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两条直线的位置关系——§8.3.2两条直线相交1—2


第 13—14 课时
教学题目:两条直线的位置关系——§8.3.2 两条直线相交 1—2 教学目标: 1、会求两条直线的交点坐标; 2、了解两条直线的夹角的概念及范围; 3、理解两条直线垂直的概念; 4、掌握两条直线垂直的条件; 5、会应用两条直线垂直的条件解答相关问题. 教学内容: 1、根据两条直线的方程,求两条直线的交点坐标; 2、两条直线的夹角的概念; 3、两条直

线垂直的概念; 4、两条直线垂直的条件; 5、应用两条直线垂直的条件解答相关问题. 教学重点:应用两条直线垂直的条件解答相关问题. 教学难点:应用两条直线垂直的条件解答相关问题. 教学方法:讲授法、练习法. 教学过程: 一、创设情境,兴趣导入 平面内两条既不重合又不平行的直线肯定相交.如何求交点的坐标呢? 二、师生协作,探究新知 (一) 、两条直线的交点坐标 如图 1 所示,两条相交直线的交点 P 0 ,既在 l1 上,又在 l 2 上.所以 P 0的 图1

坐标 ( x0 , y0 ) 是两条直线的方程的公共解.因此解两条直线的方程所组成的方程组,就可以 得到两条直线交点的坐标. (二) 、两条直线的夹角 1、定义:两条直线相交所成的最小正角叫做这两条直线的夹角,记作 ? . 观察图 2,直线 l1 、 l2 相交于点 P,如果不研究终边相同的角,共形成四 个正角,分别为 ?1 、 ? 2 、 ?3 、 ? 4 ,其中 ?1 与 ?3 , ? 2 与 ? 4 为对顶角,而且 图2

?1 +?2 ? 1800 .
规定:当两条直线平行或重合时,两条直线的夹角为零角,因此,两条直线夹角的取值 范围为 ?0,900 ? . ? ? 显然,在图 2 中, ?1 (或 ?3 )是直线 l1 、 l2 的夹角,即 ? ? ?1 . (三) 、两条直线垂直

1、定义:当直线 l1 与直线 l2 的夹角为直角时称直线 l1 与直线 l2 垂直,记做 l1 ? l2 . 2、两条直线垂直的条件 (1) 、两条直线垂直的条件的推导:了解 ①、当两条直线 l1 、 l2 的斜率均不存在(或两条直线 l1 、 l2 的斜率 均为零时 k1 ? k2 ? 0 )时:直线 l1 、 l2 平行或重合.
k1 、 ②、 当两条直线 l1 、 且 k1 ? 0 , l2 的斜率均存在且不为零: k 2 存在, k2 ? 0 :

设直线 l1 与直线 l2 的斜率分别为 k1 和 k 2 ,若 l1 ? l2 ,则:

图3

k1 ? tan ?1 ?

BC , AB AB . BC

k2 ? tan ?2 ? tan(180 ? ?3 ) ? ? tan ?3 ? ?


k1 ? k2 ? ?1 .

上面的过程可以逆推,即若 k1 ? k2 ? ?1 ,则 l1 ? l2 . ③、当两条直线 l1 、 l2 的斜率一个不存在,一个为零: 平行于 x 轴的直线 l1 与平行于 y 轴的直线 l2 垂直,即斜率为零的直线 与斜率不存在的直线垂直. (2) 、两条直线垂直的条件 ①、如果直线 l1 与直线 l2 的斜率都存在且不等于 0,那么 l1 ? l2 ? k1 ? k2 ? ?1 . ②、斜率不存在的直线与斜率为 0 的直线垂直. 三、典型例题讲解 例 1、求直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 与直线 y ? x ? 2 交点的坐标.
?x ? 2 y ? 1 ? 0 ? x ?1 解:解方程组 ? 得, ? 所以两条直线的交点坐标为 (1, ?1) . ?x? y?2?0 ? y ? ?1

图4

例 2、判断直线 l1 : x ? 2 y ? 0 、 l2 : 2 x ? y ? 1 ? 0 是否相交,若相交,求出交点坐标. 解:由 l1 : x ? 2 y ? 0 得,直线 l1 的斜截式方程为: y ?

1 1 x ,? 直线 l1 的斜率 k1 ? ,由 2 2

l2 : 2 x ? y ? 1 ? 0 得,直线 l2 的斜截式方程为 y ? 2 x ? 1 ,故直线 l2 的斜率为 k2 ? 2 ,在 y 轴

上的截距为 b2 ? 1,? k1 ? k2 ,? 直线 l1 与 l2 相交.

2 ? x?? ? ? x ? 2y ? 0 ? ? 2 1? 3 解方程组 ? ,得: ? ,? 两条直线的交点坐标为 ? ? , ? ? . ? 3 3? ?2 x ? y ? 1 ? 0 ?y ? ? 1 ? 3 ?

例 3、判断直线 y ? 解:设直线 y ?

2 x 与直线 6 x ? 4 y ? 1 ? 0 是否垂直. 3

2 2 x 的斜率为 k1 ,则 k1 ? . 3 3

3 1 3 设直线 6 x ? 4 y ? 1 ? 0 的斜率为 k 2 .由 6 x ? 4 y ? 1 ? 0 ,有 y ? ? x ? ,故 k2 ? ? . 2 4 2
k1 ? k2 ? ?1 ,? l1 与 l2 垂直.
例 4、已知直线 l1 过点 M ? 2, ?1? ,且垂直于直线 l2 : 2x ? y ?1 ? 0 ,求直线 l1 的方程. 解:直线 l2 : 2x ? y ?1 ? 0 的斜率为 k 2 ,由 2 x ? y ?1 ?0 得,直线 l2 : 2x ? y ?1 ? 0 的 斜截式方程为:y ? ?2 x ? 1 , ? 直线 l2 : 2x ? y ?1 ? 0 的斜率 k2 ? ?2 .设直线 l1 的斜率为 k1 ,

l1 ? l2 ,? k1 ? k2 ? ?1 ,即 ?2k1 ? ?1 ,? k1 ?

1 . 2 1 0 . 即 x ? 2 y ?4 ? ? x ? 2? , 2

直线 l1 过点 M ? 2, ?1? , ? 直线 l1 的方程为:y ? ? ?1? ?

四、学生练习 (一) 、已知直线 3x ? 4 y ? a 与直线 2 x ? 5 y ? 10 的交点在 x 轴上,你是否能确定 a 的 值,并求出交点的坐标? ? 3x ? 4 y ? a 解:直线 3x ? 4 y ? a 与直线 2 x ? 5 y ? 10 的交点坐标就是方程组: ? 的解, ?2 x ? 5 y ? 10
? 3x ? 4 y ? a 直线 3x ? 4 y ? a 与直线 2 x ? 5 y ? 10 的交点在 x 轴上,? 方程组: ? 的 ?2 x ? 5 y ? 10 ? 3x ? 4 y ? a ?x ? 5 ? 3x ? 4 y ? a ? ? 解中 y ? 0 ,将 y ? 0 代入方程组中 ? ,得 ? 2 x ? 5 y ? 10 ,解之得: ? y ? 0 , 2 x ? 5 y ? 10 ? ?y ? 0 ? a ? 15 ? ?

综上所述: a ? 15 ,直线 3x ? 4 y ? a 与直线 2 x ? 5 y ? 10 的交点坐标为: ? 5,0 ? . (二) 、请你判断,直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 与直线 x ? y ? 1 是否垂直?

1 1 1 解:设直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 的斜率为 k1 ,由 x ? 2 y ? 1 ? 0 ,有 y ? ? x ? ,则 k1 ? ? . 2 2 2
设直线 x ? y ? 1 的斜率为 k 2 ,由 x ? y ? 1 ,有 y ? x ? 1 ,故 k2 ? 1 .

1 1 k1 ? k2 ? ? ? 1 ? ? ? ?1 ,? l1 与 l2 不垂直. 2 2 五、课堂小结 (一) 、两条直线的交点坐标:解两条直线的方程所组成的方程组,就可以得到两条直 线交点的坐标. (二) 、两条直线的夹角:两条直线相交所成的最小正角叫做这两条直线的夹角,记作

? .两条直线的夹角的范围 ? ? ?0,900 ? . ? ?

(三) 、两条直线垂直的条件: 1、如果直线 l1 与直线 l2 的斜率都存在且不等于 0,那么 l1 ? l2 ? k1 ? k2 ? ?1 . 2、斜率不存在的直线与斜率为 0 的直线垂直. 六、作业布置 课本 P65 练习 8.3.2 第 1 题、第 2 题. 教学反思:本节课讲授了求两条直线的交点坐标的方法、两条直线的夹角的定义和范围、两 条直线垂直的条件和判断方法, 重点是两条直线垂直的条件和判断方法, 难点是运用直线垂 直的条件判断两条直线是否垂直, 以及确定两垂直直线的方程系数, 本节课深入浅出的讲解 了这一问题, 学生练习题的选择有针对性, 学生积极动手训练, 师生配合良好, 教学效果好. 但是教师对知识的讲解有一个由浅入深的过程,学生对知识的认识、理解和掌握,也有一个 螺旋上升的过程,因此本节课的知识仍需加强练习方能让学生熟练掌握.


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