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高等数学大纲

时间:2016-06-01


《高等数学》教学大纲
1.大纲说明
1.1 本“大纲”适用于我院三年制高等职业教育。 1.2 考虑到不同专业的要求及节假日等因素,必学部分可安排 8%左右的机动学 时。根据专业实际需要灵活安排。 1.3 执行本大纲对任课教师有全面的要求。要更新教育观念;要主动了解数学与 相关专业技术的“接口” ;要拓宽数学知识面,提高数学建模的能力;要积极探 索新的教学法方法

,努力提高教学质量。

2.本门课程的基本内容和教学任务
高等数学是高等职业技术学院学生的一门必修的重要基础理论课, 它是为培 养我国社会主义现代化建设所需要的高质量专门人才服务的。通过本课程的学 习,要使学生获得: 1 函数、极限、连续 2 一元函数微积分学 3 常微分方程 4 多元函数微积分学 5 线性代数 6 无穷级数(包括傅里叶级数) 7 拉普拉斯变换 等方面的基本概念、 基本理论和基本运算技能,为学习后继课程和进一步获得数 学知识奠定必要的基础。 在传授知识的同时,要通过各个教学环节逐步培养学生具有抽象思维能力、 逻辑推理能力、 空间想象能力和自学能力,还要特别注意培养学生具有比较熟练 的运算能力和综合运用所学知识去分析和解决问题的能力。

3.课程的教学目标
3.1 正确理解下列基本概念和它们之间的内在联系 函数,极限,无穷小,连续,导数,微分,极值,不定积分,定积分,偏导 数,全微分,条件极值,重积分,曲线积分,曲面积分,无穷级数,微分方程。 3.2 正确理解下列基本定理和公式并能正确运用 极限的主要定理,罗尔定理和拉格朗日中值定理,泰勒定理,定积分作为其 上限函数的求导定理,牛顿—莱布尼兹公式,格林公式,高斯公式。 3.3 牢固掌握下列公式
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两个重要极限,基本初等函数、双曲函数的导数公式,基本积分公式,函数 ex 、sinx、ln(1 +x) 、 (1 ? x) ? 的麦克劳林展开式。 3.4 熟练运用以下法则 和方法 导数的四则运算法则和复合函数的求导法,换元积分法和分部积分法,二重 积分的计算法, 正项级数的比值审敛法,变量可分离的方程及一阶线性微分方程 的解法,二阶常系数齐次线性微分方程的解法。 3.5 会运用微积分和常微分方程的方法解一些简单的几何、物理和力学问题

4.本课程内容的重点、难点及深度广度
4.1 极限与连续 重点:函数概念,复合函数概念,基本初等函数的性质及其图形,极限概念, 极限四则运算法则,两个重要极限,等价无穷小求极限,连续概念。 难点:重要极限,无穷小的比较。 4.2 导数与微分 重点:导数和微分的概念,导数的几何意义及函数的可导性与连续性之间的 关系,导数的四则运算法则和复合函数的求导法,基本初等函数导数公式,初等 函数的一阶、二阶导数的求法。 难点:导数定义,复合函数的求导法,隐函数和参数方程所确定的函数的高 阶导数,微分定义。 4.3 导数的应用 重点:罗必达法则,函数单调性的判定,函数极值的判定和求法,曲线的凹 凸和拐点。 难点:拉格朗日定理,极值与最值的区别,曲线的凹凸和拐点。 4.4 积分及其应用 重点:不定积分和定积分的概念及性质,不定积分的基本公式,不定积分、 定积分的换元法与分部积分法,变上限的积分作为其上限的函数及其求导定理, 牛顿—莱布尼兹公式, 用定积分表达一些几何量与物理量 (如面积、 体积、 弧长、 功、引力等) 。 难点:变上限积分函数的求导,广义积分,微元法,旋转体体积。 4.5 常微分方程 重点:变量可分离的方程及一阶线性方程的解法,二阶线性微分方程解的结 构,二阶常系数齐次线性微分方程的解法。 难点:二阶常系数非齐次线性微分方程的求解。 4.6 多元函数微积分简介
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重点:空间直角坐标系,向量的概念及其表示,向量的运算(线性运算、点 乘法、叉乘法) ,单位向量、方向余弦、向量的坐标表达式以及用坐标表达式进 行向量运算的方法,平面方程和直线方程及其求法,曲面方程的概念。 多元函数的概念,偏导数和全微分的概念,复合函数—阶偏导数的求法,多 元函数极值和条件极值的概念。二重积分的概念,二重积分的计算方法(直角坐 标、极坐标)及简单应用。 难点:向量的叉乘法,利用平面、直线的相互关系解决有关问题,曲线、曲 面的投影。复合函数的高阶偏导数,隐函数的偏导数,求空间曲线的切线和法平 面及曲面的切平面和法线, 。 4.7 线性代数 重点:行列式的性质,克莱姆法则,用矩阵初等变换求逆矩阵及解线性方程组, 一般线性方程组的解。 难点:逆矩阵求法,矩阵的秩。 4.8 无穷级数 重点:无穷级数收敛、发散以及和的概念,几何级数和 P—级数的收敛性, 正项级数的比值审敛法,比较简单的幂级数收敛区间的求法。 难点:正项级数的比较审敛法,交错级数的莱布尼兹定理,幂级数的收敛域 及和函数,函数展开为泰勒级数,函数展开为傅里叶级数。 4.9 拉普拉斯变换 重点:拉氏变换的定义,拉氏变换的性质,拉氏逆变换的求解,应用拉氏变 换解微分方程。 难点:拉氏逆变换的求解,应用拉氏变换解微分方程。

5.具体内容与学时分配
5.1 课程内容 5.1.1 极限与连续 函数:函数的概念,基本初等函数的性质与图形。 极限:数列极限与函数极限的定义,函数极限的性质(局部保号性、不等式 取极限) ,无穷小与无穷大的概念;极限的四则运算法则,两个重要极限,无穷 小的比较。 函数的连续性:函数点连续与区间连续的概念,闭区间上连续函数的性质。 5.1.2 导数与微分 导数与微分:导数的定义,导数的几何意义,可导与连续的关系;导数的四 则运算法则,复合函数求导法则,基本初等函数的导数公式;高阶导数的概念, 初等函数的二阶导数的求法, 隐函数和参数式所确定的函数的求导方法,二阶导
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数的求法;微分的定义,微分的运算法则(含微分形式的不变性) ,微分在近似 计算中的应用。 5.1.3 导数的应用 中值定理与导数的应用:拉格朗日中值定理;罗必达法则;用导数判定函数 的单调性,函数极值概念及其求法,简单的最大值最小值应用问题,用导数判定 函数曲线的凹凸性与拐点,函数作图。 5.1.4 积分及其应用 不定积分:不定积分的定义,不定积分的性质,不定积分的几何意义,基本 积分公式,换元积分法,分部积分法,简易积分表及其应用。 定积分及其应用:定积分的定义及其性质,定积分的几何意义,牛顿—莱布 尼茨公式,定积分的换元法和分部积分法;微元法,平面图形的面积,旋转体的 体积,广义积分的概念。 5.1.5 常微分方程 微分方程的一般概念:微分方程的定义、阶、解、通解、初始条件、特解。 一阶微分方程:可分离变量微分方程,齐次方程,一阶线性微分方程。 可将阶的二阶微分方程,二阶常系数线性微分方程,微分方程应用举例。 5.1.6 多元函数微积分简介 空间直角坐标系,向量的基本概念及其运算,平面与直线的方程,曲面方程 的概念和常用的曲面方程,空间曲线及其在坐标面上的投影。 多元函数:多元函数的概念,二元函数的几何表示,二元函数的极限与连续 性。 偏导数与全微分:偏导数的概念及其简单计算;全微分。 偏导数的应用:空间曲线的切线与法平面,曲面的切平面与法线;多元函数 的极值及其求法,最大值、最小值问题,条件极值,拉格朗日乘数法。 二重积分:二重积分的概念、性质及计算(直角坐标、极坐标) ;二重积分 的应用。 一般线性方程组:矩阵的秩,一般线性方程组的解,齐次线性方程组。 5.17 线性代数 行列式:二阶行列式,三阶行列式,n 阶行列式,行列式的性质,克莱 姆法则。 矩阵的概念和运算:矩阵的概念,矩阵的加减法,数与矩阵相乘,矩阵与矩 阵相乘,利用矩阵表示线性方程组。 逆矩阵:定义,逆矩阵的求法,用逆矩阵解线性方程组。 矩阵的初等变换:矩阵的初等行变换,用矩阵初等行变换求逆矩阵,用矩阵

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初等行变换解线性方程组。 5.1.8 无穷级数 常数项级数:无穷级数及其收敛与发散的定义,无穷级数的基本性质,级数 收敛的必要条件,几何级数和 P—级数的敛散性;正项级数的比较、比值及根值 审敛法,交错级数的莱布尼兹定理,绝对收敛与条件收敛的概念及其关系。 幂级数:幂级数的概念,阿贝尔定理,较简单的幂级数的收敛域的求法,幂 级数在其收敛区间内的基本性质,幂级数求和函数;泰勤级数,麦克劳林级数, 函数展开成幂级数,幂级数在近似计算中的应用。 傅里叶级数:三角级数概念,狄利克雷充分条件,函数展开为傅里叶级数, 奇偶函数的傅里叶级数,函数展开为正弦或余弦级数, (—?,?) , (0,?)上函 数的傅里叶级数。 5.1.9 拉普拉斯变换 拉氏变换的概念与性质:拉氏变换的定义,单位脉冲函数及其拉氏变换, 拉普拉斯变换的性质。 拉氏逆变换的求法。 拉氏变换的应用。 5.2 认知要求与能力培养 认知要求分为三个层次。了解:对知识有感性的、初步的认识,能识别它; 理解:对概念和规律过到理性的认识,能自述、解释和举例说明;掌握:能够应 用知识的概念和方法解决一些相关问题。对能力培养分以下几个方面:基本运算 能力、数形结合能力、简单实际应用能力、思维能力、空间想象能力。 5.3 学时分配 本课程的教学时数为 120 学时,学时分配如下表:
附表 1:学时分配表 教学环节 课程内容 极限与连续 导数与微分 导数应用 积分及其应用 常微分方程 多元函数微分简介 线性代数 无穷级数 拉普拉斯变换 共计 讲 课 10 16 10 14 8 12 14 12 6 102 习 题 课 2 2 2 2 2 2 2 2 2 18 小 12 18 12 16 10 14 16 14 8 120 计

附表 2:教学内容、教学要求和参考教学时数

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认知要求 基 本 运 算 * * * * * * 计 算 工 具 使 用

能力培养 数 形 结 合 简 单 实 际 应 用 空 间 想 象 逻 辑 思 维

知 识 内容

了 解

理 解

掌 握

学 时

极限与连续 导数与微分 导数的应用 积分及其应用 常微分方程 多元函数微积分简介 线性代数 无穷级数 拉普拉斯变换 合 计 * * * * * * *

* * * *

12 * * * * 18 12 16 10 14 16 14 8 120

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6.教学建议
6.1 教学原则: 1.贴近生活,结合实际,坚持理论联系实际。 2.能力培养应贯穿于课程教学的全过程。 3.面向全体学生,贯彻因材施教。 4.以学生为主体,采用启发式教学,逐步培养学生的自学能力。 6.2 要注意与中职基础的衔接。初等数学与微积分学部分宜安排在第一个学期教 学,工程数学可与前两部分连续安排,也可把某些内容划入相关后续课程。 6.3 要注意学习方法的指导,课外复习与练习时间与课堂教学时间一般以 1:1 为宜。 6.4 教学评价 6.4.1 评价原则:知识评价与能力评价相结合。 6.4.2 基本方法:形成性评价(课堂提问、个别答疑、阶段考察、竞赛等)与终 结性评价(期末考试)相结合。 6.5 考核方法: 平时成绩占总成绩的 30%。其中平时听课表现 10%;作业成绩 10%(习题量 给学生的作业题不少于各章节的 60%) ;课堂提问平时测验 10%; 期末成绩占总成绩的 70%; 考试方式:闭卷,时间为 100 分钟; 试题份量:以中等水平的考生在规定时间内答完全部试题为度; 若采用百分制以总成绩 60 分为及格。

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