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2.2.1.3对数与对数运算


对数与对数的运算
(第三课时)

一、知识回顾

对数运算性质 : 注意公式的逆运用
如果a ? 0, 且a ? 1, M ? 0, N ? 0, 那么:

特别地

(1) log a ( MN ) ? log a M ? log a N ; M (2) log a ? log

a M ? log a N ; N n (3) log a M ? n log a M (n ? R).

1 ( 4)log a M ? log a M (a ? 0, a ? 1, M ? 0, n ? N , n ? 1) n m n m * (5)log a b ? log a b(b ? 0, a ? 0, a ? 1, m, n ? N , n ? 1) n
n

练习
2 lg(lg a ) 1、化简 为 2 ? lg(lg a ) A. 1 C. 3
a
100

( B)

B. 2 D. 0

2、若3 ? 2,则 log 3 8 ? 2 log 3 6用a表示为 A. a-2 C.5a-2 B. 3a-(1+a)2     D. 3a-a 2

(A)

二、新课讲解
对数运算性质 : (对数的换底公式)

log c b (6) log a b ? (a ? 0, ?a ? 1?c ? 0, ?c ? 1?b ? 0) log c a
证明:设 log a b ? x , 则a x ? b

两边取以c为底的对数,得      c a x ? log c b 即x log c a ? log c b  log

log c b log c b ?x ?  即 log a b ? log c a log c a

二、新课讲解
对数运算性质 :

log c b (6) log a b ? (a ? 0, b ? 0, c ? 0, a ? 1, c ? 1) log c a
(对数的换底公式) 推论:

1 log a b ? (a , b ? 0, 且a , b ? 1) log b a m m log an b ? log a b(a ? 0, a ? 1, n ? 0, m ? R, b ? 0) n

三、例题分析
例 已知 log18 9 ? a ,18b ? 5, 求 log36 45
练习

(1)已知 lg 2 ? a , lg 3 ? b, 用a , b表示 log12 5; (2)已知 log 2 3 ? a , log 3 7 ? b, 用a , b表示 log 42 56.
P39-40例2、例3、例4、例5、例6

三、例题分析 例5 20世纪30年代,里克特制订了一种表明地震
能量大小的尺度,就是使用测震仪衡量地震能量 的等级,地震能量越大,测震仪记录的地震曲线 的振幅就越大。这就是我们常说的里氏震级M, 其计算公式为 M ? lg A ? lg A0
其中,A是被测地震的最大振幅,A0是“标准振 幅”的振幅(使用标准地震振幅是为了修正测震 仪距实际震中的距离造成的偏差)。 (1)假设在一次地震中,一个距离震中100千米的 测震仪记录的地震最大振幅是20,此时标准地震的 振幅是0.001,计算这次地震的震级(精确到0.1) lg 2 ? 0.3010

三、例题分析 例5 20世纪30年代,里克特制订了一种表明地震
能量大小的尺度,就是使用测震仪衡量地震能量 的等级,地震能量越大,测震仪记录的地震曲线 的振幅就越大。这就是我们常说的里氏震级M, 其计算公式为 M ? lg A ? lg A0
其中,A是被测地震的最大振幅,A0是“标准振 幅”的振幅(使用标准地震振幅是为了修正测震 仪距实际震中的距离造成的偏差)。

(2)5级地震给人的震感已比较明显,计算7.6级 地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的多少倍 (精确到1)。

10

2.6

? 398

三、例题分析
例6 生物机体内碳14的“半衰期”为5730年,湖 南长沙马王堆汉墓女尸出土时碳14的残余量约占 原始含量的76.7%,试推算马王堆古墓的年代。 解:依题意可得,生物死亡t年后体内碳14的含量
t 1 5730 P?( ) 则 2

t ? log
5730

1 2

P
0.767

则P=0.767时,有 由计算器可得

t ? log

t≈2193

1 5730 2

所以,马王堆古墓是近2200年前的遗址

四、小结
对数运算法则 :
log c b (6) log a b ? (a ? 0, b ? 0, c ? 0, a ? 1, c ? 1) log c a
(对数的换底公式)

1 (7) log a b ? ( a, b ? 0, 且a, b ? 1) log b a

m * (8)logan b ? log a b(a ? 0, a ? 1, n, m ? N , b ? 0) n (a ? 0, a ? 1, n ? 0, m ? R, b ? 0)
m

作业
学生同步作业:P39-402.2.1.3


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