nbhkdz.com冰点文库

等差数列的前n项和1


复习
1.等差数列的定义:

?an ? 是等差数列 ? an ? an?1 ? d(n ? 2)
2.通项公式:
an ? a1 ? (n ? 1)d .

3.重要性质:
⑴an ? am ? (n ? m)d .

⑵m ? n ? p ? q ? am ? an ? a

p ? aq .

称a1 ? a 2 ? a3 ? ......? a n为数列?a n ? 的前n项和,用S n 表示,即 S n ? a1 ? a 2 ? a3 ? ......? a n

练习

S3 ? ? S6 ? ? S n ?1 ? ? S1 ? ?
Sn-Sn-1=? Sn-1=a1+a2+a3+---+an-1 (n>1)

S1 ? a1
an

思考
对于一个一般的等差数列,我们应该如何求前n 项呢?

高斯“神速求和”的故事: 高斯出生于一个工 匠家庭,幼时家境贫困, 但聪敏异常。上小学四 年级时,一次老师布置 了一道数学习题:“把 从1到100的自然数加起 来,和是多少?”年仅 10岁的小高斯略一思索 就得到答案5050,这使 老师非常吃惊。那么高 斯是采用了什么方法来 巧妙地计算出来的呢?

高斯(1777---1855), 德 国数学家、物理学家和天文学 家。他和牛顿、阿基米德,被 誉为有史以来的三大数学家。 有“数学王子”之称。

求 S=1+2+3+· · · · · · +100=? 你知道高斯是 怎么计算的吗? 高斯算法:
首项与末项的和:
第2项与倒数第2项的和:

1+100=101,
2+99 =101,

第3项与倒数第3项的和: ······

3+98 =101,

第50项与倒数第50项的和:50+51=101, 100 ? 5050. 于是所求的和是: 101? 2

高斯算法用到了等差数列的什么性质?
m ? n ? p ? q ? am ? an ? a p ? aq .

新课

设等差数列?an ?的前n项和为Sn , 即Sn ? a1 ? a2 ? ?? an .
怎样求一般等差数列的前n项和呢?
倒序 相加

Sn ? a1 ? a2 ? ?? an . Sn ? an ? an?1 ? ?? a1.
2Sn ? (a1 ? an ) ? (a2 ? an?1 ) ? ?? (an ? a1 )

? n(a1 ? an ).

a1 ? an ? a2 ? an?1 ? ? ? an ? a1

n( a1 ? an ) ? Sn ? . 2

等差数列的前n项和公式
公式1

n(a1 ? an ) Sn ? 2
an ? a1 ? ( n ? 1) d

公式2

n(n ? 1) Sn ? na1 ? d 2

思考:
(1)两个求和公式有何异同点? (2)在等差数列 ?an ?中,如果已知五个元素 中 a1 , an , n, d , Sn 的任意三个, 请问: 能否求出其 余两个量 ?

n(n ? 1) Sn ? na1 ? d 2 an ? a 1 ? ( n ? 1)d
结论:知 三 求 二

例2.已知一个等差数列的前 10项的和是310 ,前20项的和是 1220 . 求该数列的前 n项和公式 10 ? ?a1 ? a10 ? 10 ? 9 ? 310 法二 S10 ? S ? 10 a ? d ? 310 10 1 2 法一 2 20 ? (a1 ? a 20 ) 20 ? 19 S 20 ? ? 1220 S 20 ? 20a1 ? d ? 1220 2 2

解得a1 ? 4, d ? 6
n(n ? 1) S n ? 4n ? ? 6 ? 3n 2 ? n 2

? a1 ? a10 ? 62① a1 ? a 20 ? 122②

② ? ①, 10d ? 60, d ? 6 代入①,a1 ? 4 ? S n ? 3n ? n
2

例3.2000年11月14日教育部下发了《关于在中小学 实施“校校通”的通知》。某市据此提出了实施 “校校通”工程的总目标:从2001年起用10年的时 间,在全市中小学建成不同标准的校园网。据测算, 2001年该市用于“校校通”工程的经费为500万元。 为了保证工程的顺利实施,计划每年投入的资金都 比上一年增加50万元。那么从2001年起的未来10年 内,该市在“校校通”工程中的总投入是多少?
解: 由题意,该市每年在“校校通”上的投入构成 首项a1=500,公差d=50的等差数列。 所以,到2010年(n=10)投入的资金总额 为S10=10*500+10*9/2=7250(万元) 答:从2001到2010年,该市在“校校通”的 总投入是7250万元

1 例4.已知数列 {a n }的前n项和S n ? n ? n, 求这个数列的 2 通项公式。这个数列是 等差数列吗?如果是, 首项和公
2

题型一)已知前n项和Sn,求通项an

差分别是什么?

分析

S1,n=1 Sn-Sn-1,n≥2
1 (n ? 1)② 2

a n=
1 n① 2

解:S n ? n 2 ?

n ? 1, S n ?1 ? (n ? 1) 2 ?

n=1时,a1=S1=12+1/2=3/2 满足③式

②-①,得

1 1 2 2 a n ? n ? n ? [(n ? 1) ? ( n ? 1)] 2 2 1 ? 2n ? ( n ? 1)③ 2

所以an=2n-1/2

题型二)等差数列前n项和的最值问题 2 4 例5. 已知等差数列 5,4 ,3 ,- - -的前n项和为S n , 7 7 求使得S n 最大的序号 n的值 练习 11或12 (1)当数列{2n-24}前n项之和取得最小值时,n=?
(2)等差数列{an},|a3|=|a9|,d<0,求使它的前n项 和Sn取得最大值的自然数n 5 或6 (3)数列{an}的前n项和Sn=32n-n2,则n=?时Sn有最 大值 16 (4)等差数列{an},a1>0,S3=S11,则数列的前几项的 和最大? 7

等差数列前n项和公式的函数特征:
1 d 2 ? d? Sn ? na1 ? n ? n ? 1? d ? n ? ? a1 ? ? n 2 2 2? ?
d d 设A ? , B ? a1 ? , 则Sn ? An 2 ? Bn ? A, B是常数 ? 2 2

特征:
当A ? 0 ?即d ? 0 ?时, Sn是关于n的二次函 数式,即Sn ? An 2 ? Bn的图象是抛物线 y ? Ax 2 ? Bx上的一群孤立的点.

思考:
数列?an ?的前n项和S n ? An 2 ? Bn( A, B为常数),则数列?an ? 是不是一定是等差 数列?

结论:

?an ? 是公差为2 A的等差数列 ?
S n ? An ? Bn( A, B为常数)
2

问:如果一个数列{an }的前n项和Sn ? pn ? qn ? r,
2

(其中p,q,r为常数,且p ? 0),那么这个数列 一定是等差数列吗?

结论:如果一个数列{an }的前n项和Sn ? pn 2 ? qn ? r, 等差数列当且仅当r=0

(其中p,q,r为常数,且p ? 0),那么这个数列是

举例
例1、计算:

n( n ? 1) (1)1 ? 2 ? 3 ? ?? ? n; ? 2 2 ? n (2)1 ? 3 ? 5 ? ?? ? (2n ? 1);

( n a1 ? an ) Sn ? 2 ( n n ? 1) Sn ? na1 ? d 2

(3)2 ? 4 ? 6 ? ?? ? 2n; ? n(n ? 1) (4)1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? 6 ? ?? ? (2n ? 1) ? 2n.
(4)解:原式 ? [1 ? 3 ? 5 ? ??? (2n ?1)] ? (2 ? 4 ? 6 ? ??? 2n).
又解:原式 ? (1 ? 2) ? (3 ? 4) ? (5 ? 6) ? ?? [(2n ?1) ? 2n].

例2、 等差数列 ? 10, ?6, ?2, 2,?前多少项的和是54? 解:设该等差数列为 ?an ? , 其前n项和是Sn ,
则a1 ? ?10, d ? ?6 ? ( ?10) ? 4, Sn ? 54. 根据等差数列前项和公式,得 n( n - 1) - 10n ? ? 4 ? 54 2 整理得 n2 ? 6n ? 27 ? 0 解得 n1 ? 9, n2 ? ?3 (舍去)
( n a1 ? an ) Sn ? 2 ( n n ? 1) Sn ? na1 ? d 2

因此,等差数列 - 10, - 6, - 2, 2, ? 前9项的和是54

注:本题体现了方程的思想.

例3、数列?an ? 为等差数列,若a1 ? a2 ? a3 ? 12,
a8 ? a9 ? a10 ? 75, 求 S10 .
?a1 ? a2 ? a3 ? 12, ?a1 ? d ? 4, ?a1 ? 1, 解: 由? ?? ?? ?a8 ? a9 ? a10 ? 75 ?a1 ? 8d ? 25 ?d ? 3.
Sn ?

10 ? 9 ? S10 ? 10a1 ? d ? 145. 2 ?a1 ? a2 ? a3 ? 12, 又解: ? a1 ? a10 ? a2 ? a9 ? a3 ? a8 ? 87. 由? ?a8 ? a9 ? a10 ? 75

( n a1 ? an ) 2 ( n n ? 1) Sn ? na1 ? d 2

? a1 ? a10 ? a2 ? a9 ? a3 ? a8,
?3(a1 ? a10 ) ? 87即(a1 ? a10 ) ? 29.

整体运算 的思想!

10(a1 ? a10 ) S10 ? ? 5(a1 ? a10 ) ? 5 ? 29 ? 145. 2

例4、在等差数列?an ? 中,

已知a2 ? a5 ? a12 ? a15 ? 36, 求S16 .

解: a2 ? a5 ? a12 ? a15 ? 36

? a2 ? a15 ? a5 ? a12 ? a1 ? a16 ? 18 ?
16(a1 ? a16 ) S16 ? ? 8(a1 ? a16 ) 2 ? 8 ?18 ? 144.

( n a1 ? an ) 2 ( n n ? 1) Sn ? na1 ? d 2 Sn ?

例5、求集合M ? ?m | m ? 7n, n ? N , 且m ? 100?
*

的元素,并求些元素的和.

巩固练习

1、一个等差数列前4项的和是24,前5项的和
与前2项的和的差是27,求这个等差数列的通

项公式。
解: ? S4 ? 24, ? 4a1 ? 6d ? 24, ?? ? ?(5a1 ? 10d ) ? (2a1 ? d ) ? 27 ? S5 ? S2 ? 27 ? a1 ? 3, ?? ? an ? 3 ? 2( n ? 1) ? 2n ? 1. ?d ? 2

2、已知等差数列?an ?中,a6 ? 20, 求S11 .
解: a6 ? 20 ? a1 ? a11 ? 2a6 ?
11(a1 ? a11 ) S11 ? ? 11a6 ? 220. 2

( n a1 ? an ) 2 ( n n ? 1) Sn ? na1 ? d 2 Sn ?

小结
1、用倒序相加法推导等差数列前n项和公式;

n(a1 ? an ) 2、求和公式 (? ) S n ? 2 n( n ? 1) (?? )S n ? na1 ? d 2
3、应用公式求和.“知三求二”,方程的思想. ①已知首项、末项用公式Ⅰ;已知首项、公差用公式Ⅱ.

②应用求和公式时一定弄清项数n. ③当已知条件不足以求出a1和d时,要认真观察,

灵活应用等差数列的性质,看能否用整体思想求
a1+an的值.

4、已知数列{a n }前n项和Sn,求通项公式a n的方法;

作业

P45 T1,T2(书上)
P46 A:T1-T4;,B1-B2 (通用练习本) 完成作业本等差数列前n项和(一)

对于一般数列前n项和Sn与a n间的关系:

?S1,n ? 1; an ? ? ?Sn ? Sn-1,n>1.

2.3 等差数列的前n项和

——性质及其应用(上)

热身练习

1.若一个等差数列前3项和为34,最 后三项和为146,且所有项的和为 390,则这个数列共有______项。

2.已知两个等差数列{an},{bn}, 它们的前n项和分别是Sn,Tn,若

整体思想

S n 2n ? 3 a9 ? ,求 . Tn 3n ? 1 b9

比值问题

例 1 在等差数列 ?an ? 中, S10 ? 30 , S20 ? 100 , 求 S30 。
方法二: 方法一:方程思想

S10, S20 ? S10,S30 ? S20

成等差数列

变式 1 在等差数列 ?an ? 中, Sn ? 30 , S2n ? 100 , 求 S3 n 。
变式 2.已知等差数列前 n 项和为 Sn ,前 2n 项 和为 S2 n ,前 3n 项的和为 S3n ,证明 Sn ,S2 n - Sn ,
S3n - S 2 n 成等差数列

等差数列前n项和性质:

1.已知?a n ? 是公差为d的等差数列,若b1 ? a1 ? a2 ? ? ? ak , b2 ? ak ?1 ? ak ? 2 ? ? ? a2 k,b3 ? a2 k ?1 ? a2 k ? 2 ? ? ? a3k ,? , 则 : b1 , b2 , b3 ,? , 成等差数列, 公差为:kd
(等差数列等分若干段后,各段和依序成等差数列)

数列?a n ? 是公差为d的等差数列,则Sn ? An 2 ? Bn
Sn ? Sn ? ? ? An ? B ? ? ? 是等差数列,公差为A. n ?n?

2.已知?a n ? 是公差为d的等差数列,Sn为数列?a n ?的前n项和,则 d ? Sn ? ? ? ? 是等差数列,公差为 . 2 ?n?

等差数列前项和的最值问题:

例 2.在等差数列中, a1 ? ?60 , a17 ? ?12 , (1)该数列第几项开始为正? (2)前多少项和最小,并求其最小值? (3)求 ?an ? 前 n 项和 Sn? (4)求 ? an ? 前 n 项和 Tn?

对等差数列前项和的最值问题有两种方法: (1) 利用 an : 当 a1 >0,d<0,前n项和有最大值

王新敞
奎屯

新疆

(可由 an ≥0,且 a n?1 ≤0,求得n的值) 当 a1 <0,d>0,前n项和有最小值
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆

(可由 an ≤0,且 a n?1 ≥0,求得n的值 )
王新敞
奎屯 新疆

d 2 d (2) 利用 S n :由 S n ? 2 n ? (a 1 ? 2 )n 二次函数

配方法求得最值时n的值

王新敞
奎屯

新疆

练习 练习1、已知一个等差数列中满足3a4 ? 7a7 , 且a1 ? 0 Sn是数列{an }的前n项和,求n为何值时Sn取最大值.

4 解:方法一 ? 3a ? 7 a ? d ? ? a1 ? 0 4 7 33 4 37 ? an ? a1 ? (n ? 1)(? a1 ) ? 0 ? n ? 33 4 4 33 an ?1 ? a1 ? n(? a1 ) ? 0, ? n> . 33 4

? n ? 9.

练习1、已知一个等差数列中满足 3a4 ? 7a7 , 且a1 ? 0 Sn是数列{an }的前

n项和,求n为何值时Sn取最大值

4 方法二 ? 3a4 ? 7 a7 ? d ? ? a1 ? 0 33
Sn

解:

n( n ? 1) 4 ? na1 ? ? (? a1 ) 2 33 2 35 2 ?? a1n ? a1n, 33 33

35 对称轴n ? 4 ? [8, 9] 且更接近9,所以n=9.

练习2.已知一个等差数列?a n ?中满足3a 4 ? 7a 7,且a1 ? 0, Sn是?a n ?的 前n项和,求n为何值时Sn取最大值。

变式1:等差数列?a n ?中,a 2 ? 0, S4 ? S8 , 求使得Sn ? 0 成立的最大自然数n.

变式2:等差数列?a n ?中,a3 ? a8 ? 0, S9 ? 0.n为何值时Sn最小?

作业
? P45 练习T3 (书本) ? P46 T5-------T6,P68 T9 (通用练习本) ? 完成作业本等差数列前n项和(二)

—————性质以及应用(下)

等差数列奇,偶项和问题

结论:设数列 {an} 是等差数列,且公差为 d , (Ⅰ)若项数为偶数,设共有 2n 项, S奇 an ? 则① S 偶 ? S 奇 ? nd ;② S偶 an?1 ;
结论:设数列{an } 是等差数列,且公差为 d , (Ⅱ)若项数为奇数,设共有 2n ? 1 项, 则① S


?S



S奇 n ? 1 ? ? an?1 ? a中 ; ② S偶 n .

例 1.在等差数列 {an } 中,前 m 项(m 为奇数, 且 m 大于 1)和为 77,其中偶数项和为 33, 且 a1 ? am ? 18 ,求这个数列的通项公式.

例 2.已知等差数列 {an } 的项数为偶数,且奇 数的和为 24,偶数项的和为 30,最后一项与 首项之差为 10.5,求此数列的首项,公差及 项数。

例 3.已知等差数列 {an } 的项数为奇数,且奇 数的和为 44,偶数项的和为 33,求此数列的 中间项及项数。

练习
1、已知一个等差数列前12项的和是354,前 12项中偶数项与奇数项之比为32:27,求公差. 分析:方法一:直接套用公式; 方法二:利用奇数项与偶数项的关系.

12 ?11 ? 12 a ? d ? 354, 1 ? 2 解:方法一 : ? ? 6?5 ? 6a2 ? ? 2d 32 2 ? ? , 6?5 ? 27 6a1 ? ? 2d ? ? 2

? d ? 5.

1、已知一个等差数列前12项的和是354,前 12项中偶数项与奇数项之比为32:27,求公差.

解:方法二:

? S奇 ? S偶 ? 354, ? ? ? S奇 ? 162, ?? ? S奇 32 ? , S ? 192, ? 偶 ? ?S ? 偶 27
? d ? 5.

S偶 ? S奇 ? 30 ? 6d

2、已知一个等差数列中d=0.5,

S100 ? 145, 求a1 ? a3 ? a5 ? ? ? a99的值.

分析:还是利用奇数项和偶数项之间 的关系,相差一个公差d. 解:设a1 ? a3 ? a5 ? ? ? a99 ? x,

则a2 ? a4 ? a6 ? ? ? a100 ? x ? 50d ,
? 2 x ? 25 ? 145, ? x ? 60.

求数列前n项和方法之一:裂项相消法

1 例1:求数列{ } 的前n项和 n(n ? 1) 1 1 1 Sn ? ? ?? 1? 2 2 ? 3 n( n ? 1)

变式:等差数列{an }中,a1 ? 3, d ? 2 1 1 1 Sn为前n项和,求 ? ? ? S1 S2 Sn

设{an}是公差为d的等差数列,则有

? 1 1 ? 1 1 ? ? ? ? ① a1a2 ? an an ? a1 ? a1a2 ?an-1 a2a3 ?an ?

特别地,以下等式都是①式的具体应用:

1 1 ?1 1 ? 1 1 ? ; ? ? ?? ? n ? n ? 1? n ? 1 ? n ? n n + 1 ? n n + 1 1 1 1 ? ? 1 ? ? ? ? 2 n ? 1 2 n ? 1 2 n ? 1 ? 2 n ? 1 2 n ? 1 2 n ? 1 ? ?? ? ? ? ? ?? ?
1? 1 1 ? ? ? ? (裂项相消法) ?; 2 ? 2n ? 1 2n ? 1 ? ? ? 1 1 1 1 ? ? ? ? ? n ? n ? 1?? n ? 2 ? ? n ? 2 ? ? n ? n ? n ? 1? ? n ? 1?? n ? 2 ? ? ?

求数列前n项和方法之二:公式
求和公式:所给数列的通项是关于n的多项式,此时求和可 采用公式法求和,常用的公式有:

1 k ? 1 ? 2 ? ? ? n ? n?n ? 1? ? 2 k ?1 n 1 2 2 2 2 k ? 1 ? 2 ? ? ? n ? n?n ? 1??2n ? 1? ? 6 k ?1 n 1 2 2 3 3 3 3 k ? 1 ? 2 ? ? ? n ? n ?n ? 1? ? 4 k ?1

n

证明性质:等差数列{an }中, 若an ? m, am ? n, 求证am? n ? 0

证明性质:等差数列{an }中, 若Sn ? m, Sm ? n, 求证Sm? n ? ?(m ? n)

单利:银行利息按单利计算(利息没有利息) 本利和=本金×(1+利率×存期)
例如:存入10000元,利率为0.72%

存期
第一年 第二年 第三年 第四年

年初本金
10000 10000 10000 10000

年末本利和(元)

结果

10000×(1+0.725×1) 10072 10000×(1+0.725×2) 10144 10000×(1+0.725×3) 10216 10000×(1+0.725×4) 10288

特点:每一项与前一项的差是同一个常数

复利:银行利息按复利计算(利滚利) 本金和=本金×(1+利率)存期
例如:存入10000元,利率为1.98%

存期
第一年 第二年 第三年

年初本金
10000 10000×1.0198 10000×1.01982

年末本利和(元)
10000×(1+1.98%)1 10000×(1+1.98%)2 10000×(1+1.98%)3

第四年

10000×1.01983

10000×(1+1.98%)4

特点:后一顶与前一项的比是同一个常数


等差数列及其前n项和1

差数列及其前 n 项和一等差数列的有关概念 1.定义:如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么 这个数列就叫做等差数列.符号...

等差数列的前n项和公式推导及例题解析

等差数列的前 n 项和·例题解析 一、等差数列前 n 项和公式推导: (1) Sn=a1+a2+...an-1+an 也可写成 Sn=an+an-1+...a2+a1 两式相加得 2Sn=(a1...

等差数列的前n项和1

等差数列的前n项和1_数学_高中教育_教育专区。科目_数学_ 班级_15 理科分校__ 任课教师___ 使用时间__16__年__8 月__日 章(单元)__第五章__ 课题等...

等差数列前n项和1

由题意知: ,而 所以, ① 再把项的次数反过来,又可以写成 探究案Ⅰ.知识点探究例 1.等差数列的前 n 项和记为,已知=30,=50 (1) 求通项公式 (2) 若=...

等差数列及其前n项和 测试题

的前 n 项和,则 S9 的值为 14. {an}为等差数列, 公差 d=-2, Sn 为其前 n 项和. 若 S10=S11, 则 a1= ___. () B.54 C.60 S3 1 S ? ,...

高中数学《等差数列的前n项和(一)》教案

高中数学《等差数列的前n项和(一)》教案_数学_高中教育_教育专区。高中数学《等差数列的前n项和(一)》教案课题:3.3 等差数列的前 n 项和(一) 教学目的: ...

高中数学等差数列的前n项和(有答案)

2014 年 12 月 27 日高中数学等差数列的前 n 项和一.选择题(共 18 小题) 1. (2014?福建)等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a1=2,S3=12,则 a6 ...

等差数列前n项和1

1.设Sn、Tn分别为等差数列an、 bn的前n项和,若对于n∈N恒有Sn:Tn=(7n+1):(4n+27),则a11:b11=___. 、 2.已知等差数列{an}的前n项和为Sn , bn...

(文章)等差数列前n项和最值的求法

等差数列前 n 项和最值的求法根据等差数列{an}的前 n 项和公式 Sn=na1+ n( n ? 1) d 2 d d= n +(a1- )n,当 a1>0,d 2 2 2 <0 时,Sn ...