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2013高考数学(江苏专版)二轮专题课件:第三部分 专题1 开放探究问题


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第 三 部 分

专 题 1

小题基础练清 增分考点讲透 配套专题检测

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探索性问题是一种具有开放性和发散性的问题,此类题目 的条件或结论不完备,要求解答者自己去探索,结合已有条件, 进行观察、分析、比较和概括.它对学生的

数学思想、数学意识 及综合运用数学方法的能力提出了较高的要求,它有利于培养

学生探索、分析、归纳、判断、讨论与证明等方面的能力,使
学生经历一个发现问题、研究问题、解决问题的全过程. 高考中主要考查学生对条件和结论的探索、猜想、归纳以 及对存在性问题的探索、判断.

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1.已知平面α,β和直线,给出条件:①m∥α;②m⊥α;③
m?α;④α⊥β;⑤α∥β.

(1)当满足条件________时,有m∥β;
(2)当满足条件______时,有m⊥β.(填所选条件的序号) 解析:由线面平行关系知:m?α,α∥β,可得m∥β;由线面 垂直关系得:m⊥α,α∥β,可得m⊥β. 答案:(1)③⑤ (2)②⑤
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?x≥0, ? ?y≥0, 2.在约束条件 ? ?y+x≤s, ?y+2x≤4 ?

下,当3≤s≤5时,目标函数z=3x

+2y的最大值的变化范围是________.
解析:画出可行域如图所示,当3≤s≤4时, 目标函数z=3x+2y在点B(4-s,2s-4)处取得最 大值,即zmax=3(4-s)+2(2s-4)=s+4∈[7,8); 当4≤s≤5时,目标函数z=3x+2y在点E(0,4) 处取得最大值, 即zmax=3×0+2×4=8,故z∈[7,8].

答案:[7,8]
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3 3.观察sin 20° +cos 50° +sin 20°cos 50° 4,sin2 15° = +cos2
2 2

3 45° +sin 15°cos 45° 4,写出一个与以上两式规律相同的 · = 等式________.

解析:由50° -20° =(45° -15° )=30° ,可得sin2α+cos2(α+ 3 30° )+sin α cos(α+30° 4. )=
3 答案:sin α+cos (α+30° )+sin α cos(α+30° 4 )=
2 2

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? ?x-1 ? ? ? ? ?x <0? 4.集合A= ? ? ?x+1 ? ? ?

,B={x||x-b|<a},若“a=1”是

“A∩B≠?”的充分条件,则b的取值范围是________.

解析:由“a=1”是“A∩B≠?”的充分条件,得A={x| -1<x<1}与B={x|b-1<x<1+b}交集不为空集.所以- 2<b<2.
答案:(-2,2)

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5.如图,E、F分别为正方体的面ADD1A1和面BCC1B1的中心,

则四边形BFD1E在该正方体的面上的投影可能是
________(要求把所有可能的图形都填上) 解析:在前、后、上、下四个面上的投影 为平行四边形,在左、右两个面上的投影 为线段.

答案:平行四边形、线段

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问题1:条件追溯型
这类问题的基本特征是:针对一个结论,条件未知需探索, 或条件增删需确定,或条件正误需判断.解决这类问题的基本 策略是:执果索因,先寻找结论成立的必要条件,再通过检验 或认证找到结论成立的充分条件.在“执果索因”的过程中,常 常会犯的一个错误是不考虑推理过程的可逆与否,误将必要条 件当作充分条件,应引起注意.
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[典例1] (2012· 江苏高考)如图,建立平面直角坐标系xOy,x轴在地平 面上,y轴垂直于地平面,单位长度为1千米,某炮位于坐标原 1 点.已知炮弹发射后的轨迹在方程y=kx- 20 (1+k2)x2(k>0)表示 的曲线上,其中k与发射方向有关.炮的射程是指炮弹落地点的 横坐标. (1)求炮的最大射程; (2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小),其飞行高度为3.2 千米,试问它的横坐标a不超过多少时,炮弹可以击中它?请说 明理由.
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[解]

1 (1)令y=0,得kx- 20 (1+k2)x2=0,由实际意义和题设

条件知x>0,k>0, 20k 20 20 故x= = 1≤ 2 =10,当且仅当k=1时取等号. 1+k2 k+k 所以炮的最大射程为10千米. (2)因为a>0,所以炮弹可击中目标? 1 存在k>0,使3.2=ka-20(1+k2)a2成立 ?关于k的方程a2k2-20ak+a2+64=0有正根 ?判别式Δ=(-20a)2-4a2(a2+64)≥0 ?a≤6. 所以当a不超过6千米时,可击中目标.
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本题(2)要确定炮弹可击中目标的条件,属条件探索性问题, 解题过程把结论看作条件,合理转化,有利于培养学生的逆向 思维能力.
[演练1] 如图,在三棱锥 P-ABC 中,AB⊥BC,AB=BC=kPA,点 O、 D 分别是 AC、PC 的中点,OP⊥底面 ABC. (1)求证:OD∥平面 PAB; (2)当 k 取何值时, 在平面 PBC 内的射影恰好为△PBC 的重心? O

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解:(1)证明:∵O,D分别为AC,PC的中点:∴OD∥PA, 又PA?平面PAB,OD?平面PAB, ∴OD∥平面PAB. (2)∵AB⊥BC,OA=OC, ∴OA=OC=OB,又∵OP⊥平面ABC,

∴PA=PB=PC.
取BC中点E,连结PE,OE,则BC⊥平面POE,作OF⊥PE于F,

则OF⊥平面PBC.
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∴F是O在平面PBC内的射影. ∵D是PC的中点,若F是△PBC的重心,则B,F,D三点共线, 直线OB在平面PBC内的射影为直线BD. ∵OB⊥PC,∴PC⊥BD,∴PB=BC,即k=1. 反之,当k=1时,三棱锥O-PBC为正三棱锥,

∴O在平面PBC内的射影为△PBC的重心.

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问题2:结论探索型
这类问题的基本特征是:有条件而无结论或结论的正 确与否需要确定.解决这类问题的策略是:先探索结论而 后去论证结论.在探索过程中常可先从特殊情形入手,通 过观察、分析、归纳、判断来作一番猜测,得出结论,再 就一般情形去认证结论.

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[典例2] 若干个能惟一确定一个数列的量称为该数列的“基本 量”. 设{an}是公比为 q 的无穷等比数列, 下列{an}的四组量中, 一定能成为该数列“基本量”的是第________组.(写出所有符 合要求的组号). ①S1 与 S2;②a2 与 S3;③a1 与 an;④q 与 an. (其中 n 为大于 1 的整数,Sn 为{an}的前 n 项和)

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[解析]

a2 ①由S1和S2,可知a1和a2.由 a =q可得公比q,故能 1

确定数列是该数列的“基本量”. ②由a2与S3,设其公比为q,首项为a1,可得a2=a1q,a1= a2 ,S3=a1+a1q+a1q2. q a2 ∴S3= q +a2+a2q,∴a2q2+(a2-S3)q+a2=0. 满足条件的q可能不存在,也可能不止一个,因而不能确定 数列,故不一定是数列{an}的基本量.
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③由a1与an,可得an=a1q

n-1

,q

n-1

an = a ,当n为奇数时,q 1

可能有两个值,故不一定能确定数列,所以也不一定是数列的 一组基本量. ④由q与an,由an=a1q
n-1

an ,可得a1= n-1 ,故数列{an}能够 q

确定,是数列{an}的一组基本量.

[答案]

①④

本题考查确定等比数列的条件,要求正确理解等比数列和 新概念“基本量”的意义.求解时应全面考察问题的各个方面, 这样不仅可以训练自己的思维,而且可以纵观全局,从整体上 对知识的全貌有一个较好的理解.
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[演练2] 某机床厂今年年初用98万元购进一台数控机床,并立即投入生 产使用,计划第一年维修、保养费用12万元,从第二年开始, 每年所需维修、保养费用比上一年增加4万元,该机床使用后, 每年的总收入为50万元,设使用x年后数控机床的盈利额为y万 元. (1)写出y与x之间的函数关系式; (2)从第几年开始,该机床开始盈利(盈利额为正值);

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(3)使用若干年后,对机床的处理方案有两种: ①当年平均盈利额达到最大值时,以30万元价格处理该机床; ②当盈利额达到最大值时,以12万元价格处理该机床. 问用哪种方案处理较为合算?请说明你的理由.
? ? x?x-1? ? ? 2 解:(1)y=50x-?12x+ ×4?-98=-2x +40x-98. 2 ? ?

(2)解不等式-2x2+40x-98>0, 得10- 51<x<10+ 51. ∵x∈N,∴3≤x≤17.故从第3年工厂开始盈利.

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? 98? y 98 (3)①∵x=-2x+40- x =40-?2x+ x ?≤40-2 2×98=12, ? ?

98 当且仅当2x= x 时,即x=7时,等号成立. ∴x=7时,年平均盈利额达到最大值,工厂共获利12×7+30 =114万元. ②y=-2x2+40x-98=-2(x-10)2+102,当x=10时,ymax= 102. 故x=10时,盈利额达到最大值,工厂共获利102+12=114万 元. 综合上述可知:方案①7年的总利润与方案②10年的总利润相 等,故选择方案①较为合算.
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问题3:存在判断型 这类问题的基本特征是:要判断在某些确定条件下的某一

数学对象(数值、图形、函数等)是否存在或某一结论是否成
立.解决这类问题的基本策略是:通常假定题中的数学对象存 在(或结论成立)或暂且认可其中的一部分的结论,然后在这个 前提下进行逻辑推理,若由此导出矛盾,则否定假设;否则, 给出肯定结论.其中反证法在解题中起着重要的作用.

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[典例3] x2 2y2 如图,在平面直角坐标系xOy中,已知点A为椭圆 9 + 9 =1 ??? ??? ? ? 的右顶点,点D(1,0),点P,B在椭圆上, BP = DA . (1)求直线BD的方程; (2)求直线BD被过P,A,B三点的圆C截得的弦长; (3)是否存在分别以PB,PA为弦的两个相外切的等圆?若存 在,求出这两个圆的方程;若不存在,请说明理由.

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??? ? ??? ? [解] 因为 BP = DA ,且A(3,0),D(1,0),所以BP=DA=
2,且B,P关于y轴对称,所以点P的横坐标为1,从而得 P(1,2),B(-1,2), 所以直线BD的方程为x+y-1=0. (2)由(1)可知线段BP的垂直平分线方程为x=0,线段AP的 垂直平分线方程为y=x-1, 所以圆C的圆心坐标为(0,-1),且圆C的半径为r= 10. |x+y-1| 又圆心(0,-1)到直线BD的距离为d= = 2,所以 2 直线BD被圆C截得的弦长为2 r2-d2=4 2.
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(3)假设存在这样的两个圆M与圆N,其中PB是圆M的弦, PA是圆N的弦,则点M一定在y轴上,点N一定在线段PA的垂直 平分线y=x-1上,当圆M和圆N是两个相外切的等圆时,一定 有P,M,N在一条直线上,且PM=PN. 设M(0,b),则N(2,4,-b),根据N(2,4,-b)在直线y=x- 1上,解得b=3. 所以M(0,3),N(2,1),PM=PN= 2 ,故存在这样的两个

圆,且方程分别为x2+(y-3)2=2,(x-2)2+(y-1)2=2.

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“存在”就是有,或者给予证明或者找出一个.“不存在”就 是没有,找不到.这类问题常用反证法加以认证.“是否存在” 的问题,结论有两种:如果存在,找出来;如果不存在,需说

明理由.这类问题常用“肯定顺推”. [演练3]
已知函数f(x)=-x2+8x,g(x)=6ln x+m. (1)求f(x)在区间[t,t+1]上的最大值h(t); (2)是否存在实数m,使得y=f(x)的图象与y=g(x)的图象有且只 有三个不同的交点?若存在,求出m的取值范围;若不存在, 说明理由.
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解:(1)f(x)=-x2+8x=-(x-4)2+16. 当t+1<4,即t<3时,f(x)在[t,t+1]上单调递增, h(t)=f(t+1)=-(t+1)2+8(t+1)=-t2+6t+7; 当t≤4≤t+1,即3≤t≤4时,h(t)=f(4)=16; 当t>4时,f(x)在[t,t+1]上单调递减, h(t)=f(t)=-t2+8t. t<3, ?-t2+6t+7, ? 综上,h(t)=?16, 3≤t≤4, ?-t2+8t, t>4. ?

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(2)函数y=f(x)的图象与y=g(x)的图象有且只有三个不同的交 点,即函数φ(x)=g(x)-f(x)的图象与x轴的正半轴有且只有三 个不同的交点. ∵φ(x)=x2-8x+6 ln x+m, 2x2-8x+6 2?x-1??x-3? 6 ∴φ′(x)=2x-8+x= = (x>0), x x 当x∈(0,1)时,φ′(x)>0,φ(x)是增函数; 当x∈(1,3)时,φ′(x)<0,φ(x)是减函数; 当x∈(3,+∞)时,φ′(x)>0,φ(x)是增函数;

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当x=1或x=3时,φ′(x)=0. φ(x)极大值=φ(1)=m-7, φ(x)极小值=φ(3)=m+6ln 3-15. 当x充分接近0时,φ(x)<0,当x充分大时, φ(x)>0. ∴要使φ(x)的图象与x轴正半轴有三个不同的交点,必须且只需
?φ?x?最大值=m-7>0, ? ? ?φ?x?最小值=m+6ln 3-15<0, ?

即7<m<15-6ln 3. ∴存在实数m,使得函数y=f(x)与y=g(x)的图象有且只有三个 不同的交点,m的取值范围为(7,15-6ln 3).
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问题4:规律探究型
这类问题的基本特征是:未给出问题的结论,需要由特 殊情况入手,猜想、证明一般结论.解决这类问题的基本策略 是:通常需要研究简化形式但保持本质的特殊情形,从条件出 发,通过观察、试验、归纳、类比、猜测、联想来探路,解题 过程中创新成分比较高.

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[典例4] 已知数列a1,a2,?,a30,其中a1,a2,?,a10是首项为 1,公差为1的等差数列;a10,a11,?,a20是公差为d的等差数 列;a20,a21,?,a30是公差为d2的等差数列(d≠0). (1)若a20=40,求d; (2)试写出a30关于d的关系式,并求a30的取值范围; (3)续写已知数列,使得a30,a31,?,a40是公差为d3的等差 数列,?,依次类推,把已知数列推广为无穷数列.提出同(2) 类似的问题((2)应当作为特例),并进行研究,你能得到什么样 的结论?
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[解]

(1)a10=10,a20=10+10d=40,∴d=3.

(2)a30=a20+10d2=10(1+d+d2)(d≠0),
?? 1?2 3? a30=10??d+2? +4?, ? ?? ?
? ? 当d∈(-∞,0)∪(0,+∞)时,a30∈??7.5,+∞??.

(3)所给数列可推广为无穷数列{an},其中a1,a2,?,a10是 首项为1,公差为1的等差数列,当n≥1时,数列a10n,a10n+1, a10(n+1)是公差为dn的等差数列.

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研究的问题可以是:试写出a10(n+1)关于d的关系式,并求 a10(n+1)的取值范围. 研究的结论可以是:由a40=a30+10d3=10(1+d+d2+d3), 依次类推可得a10(n+1)=10(1+d+?+dn)= 1-dn 1 ? ?10× , d≠1, 1-d ? ?10?n+1?, d=1. ?


当d>0时,a10(n+1)的取值范围为(10,+∞).

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本题以数列为依托考察学生对等差数列基本知识的理解应用.
[演练4] 在等差数列{an}中,若a10=0,则有等式a1+a2+?+an=a1+ a2+?+a19-n(n<19,n∈N*)成立.类比上述性质,相应地在 等比数列{bn}中,若b9=1,则有等式________成立.

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解析:首先等差数列{an}具有性质:所给等式两边为和式,项 数之和为n+(19-n)=19(定值),19与a10的序号关系为:2×10 -1=19; 类比上述性质,等比数列{bn}应有:等式两边为积式,项数之 和为x(定值),由于b9=1,x与b9的序号关系为2×9-1=17= x,故应填入的等式为:b1b2· bn=b1b2· b17-n(n<17,n∈ ?· ?· N*).

答案:b1b2· bn=b1b2· b17-n(n<17,n∈N*) ?· ?·

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[专题技法归纳] 1.条件探索型题目,其结论明确,需要完备使得结论成 立的充分条件,可变换思维方向,将题设和结论都视为已知 条件,进行演绎推理,推导出所需寻求的条件. 2.结论探索型问题,先探索结论而后去论证结论.在探 索过程中常可先从特殊情形入手,通过观察、分析、归纳、 判断来作一番猜测,得出结论,再就一般情形去认证结论.

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3.存在判断型问题,以探究“是否存在”为目标的开放性

问题是高考的一个热点,此类问题的探究,常以假设推理为基
础.当得到存在性的结论时,需要检查逆向推理是否正确;当 得出矛盾时,形成反证法,得出不存在的结论,对于不存在的 问题,也可举反例说明. 4.规律探究型问题,从已知条件出发,寻找共性,总结

出一般性结论,是从具体到抽象的认识过程.

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