [解析] 先将 6 名志愿者分为 4 组,共有 2 种分法,再将 4 组人员分到 4 个不 A2 C6·C4 4 4 同场馆去,共有 A4种分法,故所有分配方案有: 2 ·A4=1 080 种. A2 13.要在如图所示的花圃中的 5 个区域中种入 4 种颜色不同的花,要求相邻区域 不同色,有________种不同的种法(用数字作答).
2 2 2 2 4 2 3 2 5 2 1 2 1

[解析] 5 有 4 种种法,1 有 3 种种法,4 有 2 种种法.若 1、3 同色,2 有 2 种种法,若 1、3 不同 色,2 有 1 种种法,∴有 4×3×2×(1×2+1×1)=72 种.
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14. 将标号为 1,2,3,4,5,6 的 6 张卡片放入 3 个不同的信封中.若每个信封放 2 张,其中标号 为 1,2 的卡片放入同一信封,则不同的方法共有 (A)12 种 (B)18 种 (C)36 种 (D)54 种

【解析】标号 1,2 的卡片放入同一封信有

种方法;其他四封信放入两个信封,每个信封两个有

种方法,共有

种,故选 B.

15. 某单位安排 7 位员工在 10 月 1 日至 7 日值班,每天 1 人,每人值班 1 天,若 7 位员工中的甲、 乙排在相邻两天,丙不排在 10 月 1 日,丁不排在 10 月 7 日,则不同的安排方案共有 A. 504 种 B. 960 种 C. 1008 种 D. 1108 种
2 1 4 解析:分两类:甲乙排 1、2 号或 6、7 号 共有 2 ? A2 A4 A4 种方法

2 4 1 1 3 甲乙排中间,丙排 7 号或不排 7 号,共有 4 A2 ( A4 ? A3 A3 A3 ) 种方法

故共有 1008 种不同的排法 16. 由 1、2、3、4、5、6 组成没有重复数字且 1、3 都不与 5 相邻的六位偶数的个数是 (A)72 (B)96 (C) 108 (D)144 解析:先选一个偶数字排个位,有 3 种选法
w_w_w.k*s 5*u.c o*m w_w_w.k*s 5*u.c o*m

2 2 ①若 5 在十位或十万位,则 1、3 有三个位置可排,3 A3 A2 =24 个 2 2 ②若 5 排在百位、千位或万位,则 1、3 只有两个位置可排,共 3 A2 A2 =12 个

算上个位偶数字的排法,共计 3(24+12)=108 个 答案:C 17. 在某种信息传输过程中,用 4 个数字的一个排列(数字允许重复)表示一个信息,不同排列表 示不同信息,若所用数字只有 0 和 1,则与信息 0110 至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数 为 A.10 B.11 C.12 D.15

18. 现安排甲、乙、丙、丁、戌 5 名同学参加上海世博会志愿者服务活动,每人从事翻译、导游、 礼仪、司机四项工作之一,每项工作至少有一人参加。甲、乙不会开车但能从事其他三项工作,丙 丁戌都能胜任四项工作,则不同安排方案的种数是 A.152 B.126 C.90 D.54
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3 【解析】分类讨论:若有 2 人从事司机工作,则方案有 C32 ? A3 ? 18 ;若有 1 人从事司机工作,则方

1 2 3 案有 C3 ? C4 ? A3 ? 108 种,所以共有 18+108=126 种,故 B 正确

19. 甲组有 5 名男同学,3 名女同学;乙组有 6 名男同学、2 名女同学。若从甲、乙两组中各选出 2 名同学,则选出的 4 人中恰有 1 名女同学的不同选法共有( D ) (A)150 种 (B)180 种 (C)300 种 (D)345 种
1 1 2 解: 分两类(1) 甲组中选出一名女生有 C5 ? C3 ? C6 ? 225 种选法; 2 1 1 (2) 乙组中选出一名女生有 C5 ? C6 ? C2 ? 120 种选法.故共有 345 种选法.选 D

20. 将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班,每个班至少分到一名学生,且甲、乙两名学生 不能分到同一个班,则不同分法的种数为

A.18

B.24

C .30

D.36

2 3 【解析】用间接法解答:四名学生中有两名学生分在一个班的种数是 C4 ,顺序有 A3 种,而甲乙被

3 2 3 3 分在同一个班的有 A3 种,所以种数是 C4 A3 ? A3 ? 30

21. 2 位男生和 3 位女生共 5 位同学站成一排,若男生甲不站两端,3 位女生中有且只有两位女生相 邻,则不同排法的种数是 A. 60 B. 48 C. 42 D. 36
2 2 【解析】解法一、从 3 名女生中任取 2 人“捆”在一起记作 A, (A 共有 C3 ,剩 A2 ? 6 种不同排法)

下一名女生记作 B,两名男生分别记作甲、乙;则男生甲必须在 A、B 之间(若甲在 A、B 两端。则 为使 A、B 不相邻,只有把男生乙排在 A、B 之间,此时就不能满足男生甲不在两端的要求)此时共 有 6×2=12 种排法(A 左 B 右和 A 右 B 左)最后再在排好的三个元素中选出四个位置插入乙,所以, 共有 12×4=48 种不同排法。
2 2 解法二;同解法一,从 3 名女生中任取 2 人“捆”在一起记作 A, (A 共有 C3 , A2 ? 6 种不同排法)

剩下一名女生记作 B,两名男生分别记作甲、乙;为使男生甲不在两端可分三类情况: 第一类:女生 A、B 在两端,男生甲、乙在中间,共有 6 A2 A2 =24 种排法; 第二类: “捆绑”A 和男生乙在两端,则中间女生 B 和男生甲只有一种排法,此时共有 6 A2 = 12 种排法 第三类:女生 B 和男生乙在两端,同样中间“捆绑”A 和男生甲也只有一种排法。 此时共有 6 A2 =12 种排法 三类之和为 24+12+12=48 种。 22. 从 10 名大学生毕业生中选 3 个人担任村长助理,则甲、乙至少有 1 人入选,而丙没有入选的不 同选法的种数位 [ C] A 85 B 56 C 49 D 28
1 2

2

2

2

2

【解析】解析由条件可分为两类:一类是甲乙两人只去一个的选法有: C2 ? C7 ? 42 ,另一类是甲
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1 乙都去的选法有 C2 2 ? C7 =7,所以共有 42+7=49,即选 C 项。

23. 3 位男生和 3 位女生共 6 位同学站成一排,若男生甲不站两端,3 位女生中有且只有两位女生相 邻,则不同排法的种数是 A. 360 B. 188 C. 216 D. 96

3 2 2 2 解析:6 位同学站成一排,3 位女生中有且只有两位女生相邻的排法有 A3 C 3 A4 A2 ? 332种,其中 1 2 2 2 2 男生甲站两端的有 A2 A2 C 3 A3 A2 ? 144,符合条件的排法故共有 188
2 2 2 1 1 2 2 2 2 解析 2:由题意有 2 A2 ? (C3 ? A2 ) ? C2 ? C3 ? A2 ? (C3 ? A2 ) ? A4 ? 188 ,选 B。

24. 12 个篮球队中有 3 个强队,将这 12 个队任意分成 3 个组(每组 4 个队) ,则 3 个强队恰好被分 在同一组的概率为( ) A.

1 55

B.

3 55

C.

1 4

D.

1 3

4 4 C12 C4 8C4 解析因为将 12 个组分成 4 个组的分法有 种,而 3 个强队恰好被分在同一组分法有 A3 3 1 4 4 3 C3 3 1 4 4 2 4 4 4 3 3 C9 C8 C 4 ,故个强队恰好被分在同一组的概率为 C9 C9 C8 C4 A 2 C12 C8 C4 A 3 = 。 2 55 A2

25. 甲、乙、丙 3 人站到共有 7 级的台阶上,若每级台阶最多站 2 人,同一级台阶上的人不区分站 的位置,则不同的站法种数是 (用数字作答) .

3 【解析】对于 7 个台阶上每一个只站一人,则有 A7 种;若有一个台阶有 2 人,另一个是 1 人,则共 1 2 有 C3 A7 种,因此共有不同的站法种数是 336 种.

26. 锅中煮有芝麻馅汤圆 6 个,花生馅汤圆 5 个,豆沙馅汤圆 4 个,这三种汤圆的外部特征完全相 同。从中任意舀取 4 个汤圆,则每种汤圆都至少取到 1 个的概率为( ) A.

8 91

B.

25 91

C.

48 91

D.

60 91

4 【解析】因为总的滔法 C15 , 而所求事件的取法分为三类,即芝麻馅汤圆、花生馅汤圆。豆沙馅汤圆

取得个数分别按 1.1.2;1,2,1;2,1,1 三类,故所求概率为
1 1 2 1 1 2 1 1 C6 ? C5 ? C4 ? C6 ? C52 ? C4 ? C6 ? C5 ? C4 48 ? 4 C15 91

27. 将 4 名大学生分配到 3 个乡镇去当村官, 每个乡镇至少一名, 则不同的分配方案有 (用数字作答) . 【解析】分两步完成:第一步将 4 名大学生按,2,1,1 分成三组,其分法有



2 1 1 C4 ? C2 ? C1 ;第二步将 2 A2

分好的三组分配到 3 个乡镇,其分法有 A3 所以满足条件得分配的方案有
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3

2 1 1 C4 ? C2 ? C1 3 ? A3 ? 36 2 A2

28. 将 4 个颜色互不相同的球全部放入编号为 1 和 2 的两个盒子里,使得放入每个盒子里的球的个 数不小于该盒子的编号,则不同的放球方法有( ) A.10 种 B.20 种 C.36 种 D.52 种 解析:将 4 个颜色互不相同的球全部放入编号为 1 和 2 的两个盒子里,使得放入每个盒子里的球的
1 个数不小于该盒子的编号,分情况讨论: ①1 号盒子中放 1 个球,其余 3 个放入 2 号盒子,有 C4 ?4 2 种方法;②1 号盒子中放 2 个球,其余 2 个放入 2 号盒子,有 C4 ? 6 种方法;则不同的放球方法有

10 种,选 A. 29. 将 5 名实习教师分配到高一年级的3个班实习,每班至少1名,最多2名,则不同的分配方案 有 (A)30种 (B)90种 (C)180种 (D)270种 解析:将 5 名实习教师分配到高一年级的 3 个班实习,每班至少 1 名,最多 2 名,则将 5 名教师分 成三组, 一组 1 人, 另两组都是 2 人, 有
1 2 C5 ? C4 3 再将 3 组分到 3 个班, 共有 15 ? A3 ? 15 种方法, ? 90 2 A2

种不同的分配方案,选 B. 30. 某校从 8 名教师中选派 4 名教师同时去 4 个边远地区支教(每地 1 人),其中甲和乙不同去,甲和 丙只能同去或同不去,则不同的选派方案共有 种 解析:某校从 8 名教师中选派 4 名教师同时去 4 个边远地区支教(每地 1 人),其中甲和乙不同去,
2 4 甲和丙只能同去或同不去,可以分情况讨论,① 甲、丙同去,则乙不去,有 C5 =240 种选法; ? A4 3 4 4 ②甲、丙同不去,乙去,有 C5 =240 种选法;③甲、乙、丙都不去,有 A5 ? A4 ? 120 种选法,共有

600 种不同的选派方案. 31. 用数字 0,1,2,3,4 组成没有重复数字的五位数,则其中数字 1,2 相邻的偶数有 个(用 数字作答) . 解析:可以分情况讨论:① 若末位数字为 0,则 1,2,为一组,且可以交换位置,3,4,各为 1 个
3 数字,共可以组成 2 ? A3 ? 12 个五位数;② 若末位数字为 2,则 1 与它相邻,其余 3 个数字排列, 2 且 0 不是首位数字,则有 2 ? A2 ? 4 个五位数;③ 若末位数字为 4,则 1,2,为一组,且可以交换

2 位置,3,0,各为 1 个数字,且 0 不是首位数字,则有 2 ? (2 ? A2 ) =8 个五位数,所以全部合理的五

位数共有 24 个。 32.有一排 8 个发光二极管,每个二极管点亮时可发出红光或绿光,若每次恰有 3 个二极管点亮, 但相邻的两个二极管不能同时点亮,根据这三个点亮的二极管的不同位置和不同颜色来表示不同的 信息,求这排二极管能表示的信息种数共有多少种? [解析] 因为相邻的两个二极管不能同时点亮,所以需要把 3 个点亮的二极管插放在未点亮的 5 个 二极管之间及两端的 6 个空上,共有 C6种亮灯办法.然后分步确定每个二极管发光颜色有 2×2×2 =8(种)方法,所以这排二极管能表示的信息种数共有 C6×2×2×2=160(种). 33.按下列要求把 12 个人分成 3 个小组,各有多少种不同的分法? (1)各组人数分别为 2,4,6 个;(2)平均分成 3 个小组;(3)平均分成 3 个小组,进入 3 个不同车间.
3 3

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C12C8C4 2 4 6 [解析] (1)C12C10C6=13 860(种);(2) 3 =5 775(种); A3 C12C8C4 3 4 4 4 (3)分两步: 第一步平均分三组; 第二步让三个小组分别进入三个不同车间, 故有 3 · A3=C12· C8· C4 A3 =34 650(种)不同的分法. 34.6 男 4 女站成一排,求满足下列条件的排法共有多少种? (1)任何 2 名女生都不相邻有多少种排法?(2)男甲不在首位,男乙不在末位,有多少种排法? (3)男生甲、乙、丙排序一定,有多少种排法?(4)男甲在男乙的左边(不一定相邻)有多少种不同的 排法? [解析] (1)任何 2 名女生都不相邻,则把女生插空,所以先排男生再让女生插到男生的空中,共有 A6·A7种不同排法. (2)方法一:甲不在首位,按甲的排法分类,若甲在末位,则有 A9种排法,若甲不在末位,则甲 有 A8种排法,乙有 A8种排法,其余有 A8种排法, 综上共有(A9+A8A8·A8)种排法. 方法二:无条件排列总数 甲在首,乙在末A8 ? ? 9 8 10 A10-?甲在首,乙不在末A9-A8 8 ? ?甲不在首,乙在末A9 9-A8 甲不在首乙不在末,共有(A10-2A9+A8)种排法. (3)10 人的所有排列方法有 A10种,其中甲、乙、丙的排序有 A3种,又对应甲、乙、丙只有一种 A10 排序,所以甲、乙、丙排序一定的排法有 3 种.
10 10 3 10 9 8 8 9 1 1 8 1 1 8 9 6 4 4 4 4

4

4 4

A3

(4)男甲在男乙的左边的 10 人排列与男甲在男乙的右边的 10 人排列数相等,而 10 人排列数恰 1 10 好是这二者之和,因此满足条件的有 A10种排法. 2 35. 已知 m, n 是正整数, f ( x) ? (1 ? x) m ? (1 ? x) n 的展开式中 x 的系数为 7, (1) 试求 f ( x) 中的 x 的系数的最小值 (2) 对于使 f ( x) 的 x 的系数为最小的 m, n ,求出此时 x 的系数
2 3 2

) 的近似值(精确到 0.01) (3) 利用上述结果,求 f (0.003
解:根据题意得: Cm ? Cn ? 7 ,即 m ? n ? 7
1 1
2 2 x 2 的系数为 C m ? Cn ?

(1)

m(m ? 1) n(n ? 1) m 2 ? n 2 ? m ? n ? ? 2 2 2
2

2 将(1)变形为 n ? 7 ? m 代入上式得: x 的系数为 m ? 7 m ? 21 ? (m ? ) ?
2

7 2

35 4

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x 的系数的最小值为 9 故当 m ? 3或4时,
2

3 3 x 的系数为为 C3 (1) 当 m ? 3, n ? 4或m ? 4, n ? 3时, ? C4 ?5
3

(2)

f (0.003) ? 2.02

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