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乌鲁木齐地区2014年高三年级第一次诊断性测验理科数学


乌鲁木齐地区 2014 年高三年级第一次诊断性测验

理科数学(问卷)
(卷面分值:150 分 考试时间:120 分钟) 注意事项: 1.本卷分为问卷和答卷两部分,答案务必书写在答卷(或答题卡)的指定位置上. 2.答卷前,先将答卷密封线内(或答题卡中的相关信息)的项目填写清楚.

第Ⅰ卷

(选择题


共 60 分)

一、选择题:每小题 5 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.设集合 A={x|x2?1≤0}, B={x|x≤0},则 A∩( ? RB) = A. {x|0≤x≤1| B. {x|0 < x ≤1} C. {x|x > 0} D. {x|x < -1} 2i 2.i 是虚数单位,则复数 的实部为 1-i A. -2 B. -1 C. 1 D. 2

S 1 3.设等比数列{an}的公比 q = ,前 n 项和为 Sn,则 5 ? 2 a
3

A. 5

B.

31 2

C.

15 2

D.

31 4

2 1 1 正视图 2 侧视图

4.下列函数中既不是奇函数,又不是偶函数的是 A.y=x3 B. y=2|x| C. y=|lgx|

D. y=tanx

? ?x-4y≤ -3 5.设 z=2x+y,其中变量 x , y 满足条件?3x+5y≤25 。若 z 的最小值为 3,则 m 的 ?x≥m ?
值为 A.1 B. 2 C. 3 D. 4 6.某几何体的三视图如图所示,则其侧面的直角三角形的个数为 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7.已知 y=sin( ωx + φ)(ω > 0 , |φ| ≤ π )在区间[ 0, 1]上是单调函数,其图象过点 2 π 2
俯视图

P1(?1 , 0) ,P2(0 , 1) ,则此函数的最小正周期 T 及 φ 的值分别是 A. T= 4, φ = π 2 B. T= 4, φ=1 C. T= 4π , φ= D. T= 4π, φ= -1

8.若某射手每次射击击中目标的概率为 P ( 0 < P < 1 ),每次射击的结果相互独立, 在他连续 8 次射击中, “恰有 3 次击中目标”的概率是“恰有 5 次击中目标”的 1 概率的 ,则 P 的值为 25 A. 1 6 B. 1 5 C. 4 5 D. 5 6

9.一个算法的程序框图如图所示,如果输入的 x 的值为 2014,则输出的 i 的结果为 A. 3 B. 5 C. 6 D. 8 2 10.直线 l 经过抛物线 y = 4x 的焦点,且与抛物线交于 A,B 两点,若 AB 的中点横坐标为 3,则线段 AB 的

长为 A. 5

B. 6

C. 7

D. 8

11.已知在△ABC 中,AB = 1,BC = 数对( s , t ) 为 A. (

6,AC = 2,点 O 为△ABC 的外心,若 AO ? s AB ? t AC ,则有序实 4 3 C. (? , ) 5 5 3 4 D. (? , ) 5 5

????

??? ?

????

4 3 , ) 5 5

B. (

3 4 , ) 5 5

12.已知函数 f (x)=ln(ex ??1) ( x > 0 ) A. 若 f (a) + 2a = f (b) + 3b,则 a > b C. 若 f (a) -2a = f (b) -3b,则 a > b

B. 若 f (a) + 2a = f (b) + 3b,则 a < b D. 若 f (a) -2a = f (b) -3b,则 a < b

第Ⅱ 卷

(非选择题

共 90 分)

本卷包括必考题和选考题两部分.第 13 题 ~ 第 21 题为必考题, 每个试题考生都必须作答.第 22 题 ~ 第 24 题为选考题,考生根据要求作答. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分

1 ? ? 13. ? 3 x ? ? 的展开式中常数项为 x? ?

6

×

(用数字作答) ; × × ; ;

14.中心在坐标原点,焦点在 y 轴上的双曲线的渐近线过点 P(2,1),则其离心率为 15.设数列 ?

? 1 ? ? 是公差为 1 的等差数列,且 a1=2,则数列{lgan}的前 9 项和为 ? an ? 1 ?

16.已知正方体 ABCD—A1B1C1D1 的棱长为 1,点 P 是线段 A1C1 上的动点,则四棱锥 P?ABCD 的外接球半 径 R 的取值范围是 × . 三、解答题第 17~21 题每题 12 分,解答应在答卷的相应各题中写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.已知△ABC 中,a , b , c 分别为角 A,B,C 的对边,a2 + b2 < c2,且 sin( 2C π 1 )= . 2 2

A1 B1

D1 C1

(Ⅰ)求角 C 的大小; a+b (Ⅱ)求 的取值范围. c

18.如图,在正方体 ABCD -A1B1C1D1 中,E 是 AB 的中点. A D (Ⅰ)在 B1C 上是否存在点 P,使 PB∥平面 B1ED,若存在,求出点 P E 的位置,若不存在请说明理由; B C (Ⅱ)求二面角 D -B1E -C 的平面角的余弦值 19.某市共有 100 万居民的月收入是通过“工资薪金所得”得到的,如图是抽样调查后得到的工资薪金所得 x 的频率分布直方图. 工资薪金个人所得税税率表如表所示.表中“全月应纳税所得额”是指“工资薪金 所得”减去 3500 元所超出的部分(3500 元为个税起征点,不到 3500 元不交税) 工资个税的计算公式为: “应纳税额”=“全月应纳税所得额”乘以“适用税率”减去“速算扣除数”. 例如:某人某月“工资薪金所得”为 5500 元,则“全月应纳税所得额”为 5500 -3500=2000 元,应纳 税额为 2000×10% -105=95(元) 。 在直方图的工资薪金所得分组中,以各组的区间中点值代表该组的各个值,工资薪金所得落入该区间 的频率为 x 取该区间中点值的概率. (Ⅰ)试估计该市居民每月在工资薪金个人所得税上缴纳的总税款;

(Ⅱ)设该市居民每月从工资薪金交完税后,剩余的为其月可支配额 y ( 元 ),试求该市居民月可支配 额 y 的数学期望
频率/组距
0.0002

全月应纳税所得额
0.00015

适用税率(%) 3 10 20 ??

速算扣除数 0 105 555 ??

不超过 1500 元
0.000075 0.00005 0.000025 2000 4000

超过 1500 元至 4500 元 超过 4500 元至 9000 元 工资薪金所得
6000 8000 10000 12000

????

x(元)

20.已知直线 x ??y ?1= 0 经过椭圆 C:

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的顶点和焦点 F. a 2 b2

(Ⅰ)求此椭圆的标准方程; (Ⅱ)斜率为 k,且过点 F 的动直线 l 与椭圆 C 交于 A,B 两点,点 A 关于 x 轴的对称点为 D,求证直 线 BD 过定点 21.已知函数 f (x) = ex ? e –x (x∈R) . (Ⅰ)求证:当 x≥0 时,f (x) ≥2x + x3 ; 3

(Ⅱ)试讨论函数 H (x) = f (x) ??ax (x∈R)的零点个数. 请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.作答时用 2B 铅笔在 答题卡上把所选题目的题号涂黑. 22.(本题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 B 如图,AB 是⊙O 的一条直径,过 A 作⊙O 的切线,在切线上取一 点 C,使 AC=AB,连接 OC,与⊙O 交与点 D,BD 的延长线与 AC 交于点 E,求证: O (Ⅰ)∠CDE = ∠DAE; D (Ⅱ)AE = CD 23.(本题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 C A E 已知曲线 C 的极坐标方程为 ρ = 2,以极点为原点极轴为 x 轴的正 半轴建立直角坐标系,P 是曲线 C 上的动点,点 A( 2 , 0 ) , M 是线段 AP 的中点 (Ⅰ)求点 M 轨迹的直角坐标方程; (Ⅱ)求证点 M 到点 E( 3 , 0 )、F( 3 , 0 )的距离之比是常数. 2

24.(本题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知关于 x 的不等式|x-3| + |x-4| < m 的解集不是空集. (Ⅰ)求参数 m 的取值范围的集合 M; (Ⅱ)设 a , b∈M , 求证:a ? b < ab ?1

乌鲁木齐地区 2014 年高三年级第一次诊断性测验

理科数学试题参考答案及评分标准
一、选择题:共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 选项 B B D C A C A D 9 A 10 D 11 A 12 A

1.选 B.【解析】∵ A ? ? x ?1 ? x ? 1? , ?R B ? ? x x ? 0? ,∴ A ? ? ?R B ? ? ? x 0 ? x ? 1? . 2.选 B.【解析】∵
2i ?1 ? i ? 2i 2i ? ? ?1 ? i ,∴ 的实部为 ?1 . 1 ? i ?1 ? i ??1 ? i ? 1? i
a1 ?1 ? q 5 ? 1? q ?

3.选 D.【解析】∵ S5 ?

S 31 1 31 a1 , a3 ? a1 , ∴ 5 ? . 16 4 a3 4
x

4.选 C.【解析】由函数奇偶性定义得 y ? x3 , y ? tan x 是奇函数, y ? 2 是偶函数, ∵ y ? lg x 的定义域为 ? 0, ?? ? , ∴ y ? lg x 既不是奇函数,又不是偶函数.
m?3 ? 3 ,解得 m ? 3 . 4 6.选 C.【解析】该几何体的直观图,如图所示

5.选 A.【解析】 由图可知,zmin ? 2 ? m ?

可知, ?PAB, ?PBC, ?PAD 是直角三角形, ∵ PC 2 ? PA2 ? AC 2 ? 9 , PD2 ? PA2 ? AD2 ? 8 , CD 2 ? 5 ,
PD2 ? PC 2 ? CD2 , ?PCD 不是直角三角形.

7.选 A.【解析】∵图象经过点 P 1 ? ?1, 0 ? , P 2 ? 0,1? ,
?? ? ? ? k1? ? ?sin ? ?? ? ? ? ? 0 ? ∴? ,解得 ? ?, ? ? 2 k ? ? ? ?sin ? ? 1 2 ? ? 2

由 ? ? 0, ? ?

?
2

及函数在区间 ? 0,1? 上是单调函数,可得 ? ? ? ?
5

?
2

,∴ T ? 4

3 3 8.选 D. 【解析】 由题意知, C8 P ?1 ? P ? ?

1 5 5 1 2 5 3 2 即 ?1 ? P ? ? 解得 P ? (舍) , C8 P ?1 ? P ? , P , 25 25 4

5 或P ? . 6

9.选 A.【解析】执行第一次运算时: a ? 2014, b ? ?
1 2013 ,b ? ,i ? 2 2013 2014 2013 执行第三次运算时: a ? , b ? 2014, i ? 3 2014 ∴输出 i ? 3

1 ,i ?1 2013

执行第二次运算时: a ? ?

10.选 D.【解析】设抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点为 F ,准线为 l0 ,分别过点 A, B 作直线 l0 的 垂线,垂足分别为 M , N ,由抛物线定义,得 AB ? AF ? BF ? AM ? BN ?
xA ? p p ? xB ? ? xA ? xB ? p ? 2 xC ? p ? 8 .( C 是 AB 的中点) 2 2

11.选 A.【解析】设 AB, AC 中点分别为 M , N ,
???? ? ???? ? ???? 1 ??? ? ??? ? ???? ? 1 ? ???? ? ??? 则 OM ? AM ? AO ? AB ? s ? AB ? t ? AC ? ? ? s ? AB ? t AC 2 ?2 ?

?

?

???? ???? ???? 1 ???? ??? ? ???? ? 1 ? ???? ??? ? ON ? AN ? AO ? AC ? s ? AB ? t ? AC ? ? ? t ? AC ? s AB 2 ?2 ?

?

?

???? ? ??? ? ???? ??? ? ???? ? ??? ? ???? ???? 由外心 O 的定义知, OM ? AB, ON ? AC ,因此, OM ? AB ? 0 , ON ? AC ? 0
? ???? ? ??? ? ? 2 ???? ??? ? ?? 1 ? ??? ?1 ? ??? ?? 2 ? s ? AB ? t AC ? ? AB ? 0 ,∴ ? 2 ? s ? AB ? t AC ? AB ? 0 ?① ? ? ? ?? ?

? ? 1 ? ???? 2 ???? ??? 同理: ? ? t ? AC ? s AC ? AB ? 0 ?② ?2 ?

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 2 ??? ? ??? ? ∵ BC ? AC ? AB ,∴ BC ? AC ? AB

?

?

2

??? ? 2 ??? ? ??? ? ??? ?2 ? AC ? 2 AC ? AB ? AB

???? ??? ? ??? ? ???? ??? ? AC 2 ? AB 2 ? BC 2 1 ? ? ?③ ∴ AC ? AB ? 2 2 ?1 ? 2 s ? t ? 0 4 3 把③代入①②得 ? ,解得 s ? , t ? . 5 5 ? 4 ? s ? 8t ? 0

12.选 A.【解析】易知, f ? x ? ? ln ? e x ? 1? ? x ? 0 ? 为增函数, ∴ 若 0 ? a ? b , 则 有 f ? a? ? f? ?b , 又 2a ? 2b? 3b, ∴ f ? a ? ? 2a ? f ? b ? ? 3b , 即
f ? a ? ? 2a ? f ? b ? ? 3b 成立,

∴它的逆否命题:若 f ? a ? ? 2a ? f ? b ? ? 3b ,则 a ? b 成立;

g ? x ? ? ln ? e x ? 1? ? 2 x 在 ? 0, ln 2 ? 递增,在 ? ln 2, ?? ? 递减,

g ? x ?max ? g ? ln 2 ? ? ?2 ln 2 ; g ? x ? ? ? ??, ?2 ln 2?

3? ? ? 3 ? ? ? x ? ? ln ? e x ? 1? ? 3 x 在 ? 0, ln ? 递增,在 ? ln , ?? ? 递减, 2? ? ? 2 ?

? ? x ?max ? ? ? ln ? ? 2 ln 2 ? 3ln 3 , ? ? x ? ? ? ??, 2ln 2 ? 3ln 3? ; 2
?

? ?

3?

当 y0 ? 2 ln 2 ? 3ln 3 时,方程 g ? x ? ? y0 有两解 x1 , x4 ,不妨设 x1 ? x4 ; 方程 ? ? x ? ? y0 也有两解 x2 , x3 ,不妨设 x2 ? x3 ; 又当 x ? 0 时, g ? x ? ? ? ? x ? ,∴ x1 ? x2 ? x3 ? x4 , 这样当 f ? a ? ? 2a ? f ? b ? ? 3b ? y0 时,就有 a ? b ,或 a ? b ,故,C. D.不正确. 二、填空题 :共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.填 135 .【解析】此二项式的展开式的通项为 Tr ?1 ? C ? 3x ?
r 6 6?r 3 6? r ? 1 ? r 6?r 2 ? C 3 x , 6 ? ? ? x? r

3 4 2 3 ? 135 . 令 6 ? r ? 0 , r ? 4 ,∴常数项为 T5 ? C6 2 1 b 14.填 5 .【解析】根据题意得,此双曲线的渐近线方程为 y ? ? x ,∴ ? 2 ,∴ e ? 5 . 2 a
? 1 ? 1 1 ? ? ? n ? 1? ?1 ? n , 15.填 1.【解析】 ∵ ? ? 是公差为 1 的等差数列,∴ an ? 1 a1 ? 1 ? an ? 1 ?

∴ an ?

1 n ?1 n ?1 ,∴ lg an ? lg ?1 ? ? lg ? n ? 1? ? lg n n n n

∴数列 ?lg an ? 的前 9 项和为 S9 ? ? lg 2 ? lg1? ? ? lg 3 ? lg 2 ? ? ? ? ? lg10 ? lg 9 ? ? 1.
?3 3 ? 16.填 ? , ? .【解析】如图,设 P ? ABCD 的外接球的球心为 G , ?4 2 ?

∵ A, B, C, D 在球面上, ∴球心在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 上下底面中心连线 O1O 上,点 P 也在球上,∴ GP ? GA ? R ∵棱长为 1,∴ OA ?
2 ,设 O1 P ? x, O1G ? y , 2

则 OG ? 1 ? y ,在 Rt ?GO1P 中,有 R 2 ? x 2 ? y 2 ?①,

? 2? 3 2 在 Rt ?GOA 中, R ? ? ?②,将①代入②,得 x 2 ? ? 2 y , ? 2 ? ? ? ?1 ? y ? 2 ? ?
2

2

∵ 0? x?

2 3 1 ? 9 3 1 3 2 ? , ∴ ? y ? , ∴ R 2 ? x 2 ? y 2? ? 2 y ? y2? ? ? y 1? ? ? ? , ? ,于是 2 2 ? 16 ? 4 2 2 4

?3 3 ? R?? , ?. ?4 2 ?

三、解答题 17.(12 分) (Ⅰ)∵ a 2 ? b2 ? c 2 ,∴ cos C ?
a 2 ? b2 ? c2 ? ? 0 ,∴ ? C ? ? ,故 ? ? 2C ? 2? 2ab 2

1 4? 2? ?? 1 ? 由 sin ? 2C ? ? ? ,得 cos 2C ? ? ,∴ 2C ? ,即 C ? ; ?6 分 2? 2 2 3 3 ?
?? ? sin A ? sin ? ? A ? 1 sin A ? 3 cos A a ? b sin A ? sin B ?3 ??2 2 (Ⅱ) ? ? 2? c sin C 3 sin 3 2
? 2 ?? ? sin ? A? ? 3? 3 ?
3 ?? 2? ? ? ? 2? ? ? sin ? A ? ? ? 1 ,知 0 ? A ? ,故 ? A ? ? ,∴ 2 3? 3 3 3 3 3 ?

由C ?



2 3 a?b 2 a?b 2 ? ? ? ,即 1 ? ? 3 c c 3 3 2 3

?12 分

18.(12 分) 如图,建立空间直角坐标系,设正方体的棱长为 2 , 则有 A ? 0, 0, 0 ? , B ? 2, 0, 0 ? , C ? 2, 2, 0 ? , D ? 0, 2, 0 ? ,
E ?1, 0, 0 ? , B1 ? 2, 0, 2 ?
???? ??? ? (Ⅰ) B1 E ? ? ?1, 0, ?2 ? , ED ? ? ?1, 2, 0 ? ,

设平面 B1 ED 的法向量 n1 ? ? a, b, c ? ,

???? ? ? a ? 2c ? 0 ?n1 ? B1E ? 0 则 ? ??? ,即 ? ,取 a ? 2 ,则 b ? 1, c ? ?1 , n1 ? ? 2,1, ?1? ? a ? 2b ? 0 ? n ? ED ? 0 ? ? 1 ??? ? 设 P ? 2, ? , 2 ? ? ? ,则 PB ? ? 0, ?? , ? ? 2 ?
??? ? ??? ? ∵ PB ? 平面 B1 ED ,∴当且仅当 n1 ? PB ,即 n1 ? PB ? 0 时, PB ∥平面 B1 ED

∴ ?? ? ? ? ? 2 ? ? 0 , ? ? 1 ,∴ P ? 2,1,1? , 即 P 是 B1C 的中点时, PB ∥平面 B1 ED ;
???? ??? ? (Ⅱ) B1 E ? ? ?1, 0, ?2 ? , EC ? ?1, 2, 0 ? ,设平面 B1 EC 的法向量 n2 ? ? x, y, z ?

?6 分

???? ? ?x ? 2z ? 0 ?n2 ? B1E ? 0 由 ? ??? ,得, ? ,取 x ? 2 ,则 y ? z ? ?1 , n2 ? ? 2, ?1, ?1? ? ?x ? 2 y ? 0 ? ?n2 ? EC ? 0
设二面角 D ? B1E ? C 的平面角为 ? ,易知 0 ? ? ? ∴ cos ? ? 19.(12 分) (Ⅰ)工资薪金所得的 5 组区间的中点值依次为 3 000,5 000,7 000,9 000,11000 , x 取这些值 的概率依次为 0.15, 0.3, 0.4, 0.1, 0.05 ,算得与其相对应的“全月应纳税所得额”依次为 ,按工资个税的计算公式,相应的工资个税分别为: 0 0,1500,3500,5500,7500 (元) (元) , , 1500 ? 3% ? 0 ? 45 (元) , 3500 ?10% ?105 ? 245 (元) , 5500 ? 20% ? 555 ? 545 (元) ; 7500 ? 20% ? 555 ? 945 (元) ∴该市居民每月在工资薪金个人所得税总收入为 ; ? 45 ? 0.3 ? 245 ? 0.4 ? 545 ? 0.1 ? 945 ? 0.05 ? ?106 ? 2.1325 ?108 (元) (Ⅱ)这 5 组居民月可支配额 y 取的值分别是 y1 , y2 , y3 , y4 , y5
y1 ? 3000 (元) ;
y2 ? 5000 ? 45 ? 4955 (元) ; y3 ? 7000 ? 245 ? 6755 (元) ;
n1 ? n2 2 ? . n1 n2 3

?
2

, ?12 分

?6 分

y4 ? 9000 ? 545 ? 8455 (元) ; y5 ? 11000 ? 945 ? 10055 (元) ;

∴ y 的分布列为:

3000 4955 6755 8455 0.15 0.3 0.4 0.1 P ∴该市居民月可支配额的数学期望为:

y

10055 0.05

Ey ? 3000 ? 0.15 ? 4955 ? 0.3 ? 6755 ? 0.4 ? 8455 ? 0.1 ? 10055 ? 0.05

? 5986.75 (元) 20.(12 分)
(Ⅰ)已知直线直线 x ? y ? 1 ? 0 经过椭圆 C :

?12 分
x2 y 2 ? ? 1 ? a ? b ? 0 ? 的短轴端点 ? 0, b ? 和右焦 a 2 b2

点 F ? c, 0 ? ,可得 b ? c ? 1 ,∴ a 2 ? b2 ? c2 ? 2 故椭圆 C 的标准方程为
x2 ? y 2 ? 1; 2

?5 分

(Ⅱ) 由椭圆 C 的方程可得右焦点为 F ?1, 0 ? , 因为直线 AB 的斜率为 k , 且直线经过右焦点 F , 所以直线 AB 的方程为 y ? k ? x ? 1? , 设 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,则点 D 的坐标为 ? x1 , ? y1 ?
2 x2 x12 2 2 ⑴当 k ? 0 时,因为点 B, D 在椭圆 C 上,∴ ? y2 ? 1, ? ? ? y1 ? ? 1 ?① 2 2 2 x12 ? x2 2 ? ? y12 ? y2 ? ? 0 ,依题意知 x1 ? x2 2

∴?

∴直线 BD 的斜率 k BD ?

y2 ? ? ? y1 ? x2 ? x1

?

1 x1 ? x2 2 y1 ? y2

则直线 BD 的方程为 y ? y2 ?

1 x1 ? x2 ? x ? x2 ? ?② 2 y1 ? y2

由①②得

? x1 ? x2 ? x ?
2

? y2 ? y1 ? y ?

x1 x2 ? y1 y2 ? 1 ?③ 2
2 x2 ?? k ? x ? 1? ? ?1, ? ? 2

把直线 AB 的方程代入椭圆 C 的方程得

即 ?1 ? 2k 2 ? x 2 ? 4k 2 x ? 2k 2 ? 2 ? 0 ?④ ∵ x1 , x2 是方程④的两个实数解,∴ x1 ? x2 ? 又 y1 ? k ? x1 ? 1? , y2 ? k ? x2 ? 1? , ∴ y1 y2 ? k ? x1 ? 1? k ? x2 ? 1? ? k 2 ? ? x1 x2 ? ? x1 ? x2 ? ? 1? ? ?⑥
? 2k 2 ? 2 ? 4k 2 ?k 2 ? ? 1 ? 把⑤代入⑥得, y1 y2 ? k 2 ? ?⑦ 2 2 1 ? 2k 2 ? ? 1 ? 2k ? 1 ? 2k

4k 2 2k 2 ? 2 , ?⑤ x x ? 1 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

把⑤⑦代入③得,

4k 2 x 2k 2 ? 2 1 ?k 2 ? ? y ? y y ? ? ? ?1 ? ? 2 1 1 ? 2k 2 2 1 ? 2k 2 2 1 ? 2k 2

2k 2 4k 2 x ? ? y2 ? y1 ? y ? 即 ,令 y ? 0 ,解得 x ? 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

此时,直线 BD 过定点 ? 2, 0 ? ⑵当 k ? 0 时, 点 A, B 为椭圆 C 的长轴端点, 故点 D 与点 A 重合, 此时直线 BD 即为 x 轴, 而 x 轴过点 ? 2, 0 ? ,则直线 BD 也过点 ? 2, 0 ? 综上所述,直线直线 BD 过定点 ? 2, 0 ? . 21.(12 分) (Ⅰ)令 g ? x ? ? f ? x ? ? 2 x ?
x3 , ? x ? 0? 3

?12 分

则 g ? ? x ? ? f ? ? x ? ? 2 ? x 2 ? e x ? e ? x ? 2 ? x 2 , g ?? ? x ? ? f ? x ? ? 2 x , ∵ g ??? ? x ? ? f ? ? x ? ? 2 ? e x ? e ? x ? 2 当 x ? 0 时, e x ? 0, e? x ? 0 ,∴ e x ? e ? x ? 2 e x ? e ? x ? 2 ?① ∴ g ??? ? x ? ? 0 ,∴函数 y ? g ?? ? x ? ? x ? 0 ? 为增函数, ∴ g ?? ? x ? ? g ?? ? 0 ? ? 0 ,即 f ? x ? ? 2 x ? 0 ?② ∴函数 y ? g ? ? x ? ? x ? 0 ? 为增函数, ∴ g ? ? x ? ? g ? ? 0 ? ? 0 ,即 e x ? e? x ? 2 ? x 2 ?③

∴函数 y ? g ? x ? ? x ? 0 ? 为增函数, ∴ g ? x ? ? g ? 0 ? ? 0 ,即当 x ? 0 时, f ? x ? ? 2 x ? (Ⅱ)⑴当 a ? 2 时,∵ H ? x ? ? f ? x ? ? ax ∴ H ? ? x ? ? f ? ? x ? ? a ? e x ? e? x ? a ? 2 e x ? e? x ? a ? 2 ? a ? 0 ∴函数 y ? H ? x ? ? x ? R ? 为增函数, 当 x ? 0 时, H ? x ? ? H ? 0 ? ? 0 ,当 x ? 0 时, H ? x ? ? H ? 0 ? ? 0 , ∴当 a ? 2 时,函数 y ? H ? x ? 的零点为 x ? 0 ,其零点个数为 1 个 ⑵当 a ? 2 时,∵对 ?x ? R , H ? ? x ? ? ? H ? x ? ∴函数 y ? H ? x ? 为奇函数,且 H ? 0 ? ? 0 ?④ 下面讨论函数 y ? H ? x ? 在 x ? 0 时的零点个数: 由(Ⅰ)知,当 x0 ? 0 时, e x0 ? e? x0 ? 2 ,令 a ? e x0 ? e? x0 ∴ H ? x ? ? f ? x ? ? ? e x0 ? e ? x0 ? x ? x ? 0 ? 则 H ? ? x ? ? f ? ? x ? ? ? e x0 ? e ? x0 ? , H ?? ? x ? ? f ?? ? x ? ? e x ? e? x 当 x ? 0 时, e x ? 1,0 ? e? x ? 1 ,∴ e x ? e? x ? 0 ,∴ H ?? ? x ? ? 0 ∴函数 y ? H ? ? x ? ? x ? 0 ? 为增函数 ∴当 0 ? x ? x0 时, H ? ? x ? ? H ? ? x0 ? ? 0 ;当 x ? x0 时, H ? ? x ? ? H ? ? x0 ? ? 0 ∴函数 y ? H ? x ? ? x ? 0 ? 的减区间为 ? 0, x0 ? ,增区间为 ? x0 , ?? ? ∴当 0 ? x ? x0 时, H ? x ? ? H ? 0 ? ? 0 ?⑤ 即对 ?x0 ? ? 0, x0 ? 时, H ? x ? ? 0 ?⑥ 又由(Ⅰ)知, H ? x ? ? f ? x ? ? ? e x0 ? e ? x0 ? x ? 2 x ?
? x2 ? ? x ? ? e x0 ? e ? x0 ? 2 ? ?3 ?

x3 成立; 3

?6 分

x3 ? e x0 ? e ? x0 x 3

?

?

?

?

2 当 x0 ? 0 时,由③知 e x0 ? e ? x0 ? 2 ? x0 ?

2 x0 ? 2 ,∴ 3 e x0 ? e? x0 ? 2 ? x0 3

?

?

故,当 x ? 3 e x0 ? e? x0 ? 2 ? 0 时,

?

?

x2 ? e x0 ? e? x0 ? 2 ? 0 3

?

?

? x2 ? ∴ x ? ? ? e x0 ? e ? x0 ? 2 ? ? ? 0 ,即 H ? x ? ? 0 ?⑦ ?3 ?

由函数 y ? H ? x ? ? x ? x0 ? 为增函数和⑥⑦及函数零点定理知,存在唯一实数
x? ? x0 , 3 e x0 ? e? x0 ? 2 ? 使得 H ? x ? ? ? 0 ,又函数 y ? H ? x ? , x ? R 为奇函数 ? ?

?

?

?

∴函数 y ? H ? x ? , x ? R ,有且仅有三个零点. 22.(10 分) (Ⅰ)∵ ?CDE ? ?ODB ? ?OBD 又∵ AC 与 ? O 切于点 A , AD 是弦,∴ ?DAE ? ?OBD ∴ ?CDE ? ?DAE ; ?5 分 (Ⅱ)∵ ?CDE ? ?CAD ,?C ? ?C ,∴ ?CDE ∽ ?CAD CD DE DE ∴ ,∴ CD ? AC ? ?① ? AC AD AD DE AE 而 ?ADE ∽ ?BAE ,∴ ?② ? AD AB AE 由①②得 CD ? AC ? AB 又∵ AC ? AB ,∴ AE ? CD . ?10 分 23.(10 分)
? x ? 2 cos ? (Ⅰ)曲线 C 的参数方程为 ? ,设 P ? 2 cos ? , 2sin ? ? , M ? x, y ? ? y ? 2sin ?

?12 分

2 cos ? ? 2 ? x? ? cos ? ? 1 ? 2 ? 2 则? ,即 ? x ? 1? ? y 2 ? 1 ? x ? 2 ? ; ? y ? 2sin ? ? sin ? ? ? 2

?5 分

(Ⅱ)设 M ? cos ? ? 1,sin ? ? ,



ME MF

?

3? ? 2 ? cos ? ? 1 ? ? ? sin ? 2? ?

5 ? cos ? 1 4 ? ? . 2 5 ? 4 cos ? 2 ? cos ? ? 1 ? 3? ? sin 2 ?

2

?10 分

24.(10 分)
?7 ? 2 x ? x ? 3 ? ? (Ⅰ)设函数 y ? x ? 3 ? x ? 4 ,则 y ? ?1 ? 3 ? x ? 4 ? ,画出其图象,可知 ymin ? 1, ? ?2 x ? 7 ? x ? 4 ?

要使不等式 x ? 3 ? x ? 4 ? m 的解集不是空集,需且只需 m ? 1 ∴ m 的取值范围的集合 M ? ?1, ?? ? ; (Ⅱ)∵ a, b ? M ,∴ a ? 1, b ? 1 ∵ a ? b ? ? ab ? 1? ? ? a ? ab ? ? ? b ? 1? ? ? a ? 1??1 ? b ? ∵ a ? 1 ? 0,1 ? b ? 0 ,∴ ? a ? 1??1 ? b ? ? 0 , ∴ a ? b ? ab ? 1 . 以上各题的其他解法,限于篇幅从略,请相应评分. ?10 分 ?5 分


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