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19.2双曲线的定义及其标准方程

时间:2015-03-26


2015年3月26日

复习
1. 椭圆的定义
平面内与两定点F1、F2的距离的 和 等于常数

2a ( 2a>|F1F2|>0) 的点的轨迹.

|MF1|+|MF2|=2a( 2a>|F1F2|>0)
2. 引入问题:

Y

r />M ? x, y ?

F1 ?? c, 0 ?

O

F2? c, 0 ? X

平面内与两定点F1、F2的距离的 差 等于常数 的点的轨迹是什么呢?

①如图(A), |MF1|-|MF2|=常数 ②如图(B),
|MF2|-|MF1|=常数

由①②可得: | |MF1|-|MF2| | = 常数 (差的绝对值)
上面 两条合起来叫做双曲线

双曲线在生活中

☆.☆

双曲线定义
平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值 等于常数(小于︱F1F2︱)的点的轨迹叫做双曲线.

| |MF1| - |MF2| | = 2a
① 两个定点F1、F2——双曲线的焦点; ② |F1F2|=2c ——焦距.
说明 思考: (1)2a<2c; (2)2a >0 ;
F
1

M

o

F

2

(1)若2a= |F1F2|,则轨迹是? (1)两条射线 (2)若2a> |F1F2|,则轨迹是? (2)不表示任何轨迹 (3)若2a=0,则轨迹是? (3)线段F1F2的垂直平分线

练习巩固:

下列方程各表示什么曲线?

(1)

( x ? 3) ? y ? ( x ? 3) ? y ? 4
2 2 2 2

方程表示的曲线是双曲线

(2)
(3)

( x ? 3) ? y ? ( x ? 3) ? y ? 5
2 2 2 2

方程表示的曲线是双曲线的右支

( x ? 3) ? y ? ( x ? 3) ? y
2 2 2

2

?6

方程表示的曲线是x轴上分别以F1和F2为端点, 指向x轴的负半轴和正半轴的两条射线。

( x ? 4) ? y ? ( x ? 4) ? y ? 25 (4)
2 2 2 2

共性:
1、两者都是平面内动点到两定点的距离问题;

2、两者的定点都是焦点;
3、两者定点间的距离都是焦距。 区别:

椭圆是距离之和;
双曲线是距离之差的绝对值。

双曲线的标准方程
求曲线方程的步骤: 1. 建系.

y
M

以F1,F2所在的直线为x轴,线段 F1F2的中点为原点建立直角坐标系
2.设点. 设M(x , y),则F1(-c,0),F2(c,0) 3.列式

F

O
1

F

2

x

|MF1| - |MF2|=±2a


4.化简

( x ? c) ? y ? ( x ? c) ? y ? ?2a
2 2 2 2

( x ? c) ? y ? ( x ? c) ? y ? ?2a
2 2 2 2

? ( x ? c)

2

?y

2

? ? ?? 2a ?
2

( x ? c) ? y
2

2

?

2

cx ? a 2 ? ? a ( x ? c) 2 ? y 2

(c ? a ) x ? a y ? a (c ? a )
2 2 2 2 2 2 2 2

c2 ? a 2 ? b2
x2 a2

? b 2 ? 1(a ? 0, b ? 0)

y2

此即为 焦点在x 轴上的 双曲线 的标准 方程

y
M
O

y
M F2

思考:

如何判断双曲线 焦点的位置?
x

F1
2

F2
2

x
2

O

F1

x y ? 2 ?1 2 a b

y x (a ? 0, b ? 0) ? ? 1 2 2 2 2 2 c ? a ?b a b

2

判断焦点的位置方法:

椭圆要看分母,焦点跟着大的走 双曲线看正负,焦点跟着正的走

双曲线与椭圆之间的区别与联系 椭
定义



双曲线
||MF1|-|MF2||=2a

|MF1|+|MF2|=2a

方程

2 2 x2 y 2 x y ? 2 ? 1(a ? b ? 0) ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 2 a b a b 2 2 y 2 x2 y x ? 2 ? 1(a ? b ? 0) ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 2 a b a b

焦点

F(±c,0)

F(±c,0)

F(0,±c)
a.b.c的关 系

F(0,±c)
a>0,b>0,但a不一 定大于b,c2=a2+b2

a>b>0,a2=b2+c2

x y 2.如果方程 ? ? 1表示双曲线, 2 ? m m ?1 求m的取值范围.
变式一:
x2 y2 ? ? 1 表示双曲线时,则m的取值范围 方程 2 ? m m ?1

2

2

变式二:

m ? ?1 或 m ? 2

x2 y2 ? ? 1表示焦点在y轴的双曲线时,求m的范围。 2 ? m m ?1

?m ? 1 ? 0 ?m?2 ? ?2 ? m ? 0

练习巩固: 方程(2+?)x2+(1+?)y2=1表示双曲线的充要条件 -2<?<-1 是 .

y2 x2 ?例1、求 双曲线 的焦点与焦距: ? ?1 25 144
解:由于a2=25,b2=144, 因此c2=169, c=13, 从方程看出,焦点在y轴上, 因此 焦点坐标为(0,-13)、(0,13), 焦距为26。

练一练:
求下列双曲线的焦点坐标及焦距: 2 2 x y

= 1 (1) 9 16 2 2 (2) x - y = 4 2 2 (3) y – 2x = 1

例 2 已 知 两 定 点 F1 (?5,0) , F2 (5,0) , 动 点 P 满 足
PF1 ? PF2 ? 6 , 求动点 P 的轨迹方程.

变式训练 1:已知两定点 F1 (?5,0) , F2 (5,0) ,动点 P 满足

PF1 ? PF2 ? 6 ,求动点 P 的轨迹方程. 解: ∵ F1F2 ? 10 >6, PF1 ? PF2 ? 6
∴ 由双曲线的定义可知, 点 P 的轨迹是双曲线的一支 (右支), ∵焦点为 F1 (?5,0), F2 (5,0)
x y ∴可设双曲线方程为: 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0). a b 2 2 2 ∵2a=6,2c=10,∴a=3,c=5.∴b =5 -3 =16.
x2 y2 ? ? 1 ( x ≥ 3) . 所以点 P 的轨迹方程为 9 16
2 2

求标准方程的关键是什么?

1、中心、焦点位置定位;
2、a、b 定量。 位置、大小定标准方程 X型 : Y型 :

x y ? 2 ?1 2 a b 2 2 y x ? 2 ?1 2 a b

2

2

例:求适合下列条件的 双曲线的标准方程 ( 1)a ? 4, b ? 1, 焦点在x轴; (2)a ? 2, c ? 4, 焦点在y轴; (3)焦点在y轴,通过点( 2, 2),(4,3);

,8 7 (4)焦点在x轴上,焦距为20,经过点P(8, ) 3

练习
1.求适合下列条件的双曲线的标准方程.
(1) a ? 4
b?3

(2)焦点(0,-6),(0,6),经过点(2,-5). (3)b=1,焦点为(0,-3),(0,3)

2.已知方程

x2 y2 ? ?1 1? k 1? k

表示双曲线,求k的取值范围.

定义 图
F1

||MF1|—|MF2||=2a(2a<|F1F2|)
y F2 x

y F2

o

o
F1

x


方程
x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 a b

y 2 x2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 a b

焦点
a.b.c的 关系

F1(-c,0),F2(c,0)

F1(0,-c),F2(0,c)

c2=a2+b2

作业:
《导学》P20页 8、9、10


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