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揭阳市2016届高中三年级学业水平考试(理数)

时间:2016-03-05


揭阳市2016届高中三年级学业水平考试 数学(理科)
本试卷共 4 页,满分 150 分.考试用时 120 分钟. 注意事项: 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答题前,考生务必将自己的姓名、 准考证号填写在答题卡上. 2.回答第Ⅰ卷时,选出每个小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改 动,用橡皮搽干净后,再选涂其他答案标号,写在

本试卷上无效. 3.回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上,答在本试题上无效. 4.考试结束,将本试题和答题卡一并交回.

第Ⅰ卷
一、选择题:共12小题,每小题5分,共60分.在每个小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的.
1.已知集合 M ? {x | x2 ? 1}, N ? {?2, ?1,0,1,2} ,则 M ? N ? (A) {0} 2.复数 (B) {2} (C) {?2, ?1,1, 2} (D) {?2, 2}

i 1 ? 的实部与虚部的和为 1 ? i 2i 1 1 (A) ? (B) 1 (C) 2 2

(D)

3 2

3.在等差数列 ?an ? 中,已知 a3 ? a5 ? 2, a7 ? a10 ? a13 ? 9, 则此数列的公差为 (A)

1 3

(B)3

(C)

1 2

(D)

1 6

4. 如果双曲线经过点 P(2, 2) ,且它的一条渐近线方程为 y ? x ,那么该双曲线的方程是 (A) x ?
2

3y2 ?1 2

(B)

x2 y 2 ? ?1 2 2

(C)

x2 y 2 ? ?1 3 6

(D)

y 2 x2 ? ?1 2 2

5.利用计算机在区间 (0,1)上产生随机数 a ,则不等式 ln(3a ? 1) ? 0 成立的概率是

1 2 1 1 (B) (C) (D) 3 3 2 4 ? ? ? ? ?? ? ? 2 ? 2 ?? ?2 6.设 a, b 是两个非零向量,则“ (a ? b) ?| a | ? | b | ”是“ a ? b ”的
(A) (A)充分不必要条件 (C)充要条件 (B)必要不充分条件 (D)既不充分又不必要条件

1

7.已知奇函数 y ? f ( x) 的图象关于直线 x ? 2 对称,且 f (m) ? 3 , 则 f (m ? 4) 的值为 (A) 3
2

开始 输入S =15

i =1

(B) 0
4

(C) ?3

(D)

1 3

i >n ? 否 S =S (1-20% ) i =i +1



8.函数 f ( x) ? cos x ? cos x 的最大值和最小正周期分别为 (A)

1 ,? 4

(B)

1 ? , 4 2

(C)

1 ,? 2

(D)

1 ? , 2 2

9.某人以 15 万元买了一辆汽车,此汽车将以每年 20%的速度 折旧,图 1 是描述汽车价值变化的算法流程图,则当 n ? 4 时, 最后输出的 S 为 (A) 9.6 (B) 7.68 (C) 6.144 (D) 4.9152 10.如图 2,网格纸上小正方形的边长为 1,粗线画出的是一正方 体被截去一部分后所得几何体的三视图,则该几何体的表面 积为 (A) 54 (B)162 (C) 54 ? 18 3 (D) 162 ? 18 3

输出S 图1 结束

11 .已知直线 x ? y ? a ? 0 与圆心为 C 的圆 x2 ? y 2 ? 2 3x ? 4 3 y ? 7 ? 0 相交于 A, B 两点,且

??? ? ??? ? AC ? BC ? 4 ,则实数 a 的值为
(A) 3 或 ? 3
3

(B) 3 或 3 3
2

(C) 3 或 5 3

(D)3 3 或 5 3

12.若函数 f ( x) ? ?2 x ? ax ? 1存在唯一的零点,则实数 a 的取值范围为 (A) [0, ??) (B) [0,3] (C) (?3, 0] (D) (?3, ??)

第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考生都必 须做答.第 22 题~第 24 题为选考题,考生根据要求做答. 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,请把正确的答案填写在答题卡相 应的横线上.
?2 x ? y ? 4 ? 0 ? x? y?3? 0 13. 已知实数 x,y 满足 ? ,则目标函数 z ? 3 y ? 2 x 的最大值为 ? x ? 0 ? ? ?y?0


1? ? 3 14.在 ?1 ? x ?? x 2 ? ? 的展开式中, x 项的系数是 x? ?
2

6



15.已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 的一个面 A1B1C1 D1 在半径为 3 的半球底面上,A、B、C、D 四 个顶点都在此半球面上,则正方体 ABCD-A1B1C1D1 的体积为 16.设 Sn 是数列 {an } 的前 n 项和,且 a1 ? ?1 , . .

an ?1 ? S n ,则数列 {an } 的通项公式 an ? S n ?1

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17. (本小题满分 12 分) 已知 a, b, c 分别是 ?ABC 内角 A, B, C 的对边,且 3c sin A ? a cos C . (I)求 C 的值; (II)若 c ? 2a , b ? 2 3 ,求 ?ABC 的面积. 18. (本小题满分 12 分) 某商场销售某品牌的空调器,每周周初购进一定数量的空调器,商场每销售一台空调器可获利 500 元,若供大于求,则每台多余的空调器需交保管费用 100 元;若供不应求,则可从其他商店调 剂供应,此时每台空调器仅获利润 200 元. n? N ) (I) 若该商场周初购进 20 台空调器, 求当周的利润(单位: 元)关于当周需求量 n (单位: 台, 的函数解析式 f ( n) ; (II)该商场记录了去年夏天(共 10 周)空调器周需求量 n (单位:台),整理得下表: 周需求量 n 频数 18 1 19 2 20 3 21 3 22 1

以 10 周记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率,若商场周初购进 20 台空调器, X 表 示当周的利润(单位:元) ,求 X 的分布列和数学期望.

19. (本小题满分 12 分) 如图 3,在三棱柱 ABC A1B1C1 中,底面△ABC 是边长为 2 的 等边三角形,D 为 AB 中点. (I)求证:BC1∥平面 A1CD; (II) 若四边形 BCC1B1 是正方形,且 A 1D = 平面 CBB1C1 所成角的正弦值.
B

A

A1

D C 图3 B1 C1

5, 求直线 A1D 与

20. (本小题满分 12 分) 已知椭圆 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上,且短轴的长为 2,离心率等于 2 5 .
5

(I)求椭圆 C 的方程; (II)过椭圆 C 的右焦点 F 作直线 l 交椭圆 C 于 A、B 两点,交 y 轴于 M 点,若 MA ? ?1 AF ,

????

??? ?

???? ??? ? MB ? ?2 BF ,求证: ?1 ? ?2 为定值.

3

21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? a ln x ? (I)求 a 、 b 的值; (II)当 x ? 1 时,不等式 f ( x) ?

b( x ? 1) ,曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 y ? 2 . x ( x ? k ) ln x 恒成立,求实数 k 的取值范围. x ?1

请考生在第 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一个题目计分. 22. (本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 C 如图 4,四边形 ABCD 内接于⊙O,过点 A 作⊙O 的切线 EP 交 CB 的延长线于 P,已知 ?PAB ? 25 .
?

(I)若 BC 是⊙O 的直径,求 ?D 的大小; (II)若 ?DAE ? 25? ,求证: DA2 ? DC ? BP .

O

D E A 图4

B P

23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程

2? ? x ? t cos , ? ? 3 在平面直角坐标系 xOy 中,已知直线 l 的参数方程为 ? (t 为参数) ,以坐标原点 ? y ? 4 ? t sin 2? . ? 3 ?
为极点, x 轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程是 ? ? 4 . (I)写出直线 l 的普通方程与曲线 C 的直角坐标系方程; (II)设直线 l 与曲线 C 相交于 A、B 两点,求 ?AOB 的值.

24. (本小题满分 10 分)选修 4-5 不等式选讲 已知函数 f ( x) ?| x ? 2 | . (I)解不等式 f ( x) ? f ( x ? 1) ? 2 ; (II)若 a ? 0 ,求证: f (ax) ? af ( x) ? f (2a).

4

数学(理科)参考答案
一、本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要 考查内容比照评分标准制订相应的评分细则. 二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时,如果后续部分的解答未改变该题的内容和难 度,可视影响的程度决定给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后续部分的解答 y 有较严重的错误,就不再给分. x= 2 三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. Q' Q 四、只给整数分数. 一、选择题:D D A B A C C B C D C D x F( 2, 0) 解析:7.由函数 y ? f ( x) 的图象关于直线 x ? 2 对称得 f (2 ? x) ? f (2 ? x) , F ' O 则 f (m ? 4) ? ? f (4 ? m) ? ? f [2 ? (2 ? m)] ? ? f [2 ? (2 ? m)] ? ? f (m) ? ?3 .

1 1 1 ? cos 4 x 1 2 2 2 ? (1 ? cos 4 x) , 8. f ( x) ? cos x sin x ? ( sin 2 x) ? ? 2 4 2 8 1 ? 故 f ( x) max ? , T ? . 4 2 9.依题意知,设汽车 x 年后的价值为 S ,则 S ? 15(1 ? 20%) x ,结合程序
框图易得当 n ? 4 时, S ? 15(1 ? 20%)4 ? 6.144 . 10.依题意知该几何体如右图示:故其表面积为 3 ? 6 ?
2

y2 = 8x

P

3 2 3 ?6 ? ? (6 2)2 ? 162 ? 18 3 . 2 4

11.圆 x2 ? y 2 ? 2 3x ? 4 3 y ? 7 ? 0 即 ( x ? 3)2 ? ( y ? 2 3)2 ? (2 2)2 ,所以 C(? 3, 2 3) ,

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 4 1 ? ? ,所以圆心 C 到直线 ? 4 得 cos ?ACB ? ???? ???? | AC |?| BC |? 2 2 , 由 A C? B C | AC | ? | BC | 2

| a ?3 3 | ? ? 2 2 cos ? 6 ,故 a ? 3 或 5 3 . 6 2 3 2 3 2 12. 函数 f ( x) ? ?2 x ? ax ? 1 存在唯一的零点,即方程 2 x ? ax ? 1 ? 0 有唯一的实根 ? 直线
x ? y ? a ?0 的距离 d ?

2 x3 ? 1 2( x3 ? 1) g '( x ) ? 的图象有唯一的交点,由 ,可得 g ( x) 在 (??, ?1) 上 x2 x3 单调递增,在 (?1, 0) 上单调递减,在 (0, ??) 上单调递增,所以当 x ? ?1 时, g ( x) 有极小值,
y ? a 与函数 g ( x) ?

g ( x)极小 ? g (?1) ? ?3 ,故当 a ? ?3 时,直线 y ? a 与函数 g ( x) ?
[ 或因 f ?( x) ? ?6x2 ? 2ax, 由 f ?( x) ? 0 得 x ? 0 或 x ?

2 x3 ? 1 的图象有唯一的交点. x2

a ,若 a ? 0 显然 f ( x ) 存在唯一的零点,若 3 a a a ? 0 , f ( x) 在 (??, 0) 和 ( , ??) 上单调递减,在 (0, ) 上单调递增,且 f (0) ? 1 ? 0, 故 f ( x) 存 3 3 a 在唯一的零点, 若a ? 0, 要使 f ( x ) 存在唯一的零点, 则有 f ( ) ? 0, 解得 a ? ?3 , 综上得 a ? ?3 . ] 3 ??1,(n ? 1) ? 二、填空题:13. 9;14. 20;15. 2 2 ;16. ? 1 . .( n ? 2) ? n(n ? 1) ? 解析:15.设正方体的棱长为 x ,把半球补成全球,则问题为长、宽、高分别为 x 、 x 、 2 x 的长方

5

体内接于球,? x2 ? x2 ? (2x)2 ? (2 3)2 ,解得 x ? 16.由

2 ,所以正方体的体积为 2 2 .

an ?1 1 1 1 ? Sn ? ? ? ?1 ? ? ?1 ? (n ? 1) ? (?1) ? ?n , Sn?1 Sn Sn S n ?1

??1, (n ? 1) 1 ? . Sn ? ? ? an ? ? 1 .( n ? 2) n ? n(n ? 1) ?
三、解答题: 17.解: (I)∵ A 、 C 为 ?ABC 的内角, 由 3c sin A ? a cos C 知 sin A ? 0,cos C ? 0 ,结合正弦定理可得:

3 sin A a sin A ------------------------------------------------------------3 分 ? ? cos C c sin C

? tan C ?
∵0 ? C ??

3 ,-----------------------------------------------------------------4 分 3
∴C ?

?
6

.--------------------------------------------------------5 分

(II)解法 1:∵ c ? 2a , b ? 2 3 , 由余弦定理得: 4a ? a ? 12 ? 4 3a ?
2 2

3 ,----------------------------------------7 分 2

整理得: a ? 2a ? 4 ? 0
2

解得: a ?

?2 ? 2 5 ? ?1 ? 5 (其中负值不合舍去)--------------------------------9 分 2
1 ab sin C 得 2

∴ a ? 5 ? 1 ,由 S?ABC ?

1 1 3( 5 ? 1) ?ABC 的面积 S?ABC ? ? ( 5 ? 1) ? 2 3 ? ? .-------------------------12 分 2 2 2
【解法 2:由 c ? 2a 结合正弦定理得: sin A ? ∵ a ? c, ∴ A ? C ,

1 1 sin C ? ,--------------------------6 分 2 4

∴ cos A ? 1 ? sin A ?
2

15 ,------------------------------7 分 4

∴ sin B ? sin[? ? ( A ? C )] ? sin( A ? C )

6

1 3 15 1 15 ? 3 ? sin A cos C ? cos A sin C = ? ,--------------------------9 分 ? ? ? 4 2 4 2 8
由正弦定理得: a ?

b sin A ? 5 ? 1 ,---------------------------------------------10 分 sin B

∴ ?ABC 的面积 S?ABC ?

1 1 1 3( 5 ? 1) .-----------12 分】 ab sin C ? ? ( 5 ? 1) ? 2 3 ? ? 2 2 2 2

18.解: (I)当 n ? 20 时, f (n) ? 500 ? 20 ? 200 ? (n ? 20) ? 200n ? 6000 --------------2 分 当 n ? 19 时, f (n) ? 500 ? n ? 100 ? (20 ? n) ? 600n ? 2000 --------------------------4 分 所以 f (n) ? ?

? 200n ? 6000(n ? 20) (n ? N ) ----------------------------------------5 分 ?600n ? 2000 (n ? 19)

(II)由(1)得 f (18) ? 8800, f (19) ? 9400, ---------------------------------------6 分 f (20) ? 10000, f (21) ? 10200, f (22) ? 10400, -------------------------------------7 分

? P( X ? 8800) ? 0.1, P( X ? 9400) ? 0.2, P( X ? 10000) ? 0.3, P( X ? 10200) ? 0.3, P( X ? 10400) ? 0.1, -----------------------9 分 X 的分布列为
X

8800
0.1

9400
0.2

10000
0.3

10200
0.3
A

10400
0.1

P

? EX ? 8800 ? 0.1 ? 9400 ? 0.2 ? 10000 ? 0.3 ? 10200 ? 0.3 ? 10400 ? 0.1 ? 9860. ------12 分
19.(I)证法 1:连结 AC1,设 AC1 与 A1C 相交于点 E,连接 DE, 则 E 为 AC1 中点,-------------------------------2 分 ∵D 为 AB 的中点,∴DE∥BC1,------------------4 分 ∵BC1 ? 平面 A1CD,DE ? 平面 A1CD,-------------5 分 ∴BC1∥平面 A1CD. ------------------------------6 分 【证法 2:取 A1B1 中点 D1 ,连结 BD1 和 C1D1 ,------1 分 ∵ BD 平行且等于 A1D1 ∴ A1D / / BD1 ∴四边形 BD A1D1 为平行四边形
B D C B1 E C1 A1

-----------------------------------------------------------------2 分
A D1 C B B1 C1 A1

∵ A1D ? 平面 ACD , BD1 ? 平面 ACD 1 1 ∴ BD1 / / 平面 ACD ,------------------------------3 分 1 同理可得 C1D1 / / 平面 ACD ------------------------4 分 1 ∵ BD1 ? C1D1 ? D1

/ / 平面 BD1C1 ∴平面 ACD 1

D

又∵ BC1 ? 平面 BD1C1 ∴BC1∥平面 A1CD. ------------------------------6 分】 (II) ? AD +A =A1D 1A = 5 又 B1B ^ BC, B1B / / A1 A 又 AD ? BC ? B
2 2 2

\ A1 A^ A D , -------------------------------------7 分
, \ A1 A^ B C

\ A1 A ^ 面 ABC -------------------------------------------8 分

7

法一:设 BC 的中点为 O, B1C1 的中点为 O1 ,以 O 为原点,OB 所在的直线为 x 轴, OO1 所在的直 线为 y 轴, OA 所在的直线为 z 轴,建立空间直角坐标系 O ? xyz .---------------9 分

骣 1 3÷ ÷ ? 则 A1 0, 2, 3 , D ? ? , 0, ÷.

(

)

z A A1

? 2 桫

2 ÷

???? ? ∴ A1D ? ( 1 ,?2,? 3 ),--------------------10 分 2 2
平面 CBB1C1 的一个法向量 n = (0,0,1),
?????? ??? ???? ? ? | A1 D ? n | 15 ?????? ??? ? | cos ? A1 D,n ?|? . 10 | A1 D | ? | n |

D
O

?

C
O1

C1 y

x

B

B1

所以直线 A1D 与平面 CBB1C1 所成角的正弦值为

15 .-------------------------------12 分 10
A A1

【法二:取 B1C1 的中点 H ,连结 A1H ,则 A 1H ? B 1C1 -------------------------------7 分 ∵ AA1 ? 面 A1B1C1 ,故 AA 1 ? A 1H ,? BB 1 ? A 1H
D

? B1C1 ? BB1 ? B1 ,? A1H ? 面 BCC1B1 ------9 分
延长 A1D 、 B1B 相交于点 F ,连结 FH ,
F B

C H B1

C1

则 ?A 1FH 为直线 A 1 所成的角. ------------------------------------10 分 1 D 与平面 BCC1B 因为 D 为 AB 的中点,故 A 1F ? 2 5 ,又 A 1H ? 3

?sin ?A1FH ?

3 15 ? 2 5 10
15 .------------------------------12 分】 10

即直线 A1D 与平面 BCC1B1 所成的角的正弦值为

【法三:取 B1C1 的中点 H ,连结 A1H ,则 A 1H ? B 1C1 -------------------------------7 分 ∵ AA1 ? 面 A1B1C1 ,故 AA 1 ? A 1H ,? BB 1 ? A 1H

? B1C1 ? BB1 ? B1 ,? A1H ? 平面 BCC1B1 ------------------------------------------9 分
MN ? 平面 BCC1B1 , 取 A1B1 中点 M,连结 BM,过点 M 作 MN / / A 1H ,则
连结 BN,∵ A 1 D / / BM , ∴ ?MBN 为直线 A1D 与平面 BCC1B1 所成的角,---10 分
D C
8

A

A1 M C1 B1 N H

B

1 AH MN 2 1 3 15 ? ? ? ∵ sin ?MBN ? , BM A1 D 2 5 10
即直线 A1D 与平面 BCC1B1 所成的角的正弦值为

15 .------------------------------12 分】 10

20.解: (I)设椭圆 C 的方程为

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) , a2 b2

则由题意知 2b = 2, \ b = 1. -------------------------------------------------------2 分

1 2 5 a 2 ? b2 2 5 ? 1? 2 ? ? 2 a 5 a 5
解得 a ? 5 ,--------------------------------------------------------------------4 分
2

∴椭圆 C 的方程为

x2 ? y 2 ? 1. ---------------------------------------------------5 分 5

(II)证法 1:设 A、B、M 点的坐标分别为 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), M (0, y0 ) , 易知 F 点的坐标为(2,0). ------------------------------------------------------6 分 显然直线 l 的斜率存在,设直线 l 的斜率为 k,则直线 l 的方程是 y ? k ( x ? 2) ,----------7 分 将直线 l 的方程代入到椭圆 C 的方程中,消去 y 并整理得

(1 ? 5k 2 ) x2 ? 20k 2 x ? 20k 2 ? 5 ? 0 ------------------------------------------------9 分
? x1 ? x 2 ? 20k 2 20k 2 ? 5 , x x ? . -------------------------------------------10 分 1 2 1 ? 5k 2 1 ? 5k 2
x1 x2 , ?2 ? . 2 ? x1 2 ? x2

又? MA ? ?1 AF, MB ? ?2 BF, 将各点坐标代入得 ?1 ?

40k 2 40k 2 ? 10 ? 2 2 x x 2( x1 ? x2 ) ? 2 x1 x2 ? ?1 ? ?2 ? 1 ? 2 ? ? 1 ? 5k 2 1 ? 5k ? ?10. -------12 分 2 40k 20k ? 5 2 ? x1 2 ? x2 4 ? 2( x1 ? x2 ) ? x1 x2 4? ? 1 ? 5k 2 1 ? 5k 2
【证法二:设点 A、B、M 的坐标分别为 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), M (0, y0 ). 易知 F 点的坐标为(2,0). ------------------------------------------------------6 分

? MA ? ?1 AF ,? ( x1 , y1 ? y 0 ) ? ?1 (2 ? x1 ,? y1 ). ∴ x1 ?

y 2?1 , y1 ? 0 . ------------7 分 1 ? ?1 1 ? ?1

9

将 A 点坐标代入到椭圆方程中,得 (

y 1 2?1 2 ) ? ( 0 ) 2 ? 1. 去分母整理得 5 1 ? ?1 1 ? ?1

2 2 ?1 ? 10?1 ? 5 ? 5 y0 ? 0. --------------------------------------------------------9 分

同理,由 MB ? ?2 BF 可得 ?2 2 ? 10?2 ? 5 ? 5 y0 2 ? 0 ---------------------------------10 分 即 是方程? 2? 10? ? 5 ? 5 y
2 0

? 0 的两个根,? ?1 ? ?2 ? ?10. -------------------12 分】

21.解: (I)∵ f ?( x ) ?

a b ? , 且直线 y ? 2 的斜率为 0,又过点 (1, 2) , x x2

? f (1) ? 2, ? ∴? 1 -------------------------------------------------------------------2 分 f ?(1) ? , ? ? 2
即?

?b ? 1, 解得 a ? 1, b ? 1. -----------------------------------------------------3 分 ?a ? b ? 0,
( x ? k ) ln x x2 ?1 x2 ?1 ? ( x ? 1) ln x ? ? ( x ? k ) ln x ? (k ? 1) ln x ? ? 0. ----------------5 分 x ?1 x x

(II)当 x ? 1 时,不等式
f ( x) ?

令 g ( x) ? (k ? 1) ln x ?
2

x2 ? 1 k ?1 1 x 2 ? (k ? 1) x ? 1 , g ?( x) ? ?1? 2 ? ,----------------7 分 x x x x2

令 m( x) ? x ? (k ?1) x ? 1 ,

1? k ? 1, 即 k ? ?1 时,m( x) 在 (1, ??) 单调递增且 m(1) ? 0 , 所以当 x ? 1 时,g ?( x) ? 0 ,g ( x) 2 ( x ? k ) ln x 在 (1, ??) 单调递增,? g ( x) ? g (1) ? 0. 即 f ( x) ? 恒成立.------------9 分 x ?1 1? k 1? k 1? k ? 1, 即 k ? ?1 时, m( x) 在上 (1, ) 上单调递减,且 m(1) ? 0 ,故当 x ? (1, ) 时, ②当 2 2 2 ? ,?
①当

m( x) ? 0 即 g ?( x) ? 0,
所以函数 g ( x) 在 (1, 当 x ? (1,

1

2

1? k ) 单调递减,----------------------------------------------10 分 2

1? k ) 时, g ( x) ? 0, 与题设矛盾, 2

综上可得 k 的取值范围为 [?1, ??). ------------------------------------------------12 分 22.解: (I)? EP 与⊙O 相切于点 A,??ACB ? ?PAB ? 250 ,-----------------------1 分 又 BC 是⊙O 的直径,??ABC ? 650 ----------------------------------------------3 分

10

? 四边形 ABCD 内接一于⊙O,??ABC ? ?D ? 1800
??D ? 1150. -------------------------------------------------------------------5 分 (II)? ?DAE ? 250 , ??ACD ? ?PAB, ?D ? ?PBA, ??ADC ? ?PBA. --------------------------------------------------------------7 分 DA DC ? ? . ------------------------------------------------------------------8 分 BP BA 又 DA ? BA, ? DA2 ? DC ? BP. --------------------------------------------------10 分 23.解: (I)直线 l 的普通方程为 3x ? y ? 4 ? 0 ,------------------------------------2 分
曲线 C 的直角坐标系方程为 x 2 ? y 2 ? 16. -------------------------------------------4 分 (II)⊙C 的圆心(0,0)到直线 l : 3x ? y ? 4 ? 0 的距离

? 2, ------------------------------------------------------------6 分 ( 3) 2 ? 12 1 2 1 ∴ cos ?AOB ? ? , --------------------------------------------------------8 分 2 4 2 1 ? ∵ 0 ? ?AOB ? , 2 2 1 ? 2? ? ?AOB ? , 故 ?AOB ? .-----------------------------------------------10 分 2 3 3
24.解: (I)由题意,得 f ( x) ? f ( x ? 1) ?| x ? 1| ? | x ? 2 | , 因此只须解不等式 | x ? 1| ? | x ? 2 |? 2 ---------------------------------------------1 分

d?

4

1 ? x ? 1 ;------------------------------------2 分 2 当 1 ? x ? 2 时,原不式等价于 1≤2,即 1 ? x ? 2 ;-----------------------------------3 分 5 当 x>2 时,原不式等价于 2x-3≤2,即 2 ? x ? .-------------------------------------4 分 2
当 x≤1 时,原不式等价于-2x+3≤2,即 综上,原不等式的解集为 ? x |

? ?

1 5? ? x ? ? . -----------------------------------------5 分 2 2?

(II)由题意得 f (ax) ? af ( x) ? ax ? 2 ? a x ? 2 ------------------------------------6 分 = ax ? 2 ? 2a ? ax ? ax ? 2 ? 2a ? ax ---------------------------------------------8 分

? 2a ? 2 ? f (2a). --------------------------------------------------------------9 分
所以 f (ax) ? af ( x) ? f (2a) 成立.------------------------------------------------10 分

11


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