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一个代数恒等式的诞生


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中学数学杂志( 高中) 2 0 0 4 年第 5 期  



个代数恒等式的诞生 
南昌大学附属中学   3 3 0 0 2 9  
:  

宋   庆 
:   ≥  3,   /   ’ ,  



《 中学数学教学参考》 编辑部举办的首  届中学生数学智能通讯赛 中高二年级试题第 
1 8 题为:  

z + v2 +  。 2 + 


( f 6 ) 、   、  /  

( 值得指出的是 , 不等式 ( 2 ) 、 ( 4 ) 、 ( 5 ) 、   ( 6 ) 相互等价 , 它们均等价于不等式( 3 ) )   比较( 2 ) 、 ( 4 ) 两式左端大小 , 得到  

若o Z " , Y∈ R , o Z " +Y=1 , 则  

z   + v 。   + 。   z 。 + v   ≤ 导 3 . ‘  
类比之 , 容易证得 

( 、 1 l   )  

( 从该刊2 0 0 4 年第 5 期P . 5 9 提供的解答  来看 , 条件“ o Z " , Y∈ R ” 应为“ o Z " , Y∈ R ” ’ )  

寺 + 走   奇 + 走 ;  
比 较( 5 ) 、 ( 6 ) 两式左端大小, 惊奇地得 

命题 1   若o Z " , Y , ∈R , o Z " +Y=1 , 则 
Z "+ v‘  

到 南 +  

南 + 寿?  

由此, 笔者发现了一个新的代数恒等式.   定理  若 . 7 2 , Y , 口∈ R , . 7 2 +Y= 1 , 则 



+ ÷  ≤ 专 .  
o Z " ‘ + Y  j  

( 2 )  

证明   因为 o Z " + Y  =Y   一Y +1 =( Y  
一  

南 z +   2 + 。 寿 z 2 +   = 一  Y z +   2 + 。   . 2 7   2 +   Y . ‘  
( 7 )  

)   +   >0 , z   + Y>0 , 所以不等式( 2 )  

等价于  

证 明N N ( x + y 2 ) ( z   +   ) ( j _ ,  
+—  — 一)=z 。 ( z  +  )+   ( z+Y   )  
= z。   +Y 。   + z 。 Y +x y "  

3 [ z (   +Y )+  ( z+   ) ] ≤4 ( z+  
Y   ) ( z  +Y )  
臼z 。 +Y 。 +4 x   Y  一2 x y≥ 0  

甘( z+  ) 。一3 x y ( x+   )+4 x   Y  一  
2 x y≥ 0  
臼4 z   Y  一5 x y+1 ≥0  


=z 。  +  
。  a

+z 。 Y ( z+Y ) +x y 。 ( z+Y )  
+ z 。 Y  +z  

=z 。  (   +Y )+Y 。  ( z+Y )+z 。 Y  +  
= z。   +  

=z 。 ( z+Y   )+   (   +Y )  


( z+y 2 ) ( z  +  ) (  

+  

) ,  

由   ≤( 生  )  =   1 知不等式( 3 ) 成  立, 从而不等式( 2 ) 成立.  

且( z+Y   ) +( z  +Y ) ≠0 ,  

所 以, 等式( 7 ) 成立.   注1   笔者猜测 :  

与不等式 ( 2 ) 的证明完全类似, 又可证 
得 

若z , Y∈R , z+Y=1 , , 2 ∈N , , 2 ≥2 ,   命题 2   若. 7 2 , Y∈ R , . 7 2 +Y= 1 , 则 

+ ÷  ≤   4 ,  


( 4 )  

Z 南 十 V  Z +   .   十 V   ≥ 等.  
意义的探索课题.  

( 8 )  

Z "+ V  

o Z " ‘+ V   、j  

注2   本文实际上是一个研究性学习过  程的简单记录; 由本文出发可发掘出许多有 

南 + 1   ≥   2 ,   Z " +  o Z " ‘+ Y  3  


( 5 )   。  


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