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2015高考专题训练:圆锥曲线中最值、定点、定值

时间:2015-04-23


圆锥曲线专题

圆锥曲线中最值,定值问题
一、选择题 1.抛物线 y=ax2 与直线 y=kx+b(k≠0)交于 A,B 两点,且此两点的横坐标 分别为 x1,x2,直线与 x 轴交点的横坐标是 x3,则恒有( ) A.x3=x1+x2 B.x1x2=x1x3+x2x3 C.x1+x2+x3=0 D.x1x2+x2x3+x3x1=0 答案 B 2 ?y=ax , k b 解析 由方程组? 得 ax2-kx-b=0, 可知 x1+x2=a, x1x2=-a, ?y=kx+b, b x3=-k,代入各项验证即可得 B 正确,故选 B. 2.已知 A,B,C 三点在曲线 y= x上,其横坐标依次为 1,m,4(1<m<4), 当△ABC 的面积最大时,m 等于( ) 9 A.3 B.4 5 3 C.2 D.2 答案 B 解析 由题意知 A(1,1),B(m, m),C(4,2).直线 AC 所在的方程为 x-3y +2=0, |m-3 m+2| 1 1 点 B 到该直线的距离为 d= .S△ABC = 2 |AC|· d = 2 × 10 10 |m-3 m+2| 1 1 3 1 × =2|m-3 m+2|=2|( m-2)2-4|. 10 3 9 ∵m∈(1,4),∴当 m=2时,S△ABC 有最大值,此时 m=4.故选 B. 3.过抛物线 y2=2px(p>0)上一定点 M(x0,y0)(y0≠0),作两条直线分别交抛物 y1+y2 线于 A(x1,y1)、B(x2,y2),当 MA 与 MB 的斜率存在且倾斜角互补时,则 y 等 0 于( ) A.-2 B.2 C.4 D.-4 答案 A y1-y0 y1-y0 2p(y1-y0) 2p 解析 kMA = = y2 y2 = = (y ≠y ) ,同理: kMB = 2 2 x1-x0 y1-y0 y1+y0 0 1 1 0 2p-2p 2p 2p 2p .由题意:kMA=-kMB,∴ =- ,∴y1+y0=-(y2+y0),y1+y2 y2+y0 y1+y0 y2+y0 y1+y2 =-2y0,∴ y =-2,故选 A. 0 4.(2011· 福州质检)已知 P 为抛物线 y2=4x 上一个动点,Q 为圆 x2+(y-4)2 =1 上一个动点,那么点 P 到点 Q 的距离与点 P 到抛物线的准线的距离之和的

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最小值是( ) A.5 B.8 C. 17-1 D. 5+2 答案 C 解析 抛物线 y2=4x 的焦点为 F(1,0),圆 x2+(y-4)2=1 的圆心为 C(0,4), 设点 P 到抛物线的准线的距离为 d,根据抛物线的定义有 d=|PF|,∴|PQ|+d= |PQ|+|PF|≥(|PC|-1)+|PF|≥|CF|-1= 17-1. 二、填空题 5.已知点 M 是抛物线 y2=4x 上的一点,F 为抛物线的焦点,A 在圆 C:(x -4)2+(y-1)2=1 上,则|MA|+|MF|的最小值为________. 答案 4 解析 依题意得|MA|+|MF|≥(|MC|-1)+|MF|=(|MC|+|MF|)-1, 由抛物线的 定义知|MF|等于点 M 到抛物线的准线 x=-1 的距离,结合图形不难得知,|MC| +|MF|的最小值等于圆心 C(4,1)到抛物线的准线 x=-1 的距离,即为 5,因此所 求的最小值为 4. 6.若抛物线 y2=4x 的焦点为 F,过 F 且斜率为 1 的直线交抛物线于 A,B 两点,动点 P 在曲线 y2=-4x(y≥0)上,则△PAB 的面积的最小值为________. 答案 2 2 ?y=x-1 解析 由题意,得 F(1,0),直线 AB 的方程为 y=x-1.由? 2 ,得 x2 ?y =4x - 6x + 1 = 0. 设 A(x1 , y1) , B(x2 , y2) , 则 x1 + x2 = 6 , x1x2 = 1 , ∴|AB| = y2 0 | 4 +y0+1| 2 y 0 2· (x1+x2)2-4x1x2=8.设 P(- , y ), 则点 P 到直线 AB 的距离为 , 4 0 2 2 |y2 0+4y0+4| (y0+ ) ∴△PAB 的面积 S= = ≥2 2,即△PAB 的面积的最小值是 2 2 2 2. 三、解答题 7. (2011· 北京东城区期末)已知椭圆 C 的中心在原点, 一个焦点为 F(0, 2), 且长轴长与短轴长的比是 2 1. (1)求椭圆 C 的方程; (2)若椭圆 C 上在第一象限的一点 P 的横坐标为 1,过点 P 作倾斜角互补的 两条不同的直线 PA,PB 分别交椭圆 C 于另外两点 A,B,求证:直线 AB 的斜 率为定值; (3)在(2)的条件下,求△PAB 面积的最大值. y2 x2 解 (1)设椭圆 C 的方程为a2+b2=1(a>b>0).

?a =b +c , 由题意,得?a:b= 2:1, ?c= 2,
解得 a2=4,b2=2. y2 x2 所以椭圆 C 的方程为 4 + 2 =1.

2

2

2

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(2)由题意知,两直线 PA,PB 的斜率必存在,设 PB 的斜率为 k.又由(1)知, P(1, 2), 则直线 PB 的方程为 y- 2=k(x-1). ?y- 2=k(x- ), ? 由?y2 x2 + =1, ? ?4 2 得(2+k2)x2+2k( 2-k)x+( 2-k)2-4=0.

设 A(xA,yA),B(xB,yB),则 k2-2 2k-2 xB=1· xB= , 2+k2 k2+2 2k-2 同理可得 xA= . 2+k2 4 2k 8k 则 xA-xB= . 2,yA-yB=-k(xA-1)-k(xB-1)= 2+k 2+k2 yA-yB 所以 kAB= = 2为定值. xA-xB (3)由(2),设直线 AB 的方程为 y= 2x+m. ?y= 2x+m, ? 由?y2 x2 + =1, ? ?4 2 得 4x2+2 2mx+m2-4=0.

由 Δ=(2 2m)2-16(m2-4)>0,得 m2<8. m2-4 2m 此时 xA+xB=- 2 ,xA· xB= 4 . |m| 点 P 到直线 AB 的距离 d= , 3 2 2 |AB|= (xA-xB) +(yA-yB) 3 = -2m2+12. 24-3m2 1 m2(8-m)2 1 1 |m| ∴S△PAB=2d· |AB|=2 · =2 2 2 3 当且仅当 m2=8-m2 即 m2=4 时,Smax= 2. 8.已知定点 C(-1,0)及椭圆 x2+3y2=5,过点 C 的动直线与椭圆相交于 A, →· → 为常数?若存在,求出点 M 的坐标; B 两点,在 x 轴上是否存在点 M,使MA MB 若不存在,请说明理由. →· →应 分析 分斜率存在和不存在两种情况讨论, 假设存在, 那么数量积MA MB 该与直线的方向无关. →· → 为常数.设 A(x ,y ),B(x , 解析 假设在 x 轴上存在点 M(m,0),使MA MB
1 1 2

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y2). ①当直线 AB 与 x 轴不垂直时,直线 AB 的斜率存在,设直线 AB 的方程为 y =k(x+1),将 y=k(x+1)代入 x2+3y2=5,消去 y 整理得(3k2+1)x2+6k2x+3k2- 5=0.

? ?x +x =-3k6k , +1 则? 3k -5 ? x= . ?x · 3k +1
2 1 2 2 2 1 2 2

Δ=36k4- (3k2+ )(3k2- )>0,

→· → =(x -m)(x -m)+y y =(x -m)(x -m)+k2(x +1)(x +1)=(k2 所以MA MB 1 2 1 2 1 2 1 2 +1)x1x2+(k2-m)(x1+x2)+k2+m2. 1 14 (2m-3)(3k2+ )-2m- 3 2 ( m - 1) k - 5 →· →= 整理得 MA MB + m2 = + m2 = m2 + 3k2+1 3k2+1 1 6m+14 2m-3- . 3( k2+ ) 7 →· → 是与 k 无关的常数, →· → 注意到MA MB 从而有 6m+14=0, m=-3, 此时MA MB 4 =9. 2 ②当直线 AB 与 x 轴垂直时, 此时点 A, B 的坐标分别为 A(-1, )、 B(-1, 3 2 - ), 3 7 →· → =4. 当 m=-3时,亦有MA MB 9 7 →· → 为常数. 综上,在 x 轴上存在定点 M(-3,0),使MA MB 9.(2010· 北京卷,文)已知椭圆 C 的左、右焦点坐标分别是(- 2,0)、( 2, 6 0),离心率是 3 .直线 y=t 与椭圆 C 交于不同的两点 M,N,以线段 MN 为直线 作圆 P,圆心为 P. (1)求椭圆 C 的方程; (2)若圆 P 与 x 轴相切,求圆心 P 的坐标; (3)设 Q(x,y)是圆 P 上的动点,当 t 变化时,求 y 的最大值. c 6 解析 (1)因为a= 3 ,且 c= 2,所以 a= 3,b= a2-c2=1.所以椭圆 C x2 的方程为 3 +y2=1. (2)由题意知 P(0,t)(-1<t<1). y=t, ? ? 由?x2 2 得 x=± 3( -t2) . +y =1, ? ?3

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所以圆 P 的半径为 3( -t2) . 当圆 P 与 x 轴相切时,|t|= 3( -t2) . 3 解得 t=± 2 3 所以点 P 的坐标是(0,± 2 ). (3)由(2)知,圆 P 的方程为 x2+(y-t)2=3(1-t2). 因为点 Q(x,y)在圆 P 上, 所以 y=t± (1-t2)-x2≤t+ 3( -t2) . 设 t=cosθ,θ∈(0,π),则 π t+ 3( -t2) =cosθ+ 3sinθ=2sin(θ+6). π 1 当 θ=3,即 t=2,且 x=0 时,y 取最大值 2.

教师备选题
1. 设 A(x1, y1), B(x2, y2)是抛物线 y2=2px(p>0)上的两点, 并且满足 OA⊥OB, 则 y1y2 等于( ) 2 A.-4p B.-3p2 C.-2p2 D.-p2 答案 A →· → =0. 解析 ∵OA⊥OB,∴OA OB ∴x1x2+y1y2=0.① ∵A、B 都在抛物线上,∴? 2 ?y2=2px2.
2 ?y1=2px1,

y1 x = ? 1 ? 2p, ∴? y2 2 ? ?x2=2p.

2

2 y2 1 y2 2 代入①得2p· 2p+y1y2=0,解得 y1y2=-4p . 2. 过抛物线 y2=2px(p>0)的焦点 F 的直线 l 与抛物线在第一象限的交点为 A, → =FB →, →· → 与抛物线的准线的交点为 B, 点 A 在抛物线准线上的射影为 C, 若AF BA BC

=48,则抛物线的方程为( A.y2=4x C.y2=16x 答案 A

) B.y2=8x D.y2=4 2x

→ |= |AC → |,已知AF → =FB → ,即|AF → |= |FB → |,又 AC⊥BC, 解析 如图,易知|AF ∴∠ABC=30° .

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→ → → → ∵BA· BC=|BA|· |BC|· cos30° → → =|BA|· |BA|· cos30° · cos30° → |2cos230° =|BA =48, → |=8.∴|AC → |=4,p=|FD → |=2. ∴|BA ∴抛物线方程为 y2=4x. 3.已知定点 F(0,1)和直线 l1:y=-1,过定点 F 与直线 l1 相切的动圆圆心 为点 C. (1)求动点 C 的轨迹方程; →· → 的最小 (2)过点 F 的直线 l 交轨迹于两点 P、Q,交直线 l 于点 R,求RP RQ
2 1

值.

x2 y2 x2 2 4.已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)以双曲线 -y =1 的焦点为顶点,其离 a b 3 心率与双曲线的离心率互为倒数. (1)求椭圆 C 的方程; (2)若椭圆 C 的左、右顶点分别为点 A,B,点 M 是椭圆 C 上异于 A,B 的任 意一点. ①求证:直线 MA,MB 的斜率之积为定值; ②若直线 MA,MB 与直线 x=4 分别交于点 P,Q,求线段 PQ 长度的最小 值.

解 (1)由题设点 C 到点 F 的距离等于它到 l1 的距离, ∴点 C 的轨迹是以 F 为焦点,l1 为准线的抛物线. ∴所求轨迹的方程为 x2=4y. (2)由题意直线 l2 的方程为 y=kx+1, 与抛物线方程联立消去 y,得 x2-4kx-4=0. 记 P(x1,y1),Q(x2,y2),则 x1+x2=4k,x1x2=-4. 2 ∵直线 PQ 的斜率 k≠0,易得点 R 的坐标为(- k,-1), 2 →· → =(x +2,y +1)· RP RQ (x2+k,y2+1) 1 k 1 2 2 =(x1+k)(x2+k )+(kx1+2)(kx2+2) 2 4 =(1+k2)x1x2+(k+2k)(x1+x2)+k2+4 2 4 1 =-4(1+k2)+4k( k+2k)+k2+4=4(k2+k2)+8, 1 ∵k2+k2≥2,当且仅当 k2=1 时取到等号. →· → ≥4×2+8=16,即RP →· → 的最小值为 16. RP RQ RQ

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x2 2 (1)易知双曲线 3 -y2=1 的焦点为(-2,0),(2,0),离心率为 ,则在椭 3 3 x2 圆 C 中 a=2,e= 2 ,故在椭圆 C 中 c= 3,b=1,所以椭圆 C 的方程为 4 +y2 =1. y0 (2)①设 M(x0,y0)(x0≠±2),由题易知 A(-2,0),B(2,0),则 kMA= ,k x0+2 MB y0 y0 y0 y2 x2 0 0 2 = ,故 kMA· kMB= · = 2 ,点 M 在椭圆 C 上,则 4 +y0 =1,即 x0-2 x0+2 x0-2 x0-4 x2 1 2 y2 1 0 0 2 y0=1- 4 =-4(x0-4),故 kMA· kMB= 2 =-4,即直线 MA,MB 的斜率之积为 x0-4 定值. y1 y2 y1 y2 ②解法一: 设 P(4, y1), Q(4, y2), 则 kMA=kPA= 6 , kMB=kBQ= 2 , 由①得 6 · 2 1 =-4,即 y1y2=-3,当 y1>0,y2<0 时,|PQ|=|y1-y2|≥2 -y1y2=2 3,当且仅 当 y1= 3,y2=- 3时等号成立.同理可得,当 y1<0,y2>0 时,当且仅当 y1= - 3,y2= 3时,|PQ|有最小值 2 3. 解法二:设直线 MA 的斜率为 k,则直线 MA 的方程为 y=k(x+2),从而 1 1 P(4,6k),由①知直线 MB 的斜率为-4k,则直线 MB 的方程为 y=-4k(x-2),故 1 1 3 得 Q(4,-2k),故|PQ|=|6k+2k|≥2 3,当且仅当 k=± 6 时等号成立,即|PQ|有 最小值 2 3. 解

5.如图所示,已知直线 l:y=kx-2 与抛物线 C:x2=-2py(p>0)交于 A,B → +OB → =(-4,-12). 两点,O 为坐标原点,OA (1)求直线 l 和抛物线 C 的方程; (2)抛物线上一动点 P 从 A 到 B 运动时,求△ABP 面积的最大值. → +OB → =(-4,-12)列方程组,利用待定系 分析 (1)根据根与系数关系和OA 数法求解;(2)线段 AB 的长度为定值,只要求点 P 到直线 AB 的最大值即可. ?y=kx-2, 解析 (1)由? 2 得 x2+2pkx-4p=0. ?x =-2py, 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2=-2pk,y1+y2=k(x1+x2)-4=-2pk2- 4. → +OB → =(x +x ,y +y )=(-2pk,-2pk2-4)=(-4,-12),所以 因为OA
1 2 1 2

?-2pk=-4, ?p=1, ? 解得? 2 ?-2pk -4=-12. ?k=2.

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所以直线 l 的方程为 y=2x-2,抛物线 C 的方程为 x2=-2y. (2)解法一:设 P(x0,y0),依题意,抛物线过点 P 的切线与 l 平行时,△ABP 1 2 的面积最大,y′=-x,所以-x0=2? x0=-2,y0=-2x0 =-2,所以 P(-2,- 2). ?y=2x-2, (- )-(- )-2| 4 4 5 此时点 P 到直线 l 的距离 d= = = 5 , 由? 2 2 2 5 2 +(- ) ?x =-2y, 得 x2+4x-4=0, |AB|= 1+k2· (x1+x2)2-4x1· x2 2 2 = 1+2 · (-4) - (-4)=4 10. 4 5 4 10· 5 ∴△ABP 的面积最大值为 =8 2. 2 ?y=2x-2, 解法二:由? 2 得 x2+4x-4=0, x =- 2 y , ? |AB|= 1+k2· (x1+x2)2-4x1· x2= 1+22· (-4)2- (-4)=4 10, 1 设 P(t,-2t2)(-2-2 2<t<-2+2 2), 因为 AB 为定值,当点 P 到直线 l 的距离 d 最大时,△ABP 的面积最大,d 1 1 |2t+2t2-2| |2(t+2)2-4| = 2 = , 5 2 +(- )2 4 5 因为-2-2 2<t<-2+2 2,所以当 t=-2 时,dmax= 5 ,此时 P(-2, -2). 4 5 4 10· 5 ∴△ABP 的面积最大值为 =8 2. 2


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