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考点14 三角函数的图象与性质


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考点 14 三角函数的图象与性质
一、选择题 1.(2012·天津高考文科·T7)将函数 f(x)=sinwx(其中w > 0) 的图象向右平移 个
( 单位长度,

所得图象经过点 3? , ,则 w 的最小值是 0) 4 5 (C) (D)2 3

? 4





(A)

1 3

(B)1

【解题指南】依据三角函数的图象和性质验证得出. 【解析】选 D.函数 f(x)=sinwx(其中w > 0) 的图象向右平移 个单位长度得到函数
? 3? ?? f(x)=sin? x- )其中? ? 0) ,将 ( ( ( , 代入得 f(x)=sin 0) 故得 w 的最小值是 2. 4 4 2
? 4

2.(2012·山东高考文科·T5)设命题 题 q:函数 y ? cos x 的图象关于直线 (B) ?q 为假
x?

p:函数 y ? sin 2 x 的最小正周期为 2 )

?

;命

?
2 对称.则下列判断正确的是(

(A)p 为真

(C) p ? q 为假

(D) p ? q 为真

【解题指南】本题考查简单逻辑联结词及正余弦函数的简单性质. 【解析】 C.函数 y ? sin 2 x 的最小正周期为 选
T? 2? ?? 2 , 所以命题 p 假, 函数 y ? cos x

的图象关于直线 x ? k? ?k ? z ? 对称,所以命题 q 假, ?q 为真, p ? q 为假. 3.(2012·安徽高考文科·T7)要得到函数 y ? cos(2 x ? 1) 的图象,只要将函数
y ? cos 2 x 的图象(

) (B) 向右平移 1 个单位
1 (D) 向右平移 2 个单位
-1-

(A) 向左平移 1 个单位
1 (C) 向左平移 2 个单位

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【解题指南】先将函数 y ? cos(2 x ? 1) 中的 x 的系数化为 1 ,再确定平移的方向和大 小.
1 1 y ? cos 2 x ? y ? cos 2( x ? ) 2 ,所以左平移 2 . 【解析】选 C .

4.(2012·浙江高考文科·T6)与(2012·浙江高考理科·T4)相同 把函数 y=cos2x+1 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变) , 然后向左平移 1 个单位长度,再向下平移 1 个单位长度,得到的图象是( )

【解题指南】考查三角函数的图象变换中的平移与伸缩变换。 【解析】 A.把函数 y=cos2x+1 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍 选 (纵 坐标不变) ,可得 y ? cos x ? 1 ,再向左平移 1 个单位长度,再向下平移 1 个单位 长度,得到的函数解析式是 y ? cos( x ? 1) ,此函数图象是 A.
f ( x) ? sin( x ? ) 4 的图象的一条对称轴是 5. (2012· 福建高考文科· T8) 函数 ( x?

?



?
4

A.

B.

x?

?
2

C.

x??

?
4

D.

x??

?
2

【解题指南】高中学习过的函数都有这样的共性,即在对称轴上会取得最值.因 此把选项代入,哪个能确实最值即是.

-2-

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【解析】选 C.三角函数会在对称轴处取得最值,当
f ( x) ? ?1 ,取得函数的最小值,因此,直线

x??

?

f ( x) ? sin( x ? ) 4 代入 4 得

?

x??

?
4 是对称轴.

二、解答题 6.(2012·北京高考理科·T15)已知函数
f ( x) ? (sin x ? cos x) sin 2 x sin x .

(1) 求 f(x)的定义域及最小正周期; (2) 求 f(x)的单调递增区间. 【解题指南】求定义域时考虑分母不为零,然后对 f ( x) 降幂化一化成正弦型函 数的形式,再求周期。求单调递减区间时利用整体代换,把 ? x ? ? 当作一个整体 放入正弦的增区间内解出 x 即为增区间,不要忽略定义域。 【解析】 (1)由 sin x ? 0 得, x ? k? , k ? Z ,所以定义域为 {x | x ? k? , k ? Z } 。
f ( x) ? (sin x ? cos x)2sin x cos x ? 2sin x cos x ? 2 cos 2 x sin x

? sin 2 x ? cos 2 x ? 1 ? 2 sin(2 x ? ) ? 1 4

?

所以最小正周期 (2)令
2 k? ?

T?

2? ?? 2 .

?
2

? 2x ?

?
4

? 2k ? ?

?
2 ,得

k? ?

?
8

? x ? k? ?

3? 8 且 x ? k? ,

所以单调递增区间为

[ k? ?

?
8

, k? ), k ? Z



( k? , k? ?

3? ], k ? Z 8 .

7.(2012·福建高考文科·T22)(本小题满分 14 分) 已知函数
f ( x) ? ax sin x ? 3 ? ? ?3 (a ? R) [0, ] 2 ,且在 2 上的最大值为 2 ,

(Ⅰ)求函数 f ( x) 的解析式; (Ⅱ)判断函数 f ( x) 在 (0, ? ) 内的零点个数,并加以证明.
-3-

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【解题指南】本题主要考查函数的最值、单调性、零点等基础知识点,考查推 理论证能力、运算求解能力,考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转 化思想、分类与整合思想. 【解析】 (Ⅰ)由已知得 f ?( x) ? a(sin x ? x cos x) ,
x ? (0, ) 2 ,有 sin x ? x cos x ? 0 . 对于任意 f ( x) ? ? 3 2 ,不合题意;

?

当 a ? 0 时,

x ? (0, ) (0, ) 2 时, f ?( x) ? 0 ,从而 f ( x) 在 2 内单调递减, 当a ? 0,

?

?



f ( x) 在

? ? 3 [0, ] [0, ] f (0) ? ? f ( x) 在 2 上的最大值为 2 上的图象是连续不断的。故 2,

不合题意;
x ? (0, ) (0, ) 2 时, f ?( x) ? 0 ,从而 f ( x) 在 2 内单调递减, 当a ? 0, [0, ] [0, ] f( ) 2 上的图象是连续不断的。故 f ( x) 在 2 上的最大值为 2 ,

?

?

?

?

?



f ( x) 在

?

即2

a?

3 ? ?3 ? 2 2 ,

解得 a ? 1 综上所述,得
f ( x) ? x sin x ? 3 2.

(Ⅱ) f ( x) 在 (0, ? ) 内有且只有两个零点. 证明如下: 由(Ⅰ)知
f ( x) ? x sin x ? 3 3 ? ?3 f (0) ? ? ? 0 f ( x) ? ?0 2 ,从而有 2 2 , ,

[0, ] 又 f ( x) 在 2 上的图象是连续不断的,
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?

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(0, ) 所以 f ( x) 在 2 内至少存在一个零点. [0, ] (0, ) 又由(Ⅰ)知 f ( x) 在 2 上单调递增,故 f ( x) 在 2 内有且仅有一个零点. x ?[ ,? ] 2 当 时,令 g ( x) ? f ?( x) ? sin x ? x cos x , g( ) ? 1 ? 0 [ ,? ] 由 2 , g (? ) ? ?? ? 0 ,且 g ( x) 在 2 上的图象是连续不断的, m ? (? , ) 2 ,使得 g (m) ? 0 . 故存在

?

?

?

?

?

?

?

由 g ?( x) ? 2cos x ? x sin x ,知
?

x ? (? , ) 2 时,有 g ?( x) ? 0 ,

?

( ,? ) 从而 g ( x) 在 2 内单调递减. x ? ( , m) ( , m) 2 当 时, g ( x) ? g (m) ? 0 ,即 f ?( x) ? 0 ,从而 f ( x) 在 2 内单调递增, x ? [ , m] f ( x) ? f ( ) ? 2 2 故当 时,

?

?

?

?

? ?3
2

?0

[ , m] ,故 f ( x) 在 2 上无零点,

?

当 x ? (m, ? ) 时,有 g ( x) ? g (m) ? 0 ,即 f ?( x) ? 0 ,从而 f ( x) 在 (m, ? ) 内单调递减, 又 f (m) ? 0 ,f (? ) ? 0 , f ( x) 在 (m, ? ) 上的图象是连续不断的, 且 从而 f ( x) 在 (m, ? ) 内 有且仅有一个零点。 综上所述, f ( x) 在 (0, ? ) 内有且只有两个零点. 8. (2012· 湖北高考文科· T18) 设函数 f(x)=sin2ω x+2 sinω x· cosω x-cos2 ω x+λ (x∈R)的图象关于直线 x=π 对称,其中 (1) 求函数 f(x)的最小正周期; (2) 若 y=f(x)的图象经过点 ,求函数 f(x)的值域. 为常数,且

【解题指南】本题考查三角函数的图象与性质,解答本题的关键是把函数 f(x)
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化为 A sin(? x ? ? ) ? k 的形式,再利用它的图象与性质解答. 【解析】(1).
? f ( x) ? sin 2 ? x ? cos 2 ? x ? 2 3 sin ? x cos ? x ? ? ? 3 sin 2? x ? cos 2? x ? ? ? 2sin(2? x ? ) ? ? 6

?

且直线 x ? ? 是 f(x)的图象的一条对称轴,
? 2? ? ? ?

?
6

? k? ?

?
2

, (k ? z )

,即

??

k 1 1 5 ? , ? ? ? ( ,1) ? ? ? 2 3 又 2 , 6

6 ? 所以 f(x)的最小正周期为 5 .

? (2).由 y=f(x)的图象过点( 4 ,0) ,
?f( )?0 4 ,即

?

?? ? ?2sin( ?

5 ? ? ? 5 ? ? ) ? ?2sin ? ? 2 f ( x) ? 2sin( x ? ) ? 2 6 2 6 4 3 6 ,则 .

所以函数 f(x)的值域为 [?2 ? 2, 2 ? 2] . 9.(2012·北京高考文科·T15)已知函数 (1)求 f(x)的定义域及最小正周期; (2)求 f(x)的单调递减区间. 【解题指南】求定义域时考虑分母不为零,然后对 f ( x) 降幂化一化成正弦型函 数的形式,再求周期.求单调递减区间时利用整体代换,把 ? x ? ? 当作一个整体 放入正弦的减区间内解出 x 即为减区间. 【解析】 (1)由 sin x ? 0 得, x ? k? , k ? Z ,所以定义域为 {x | x ? k? , k ? Z } .
f ( x) ? (sin x ? cos x)2sin x cos x ? 2sin x cos x ? 2 cos 2 x sin x
-6-

f ( x) ?

(sin x ? cos x) sin 2 x sin x .

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? sin 2 x ? cos 2 x ? 1 ? 2 sin(2 x ? ) ? 1 4

?

所以最小正周期 (2)令
2 k? ?

T?

2? ?? 2 .

?
2

? 2x ?

?
4

? 2k ? ?

3? 3? 7? k? ? ? x ? k? ? 2 ,得 8 8 ,

所以单调递减区间为

[ k? ?

3? 7? , k? ? ], k ? Z 8 8 .

10.(2012·安徽高考理科·T16)(本小题满分 12 分) 设函数
f ( x) ? 2 ? cos(2 x ? ) ? sin 2 x 2 4

(I)求函数 f ( x) 的最小正周期; (II) 设函数 g ( x) 对任意 x ? R , 有
gx ? ) ? ( ) ( gx 2

?

? 1 x ? [0, ] g ( x) ? ? f ( x) 2 时, 2 , 且当 ,

求函数 g ( x) 在区间 [?? , 0] 上的解析式. 【解题指南】 (1)将
f ( x) ? 2 ? cos(2 x ? ) ? sin 2 x 2 4 化简为函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) ? b 的
g( x?

?
2

形 式 , 再求 最小正 周 期; 2 )根据 (
(x ?

) ? g ( x)

x ? [0, ] 2 , , 对 x 分 段 解:

?

?

) ? [0, ] g ( x ) ? g ( x ? ) x ? [?? , ? ) ( x ? ? ) ? [0, ) 2 2 , 2 :当 2 时, 2 g ( x) ? g ( x ? ? ) .

?

?

?

?

【解析】

f ( x) ?

1 1 2 ? 1 1 1 cos(2 x ? ) ? sin 2 x ? cos 2 x ? sin 2 x ? (1 ? cos 2 x) ? ? sin 2 x 2 2 2 4 2 2 2 T? 2? ?? 2 .

(I)函数

f ( x) 的最小正周期

? 1 1 x ? [0, ] g ( x) ? ? f ( x) ? sin 2 x 2 时, 2 2 (2)当
x ? [?

?
2



, 0]

? ? ? 1 ? 1 ( x ? ) ? [0, ] g ( x) ? g ( x ? ) ? sin 2( x ? ) ? ? sin 2 x 2 2 2 2 2 2 时,

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? ? 1 1 x ? [?? , ? ) ( x ? ? ) ? [0, ) g ( x) ? g ( x ? ? ) ? sin 2( x ? ? ) ? sin 2 x 2 时, 2 2 2 当

? ? 1 ?? 2 sin 2 x(? 2 ? x ? 0) ? g ( x) ? ? ? 1 sin 2 x(?? ? x ? ? ) ? 2 ? 2 . 得:函数 g ( x) 在 [?? , 0] 上的解析式为

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