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高二数学期末练习题一(文科)


高二数学期末练习题一(文科)
一.选择题: 1.已知集合 A ? ??1,0,1 ?, B ? ?1,2? ,则 A A. ??1,0,1? 2. 函数 g ? x ? ? B. ?0,1? ) B. x x ? ?3 D. x x ? ?3
2

B 等于(
C. ?1?

) D. ?1, 2?


x ? 3 的定义域为(

A. x x ? ?3 C . x x ? ?3

?

? ?
?

?

? ?

?

?

3.函数 f ( x) ? 1 ? 2sin ( x ?

) ,则 f ( ) ? ( 4 6 1 2
C.

?



A. ?

3 2
x ?x

B. ?

1 2

D. )

3 2

4.函数 f ? x ? ? e ? e (e 为自然对数的底数 ) 在 ? 0, ??? 上( A.有极大值 C. 是增函数 B. 有极小值 D.是减函数

5.已知函数 f ( x) ? x2 ? cos x, 则f (?0.5), f (0), f (0.6) 的大小关系是( A. f (?0.5) ? f (0.6) ? f (0) C. f (0) ? f (0.6) ? f (?0.5) 6.已知函数 f ( x) ? ? A. 4



B. f (0) ? f (?0.5) ? f (0.6) D. f (?0.5) ? f (0) ? f (0.6) )

x ? 0, ? x ? 1, 则函数 y ? f [ f ( x)] ? 1 的零点个数是( ?log 2 x , x ? 0,
C. 2 D. 1

B. 3

?2x , x ? 0, ? 7.设函数 f ( x) ? ? ,若关于 x 的方程 f 2 ( x) ? af ( x) ? 0 恰有三个不同的实数解,则实数 a 的取值 log x , x ? 0 ? ? 2
范围为( ) .

A. a 0 ? a ? 1或a ? 1 C. a a ? 1

?

?

B. a ? 1 ? a ? 1 D. a 0 ? a ? 1

?

?

?

?

?

?


8.已知 x ? 0, y ? 0 ,若

2 y 8x ? ? m2 ? 2m 恒成立,则实数 m 的取值范围是( x y
B. m ≥ 2 或 m ≤ ?4 D. ?2 ? m ? 4

A. m ≥ 4 或 m ≤ ?2 C. ?4 ? m ? 2 二.填空题:

9.已知函数 f ( x ) 是定义域为 R 的奇函数,且 f (?1) ? 2 ,那么 f (0) ? f (1) ?
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10.若函数 f ( x) ? ?

x ? ?2 , x ? 0 ,则函数 y ? f ( f ( x)) 的值域是 ?x ? 2 , x ? 0 ? ?

11.若直线 y=kx-3 与 y=2lnx 曲线相切,则实数 k=_________。 12.已知函数 f ( x) ? ?
2 ? ? x ? x, x ? 0, 为奇函数,则 a ? b ? 2 ? ?ax ? bx, x ? 0



13.设函数 f ? x ? ? ?

?x ? ?2 , x ? ? ??,1? , 若 f ? x ? ? 4 ,则 x 的取值范围是 2 x , x ? 1, ?? . ? ? ? ?

.

14.定义在 [1, ??) 上的函数 f(x)满足:① f(2x)=cf(x)(c 为正常数);② 当 2≤x≤4 时,f(x)=1-|x-3|.若函数 的所有极大值点均落在同一条直线上,则 c= 三.解答题: 1 x ?6 15.设全集 I=R 已知集合 M={x|(x+3)2≤0},N={x|2x2=( ) } 2 (1)求( ?I M )∩N (2)记集合 A=( ?I M )∩N,已知 B={x|a-1≤x≤5-a,a∈R},若 B∪A=A.求实数 a 的取值范围. .

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16.已知函数 f ( x) ? x 2 ? a ln x ( a ? R ). (1)若 a ? 2 ,求证: f ( x) 在 (1, ??) 上是增函数; (2 )求 f ( x) 在 [1, ??) 上的最小值.

17、已知函数 f ( x) ? x 3 ? x 2 ? ax(a ? R) (1)当 a=0 时,求与直线 x-y-10 =0 平行,且与曲线 y=f(x)相切的直线的方程; (2)求函数 g ( x ) ?

f ( x) ? a ln x( x ? 1) 的单调递减区间; x

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x3 ? (a ? 1) x 2 ? 4ax ? b, 其中a、b ? R 3 1 (Ⅰ )若函数 f ( x) 在 x ? 3 处取得极小值是 ,求 a、 b 的值; 2 (Ⅱ )求函数 f ( x) 的单调递增区间; (Ⅲ )若函数 f ( x ) 在 (?1,1) 上有且只有一个极值点, 求实数 a 的取值范围.
18.设函数 f ( x) ?

19.已知函数 f ? x ? ? ax ? bx ? c ? a ? 0 ? 满足 f ? 0? ? 0 ,对于任意 x ?R 都有 f ? x ? ? x ,且
2

? 1 ? ? 1 ? f ? ? ? x ? ? f ? ? ? x ? ,令 g ? x ? ? f ? x ? ? ? x ?1 ? ? ? 0? . ? 2 ? ? 2 ? (1)求函数 f ? x ? 的表达式;
(2)求函数 g ? x ? 的单调区间;

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高二数学期末练习题一(文科)参考答案
一.选择题: 题号 答案 二.填空题: 9.-2 12.0 1 C 2 B 10. (?1, ? ) 13. ? ??, ?2? 3 A 4 C 5 B 11. 2 e 14.1 或 2 6 A 7 D 8 C

1 2

1 ( ,1) 2

? 2, ???

三.解答题: - 15.解:(1)∵M={x|(x+3)2≤0}={-3},N={x|2x2=26 x}={x|x2+x-6=0}={-3,2}, ∴ ?I M ={x|x∈R 且 x≠-3},∴( ?I M )∩N={2}. (2)A=( ?I M )∩N={2},∵A∪B=A,∴B?A,∴B=? 或 B={2}. 当 B=? 时,a-1>5-a,∴a>3;当 B={2}时, ? 综上所述,所求 a 的取值范围为{a|a≥3}. 16. (1)证明:当 a ? 2 时, f ( x) ? x 2 ? 2 ln x ,当 x ? (1,??) 时, f ?( x) ? 所以 f ( x) 在 (1,?? ) 上是增函数. (2)解: f ?( x) ?

?a ? 1 ? 2 , 解得a ? 3 . ?5 ? a ? 2
2( x 2 ? 1) ? 0, x

2x 2 ? a ( x ? 0) , x 当 a ? 0 时, f '( x) ? 0 , f ( x ) 在 [1, ??) 上单调递增,最小值为 f (1) ? 1 .

a ) 时, f ( x) 单调递减; 2 a a ,??) 时, f ( x) 单调递增.若 ? 1 ,即 0 ? a ? 2 时, f ( x) 在 [1,??) 上单调递增, 当 x?( 2 2 又 f (1) ? 1 ,所以 f ( x) 在 [1,??) 上的最小值为 1 .
当 a ? 0 ,当 x ? (0,

a a a ? 1 ,即 a ? 2 时, f ( x) 在 [1, ) 上单调递减;在 ( ,??) 上单调递增. 2 2 2 a a a a a a a ) ? ? ln ,所以 f ( x) 在 [1,??) 上的最小值为 ? ln . 又 f( 2 2 2 2 2 2 2 综上,当 a ? 2 时, f ( x ) 在 [1, ??) 上的最小值为 1 ; a a a 当 a ? 2 时, f ( x ) 在 [1, ??) 上的最大值为 ? ln . 2 2 2 2 3 2 17.解: (1)设切点为 T ( x0 , x0 ? x0 ) ,由 f '( x0 ? 3x ? 2 x 及题意得 3x02 ? 2x0 ? 1 , 1 解得 x0=-1 或 x0= ,所以切线方程为 x-y+1=0 或 27x-27y-5=0. 3 a (2)因为 g(x)=x2+x-a-alnx (x>1),所以由 g '( x ) ? 2 x ? 1 ? ? 0 得 2x2+x-a>0, x


令 φ(x)= 2x2+x-a (x>1),因为 φ(x)在(1,+∞)上递增,所以 φ(x)>φ(1)=3-a, 当 3-a≥0 即 a≤3 时,g(x)的增区间为(1,+∞), 当 3-a<0 即 a>3 时,因为 φ(1)=3-a<0,所以 φ(x)的一个零点小于 1,另一个零点大于 1, 由 φ(x)=0 得零点 x1 ?

?1 ? 1 ? 8a ?1 ? 1 ? 8a ? 1, x2 ? ? 1, 4 4
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?1 ? 1 ? 8a ?1 ? 1 ? 8a , ??) . 即 g(x)的增区间为 ( , ??) . 4 4 3 18.解: ( I) ? f ' ( x) ? x 2 ? 2(a ? 1) x ? 4a , ? f ' (3) ? 9 ? 6(a ? 1) ? 4a ? 0 得 a ? . 2 1 b ? ?4 ? f (3) ? 解得: 2 (II)? f ' ( x) ? x 2 ? 2(a ? 1) x ? 4a ? ( x ? 2a)(x ? 2) ,令 f ' ( x) ? 0,即x ? 2a或x ? 2 当 a ?1 时,x ? 2a, x ? 2 ,即 f ( x) 的单调递增区间为 (??,2)和(2a,??)
从而 φ(x)>0 (x>1)的解集为 ( 当 a ?1 时,f ' ( x) ? ( x ? 2) 2 ? 0 ,即 f ( x) 的单调递增区间为 (??,??) 当 a ?1 时,x ? 2a, x ? 2 ,即 f ( x) 的单调递增区间为 (??,2a)和(2,??) (Ⅲ)由题意可得: ?

?a ? 1
' '

? f ( ?1) ? f (1) ? 0 1 1 ? a 的取值范围 (? , ) 2 2

? (2a ? 1)(2a ? 1) ? 0 ,

?

1 1 ?a? 2 2

19.(1) 解:∵ f ? 0? ? 0 ,∴ c ? 0 . ∵对于任意 x ?R 都有 f ? ? ∴函数 f ? x ? 的对称轴为 x ? ?
2

? 1 ? ? 1 ? ? x? ? f ?? ? x? , ? 2 ? ? 2 ?

又 f ? x ? ? x ,即 ax ? ? b ? 1? x ? 0 对于任意 x ?R 都成立,
2 ∴ a ? 0 ,且 ? ? ? b ? 1? ? 0 . ∵ ? b ? 1? ? 0 , ∴ b ? 1, a ? 1 . ∴ f ? x ? ? x ? x .
2 2

1 b 1 ? ? ,得 a ? b . ,即 ? 2 2a 2

1 ? 2 x ? ?1 ? ? ? x ? 1, x ? , ? ? ? (2) 解: g ? x ? ? f ? x ? ? ? x ? 1 ? ? ? x 2 ? ?1 ? ? ? x ? 1, x ? 1 . ? ? ? 1 ? ?1 2 ① 当 x ? 时,函数 g ? x ? ? x ? ?1? ? ? x ?1 的对称轴为 x ? , ? 2 ? ?1 1 ?1 ? ? ,即 0 ? ? ? 2 ,函数 g ? x ? 在 ? , ?? ? 上单调递增; 若 2 ? ?? ? ? ?1 1 ? 1 ? ?1 ? ? ? ?1 ? ? ,即 ? ? 2 ,函数 g ? x ? 在 ? 若 , ?? ? 上单调递增,在 ? , ? 上单调递减. 2 ? ?? 2 ? ? 2 ? 1 1? ? 1 2 ? , ② 当 x ? 时,函数 g ? x ? ? x ? ?1 ? ? ? x ? 1的对称轴为 x ? ? 2 ? ? 1? ? ? ? 1? ? 1 ? ? 则函数 g ? x ? 在 ? ? , ? 上单调递增,在 ? ??, ? ? 上单调递减. 2 ?? 2 ? ? ? ? 1? ? ? 综上所述,当 0 ? ? ? 2 时,函数 g ? x ? 单调递增区间为 ? ? , ?? ? ,单调递减区间为 2 ? ? 1? ? ? ? ? ??, ? ?; 2 ? ? ? 1 ? ? 1 ? ? ? ?1 ? 当 ? ? 2 时,函数 g ? x ? 单调递增区间为 ? ? , ?和? , ?? ? ,单调递减区间为 2 ?? ? 2 ? ? 1? ? ? ? 1 ? ?1 ? ? ? ??, ? ?和? , ?. 2 ? ?? 2 ? ?
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