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专题三函数与导数大题的解法


专题五:函数与导数大题的解法

高考数学第二轮复习讲义

专题三:函数与导数大题的解法
一、考点聚焦: 考点 1:函数的概念、表示法、定义域、值域、最值; 考点 2:函数的单调性、奇偶性、周期性; 考点 3:指数函数和对数函数的定义、性质(尤其是单调性)、图象和应用; 考点 4:反函数的定义、求反函数、互为反函数图象的位置关系;

考点 5:抽象函数问题的求解; 考点 6:运用函数的思想、数形结合思想和分类讨论思想解决问题 考点 7:导数的概念及运算,导数的应用(求曲线的切线、函数的单调性问题、最值与极值) 二、导数大题题型及基本解题思路: 1、简单函数与复合函数的求导,必须按照求导公式、法则。 2、求函数表示的曲线上切点与切线方程的步骤: (1)求导数 f '( x) 。(2)把切点坐标代入求出切线斜率。(3)用点斜式写出切线方程。 注意:对于过一点作曲线的切线类型,要注意该点是否为切点。 3、可导函数求单调区间或判断单调性的方法: (1)求导数 f '( x) (2)求方程 f '( x) ? 0 的根 x1 , x2 ,?, xn (3)在定义区间内划分几个区间。检验 f '( x) 在各区间内的符号使 f '( x) ? 0 的区间为增区间,使 f '( x) ? 0 的区 间为减区间。 注意: (1)在求单调区间的解题过程中,为避免求区间错误,可由 f '( x) ? 0 求增区间,由 f '( x) ? 0 求减区间。 (2)在导数内容中,在定义域允许的情况下,单调区间可是闭区间也可是开区间。 4、已知单调区间求参数的范围: (1)根据题意,若在某区间内单调递增,则转化为不等式 f '( x) ? 0 恒成立求解,若在某区间内单调递减,则转化 为不等式 f '( x) ? 0 恒成立问题求解。 (2) 根据不等式的特点,若参数与变量能分离,则转化为求函数的最值求解,即 a ? g ( x) 或 a ? g ( x) ,则

a ? g ( x)min 或 a ? g ( x)max ,注意若 g ( x) 在给定区间是单调函数,则运用单调求最值,若 g ( x) 在给定区间
不是单调函数,则运用导数知识求 g ( x) 的最值。若参数与变量不方便分离,则构造函数,运用数形结合求 解。 5、应用导数证明不等式成立问题: 根据题意先构造一个函数,然后按照函数的单调性处理。此类题构造的函数一般是在给定区间是单调 的。 6、可导函数 f ( x ) 求极值的步骤: (1)求导数 f '( x) 。
1

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高考数学第二轮复习讲义

(2)求方程 f '( x) ? 0 的根 x1 , x2 ,?, xn (3)检验 f '( x) 在方程的根的附近左右值的符号,若左正右负,则在这个根处取极大值,若左负右正,则在这个 根处取极小值。 注意: (1)知函数的某一点的极值类型,要注意其包含的双重意义。即 f (a) ? f ( x)极值 , f '(a) ? 0 。 (2)与极值有关的问题最好能列表处理。 7、连续函数在闭区间上一定有最大值和最小值, f ( x ) 在闭区间 [ a, b ] 上连续,在 ( a , b ) 内可导,则求 f ( x ) 最 大值、最小值的步骤为: (1)求导数 f '( x) 。 (2)求方程 f '( x) ? 0 的根 x1 , x2 ,?, xn (3)结合在 [ a, b] 上的根及闭区间 [ a, b] 的端点数值,列出表格若 ( a ? x1 ? x2 ? ? ? xn ? b )

x
y'
y

a

(a, x1 )
正负号

x1
0 值

( x1 , x2 )
正负号 单调性

x2
0 值



xn
0 值

( xn , b)
正负号 单调性

b



单调性



(4)根据上述表格的单调性及值的大小,确定最大值与最小值。 三、例题讲练: (一)函数大题: 例 1、已知函数 f ( x) ?

1 x2 ? 2x ? a , x ? [1, ??) , (1)当 a ? 时,求函数 f ( x) 的最小值。 2 x

(2)若对任意 x ?[1, ??), f ( x) ? 0 恒成立,试求实数 a 的取值范围。

1 x2 ? 2 x ? 1 2 ? x ? 1 ? 2 ,由于当 x ? [1, ??) 时, x ? 1 单调递增,所以当 x ? 1 解:(1) 当 a ? 时, f ( x) ? 2 2x x 2x 7 时,函数 f ( x ) 的最小值是 。 2
(2)由对任意 x ?[1, ??), f ( x) ? 0 恒成立,则当 x ? [1, ??) 时, x ? 2 x ? a ? 0 恒成立,所以 a ? ? x ? 2 x
2 2

在 x ? [1, ??) 内恒成立,所以 a ? (? x2 ? 2x)max ? ?3 。 例 2、已知二次函数 f ( x) ? ax ? bx ? c 和一次函数 g ( x) ? ?bx ,其中 a, b, c 满足
2

2

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a ? b ? c, a ? b ? c ? 0,(a, b, c ? R) (1)求证:两函数的图象交于不同的两点 A, B ;(2)求线段 AB 在 x 轴上的射
影 A1B1 的长的取值范围。 解:(1)由两函数的解析式联立方程组消元得: ax ? 2bx ? c ? 0 ,
2

则 ? ? 4b ? 4ac ? 4[(a ? c) ? ac] ? 4[(a ? ) ?
2 2 2

c 2

c2 ]? 0, 4

所以两函数的图象交于不同的两点 A, B 。 (2)设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则

| A1B1 |?| x1 ? x2 |? ( x1 ? x2 )2 ? 4 x1 x2 ? (?

2b 2 4c c ) ? ? 2 | ? 1| , a a a
c 1 ? ? ,所以 | A1B1 |? (3,6) 。 a 2

因为 a ? b ? c, a ? b ? c ? 0 ,所以 a ? 0且 ? 2 ?

例 3、 (05 上海)已知函数 f ( x) ? kx ? b 的图象与 x , y 轴分别相交于点 A, B ,AB ? 2i ? 2 j ( i, j 分别是与 x , y 轴
2 正半轴同方向的单位向量 ) ,函数 g ( x) ? x ? x ? 6 .(1) 求 k , b 的值; (2) 当 x 满足 f ( x) ? g ( x) 时,求函数

g ( x) ? 1 的最小值。 f ( x)
解:(1)由题意知: A( ?

b , 0), B(0, b) ,所以由 AB ? 2i ? 2 j 得 k ? 1, b ? 2 。 k

2 (2)由(1)知 f ( x) ? x ? 2 ,因为 f ( x) ? g ( x) ,所以 f ( x) ? x ? 2 ? x ? x ? 6 ? ?2 ? x ? 4 ,则

h( x) ?

g ( x) ? 1 x 2 ? x ? 5 ( x ? 2 ? 2)2 ? ( x ? 2 ? 2) ? 5 1 ? ? ? ( x ? 2) ? ? 5 ? ?3 f ( x) x?2 x?2 x?2
?2 x ? b 是奇函数。(1)求 a , b 的值; 2 x ?1 ? a
2

例 4、(06 重庆)已知定义域为 R 的函数 f ( x) ?
2

(2)若对任意的 t ? R ,不等式 f (t ? 2t ) ? f (2t ? k ) ? 0 恒成立,求 k 的取值范围。

?1 ? b ? 0 ? b ?1, 2?a 1 ? ?1 ?2 x ? 1 ?2 ? 1 从而有 f ( x) ? x ?1 。又 f (1) ? ? f (?1) ? ?? 2 ?a?2 2 ?a 4?a 1? a
解:(1)因为 f ( x ) 是奇函数,所以 f (0) ? 0 ,即 (2)由(1)知 f ( x) ?

?2 x ? 1 1 1 ?? ? x ,由上式易知 f ( x ) 在 (??, ??) 上为减函数。又因 f ( x ) 为奇函数,从 x ?1 2 ?2 2 2 ?1

3

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而不等式 f (t 2 ? 2t ) ? f (2t 2 ? k ) ? 0 等价于

f (t 2 ? 2t ) ? ? f (2t 2 ? k ) ? f (?2t 2 ? k ) 因 f ( x) 为奇函数,由上式推得 t 2 ? 2t ? ?2t 2 ? k 即对一切 t ? R 有
1 3t 2 ? 2t ? k ? 0 ,从而有 ? ? 4 ? 12k ? 0 ? k ? ? 。 3
(二)导数大题: 例 5、(1)已知函数 f ( x) ? ax3 ? 3x2 ? x ? 1 在 R 上是减函数,求实数 a 的取值范围。

(2) 若函数 y ? 取值范围。

1 3 1 2 x ? ax ? (a ? 1) x ? 1 在区间 (1, 4) 内为减函数,在区间 (6, ??) 内为增函数,试求实数 a 的 3 2

(3)(08 全国Ⅰ)已知函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? x ? 1 , a ? R . (I)讨论函数 f ( x ) 的单调区间;

? ) 内是减函数,求 a 的取值范围. (II)设函数 f ( x ) 在区间 ( ? ,
解:(I) f ( x) ? x3 ? ax2 ? x ? 1 求导: f ?( x) ? 3x2 ? 2ax ? 1 当a
2

2 3

1 3

? 3 时, ? ? 0 , f ?( x) ? 0 , f ( x) 在 R 上递增 ? 3 , f ?( x) ? 0 求得两根为 x ?
?a ? a 2 ? 3 ?a ? a 2 ? 3 即 f ( x ) 在 (??, ) 递增, 3 3

当a

2

(

?a ? a 2 ? 3 ?a ? a 2 ? 3 ?a ? a 2 ? 3 , ) 递减, ( , ? ?) 递增 3 3 3
2 3 1 3

? ) 内是减函数,则 (II)由函数 f ( x ) 在区间 ( ? ,

2 ? ?4 4 f '(? ) ? 0 ? ? a ? 1 ? 0 ? ? ?3 3 3 ?? ? a ? 2。 ? ? f '(? 1 ) ? 0 ? 1 ? 2 a ? 1 ? 0 ? ? 3 ? ?3 3
3 2 (4)已知 f ( x) ? ax ? bx ? cx(a ? 0) 在 x ? ?1 时取得极值,且 f (1) ? ?1 . (I)试求常数 a, b, c 的值;(II)试

判断 x ? ?1 是函数的极小值还是极大值点,并说明理由。 解:(I)因为 f '( x) ? 3ax ? 2bx ? c ? 0 的两根为 x ? ?1 ,所以 b ? 0, c ? ?3a ,
2 3 所以 f ( x) ? ax ? 3ax ,由 f (1) ? ?1 得 a ?

1 , 2
4

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1 3 , b ? 0, c ? ? 。 2 2 1 3 3 3 2 3 (II)由(I)知 f ( x ) ? x ? x ,则 f '( x) ? x ? , 2 2 2 2
所以 a ? 当 x ? (??, ?1)或x ? (1, ??) 时, f '( x) ? 0 ,当 x ? (?1,1) 时, f '( x) ? 0 , 所以 x ? ?1 是极大值点, x ? 1 是极小值点。 例 6、已知函数 f ( x) ? ? x3 ? ax2 ? b(a, b ? R) , (I)若 x ? 2 是方程 f ( x) ? 0 的一个根, f ( x ) 在上 ? 0, 2? 是增 函数,求证: f (1) ? ?2 。 (II)设 f ( x ) 图象上任意不同两点的连线的斜率为 k ,若 a ? ? 3, 3 ,求 k 的取 值范围。

?

?

例 7(1)已知函数 f ( x) ? x3 ? x , (I)求曲线 y ? f ( x) 在点 M (t , f (t )) 处的切线方程;(II)设 a ? 0 ,如果过 点 ( a, b) 可作曲线 y ? f ( x) 的三条切线,证明: ?a ? b ? f (a) 。
2 解:(I)因为 f '( x) ? 3x ?1 ,所以过点 M (t , f (t )) 的切线 l 方程为:

y ? f (t ) ? f '(t )( x ? t ) ,即 y ? (3t 2 ?1) x ? 2t 3 。
2 3 (II)如果有一条切线过点 ( a, b) ,则存在 t 使 b ? (3t ?1)a ? 2t ,于是,若过点 ( a, b) 可作曲线 y ? f ( x) 的三条 3 2 切线,则方程 2t ? 3at ? a ? b ? 0 有三个相异实根,设 g (t ) ? 2t ? 3at ? a ? b ,
3 2

2 则 g '(t ) ? 6t ? 6at ? 6t (t ? a) ,可求函数的极大值为 a ? b ,极小值为 b ? f (a) ,

所以当 ?

?a ? b ? 0 ? ?a ? b ? f (a) 时方程 2t 3 ? 3at 2 ? a ? b ? 0 有三个相异实根,即过点 ( a, b) 可作曲线 ?b ? f (a) ? 0

y ? f ( x) 的三条切线时有 ?a ? b ? f (a) 。
(2)(08 四川)已知 x ? 3 是函数 f ( x) ? a ln(1 ? x) ? x ?10x 的一个极值点。(I)求 a ;(II)求函数 f ( x ) 的单调
2

区间。(III)若直线 y ? b 与函数 y ? f ( x) 的图象有 3 个交点,求 b 的取值范围。 解:(I)因为 f '( x) ?

a a ? 2 x ? 10 ,所以 f '(3) ? ? 6 ? 10 ? 0 ? a ? 16 1? x 4
2

2( x 2 ? 4 x ? 3) (I)由(I)知, f ( x) ? 16ln(1 ? x) ? x ?10x, x ? (?1, ??) , f '( x) ? 1? x
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当 x ? (?1,1)

(3, ??) 时, f '( x) ? 0 当 x ? (1,3) 时, f '( x) ? 0

所以 f ( x ) 的单调增区间是 (?1,1),(3, ??) , f ( x ) 的单调减区间是 (1,3) (III)由(II)知, f ( x ) 在 (?1,1) 内单调增加,在 (1,3) 内单调减少,在 (3, ??) 上单调增加, 且当 x ? 1 或 x ? 3 时, f '( x) ? 0 所以 f ( x ) 的极大值为 f ?1? ? 16ln 2 ? 9 ,极小值为 f ?3? ? 32ln 2 ? 21
2 ?2 因此 f ?16? ? 16 ?10 ?16 ? 16ln 2 ? 9 ? f ?1? , f e ? 1 ? ?32 ? 11 ? ?21 ? f ? 3?

?

?

所以在 f ? x ? 的三个单调区间 ? ?1,1? , ?1,3? , ?3, ??? 直线 y ? b 有 y ? f ( x) 的图象各有一个交点,当且仅当

f ?3? ? b ? f ?1? ,因此, b 的取值范围为 ?32ln 2 ? 21,16ln 2 ? 9? 。
例 8、 (06 辽宁)已知函数 f ( x) ?

1 3 ax ? (a ? d ) x 2 ? (a ? 2d ) x ? d , g ( x) ? ax2 ? 3

2(a ? 2d ) x ? a ? 4d , 其中 a ? 0, d ? 0 , 设 x0 为 f ( x ) 的极小值点,x1 为 g ( x) 的极值点,g ( x2 ) ? g ( x3 ) ? 0 并
且 x2 ? x3 , 将点 ( x0 , f ( x0 )), ( x1 , g ( x1 )), ( x2 , 0), ( x3 ,0) 依次记为 A, B, C , D 。 (1) 求 x0 的值; (2)若四边形 ABCD 为梯形,且面积为 1,求 a, d 的值。 解:(1) f ( x) ? ax ? 2(a ? d ) x ? a ? 2d ? ( x ? 1)(ax ? a ? 2d ) ,
' 2

令 f ' ( x) ? 0 ,由 a ? 0 得 x ? ?1 或 x ? ?1 ? 当 ?1 ?

2d 2d ? ?1 。 。 a ? 0, d ? 0 ? ?1 ? a a

2d ? x ? ?1 时, f '( x) ? 0 , 当 x ? ?1 时, f '( x) ? 0 ,所以 f ( x) 在 x ? ?1 处取极小值,即 x0 ? ?1 。 a
2

(2) g ( x) ? ax ? (2a ? 4d ) x ? a ? 4d 所以 g ( x) 在 x ? ?

a ? 0, x ? R ,

2a ? 4d 2d 2d ? ?1 ? 处取得极小值,即 x1 ? ?1 ? , 2a a a

? 由 g ( x) ? 0 , 即 (a x

a ?4

d ) ( ?x 1? ) ,

0 a ? 0, d ? 0, x2 ? x1 ,

? x2 ? ?1 ?

4d , x1 ? ?1 , a

1 1 f ( x0 ) ? f (?1) ? ? a ? (a ? d ) ? (a ? 2d ) ? d ? ? a 3 3

2d 2d 2 2d 4d 2 g ( x0 ) ? g (?1 ? ) ? a(?1 ? ) ? (2a ? 4d )(?1 ? ) ? a ? 4d ? ? , a a a a 1 2d 4d 2 4d ? A(?1, ? a), B(?1 ? ,? ), C (?1 ? , 0), D(?1, 0). 3 a a a

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由四边形 ABCD 是梯形及 BC 与 AD 不平行,得 AB // CD , ?

a 4d 2 ?? ? a 2 ? 12d 2 ,又由四边形 ABCD 的 3 a

面积为 1,得

1 ( AB ? CD ) ? AD ? 1 , 2 1 4d 2d a ? ) ? ? 1 ? d ? 1 ,从而 a2 ? 12 ? a ? 2 3 。 即 ( 2 a a 3

例 9、(07 福建)已知函数 f ( x) ? e x ? kx,x ? R (1)若 k ? e ,试确定函数 f ( x ) 的单调区间;(2)若 k ? 0 ,且对 于 任 意 x ? R, f (| x |) ? 0 恒 成 立 , 试 确 定 实 数 k 的 取 值 范 围 ; (3) 设 函 数 F ( x) ? f ( x) ? f (? x) , 求 证 :

F (1) F (2)

F (n) ? (en?1 ? 2) 2 (n ? N? ) .

n

x x 解:(1)由 k ? e 得 f ( x) ? e ? ex ,所以 f ?( x) ? e ? e 。

, ? ?) , 由 f ?( x) ? 0 得 x ? 1 ,故 f ( x ) 的单调递增区间是 (1 1) . 由 f ?( x) ? 0 得 x ? 1 ,故 f ( x ) 的单调递减区间是 (??,
(2)由 f (| ? x |) ? f (| x |) 可知 f (| x |) 是偶函数。 于是 f (| x |) ? 0 对任意 x ? R 成立等价于 f ( x) ? 0 对任意 x ? 0 成立。 由 f ?( x) ? e ? k ? 0 得 x ? ln k 。
x

1] 时, f ?( x) ? e ? k ? 1 ? k ? 0( x ? 0) . ①当 k ? (0,
x

? ?) 上单调递增,故 f ( x) ? f (0) ? 1 ? 0 ,符合题意。 此时 f ( x ) 在 [0, , ? ?) 时, ln k ? 0 。 ②当 k ? (1
当 x 变化时 f ?( x),f ( x) 的变化情况如下表:

x
f ?( x ) f ( x)

(0, ln k )

ln k
0
极小值

(ln k, ? ?)

?
单调递减

?
单调递增

? ?) 上, f ( x) ? f (ln k ) ? k ? k ln k 。 由此可得,在 [0,
, ?1 ? k ? e 。 依题意, k ? k ln k ? 0 ,又 k ? 1 综合①,②得,实数 k 的取值范围是 0 ? k ? e 。
(3)

F ( x) ? f ( x) ? f (? x) ? ex ? e? x ,

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? F ( x1 ) F ( x2 ) ? e x1 ? x2 ? e?( x1 ? x2 ) ? e x1 ? x2 ? e? x1 ? x2 ? e x1 ? x2 ? e?( x1 ? x2 ) ? 2 ? e x1 ? x2 ? 2 , ? F (1) F (n) ? en?1 ? 2 , F (2) F (n ?1) ? en?1 ? 2,
由此得,

, F (n) F (1) ? en?1 ? 2

[ F (1) F (2)
故 F (1) F (2)

F (n)]2 ? [ F (1) F (n)][ F (2) F (n ?1)] [ F (n) F (1)] ? (en?1 ? 2) n
F (n) ? (e
n ?1

? 2) ,n ? N? .

n 2

ln x ? ln x ? ln( x ? 1) .(1)求 f ( x) 的单调区间和极值; 1? x (2)是否存在实数 a ,使得关于 x 的不等式 f ( x) ? a 的解集为 (0, ??) ?若存在,求 a 的取值范围;若不存在,
例 10、 (08 年辽宁)设函数 f ( x) ? 试说明理由.

1 ln x 1 1 ln x ? ? ? ?? . 2 x(1 ? x) (1 ? x) x x ?1 (1 ? x)2 1) 时, f ?( x) ? 0 , x ? (1,∞ ? ) 时, f ?( x) ? 0 . 故当 x ? (0, 1) 单调递增,在 (1,∞ ? ) 单调递减. 所以 f ( x ) 在 (0, ? ) 的极大值为 f (1) ? ln 2 ,没有极小值. 由此知 f ( x ) 在 (0,∞ (2)①当 a ? 0 时, (1 ? x) ln(1 ? x) ? x ln x ln(1 ? x) ? x ? ln(1 ? x) ? ln x ? ? ? 0, 由于 f ( x) ? 1? x 1? x ? ). 故关于 x 的不等式 f ( x) ? a 的解集为 (0,∞
解:(1) f ?( x) ? ②当 a ? 0 时,由 f ( x) ?

ln x 1 ln 2n 1 ? ln(1 ? ) 知 f (2n ) ? ? ln(1 ? n ) ,其中 n 为正整数,且有 n 1? x x 1? 2 2

n n 1 a 1 2 2 ) ? ? ? e ? 1 ? n ? ? log ( e ? 1) . 2 n n 2 2 2 ln 2n n ln 2 n ln 2 2 ln 2 2 ln 2 a 4 ln 2 n ? 2 ? ?n? ? 1. ? ? ? 又 时, .且 n n n ( n ? 1) n ?1 2 n 1 ? 2 1 ? (1 ? 1) n ?1 2 n 4 ln 2 ? 1 ,且 n0 ? 2 , 取整数 n0 满足 n0 ? ? log2 (e 2 ? 1) , n0 ? a n ln 2 1 a a n ? ). 则 f (2 0 ) ? 0 n ? ln(1 ? n ) ? ? ? a , 即当 a ? 0 时, 关于 x 的不等式 f ( x) ? a 的解集不是 (0,∞ 综 1? 2 0 20 2 2 ? ) ,且 a 的取值范围为 (??, 0] . 合①②知,存在 a ,使得关于 x 的不等式 f ( x) ? a 的解集为 (0,∞ a 例 11、 (08 天津)已知函数 f ? x ? ? x ? ? b? x ? 0 ? ,其中 a, b ? R . x (Ⅰ)若曲线 y ? f ?x ?在点 P?2, f ?2?? 处的切线方程为 y ? 3x ? 1 ,求函数 f ?x ? 的解析式; (Ⅱ)讨论函数 f ?x ? 的单调性; ?1 ? ?1 ? (Ⅲ)若对于任意的 a ? ? ,2? ,不等式 f ?x ? ? 10 在 ? ,1? 上恒成立,求 b 的取值范围. ?2 ? ?4 ? a 解: (Ⅰ) f ?( x ) ? 1 ? 2 ,由导数的几何意义得 f ?(2) ? 3 ,于是 a ? ?8 . x 由切点 P(2, f (2)) 在直线 y ? 3x ? 1 上可得 ?2 ? b ? 7 ,解得 b ? 9 . 8 所以函数 f ( x ) 的解析式为 f ( x ) ? x ? ? 9 . x

ln(1 ?

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a . x2 当 a ? 0 时,显然 f ?( x) ? 0 ( x ? 0 ) .这时 f ( x ) 在 ( ??, 0) , (0, ??) 内是增函数.
(Ⅱ) f ?( x ) ? 1 ? 当 a ? 0 时,令 f ?( x) ? 0 ,解得 x ? ? a . 当 x 变化时, f ?( x ) , f ( x ) 的变化情况如下表:

x f ?( x ) f ( x)

(??, ? a )
+ ↗

? a
0 极大值

(? a ,0)
- ↘

(0, a )
- ↘

a
0 极小值

( a , ??)
+ ↗

所以 f ( x ) 在 (??, ? a ) , ( a , ??) 内是增函数,在 (? a ,0) ,(0, a )内是减函数.

1 1 4 2 39 ? 1 ? 7 1 1 ? f ( ) ? 10 ?b ? ? 4a 在 [ ,1] 上恒成立,当且仅当 ? 4 ,即 ? ,对任意的 a ? [ , 2] 成立.从而得 b ? ,所以满 4 4 4 2 ? ? ? f (1) ? 10 ?b ? 9 ? a 7 足条件的 b 的取值范围是 (??, ] . 4
(Ⅲ) 由 (Ⅱ) 知,f ( x ) 在 [ ,1] 上的最大值为 f ( ) 与 f (1) 中的较大者, 对于任意的 a ? [ , 2] , 不等式 f ( x) ? 10 例 12、 (08 四川)已知 x ? 3 是函数 f ( x) ? a ln(1 ? x) ? x ?10x 的一个极值点。(1)求 a ;(2)求函数 f ( x ) 的单
2

1 4

调区间。(3)若直线 y ? b 与函数 y ? f ( x) 的图象有 3 个交点,求 b 的取值范围。 解:(1)因为 f '( x) ?

a a ? 2 x ? 10 ,所以 f '(3) ? ? 6 ? 10 ? 0 ? a ? 16 1? x 4
2

(2)由(1)知, f ( x) ? 16ln(1 ? x) ? x ?10x, x ? (?1, ??) , f '( x) ? 当 x ? (?1,1)

2( x 2 ? 4 x ? 3) 1? x

(3, ??) 时, f '( x) ? 0 当 x ? (1,3) 时, f '( x) ? 0

所以 f ( x ) 的单调增区间是 (?1,1),(3, ??) , f ( x ) 的单调减区间是 (1,3) (3)由(2)知, f ( x ) 在 (?1,1) 内单调增加,在 (1,3) 内单调减少,在 (3, ??) 上单调增加, 且当 x ? 1 或 x ? 3 时, f '( x) ? 0 所以 f ( x ) 的极大值为 f ?1? ? 16ln 2 ? 9 ,极小值为 f ?3? ? 32ln 2 ? 21
2 ?2 因此 f ?16? ? 16 ?10 ?16 ? 16ln 2 ? 9 ? f ?1? , f e ? 1 ? ?32 ? 11 ? ?21 ? f ? 3?

?

?

所以在 f ? x ? 的三个单调区间 ? ?1,1? , ?1,3? , ?3, ??? 直线 y ? b 有 y ? f ( x) 的图象各有一个交点,当且仅当

f ?3? ? b ? f ?1? ,因此, b 的取值范围为 ?32ln 2 ? 21,16ln 2 ? 9? 。
例 13、(08 安徽)设函数 f ( x) ? (1)求函数 f ( x ) 的单调区间。
9

1 ( x ? 0且x ? 1) , x ln x

专题五:函数与导数大题的解法

高考数学第二轮复习讲义

(2)已知 2 x ? x 对任意 x ? (0,1) 成立,求实数 a 的取值范围。
a

1

解:(1) f '( x ) ? ?

1 ln x ? 1 ,若 f '( x) ? 0 ,则 x ? 列表如下: 2 2 e x ln x 1 (0, ) e
+ 单调增

x
f '( x) f ( x)
(2)在 2 ? x
1 x a

1 e
0 极大值 f ( )

1 ( ,1) e
-

(1, ??)
单调减

1 e

单调减

两边取对数,得

1 a 1 ln 2 ? a ln x ,由于 0 ? x ? 1 ,所以 ? ① x ln 2 x ln x 1 e

由(1)的结果可知,当 x ? (0,1) 时, f ( x ) ? f ( ) ? ?e , 为使①式对所有 x ? (0,1) 成立,当且仅当 例 14、 (08 湖南)已知函数 f ( x) ? ln (1 ? x) ?
2

a ? ?e ,即 a ? ?e ln 2 ln 2

1 n?a x2 ?e对 。 (1)求函数 f ( x ) 的单调区间。 (2)若不等式 (1 ? ) n 1? x

任意的 n ? N* 都成立(其中 e 是自然对数的底数),求 a 的最大值。 解:(1)函数 f ( x ) 的定义域是 (?1, ??) , f ?( x) ?
2

2ln(1 ? x) x 2 ? 2 x 2(1 ? x) ln(1 ? x) ? x 2 ? 2 x ? ? . 1? x (1 ? x)2 (1 ? x)2

设 g ( x) ? 2(1 ? x)ln(1 ? x) ? x ? 2x, 则 g ?( x) ? 2ln(1 ? x) ? 2 x. 令 h( x) ? 2ln(1 ? x) ? 2 x, 则 h?( x) ?

2 ?2 x ?2 ? ,当 ?1 ? x ? 0 时, h?( x) ? 0, h( x) 在 (?1, 0) 上为增函数, 1? x 1? x

当 x ? 0 时, h?( x) ? 0, h( x) 在 (0, ??) 上为减函数。所以 h( x) 在 x ? 0 处取得极大值, 而 h(0) ? 0 ,所以 g ?( x) ? 0( x ? 0) ,函数 g ( x) 在 (?1, ??) 上为减函数, 于是当 ?1 ? x ? 0 时, g ( x) ? g (0) ? 0, 当 x ? 0 时, g ( x) ? g (0) ? 0. 所以,当 ?1 ? x ? 0 时, f ?( x) ? 0, f ( x ) 在 (?1, 0) 上为增函数;当 x ? 0 时, f ?( x) ? 0, f ( x ) 在 (0, ??) 上为减 函数。故函数 f ( x ) 的单调递增区间为 (?1, 0) ,单调递减区间为 (0, ??) . (2)不等式 (1 ? )

1 1 ? e 等价于不等式 ( n ? a ) ln(1 ? ) ? 1. 由 1 ? ? 1 知, n n 1 1 ? , x ? (0,1] ,则 a? ? n. 设 G( x) ? 1 ln(1 ? x) x ln(1 ? ) n

1 n 1

n?a

10

专题五:函数与导数大题的解法

高考数学第二轮复习讲义

G?( x) ? ?

1 1 (1 ? x) ln 2 (1 ? x) ? x 2 ? ? 2 . (1 ? x) ln 2 (1 ? x) x 2 x (1 ? x) ln 2 (1 ? x)
2

由(1)知, ln (1 ? x) ?

x2 ? 0, 即 (1 ? x)ln 2 (1 ? x) ? x2 ? 0. 1? x

所以 G?( x) ? 0, x ? (0,1] 于是 G ( x) 在 (0,1] 上为减函数. 故函数 G ( x) 在 (0,1] 上的最小值为 G (1) ? 所以 a 的最大值为

1 ? 1. ln 2

1 ? 1. ln 2

例 15 、 (08 江 苏 ) 某 地 有 三 家 工 厂 , 分 别 位 于 矩 形 ABCD 的 顶 点 A, B 及 CD 的 中 点 P 处 , 已 知

ABCD 的区域上(含边界),且 A, B 与等距离 A B? 2 0 k m , CB ? 1 0 k,为了处理三家工厂的污水,现要在矩形 m
的一点 O 处建造一个污水处理厂,并铺设排污管道 AO, BO, OP ,设排污管道的总长为 ykm . (1)按下列要求写出函数关系式。 ①设 ?BAO ? ? (rad ) ,将 y 表示成 ? 的函数关系式。 ②设 OP ? x(km) ,将 y 表示成 x 的函数关系式。 (2)请你选用(1)中的一个函数关系式,确定污水处理厂的位置,使三条排污管道 总长度最短。 解:(1)①由条件知 PQ 垂直平分 AB ,若 ?BAO ? ? (rad ) ,则 OA ?

AQ 10 ? , 故 cos ? cos ?

10 ,又 OP ? 10 ? 10 tan ? , cos ? 10 10 ? ? 10 ? 10 tan ? , 所以 y ? OA ? OB ? OP ? cos ? cos ? 20 ? 10sin ? ? ? 10(0 ? ? ? ) 所求函数关系式为 y ? cos ? 4 OB ?
②若 OP ? x(km) ,则 OQ ? 10 ? x ,所以 OA ? OB ?
2

?10 ? x ?

2

? 102 ? x 2 ? 20 x ? 200

所求函数关系式为 y ? x ? 2 x ? 20 x ? 200 ? 0 ? x ? 10 ? (2)选择函数模型①, y ?
'

?10cos ? cos ? ? ? 20 ? 10sin? ?? ? sin ? ? 10 ? 2sin ? ? 1? ? cos 2 ? cos 2 ?

' 令 y ? 0 得 sin ? ?

当 ? ? (0,

?

? ? ? ) 时, y' ? 0 , y 是 ? 的减函数;当 ? ? ( , ) 时, y' ? 0 , y 是 ? 的增函数,所以当 ? = 时, 6 6 6 4
11

? ? 1 ,因为 0 ? ? ? ,所以 ? = , 6 4 2

专题五:函数与导数大题的解法

高考数学第二轮复习讲义

ymin ? 10 ?10 3 。这时点 P 位于线段 AB 的中垂线上,且距离 AB 边
例 16、(07 湖北)已知定义在正实数集上的函数 f ( x ) ?

10 3 km 处。 3

1 2 x ? 2ax , g ( x) ? 3a2 ln x ? b ,其中 2

a ? 0 .设两曲线 y ? f ( x) , y ? g ( x) 有公共点,且在该点处的切线相同。
(1)用 a 表示 b ,并求 b 的最大值。(2)求证: f ( x) ? g ( x),( x ? 0) 。 解:(1)设 y ? f ( x) 与 y ? g ( x)( x ? 0) 在公共点 ( x0 ,y0 ) 处的切线相同.

∵ f ?( x) ? x ? 2a , g ?( x) ?

3a 2 ,由题意 f ( x0 ) ? g ( x0 ) , f ?( x0 ) ? g ?( x0 ) . x

?1 2 x0 ? 2ax0 ? 3a 2 ln x0 ? b, ? 3a 2 ?2 即? 由 x0 ? 2a ? 得 x0 ? a 或 x0 ? ?3a (舍去) 2 x0 ? x0 ? 2a ? 3a , ? x0 ?
1 2 5 a ? 2a 2 ? 3a 2 ln a ? a 2 ? 3a 2 ln a . 2 2 5 2 2 令 h(t ) ? t ? 3t ln t (t ? 0) ,则 h?(t ) ? 2t (1 ? 3ln t ) .于是 2
即有 b ? 当 t (1 ? 3ln t ) ? 0 ,即 0 ? t ? e 3 时, h?(t ) ? 0 ;当 t (1 ? 3ln t ) ? 0 ,即 t ? e 3 时, h?(t ) ? 0 . 故 h(t ) 在 (0,e 3 ) 为增函数,在 (e 3, ? ?) 为减函数,
2 3 3 ? ?) 的最大值为 h(e ) ? e . 于是 h(t ) 在 (0, 2 1 3
1 1

1

1

(2)设 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) ? 则 F ?( x) ? x ? 2a ?

1 2 x ? 2ax ? 3a 2 ln x ? b( x ? 0) , 2

3a 2 ( x ? a)( x ? 3a) ? ( x ? 0) .故 F ( x) 在 (0,a) 为减函数,在 (a, ? ?) 为增函数, x x

? ?) 上的最小值是 F (a) ? F ( x0 ) ? f ( x0 ) ? g ( x0 ) ? 0 . 于是函数 F ( x) 在 (0,
故当 x ? 0 时,有 f ( x) ? g ( x) ? 0 ,即当 x ? 0 时, f ( x) ? g ( x) 。

例 17、(08 全国Ⅱ)设函数 f ( x) ? 求 a 的取值范围。 解:(1) f ?( x) ?

sin x 。(1)求 f ( x ) 的单调区间;(2)如果对任何 x ? 0 ,都有 f ( x) ? ax , 2 ? cos x

(2 ? cos x) cos x ? sin x(? sin x) 2cos x ? 1 ? . 2 (2 ? cos x) (2 ? cos x) 2
12

专题五:函数与导数大题的解法

高考数学第二轮复习讲义

2π 2π 1 ? x ? 2kπ ? (k ? z ) 时, cos x ? ? ,即 f ?( x) ? 0 ; 3 3 2 2π 4π 1 ? x ? 2kπ ? (k ? z ) 时, cos x ? ? ,即 f ?( x) ? 0 . 当 2kπ ? 3 3 2 2π 2π , 2kπ ? )(k ? z ) 是增函数, 因此 f ( x ) 在每一个区间 (2kπ ? 3 3 2π 4π 2kπ ? )(k ? z ) 是减函数。 f ( x) 在每一个区间 (2kπ ? , 3 3 (2)令 g ( x) ? ax ? f ( x) ,则 1 1 1 2 cos x ? 1 2 3 ? 3( ? )2 ? a ? . g ?( x) ? a ? ?a? ? 2 2 2 ? cos x 3 3 (2 ? cos x) 2 ? cos x (2 ? cos x) 1 故当 a ? 时, g ?( x) ? 0 . 3 又 g (0) ? 0 ,所以当 x ? 0 时, g ( x) ? g (0) ? 0 ,即 f ( x) ? ax . 1 当 0 ? a ? 时,令 h( x) ? sin x ? 3ax ,则 h?( x) ? cos x ? 3a . 3 故当 x ??0, arccos3a ? 时, h?( x) ? 0 .因此 h( x) 在 ?0, arccos3a ? 上单调增加。 arccos3a) 时, h( x) ? h(0) ? 0 ,即 sin x ? 3ax . 故当 x ? (0, sin x sin x ? ? ax . arccos3a) 时, f ( x) ? 于是,当 x ? (0, 2 ? cos x 3 1 π 1 π ? ?) 。 当 a ? 0 时,有 f ( ) ? ? 0 ? a .因此, a 的取值范围是 [ , 3 2 2 2
当 2kπ ?

13


专题三函数与导数大题的解法

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