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1.3.1 第1课时 正弦函数的图象与性质


1.3

三角函数的图象与性质

1.3.1 正弦函数的图象与性质
第1课时 正弦函数的图象与性质

给定一个角x,我们可以得到它的正弦值 sin x, 这样我们就得到了一个函数y = sin x. 对于这个函数,它具有怎样的图象与性质? 带着这样的问题,我们来研究:

正弦函数的图象与性



1.了解用单位圆中的正弦线画出正弦函数图象的
原理.

2.掌握正弦函数图象的“五点作图法”.(重点)
3.理解正弦函数的定义域、值域、周期性、奇偶性 和单调性的意义.(难点) 4.会求简单函数的定义域、值域和单调区间. (重点)

在研究三角函数的图象和性质时,我们通常采用弧度
制来度量角,记为x,表示自变量,用y表示函数值. 于是,正弦函数表示为

y ? sin x
由正弦函数的定义,函数y ? sin x的定义域是实数集R.

探究点1:

正弦函数的图象

怎样来画正弦函数y=sin x的图象? 我们可以用单位圆中的正弦线画出y=sin x, x∈[0,2π]的图象(方法见下页).

y

y ? sin x,
1

x ?[0, 2? ]

B

o1

A

o

·

-1

·· 7? 4? 3? 5? 11? · · 6 3 2 3 6 2? · · ? ? ? · · · 2? 5? ? 6 3 ·· · · 23 6 ·

·

·

x

第一步:如图,在直角坐标系的x轴上任取一点O1 , 以O1为圆心作单位圆,从这个圆与x轴的交点A起, 把圆O1分为12等份(等份越多,作出的图象越精确) .

第二步:过圆上各分点分别作x轴的垂线,可以得到弧度为 ? ? ? ? 0, , , ,?, 2?的角的正弦线(例如O1 B对应于角 的正弦线) . 6 3 2 2 相应地,再把x轴上从0到2?这一段(2? ? 6.28)分成12等份, ? ? ? 2? 每个分点分别对应于x ? 0, , , , , 6 3 2 3 , 2?.

第三步:分别过这些分点作这些弧度数所对应的正弦线, 再用光滑的曲线把这些正弦线的终点连接起来,就得 到正弦函数y ? sin x, x ? ? 0,2? ?的图象.

因为 sin( x ? k 2? ) ? sin x,k ? Z , 所以正弦函数y ? sin x在 x ? ? -2? , 0? , x ? ? 2? , 4? ? , x ? ? 4? , 6? ? 时的图象与x ? ?0, 2? ? 的形状完全一样,只是位置不同因此我们把 . y ? sin x在x ?

?0, 2? ?的图象,沿x轴平移 ? 2? , ?4? ,
x ? R的图象.

就可以得到y ? sin x,

y ? sin x , x ? ? 0, 2? ?

y

y ? sin x , x ? R
3? 2

? 2? ? 4? ? 3?
3? - ? 2

-? 2

o

?? 2

2?

3?

4?

x

正弦函数y ? sin x, x ? R的图象叫做正弦曲线.
可以看出下面五点:

这种作图 方法叫做 “五点 法”.

? 3? (0, 0),( ,1),(?, 0),( , -1),(2?, 0) . 2 2 在确定图象形状时起着关键的作用这 . 五点描出后,正弦函数 y ? sin x, x ? ? 0, 2??的图象的形状就基本上确定了.

y
五点 法作 图:

? -2 ?o

?

?? 2? ? 2
3π 2

3? ? 2 ?

x

x
sinx

0
0

π 2

π
0



1

- 1

0

? 3? 五点 : ? 0 , 0 ? ( , 1) ? ? , 0 ? ( , ? 1) ? 2? , 0 ? 2 2

五点:最高点、最低点、与 x 轴的交点

探究点2:正弦函数的性质
由正弦函数y ? sin x, x ? R的图象,你可以归纳出正弦 函数有哪些性质?

1.值域:从正弦曲线可以看出,正弦曲线分布在y=1 和y=-1之间,这就表明正弦函数的值域是[-1,1].

当且仅当x ? 2k? ? 当且仅当x ? 2k? -

?
2

(k ? Z )时,正弦函数取得最大值1;

?

2

(k ? Z )时, 正弦函数取得最小值 -1.

2.周期性:由诱导公式 sin( x ? 2k? ) ? sin x ( ? k ? Z) 可知,

y ? sin x是以2k? 为周期的函数最小正周期为 . 2? .

提升总结:一般地,对于函数f ? x ? , 如果存在一个非零常数T, 使得定义域内的每一个x值,都满足: f ? x ? T ? ? f ? x?, 那么函数f ? x ? 就叫做周期函数,非零常数T叫做这个函数的周期. 根据这个定义,正弦函数y ? sin x是一个周期函数, 2k? ? k ? Z 且k ? 0 ? 都是它的周期.
正弦函数的周期 有无数个,随着 k的取值不同而 不同!

在正弦函数y ? sin x的周期2k? (k ? Z,且k ? 0)中,有一个最小 正数为2?,那么2? 就叫做正弦函数y ? sin x的最小正周期同样地, . 对于一个周期函数f ? x ? , 如果在它的所有周期中存在一个最小的 正数,那么这个最小正数就叫做它的最小正周期.

今后本书所涉及的周期, 如果不加特殊说明,均 默认为最小正周!

奇偶性:由诱导公式 sin(- x) ? -sin x, 可知,正弦函数y ? sin x 是奇函数, 正弦曲线关于原点对称?.
? ? 3? ? 单调性:在正弦函数的一个周期中,如 ?- , ? ,由正弦线 ? 2 2 ? 或正弦曲线都可以看出,当x由-

?

3? 到1;当x由 增大到 时, sin x由1减小到 -1.这种变化情况如 2 2 下表所示:

?

增加到 时, sin x由 ? 1增加 2 2

?

x

? 2

0
0

sinx -1

? 2 1

?
0

3? 2

-1

由正弦函数的周期性可知: 正弦函数y ? sin x在每一个闭区间

? ? ? ? ? 2 k ? , ? 2 k ? (k ? Z ) ? ? 2 ? 2 ? 上,都从 -1增大到1,是增函数;在每一个闭区间
3? ?? ? ? 2 k? , ? 2 k? ? ( k ? Z ) ? 2 ?2 ? 上,都从1减小到 -1, 是减函数.

【例题精讲】
例1.用“五点法”作函数y ? 1 ? sin x,在?0,2? ? 上的简图.

解:按五个关键点列表:

x
sin x 1+sin x

0

? 2
1 2

?
0 1

3? 2

2?

0 1

-1 0

0 1

描点作图:

例2.设 sin x ? t - 3, x ? R,求t的取值范围.

为 -1 ? sin x ? 1, 解:因?????

所以 -1 ? t - 3 ? 1, 由此解得2 ? t ? 4.
例3.求使下列函数取得最大值和最小值的x的取值范围, 并说出最大值和最小值是什么: () 1 y ? sin 2 x; (3) y ? (sin x -1) 2 ? 2. (2) y ? sin x ? 2;






Z

例4.求下列函数的周期: 1 ? (1)y ? sin 2 x; (2) y ? sin( x ? ). 2 6 解:()我 ()我 们 2x 看作一 个 新的 变变 量量 u, 即 ? 解: 1 们可以把 可以把 2x 看作一 个 新的 u ,u 即 u2x. ? 2 x. 函数 数y ? sin u的周期 为 22 ? ,这 就是 说 , 当当 函 的周期 为 ? ,这 就是 说 ,

u增加到且至少要增加到 增加到且至少要增加到uu ?? 2? ,函 数数 y? u的值才重复取得, u 2时 ?时 ,函 y sin ? sin u的值才重复取得, 而u u ? 2? ? ? 2(x ?? ?), 而 ? 2x 2 x? ?2 2 ??? 2( x ? ), 因此,当自 x增加到且必须 xx? 时 ,函 数 yy ?? sin u的值 因此, 自变 变量 量增加到且必 须增加到 增加到 ?? ? 时 ,函 数 sin u的值 才重复取得.. 才重复取得 因此,函数y 的周期 为?.? . 因此,函数 y? ?sin sin2x 2x 的周期为

1 ? (2)我们可以把 x ? 看作一个新的变量u,即 2 6 1 ? 1 ? u ? 2? ? x ? ? 2? ? ( x ? 4? ) ? . 2 6 2 6 因此,当自变量x增加到且必须增加到x ? 4? 时, 函数y ? sin u的值才重复取得. 1 ? 因此函数y ? sin( x ? )的周期为4? . 2 6 一般地,函数 y ? A sin(? x ? ? )(其中A ? 0, ? ? 0, x ? R) 2? 的周期T= .

?

例5 不通过求值,指出下列各式大于零还是小于零:
? ? (1)sin(? ) ? sin( ? ); 18 10 23 17 ? (2)sin(? ?) ? sin(? ). 5 4
π π π π 解:(1)因为 - < - < - < , 且函数y=sin x在 2 10 18 2

? ? π π 区间 [? , ] 上是增函数,所以 sin(- )< sin(- ), 10 18 2 2 π π 即sin(- )- sin(- )> 0. 18 10

(2)sin(-

23π 23π 3π 2π 2π )= -sin = -sin = -sin(π) = -sin , 5 5 5 5 5 17π 17π π sin()= -sin = -sin , 4 4 4 π 2π π π 上是增函数, < , 且y=sinx在 [0, 因为 0 < < ] 4 5 2 2 所以 sinπ < sin 2π. 4 5 于是 -sinπ > -sin 2π, 4 5 17π 23π sin()> sin(), 4 5 23π 17π 即sin()- sin()< 0. 5 4

1. y = sinx,x ∈? -π , π?的单调性是( B ) A.在 ? -π ,0? 上是增函数,在 ?0, π? 上是减函数 π ? ?π ? ? π π? ? B.在 ?- , ? 上是增函数,在 ?-π ,- ? 和 ? , π ? 上是减函数 2 ? ?2 ? ? 2 2? ? C.在 ?0, π? 上是增函数,在 ? -π ,0? 上是减函数 π ? ?π ? ? ? π π? D.在 ?-π ,- ?∪? , π ? 上是增函数,在 ?- , ? 上是减函数 2 ? ?2 ? ? ? 2 2?

2.(2013·江苏高考)函数 y = 3sin(2x ? ) 的最小
4

?

正周期为. 解:函数 y = 3sin(2x ? ) 的最小正周期
4

?

2? T= =? . 2

答案: π

3.不求值,比较下列各对正弦值的大小.

2? 3? (1)sin 与sin . 3 4
(2)sin 250 ? 与 sin 260 ? .

π 2π 3π 3π 解:(1)因 为 < < < , 2 3 4 2

且y=sin x在 ? ? ,

π 3π? 上是减函数, ? ?2 2 ?

2π 3π 所以 sin > sin . 3 4

(2) 因 为180 ? ? 250 ? ? 260 ? ? 270 ?,

并且y ? sin x在180? ? x ? 270?时是 减函数,
所 以 sin 250 ? ? sin 260 ?.

4.求y= 5+sin x这个函数的最大值、最小值和周
期,并求使这个函数分别取得最大值及最小值时

的x的集合.

y min ? 5 ? 1 ? 4,T ? 2? . 解: y max ? 5 ? 1 ? 6,
使y=5+sinx取得最大值的x的集合是:
? ? ? x x ? ? 2k ? , k ? Z ? ?; 2 ? ?

使y=5+sinx取得最小值的x的集合是:
? ? ? x x ? ? ? 2k ? , k ? Z ? ?. 2 ? ?

1.本节课我们学习了用单位圆中的正弦线作正弦函
数的图象、用“五点法”作正弦函数的简图的方法. 2.正弦函数的性质:

(1)值域;(2)周期性;(3)奇偶性;(4)单调性.

惟有埋头,才能出头,急于出人头地,除

了自寻苦恼之外,不会真正得到什么.
——莎翁


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