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直线与圆、圆与圆-解析几何 2012高考一轮数学精品课件


学案4

直线与圆、圆与圆

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1.直线与圆的位置关系 (1)直线与圆的位置关系可分为三 相离 相切 种: 相交 、 、

.

(2)判定直线与圆的位置关系主要有两种方法: 方法一是把圆的方程和直线的方程联立成方程组,利 用判别

式Δ来讨论位置. 返回目录

关系:

方法二是把圆心到直线的距离d和半径R的大小加以比较. d<R直线和圆 相交 相切 相离 .

{ {

Δ>0
Δ=0 Δ<0

直线和圆
直线和圆 直线和圆

相交 相切 相离

.
. .

d =R直线和圆
d>R直线和圆

.
.

2.圆的切线问题

(1)圆x2+y2=r2的斜率为k的切线方程


y = kx ± r· k 2 + 1

.

(2)过圆x2+y2+Dx+Ey+F=0上一点P(x0,y0)的切线 x0 + x y0 + y x x + y 0y + ·D + ·E + F = 0 方程为 0 . 2 2
(3)若点P(x0,y0)在圆(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)上,则

(x 0 - a)(x - a) + (y 0 - b)(y - b) = r 2. 过点P的切线方程为

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3.圆与圆的位置关系

种:

(1)圆与圆的位置关系可分为五 外离 、 相交 、 外切 、

内切 、

内含 .

(2)判断圆与圆的位置关系常用几何法: 设⊙O1的半径为r1,⊙O2的半径为r2,两圆的圆心距为d, 相交 当|r1-r2|<d<r1+r2时,两圆 ; 当r1+r2=d时, 两圆 外切 ;

当|r1-r2|=d时, 两圆
当r1+r2<d时, 两圆 当|r1-r2|>d时,两圆

内切 外离
内含

;
; . 返回目录

考点一 直线与圆的位置关系 已知圆x2+y2-6mx-2(m-1)y+10m2-2m-24=0(m∈R).

(1)求证:不论m为何值,圆心在同一直线l上;
(2)与l平行的直线中,哪些与圆相交、相切、相离; (3)求证:任何一条平行于l且与圆相交的直线被各圆截 得的弦长相等. 返回目录

【分析】 用配方法将圆的一般方程配成标准方程,
求出圆心坐标,消去m就得关于圆心的坐标间的 关系, 就是圆心的轨迹方程;判断直线与圆相交、 相切、相

离 , 只需比较圆心到直线的距离d与圆半径的大小即可;
证明弦长相等时,可用几何法计算弦长. 【解析】 (1)证明:配方得(x-3m)2+[y-(m-1)]2=25, 设圆心为(x,y),则

{

x=3m
y=m-1,

消去m得

l:x-3y-3=0,则圆心恒在直线l:x-3y-3=0上. 返回目录

(2)设与l平行的直线是l1:x-3y+b=0,

则圆心到直线l1的距离为
d=
| 3m - 3(m - 1) + b | | 3 + b | = 10 10

∵圆的半径为r=5,
∴当d<r,即-5 10 -3<b<5 10 -3时,直线与圆相交; 当d=r,即b=〒5 10 -3时,直线与圆相切; 当d>r,即b<-5 10-3或b>5 10-3时,直线与圆相离.

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(3)证明:对于任一条平行于l且与圆相交的直线

d=

l1:x-3y+b=0,由于圆心到直线l1的距离 | 3+b| , 10 弦长=2 r 2 - d 2 且r和d均为常量.

∴任何一条平行于l且与圆相交的直线被各圆截得的 弦长相等.

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【评析】判断直线与圆的位置关系可以看成它们 构成的方程组有无实数解,也可以根据圆心到直线的 距离与半径长的关系进行判断. 求圆的弦长有多种方法:一是直接求出直线与圆 的交点坐标,再利用两点间的距离公式得出;二是不 求交点坐标 , 利用一元二次方程根与系数的 关 系得 出,即设直线的斜率为k,直线与圆联立消去y后所得 方程两根为x1,x2,则弦长d= 1 + k 2 · 1-x2|;三是利 |x 用圆中半弦长、弦心距及半径构成的直角三角形来求. 对于圆中的弦长问题,一般利用第三种方法比较简捷. 本题所用方法就是第三种方法. 返回目录

*对应演练*
已知圆 x2+y2=8,定点P(4,0), 问 过P点直线的斜 率在什么范围内取值时 ,这条直线与已知圆 (1) 相 切,(2)相交,(3)相离?并写出过P点的切线方程.
解法一:设过P点的直线的斜率为k(由题意知k存在), 则其方程为y=k(x-4). 由

{

y=k(x-4)
x2+y2=8

消去y,得 x2+k2(x-4)2=8,

即(1+k2)x2-8k2x+16k2-8=0,
Δ=(-8k2)2-4(1+k2)(16k2-8)=32(1-k2). 返回目录

(1)令Δ=0,即32(1-k2)=0, ∴当k=〒1时,直线与圆相切,切线方程为x-y-4=0或 x+y-4=0.

(2)令Δ>0,即32(1-k2)>0,解得-1<k<1,
∴当-1<k<1时,直线与圆相交.

(3)令Δ<0,即32(1-k2)<0,解得k>1或k<-1,
∴当k<-1或k>1时,直线与圆相离.

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解法二:设圆心到直线的距离为d,则

= . 2 1+k 4 | k | 1+k (1)d=r,即 = 8 ,∴k2=1, 1+k2 ∴k=〒1时直线与圆相切,其切线方程为x-y-4=0或 x+y-4=0.
2

d=

| k·0 - 0 - 4k |

4|k |

< 8, 1+k ∴k2<1,即-1<k<1时直线与圆相交. (2)d<r,即
2

4|k |

> 8, 1+k ∴k2>1,即k<-1或k>1时直线与圆相离. (3)d>r,即
2

4|k |

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考点二

直线与圆相切问题

已知圆O:(x-1)2+(y-2)2=4,求过点P(-1,5)的圆的切线方程.

【分析】用待定系数法,设切线方程为y-5=k(x+1), 则圆心到直线的距离等于圆半径,解之即可.

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【解析】设切线方程为y-5=k(x+1)(当斜率存在

时),即kx-y+k+5=0.由圆心到切线的距离等于半径,


|k -2+k +5|
2

k +1 ∴切线方程为5x+12y-55=0.

=2

,解得k=-

5 . 12

又∵点P在圆O外,过圆外一点可作圆的两条切线, ∴还有一条切线为x=-1.

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【评析】 求过一定点的圆的切线方程,首先必须 判断这点是否在圆上.若在圆上,则该点为切点;若在 圆外 ,切线应有两条. 一般用“圆心到切线的距离等 于半径长”来解较为简单.若求出的斜率只有一个 , 应找出过这一点与x轴垂直的另一条切线.

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*对应演练*
已知圆C:(x-1)2+(y-2)2=2,P点为(2,-1),过点P作圆C 的切线,切点为A,B.

(1)求直线PA,PB的方程;
(2)求切线PA的长; (3)求过两点A,B的直线方程; (4)求弦长|AB|.

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(1)由题意可设圆的切线方程为y+1=k(x-2),即kx-y2k-1=0,由圆心C(1,2)到切线的距离为半径2,



| -k - 3 | k2 +1

=

k 2 ? 2-6k+7=0,

解之得k=7或k=-1. 因而所求切线方程为7x-y-15=0或x+y-1=0.

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(2)在Rt△PCA中,|PA|2=|PC|2-|AC|2=8, ∴|PA|=2 2 . (3)以P为圆心,|PA|长为半径的圆的方程为 (x-2)2+(y+1)2=8,则线段AB为两圆的公共弦,由圆系知, 公共弦所在直线AB的方程为x-3y+3=0. |1- 6 + 3 | 2 = (4)圆心(1,2)到弦AB的距离d= ,圆 2 2 10 1 + (-3)

半径的平方r2=2,由平面几何知识得
4 4 |AB|= 2 r - d = 2 2 = 10 . 10 5
2 2

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考点三 圆与圆的位置关系

a为何值时,两圆x2+y2-2ax+4y+a2-5=0和x2+y2+2x2ay+a2-3=0,
(1)相切;(2)相交;(3)相离.

【分析】用两圆的圆心距d和两圆半径的和及差的 绝对值比较大小.

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【解析】将两圆方程化为标准方程: (x-a)2+(y+2)2=9,(x+1)2+(y-a)2=4. 设两圆圆心距为d, 则d2=(a+1)2+(-2-a)2=2a2+6a+5. (1)当d=5,即2a2+6a+5=25时两圆外切, 此时a=-5或a=2;

当d=1,即2a2+6a+5=1时,两圆内切,
此时a=-1或a=-2.

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(2)当1<d<5时,即1<2a2+6a+5<25时,两圆相交, 此时-5<a<-2或-1<a<2. (3)当d>5,即2a2+6a+5>25时,两圆相离, 此时a>2或a<-5.

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【评析】 圆和圆的位置关系,从交点个数也就是方
程组解的个数来判断,有时得不到确切的结论.比如两圆 只有一个交点时,固然相切.但是内切还是外切呢 ? 就不 清了,所以判断两圆的位置关系 , 通常还是从圆心距d与 两圆半径R,r的关系下手.

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*对应演练*
已知圆C1:x2+y2-2mx+4y+m2-5=0,圆C2:x2+y2+2x2my+m2-3=0,m为何值时,(1)圆C1与圆C2相外切; (2)圆C1与圆C2内含?
对于圆C1与圆C2的方程,经配方后 C1:(x-m)2+(y+2)2=9; C2:(x+1)2+(y-m)2=4. (1)如果C1与C2外切,则有 (m + 1)2 + (m + 2)2 = 3 + 2. 即(m+1)2+(m+2)2=25. ∴m2+3m-10=0,解得m=-5或m=2. 返回目录

(2)如果C1与C2内含,则有

(m + 1)2 + (m + 2)2 < 3 - 2.
∴(m+1)2+(m+2)2<1,∴m2+3m+2<0, 得-2<m<-1, ∴当m=-5或m=2时,圆C1与圆C2外切; 当-2<m<-1时,圆C1与圆C2内含.

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考点四 直线与圆相交的有关问题 已知点P(0,5)及圆C:x2+y2+4x-12y+24=0.

(1) 若直线l过P且被圆C截得的线段长为4 3,求l的 方程;
(2)求过P点的圆C的弦的中点的轨迹方程. 【分析】(1)根据弦长求法,求直线方程中的参 数.(2)由垂直关系找等量关系.

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【解析】(1)解法一:如图所示, AB=4 3,D是AB的中点, CD⊥AB,AD=2 3 ,圆x2+y2+4x12y+24=0可化为(x+2)2+(y-6)
2=16,圆心C(-2,6),半径r=4,

故AC=4,在Rt△ACD中,可得 CD=2. 设所求直线的斜率为k,则直线的方程为y-5=kx, 即kx-y+5=0.由点C到直线AB的距离公式:

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| -2k - 6 + 5 |

k 2 + (-1) 2 此时直线l的方程为3x-4y+20=0.
又直线l的斜率不存在时,此时方程为x=0.

= 2 ,得k=

3 . 4

则y2-12y+24=0,∴y1=6+2 3,y2=6-2 3 ,
∴y2-y1=4 3,故x=0满足题意.

∴所求直线的方程为3x-4y+20=0或x=0.

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解法二:设所求直线的斜率为k,则直线的方程为 y-5=kx,即y=kx+5.
联立直线与圆的方程

{

y=kx+5 x2+y2+4x-12y+24=0, ①

消去y得(1+k2)x2+(4-2k)x-11=0. 设方程①的两根为x1,x2, 由根与系数的关系得

{

2k - 4 1+ k2 x1x2= - 11 2 1+k

x1+x2=

.



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由弦长公式得

1 + k 2 |x1-x2|

= (1 + k 2 ) (x +x )2 - 4x x = 4 3 , 1 2 1 2

3 将②式代入,解得k= , 4

[

]

此时直线的方程为3x-4y+20=0. 又k不存在时也满足题意,此时直线方程为x=0. ∴所求直线的方程为x=0或3x-4y+20=0. (2)设过P点的圆C的弦的中点为D(x,y), 则CD⊥PD,即CD· PD=0, (x+2,y-6)· (x,y-5)=0,化简得所求轨迹方程为 x2+y2+2x-11y+30=0. 返回目录

【评析】在研究弦长及弦中点问题时,可设弦AB两端 点的坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2).(1)若 OA⊥OB(O为原点),则可转化为x1x2+y1y2=0,再结合 根与系数的关系等代数方法简化运算过程,这在解决垂直 关系问题中是常用的;(2)若弦AB的中点为(x0,y0), 圆的方程为x2+y2=r2,则

{

x +y =r

x0 y1 - y 2 x1 + x 2 ∴k = ==2 2 2 x1 - x 2 y1 + y 2 y0 x2 + y 2 = r

2 1

2 1

2

该法叫平方差法,常用来解决与弦的中点、直线的斜 率有关的问题.
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*对应演练*
设圆上的点A(2,3)关于直线x+2y=0的对称点仍在 圆上,且与直线x-y+1=0相交的弦长为2 2 ,求圆的 方程. 设圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2. 设所求圆的圆心为(a,b),半径为r. ∵点A(2,3)关于直线x+2y=0的对称点A′仍在这个 圆上,

∴圆心(a,b)在直线x+2y=0上,∴a+2b=0, ①
(2-a)2+(3-b)2=r2. ② 返回目录

又∵直线x-y+1=0截圆所得的弦长为2 a -b +1 2- ( ) = ( 2 )2 ∴r 2 解由方程①②③组成的方程组得

2,


{

b=-3

a=6
r2=52



{

b=-7,

a=14,
r2=244.

∴所求圆的方程为 (x-6)2+(y+3)2=52或(x-14)2+(y+7)2=244.

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1.过圆外一点M可以作两条直线与圆相切,其直 线方程的求法有两种: (1)用待定系数法设出直线方程,再利用圆心到 切线的距离等于半径列出关系式求出切线的斜率,进 而求得直线方程.

(2)用待定系数法设出直线方程,再利用直线与 圆相切时交点唯一列出关系式,求出切线的斜率,进而 求得直线方程. 2.若两圆相交时,把两圆的方程作差消去x2和y2
就得到两圆的公共弦所在的直线方程. 返回目录

3.求弦长时,常利用圆心到弦所在的直线的距离求弦 心距,再结合勾股定理求弦长. 4.求圆外一点P到圆O上任意一点距离的最小值为 |PO|-r,最大值为|PO|+r(其中r为圆O的半径). 5.求圆的弦长问题,注意应用圆的性质解题,即用圆 心与弦中点连线与弦垂直的性质,可以用勾股定理或斜率 之积为-1列方程来简化运算. 6.注意利用圆的性质解题,可以简化计算.例如,求圆 外一点到圆上任意一点的最小距离或最大距离利用两点的 距离减去或加上圆半径就很简便.

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