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2016届高考数学二轮复习 第一部分 专题一 集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数专题跟踪训练4 文

时间:2016-01-28


专题跟踪训练(四)
一、选择题 1.已知集合 A={x|x>1},B={x|2x-x >0},则 A∪B=( A.{x|x>0} C.{x|1<x<2}
2 2

)

B.{x|x>1} D.{x|0<x<2}

[解析] 因为 B={x|x -2x&

lt;0}={x|0<x<2},所以 A∪B={x|x>0},故选 A. [答案] A 2.若 a>b>0,则下列不等式中总成立的是( 1 1 A.a+ >b+ ) 1 1 B.a+ >b+

a

b

b

a

C. >

b b+1 a a+1 b a b

D.

2a-b a > a+2b b

1 1 1 1 [解析] ∵a>b>0,∴ > .又 a>b,∴a+ >b+ ,故选 B.

a

[答案] B

x+y≥1, ? ? 3.(2015·湖南卷)若变量 x,y 满足约束条件?y-x≤1, ? ?x≤1,
( ) A.-1 C.1 B.0 D.2

则 z=2x-y 的最小值为

[解析] 画出可行域,如图中阴影部分所示,平移参照直线 2x-y=0,当直线 2x-y =z 经过 x+y=1 与 y-x=1 的交点(0,1)时,z 取最小值为 zmin=2×0-1=-1,选 A. [答案] A

1

3 2 4.若一元二次不等式 2kx +kx- <0 对一切实数 x 都成立,则 k 的取值范围为( 8 A.(-3,0) C.[-3,0) B.[-3,0] D.(-3,0]

)

[解析] 结合二次函数图象求解.由题意可得

k<0, ? ? ? ? 3? 2 Δ =k -8k×?- ?<0, ? ? 8? ?
[答案] A

解得-3<k<0,故选 A.

x-2≤0, ? ? 5.(2015·天津卷)设变量 x,y 满足约束条件?x-2y≤0, ? ?x+2y-8≤0,
+y 的最大值为( A.7 C.9 ) B.8 D.14

则目标函数 z=3x

[解析] 画出可行域,可知在点 A(2,3)处,目标函数 z=3x+y 有最大值 9.故选 C.

[答案] C 6 . (2015· 兰 州 第 二 次 模 拟 ) 已 知 f(x) 为 偶 函 数 , 当 x≥0 时 , f(x) =

? 1? cos π x,x∈?0, ?, ? ? ? 2? ? ?1 ? 2x-1,x∈? ,+∞?, ? ? ?2 ? ?1 2? ?4 7? A.? , ?∪? , ? ?4 3? ?3 4?

1 则不等式 f(x-1)≤ 的解集为( 2

)

1? ?1 2? ? 3 B.?- ,- ?∪? , ? 3? ?4 3? ? 4

2

?1 3? ?4 7? C.? , ?∪? , ? ?3 4? ?3 4?

1? ?1 3? ? 3 D.?- ,- ?∪? , ? 3? ?3 4? ? 4

1 1 1 1 1 [解析] 当 0≤x≤ 时,令 f(x)=cos π x≤ ,解得 ≤x≤ ;当 x> 时,令 f(x)=2x 2 2 3 2 2 1? 1 1 3 1 3 1 ? 3 -1≤ ,解得 <x≤ ,故有 ≤x≤ .因为 f(x)是偶函数,所以 f(x)≤ 的解集为?- ,- ? 3? 2 2 4 3 4 2 ? 4 1 ?1 3? ?1 2? ?4 7? ∪? , ?,故 f(x-1)≤ 的解集为? , ?∪? , ?,故选 A. 2 ?3 4? ?4 3? ?3 4? [答案] A 1 7.(2015·郑州外国语学校月考)若 a>b>1,P= lg a·lg b,Q= (lg a+lg b),R 2 =lg?

?a+b?,则( ? ? 2 ?
A.R<P<Q C.P<Q<R

) B.Q<P<R D.P<R<Q

1 a+b [解析] ∵a>b>1,∴lg a>lg b>0, (lg a+lg b)> lg a·lg b,即 Q>P.∵ > ab, 2 2 ∴lg

a+b
2

1 >lg ab= (lg a+lg b)=Q,即 R>Q,∴P<Q<R,故选 C. 2

[答案] C log2x,x>0, ? ? 8.设函数 f(x)=? 1 log ?-x?,x<0. ? ? 2 ( ) A.(-1,0)∪(0,1) B.(-∞,-1)∪(1,+∞) C.(-1,0)∪(1,+∞) D.(-∞,-1)∪(0,1)
?a>0 ? [解析] 由题意可得? ? ?log2a>-log2a

若 f(a)>f(-a),则实数 a 的取值范围是

a<0, ? ? 或? 1 log ?-a?>log2?-a?, ? ? 2
[答案] C

解得 a>1 或-1<a<0,因此选 C.

3

x≥2, ? ? 9.(2015·太原一模)已知实数 x,y 满足条件?x+y≤4, ? ?-2x+y+c≥0,
3x+y 的最小值为 5,则其最大值为( A.10 B.12 C.14 ) D.15

若目标函数 z=

[解析] 画出不等式组表示的平面区域,如图阴影部分所示.作直线 l:y=-3x,平 移 l,从而可知当 x=2,y=4-c 时,z 取得最小值,zmin=3×2+4-c=10-c=5,∴c=5, 4+c 8-c 当 x= =3,y= =1 时,z 取得最大值,zmax=3×3+1=10,故选 A. 3 3

[答案] A 10.若不等式 x +x-1<m x -mx 对任意的 x∈R 恒成立,则 m 的取值范围为( 5 A.-1, 3 5 B.(-∞,-1]∪ ,+∞ 3 5 C.-1, 3 5 D.-∞,- ∪(1,+∞) 3 [解析] 原不等式可化为(1-m )x +(1+m)x-1<0,由 1-m =0,得 m=1 或 m=-1. ①当 m=-1 时,不等式可化为-1<0,显然不等式恒成立; 1 ②当 m=1 时,不等式可化为 2x-1<0,解得 x< ,故不等式的解集不是 R,不合题意; 2
?1-m <0, ? 2 ③当 1-m ≠0 时,由不等式恒成立可得? 2 2 ? ?Δ =?1+m? -4?1-m ?×?-1?<0,
2 2 2 2 2 2 2

)

5 5 解得 m<-1 或 m> .综上,m 的取值范围为(-∞,-1]∪ ,+∞. 3 3
4

[答案] B 11. (2014·浙江考试院抽测)若正数 x, y 满足 x +3xy-1=0, 则 x+y 的最小值是( A. 2 3 2 2 B. 3 C. 3 3 2 3 D. 3 2 2 2 = (当且仅 9 3
2

)

1?1 ? 2x 1 2 [解析] 对于 x +3xy-1=0 可得 y= ? -x?,∴x+y= + ≥2 3?x ? 3 3x 当 x= 2 时等号成立),故选 B. 2

[答案] B 12.(2015·山西质监)若关于 x 的不等式 4a 恒成立,则 a 的取值范围为( )
x-1

<3x-4(a>0,且 a≠1)对于任意的 x>2

? 1? A.?0, ? ? 2?
C.[2,+∞) [解析] 不等式 4a
x-1

? 1? B.?0, ? ? 2?
D.(2,+∞) <3x-4 等价于 a
x-1

3 3 x-1 < x-1.令 f(x)=a ,g(x)= x-1,当 a>1 4 4

时,在同一坐标系中作出两个函数的图象,如图 1 所示,由图知不满足条件;当 0<a<1 时, 在同一坐标系中作出两个函数的图象,如图 2 所示,由题意知,f(2)≤g(2),即 a 1 ? 1? -1,即 a≤ ,所以 a 的取值范围是?0, ?,故选 B. 2 ? 2?
2-1

3 ≤ ×2 4

[答案] B

二、填空题 1-x 13.函数 f(x)=lg 的定义域是________. 1+x

5

1-x [解析] 由 >0 得-1<x<1.因此,函数 f(x)的定义域是(-1,1). 1+x [答案] (-1,1) 14.不等式 1

x-1

<1 的解集记为 p,关于 x 的不等式 x +(a-1)x-a>0 的解集记为 q,已

2

知 p 是 q 的充分不必要条件,则实数 a 的取值范围是________. [解析] 不等式
2

1

x-1

<1 等价于

1

x-1

-1<0,即

x-2 >0,解得 x>2 或 x<1,∴p={x|x>2 x-1

或 x<1}.不等式 x +(a-1)x-a>0 可以化为(x-1)(x+a)>0,要使 p 是 q 的充分不必要条 件,需满足 p?q.当-a<1 时,q={x|x>1 或 x<-a},此时不满足 p?q;当 a=-1 时,q= {x|x≠1},p?q,满足题意;当-a>1 时, q={x|x<1 或 x>-a},由 p?q 得-a<2,即-2<a< -1.综上可知,-2<a≤-1. [答案] (-2,-1] 15.已知 f(x)=log2(x-2),若实数 m,n 满足 f(m)+f(2n)=3,则 m+n 的最小值为 ________. [解析] 由 f(m)+f(2n)=3 得,log2(m-2)+log2(2n-2)=3,即(m-2)(n-1)=4, 所以 m + n = m - 2 + n - 1 +3≥2 ?m-2??n-1?+ 3 = 7 ,当且仅当 m - 2 = n - 1 ,即
? ?m=4 ? ?n=3 ?

时等号成立,故 m+n 的最小值为 7.

[答案] 7 16.已知函数 f(x)=log2x-2log2(x+c),其中 c>0.若对任意的 x∈(0,+∞),都有

f(x)≤1,则 c 的取值范围为________.
[解析] 因为 f(x)=log2x-2log2(x+c)=log2x-log2(x+c) =log2
2

x
?x+c?
2 2

,所以

由 f(x)≤1,得 log2

x
?x+c?

2

≤1,即

x
?x+c?

2

≤2,所以 2x +(4c-1)x+2c ≥0 在(0,+

2

4c-1 2 2 2 ∞)上恒成立.设 g(x)=2x +(4c-1)x+2c ,因为 g(0)=2c >0,所以若对称轴 x=- 2×2 1 4c-1 1 ≤0,则满足条件,解得 c≥ ;若对称轴 x=- >0,即 c< 时,应满足条件 Δ =(4c- 4 2×2 4 1 1 1 1 2 2 1) -4×2×2c ≤0,解得 c≥ ,所以 ≤c< .综上满足条件的 c 的取值范围为 c≥ . 8 8 4 8 1 [答案] [ ,+∞) 8

6


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